Bologna, 13 giugno 2013
SOSPENSIONE del giudizio anno scolastico 2012/13: INDICAZIONI LAVORO ESTIVO MATERIA: MATEMATICA - PROF. Christian Facchini
CLASSE 2 P 1. ARGOMENTI su cui verterà l’accertamento di settembre (solo prova in forma scritta)
• Sistemi di equazioni di primo grado. Disequazioni e sistemi di disequazioni lineari.
• Geometria analitica: la retta nel piano cartesiano.
• Calcolo coi radicali. Dominio di una funzione irrazionale.
• Equazioni e sistemi di equazioni di secondo grado e di grado superiore. Eq. parametriche di 2°gr.
• Disequazioni di secondo grado e di grado superiore e sistemi di disequazioni.
• Equazioni e disequazioni con un valore assoluto. Semplici equazioni irrazionali.
• Circonferenza, poligoni inscritti e circoscritti.
• Equivalenza tra figure piane (teoremi di Euclide e Pitagora).
• Triangoli con angoli di 30°-60°-45°.
• Similitudine nel piano (teoremi vari riguardanti i triangoli e le applicazioni alla circonferenza).
• Problemi di applicazione dell’algebra alla geometria.
• Quesiti di teoria.
Si ricorda che si intendono raggiunti gli obbiettivi minimi quando lo studente:
è in grado di utilizzare consapevolmente le tecniche di calcolo algebrico,
conosce le proprietà delle figure piane e sa svolgere semplici dimostrazioni di geometria utilizzando un linguaggio chiaro e corretto,
sa risolvere problemi non complessi di geometria in una o più incognite.
2. ESERCIZI
• Dal testo Conti Rivera – Erba - Zerbato “Matematica guidata – algebra 2” Ed. Ghisetti e Corvi:
Cap. 1 e 2 (escluso par. 13 e 14) teoria ed un congruo numero di esercizi proposti.
Cap. 3 teoria ed un congruo numero di esercizi proposti.
Cap 4 (escluso par. 8) teoria ed un congruo numero di esercizi.
Cap 5 par. 1, 2 (escluso ricerca del fuoco e della direttrice), 3, 4, 5, 6, 7 con numerosi esercizi proposti , par 8 es. con un solo valore assoluto.
Cap 6 par. 1, 2, 3, 4 con numerosi esercizi proposti.
Cap 7 (escluso par.7) teoria ed es. proposti (in particolare equazioni con radicali quadratici) Cap 8 teoria par. 1,2, 3 ed esercizi proposti (i casi meno complessi e solo numerici)
Cap 9: par.1 esercizi guida e proposti (solo disequazioni numeriche) e par.3 (es. con un solo valore assoluto).
N.B. Prestare particolare attenzione agli esercizi guida dei capitoli indicati.
• Dal testo Conti Rivera –Erba - Zerbato “Matematica guidata – geometria 2” Ed. Ghisetti e Corvi Cap 1 : Teorema di Talete par.8 esercizi guida e qualche esercizio proposto.
Cap 2 (escluso par.6) :teoria , esercizi guida e qualche es. proposto.
LICEO SCIENTIFICO STATALE “AUGUSTO RIGHI” BOLOGNA
MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE
UFFICIO SCOLASTICO REGIONALE PER L'EMILIA ROMAGNA
Cap 3( formulario)
Cap 4 qualche esercizio guida e qualche es. proposto
Cap 5 cap 6 e cap 7 fare numerosi esercizi guida ed esercizi proposti di tutte le tipologie.
• Per quanto riguarda i sistemi lineari, la circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti, non presenti nei precedenti volumi, fare riferimento ai testi in uso del 1° o 2° anno, con ripasso ed esercizi a piacere.
3. SUSSIDI DIDATTICI E MATERIALI DI STUDIO
• Libri di testo in adozione:
di L. Sasso “Nuova Matematica a colori- Algebra2” Ed. Petrini, e “Nuova Matematica a colori- Geometria” Ed. Petrini.
• Conti Rivera – Erba - Zerbato “Matematica guidata per il biennio delle scuole superiori “ algebra 2 e geometria 2 - Ed. Ghisetti e Corvi
• Materiale fornito in allegato
4. INDICAZIONI METODOLOGICHE
Si raccomanda di organizzare lo studio in modo da approfondire tutti gli argomenti, dedicando ampio spazio anche agli ultimi. Il ripasso deve essere accurato ed uniformemente distribuito durante il periodo estivo. Si consiglia di rivedere prima la teoria sul libro di testo in adozione. Seguire attentamente gli esercizi guida svolti sul testo consigliato, quindi passare a quelli proposti.
Gli esercizi, raccolti in un quaderno in ordine con il riferimento n. pag. e, quelli di algebra, preceduti dal testo, devono essere presentati all’esame di settembre.
L’insegnante ________________________
LICEO SCIENTIFICO STATALE “AUGUSTO RIGHI” BOLOGNA
anno scolastico 2012/2013
Programma svolto di MATEMATICA e INFORMATICA classe II P
prof. Christian Facchini
Algebra
Modulo A1I sistemi lineari
Conoscenze
1) Descrizione di un’equazione in più incognite.
2) Soluzione di un’equazione di più incognite.
3) Definizione di sistema di equazioni.
4) Grado di un sistema di equazioni.
5) Sistemi determinati, indeterminati e impossibili.
6) Determinazione delle soluzioni di un sistema lineare di due equazioni in due incognite per mezzo dei metodi di
• sostituzione
• Cramer
• riduzione
• grafico
7) Legame tra i determinanti delle matrici di Cramer e il numero delle soluzioni di un sistema 2x2.
8) Risoluzione di un sistema di primo grado 3x3 col metodo della sostituzione combinato eventualmente alla riduzione.
Abilità/capacità
9) Saper determinare il grado di un sistema.
10) Saper verificare se una coppia (o una terna) di numeri è soluzione di un sistema.
11) Saper risolvere un sistema di primo grado coi metodi presentati nel Modulo.
12) Saper risolvere sistemi contenenti equazioni fratte.
13) Dato un sistema con uno o più parametri, determinare il numero delle soluzioni del sistema in funzione del valore dei parametri.
14) Saper risolvere sistemi contenenti parametri anche al denominatore.
15) Saper risolvere sistemi in cui le equazioni sono riconducibili alla forma k/x+h/y=N.
16) Realizzare sistemi che soddisfino proprietà assegnate.
17) Saper risolvere problemi utilizzando i sistemi.
Modulo A2
Elementi di geometria analitica
Conoscenze
il piano cartesiano 18) Assi cartesiani e coordinate di un punto.
19) Distanza fra due punti in una retta orientata.
20) Distanza fra due punti nel piano cartesiano.
21) Punto medio di un segmento.
22) Luogo geometrico e luogo geometrico definito da un’equazione in due variabili x,y.
23) Intersezione fra curve definite da equazioni.
la retta 24) Equazione di una retta parallela agli assi.
25) Equazione di una retta passante per l’origine.
26) Equazioni delle bisettrici dei quadranti.
27) Equazione implicita della retta ax+by+c = 0.
28) Equazione esplicita della retta y = mx+q.
29) Significato geometrico di m e q.
30) Condizioni di parallelismo e perpendicolarità fra rette.
31) Formula per:
• retta generica passante per un punto (fascio proprio di rette);
• rette parallele (fascio improprio di rette);
• coefficiente angolare di retta passante per due punti assegnati;
• retta passante per due punti assegnati;
• distanza di un punto dato da una retta assegnata.
la parabola 32) Definizione di parabola come luogo geometrico.
33) Equazione di una parabola con l’asse parallelo all’asse delle ordinate: . 34) Significato geometrico dei coefficienti e .
35) Intersezioni della parabola con gli assi.
36) Coordinate del vertice.
Abilità/capacità
37) Collocare un punto di date coordinate nel piano cartesiano 38) Determinare la distanza fra due punti assegnati
39) Stabilire se tre o più punti sono allineati.
40) Stabilire se un dato triangolo è isoscele o rettangolo.
41) Determinare il punto medio di un segmento di cui sono assegnati gli estremi.
42) Determinare il simmetrico di un punto P rispetto a un punto C.
43) Stabilire se un punto di date coordinate appartiene alla curva di equazione assegnata.
44) Esprimere le coordinate di un punto appartenente ad una retta in funzione di una sola variabile.
45) Determinare l’equazione di un dato luogo geometrico (ad esempio: l’equazione di una circonferenza dato il centro e il raggio).
46) Determinare l’intersezione fra curve con equazioni assegnate.
47) Trovare le eventuali intersezioni di una retta con gli assi.
48) Data una retta in forma implicita, esprimerla in forma esplicita e viceversa.
49) Data un retta in forma esplicita, realizzare il grafico.
50) Dato il grafico di una retta, determinare la sua equazione.
51) Realizzare il grafico di una retta di pendenza assegnata sapendo che contiene un punto dato.
52) Data una funzione lineare a tratti in forma analitica, realizzare il grafico e viceversa.
53) Determinare il coefficiente angolare di una retta passante per due punti assegnati.
54) Determinare l’equazione della retta passante per due punti assegnati.
55) Stabilire se una data retta forma angoli acuti o ottusi con l’asse delle ascisse.
56) Stabilire se due rette sono parallele o perpendicolari.
57) Assegnato un punto e una retta con non lo contiene, determinare una retta passante per il punto e parallela alla retta e una retta passante per il punto e perpendicolare alla retta.
58) Dato un segmento, determinare l’equazione dell’asse.
59) Determinare la distanza di un punto da una retta.
60) Determinare le equazioni delle bisettrici di un angolo.
61) Stabilire la distanza fra due rette parallele.
62) Dato un triangolo
• stabilire se è isoscele;
• stabilire se è rettangolo;
• determinare il perimetro;
• determinare l’area;
• determinare le equazioni delle rette che contengono i lati;
• determinare l’altezza relativa ad un lato;
• determinare il circocentro, ortocentro, il baricentro e l’incentro.
63) Dati tre punti di un quadrilatero notevole, determinare il vertice rimanente.
64) Data una famiglia di rette dipendenti da un parametro, esprimerle – quando possibile - in forma esplicita; determinare le equazioni delle rette che non hanno una rappresentazione esplicita.
65) Data una famiglia di rette dipendenti da un parametro, stabilire il valore del parametro affinché la retta soddisfi proprietà assegnate, quali ad esempio
• l’appartenenza ad un punto fissato;
• sia parallela o perpendicolare ad una retta data;
• individui triangoli di data area;
• siano rette parallele (fascio proprio) o rette passanti per un unico punto (fascio proprio);
• determinare – se esiste – il punto comune alle rette del fascio;
• determinare quali rette formano angoli acuti o ottusi con l’asse delle ascisse.
• formi un angolo di 30°, 60°, 45° con l’asse delle ascisse.
66) Determinare la posizione reciproca di due rette dipendenti da un parametro.
67) Rappresentazione grafica della parabola, una volta assegnata l’equazione.
68) Determinare l’equazione di una parabola noti tre suoi punti.
69) Ricavare informazioni sull’equazione di una parabola noto il vertice.
70) Determinare la posizione reciproca di una retta e di una parabola, note le equazioni.
71) Risolvere problemi generici sulla retta e sulla parabola presenti nel libro di testo.
Modulo A3
Funzioni
Conoscenze
72) Definizione di funzione.
73) Funzione iniettiva, suriettiva e biunivoca.
74) Rappresentazione di una funzione
• per via orale;
• per mezzo di diagrammi di Eulero;
• per via analitica;
• per via grafica.
75) Composizione di funzioni.
Abilità/capacità
76) Data l’espressione analitica di una funzione, saper determinare
• il dominio;
• le immagini di elementi assegnati;
• gli zeri;
• le controimmagini di numeri assegnati.
77) Dato il grafico di una funzione determinare:
• il dominio;
• l’immagine;
• gli zeri ;
• gli intervalli di positività e negatività.
78) Assegnato il grafico di una funzione f, realizzare il grafico della funzione |f(x)|.
Modulo A4
Disequazioni razionali
79) Conoscere i simboli <, >, ≤, ≥.
80) Definizione di disequazione a una o più incognite.
81) Soluzione di una disequazione.
82) Rappresentazione di intervalli di insiemi numerici.
83) Principi di equivalenza delle disequazioni.
84) Studio del segno di un polinomio di primo grado.
85) Studio del segno di prodotti di polinomio di primo grado.
86) Studio del segno di polinomi di grado maggiore di uno per mezzo della scomposizione.
87) Studio del segno di una frazione.
88) Segno della funzione f(x)=x2. 89) Definizione di valore assoluto |x|.
90) Segno del valore assoluto.
91) Definizione di sistema di disequazioni.
92) Definizione di soluzione di un sistema di disequazioni.
Abilità/capacità
93) Saper risolvere disequazioni di primo grado intere.
94) Saper risolvere disequazioni di primo grado intere contenenti parametri.
95) Saper risolvere disequazioni intere di grado >1.
96) Saper risolvere disequazioni di primo grado fratte.
97) Saper risolvere disequazioni fratte contenente polinomi anche di grado >1.
98) Saper risolvere equazioni e disequazioni del tipo
• |f(x)|<=>k
• |f(x)|<>g(x)
• |f(x)|<>|g(x)|
99) Saper risolvere equazioni contenenti più valori assoluti.
100) Saper risolvere disequazioni fratte contenente valori assoluti e polinomi anche di grado >1.
101) Saper risolvere sistemi di disequazioni.
102) Rappresentare sul piano cartesiano soluzioni di disequazioni lineari a due incognite.
103) Rappresentare sul piano cartesiano soluzioni di sistemi di disequazioni lineari a due incognite.
Modulo A5
Radicali
Conoscenze
104) Definizione di radice quadrata 105) Definizione di radice cubica
106) Definizione di radice n-esima, con nєN* 107) Proprietà fondamentali dei radicali
•
• 108) Proprietà invariantiva:
109) Prodotti e rapporti fra radicali (per valori di a e b che danno senso alla scrittura):
•
•
•
•
110)Razionalizzazione 111) Radicali quadratici doppi 112) Potenze con esponenti razionali
Abilità/capacità
113) Determinare il valore numerico di un radicale
114) Determinare un’approssimazione intera di un radicale
115) Determinare le condizioni di esistenza di un’espressione irrazionale 116) Semplificare un radicale
117) ‘Portare dentro’ e ‘portare fuori’ dalla radice
118) Somme, differenze, prodotti, rapporti e potenze di radicali 119) Svolgere espressioni contenenti radicali doppi
120) Saper razionalizzare una frazione
121) Semplificare espressioni numeriche e letterali contenenti radicali utilizzando le proprietà opportune
122) Risolvere equazioni numeriche intere e fratte a coefficienti irrazionali 123) Risolvere disequazioni numeriche intere e fratte a coefficienti irrazionali 124) Rappresentare un radicale come potenza ad esponente razionale e viceversa
Modulo A6
Algebra di secondo grado
Conoscenze
125) Equazione di secondo grado in forma canonica . 126) Teorema di scomposizione di un trinomio di secondo grado.
127) Relazione fra il discriminante ∆ e il numero delle soluzioni di un’equazione di secondo grado.
128) Metodi risolutivi per le equazioni di secondo grado complete e incomplete (pure e spurie).
129) Formula risolutiva ridotta.
130) Relazioni tra i coefficienti e le radici di un’equazione di secondo grado.
131) Il polinomio visto come una funzione: la funzione quadratica.
132) Il grafico della funzione quadratica : la parabola. Intersezioni con gli assi e coordinate del vertice di una parabola.
133) Disequazione di secondo grado in forma canonica .
134) Metodi risolutivi per le disequazioni di secondo grado in forma canonica: o utilizzando il teorema di scomposizione dei trinomi di secondo grado (a seconda che il ∆ sia positivo, nullo o negativo si attiva un procedimento specifico) o per via grafica.
Abilità/capacità
135) Scomporre – se è possibile – un trinomio di secondo grado.
136) Risolvere equazioni numeriche di secondo grado, intere e fratte.
137) Risolvere equazioni di secondo grado letterali, intere e frazionarie.
138) Data un’equazione parametrica, determinare i valori del parametro affinché risultino soddisfatte alcune condizioni tra le quali
a. Esistenza di soluzioni reali;
b. Esistenza di un’unica soluzione;
c. La soluzione sia un numero assegnato;
d. Le radici siano opposte;
e. Le radici siano reciproche;
f. La somma e/o il prodotto delle radici sia fissato;
g. La somma dei quadrati delle radici sia un numero fissato;
h. La somma dei cubi delle radici sia un numero fissato;
i. Le radici stiano in una determinata relazione tra loro.
139) Rappresentare graficamente una funzione quadratica data in forma analitica.
140) Problemi algebrici e geometrici che hanno come modello una equazione o una disequazione di secondo grado.
141) Problemi di massimo e di minimo di secondo grado.
142) Risolvere un disequazioni numeriche di secondo grado, intere e fratte.
143) Risolvere disequazioni di secondo grado letterali, intere e frazionarie.
144) Risolvere graficamente disequazioni di secondo grado.
145) Determinare il dominio di funzioni espresse in forma analitica contenenti radicali e/o frazioni.
Modulo A7
Algebra di grado superiore al secondo
Conoscenze
146) Equazioni di grado maggiore di due: risoluzione per mezzo della legge dell’annullamento del prodotto.
147) Equazioni binomie, del tipo . 148) Equazioni trinomie, del tipo .
149) Disequazioni di grado maggiore di due: risoluzione per mezzo dello studio dei segni dei fattori.
150) Disequazioni binomie, del tipo . 151) Disequazioni trinomie, del tipo .
Abilità/capacità
152) Risoluzione delle equazioni e delle disequazioni del tipo presentate nel Modulo.
153) Risoluzione di sistemi di disequazioni contenenti disequazioni del tipo presente nel Modulo.
Modulo A8
Sistemi non lineari
Conoscenze
154) Risoluzione di sistemi di grado maggiore di uno per mezzo dei metodi di a) Riduzione;
b) Sostituzione.
155) Definizione di sistema simmetrico.
156) Forma canonica di sistema simmetrico di secondo grado.
Abilità/capacità
157) Risolvere sistemi non lineari interi – di due equazioni in due incognite, o di tre equazioni in tre incognite - per mezzo della riduzione e della sostituzione.
158) Risolvere sistemi non lineari fratti – di due equazioni in due incognite, o di tre equazioni in tre incognite - per mezzo della riduzione e della sostituzione.
159) Risolvere sistemi simmetrici di grado due e di grado maggiore di due riconducendosi alla forma canonica.
160) Risoluzione di problemi che hanno come modello sistemi trattati in questo Modulo.
Modulo A9
Equazioni e disequazioni irrazionali Conoscenze
161) Definizione di equazione e disequazione irrazionale.
162) Definizione di soluzione di equazione e disequazione irrazionale.
163) Risoluzione di equazioni irrazionali del tipo . 164) Risoluzione di equazioni irrazionali del tipo . 165) Risoluzione di equazioni irrazionali del tipo .
166) Risoluzione di equazioni irrazionali del tipo
167) Risoluzione di un’equazione irrazionale o elevando per un opportuno esponente e verificando l’accettabilità della soluzione o discutendo preventivamente le condizioni di esistenza
168) Condizioni necessarie e sufficienti per le soluzioni di f
( )
x < > g( )
x169) Condizioni necessarie e sufficienti per le soluzioni di f
( )
x < > g( )
xAbilità/capacità
170) Risolvere equazioni irrazionali intere e fratte utilizzando i contenuti del modulo 171) Risolvere semplici disequazioni irrazionali
Modulo P
Calcolo delle probabilità Conoscenze
172) Definizione di evento.
173) Definizione di spazio campionario o spazio degli eventi.
174) Definizione di evento certo, evento impossibile ed evento aleatorio.
175) Definizione di frequenza di un evento: .
176) Definizione di probabilità: classica, frequentista e assiomatica.
177) Probabilità di un evento certo, un evento impossibile e di un evento aleatorio.
178) Legame tra probabilità e frequenza: legge empirica del caso.
179) Definizione di: unione di due eventi e intersezione di due eventi.
Abilità/capacità
180) Determinare la probabilità di semplici eventi.
Geometria
Modulo G1Circonferenza e cerchio
Conoscenze
181) Definizione di circonferenza, centro, raggio, diametro e cerchio.
Una circonferenza partiziona il piano euclideo: i punti interni, esterni e i punti della circonferenza.
Inoltre un segmento che ha per estremi un punto interno e un punto esterno ha in comune con la circonferenza uno e un solo punto.
Esiste ed è unica la circonferenza una volta assegnato il centro e il raggio (o il centro e un suo punto).
182) Definizione di corda, arco, angolo al centro, angolo alla circonferenza, angolo al centro e angolo alla circonferenza corrispondenti.
183) Per tre punti non allineati passa un’unica circonferenza.
184) Una retta e una circonferenza non possono avere più di due punti in comune.
185) In ogni circonferenza il diametro è la corda massima.
186) (Caratterizzazioni dell’asse di una corda)
Data una circonferenza di centro O, sia AB una corda di punto medio M e r una retta. Allora
a) è l’asse di AB ⇔ b) è l’asse di AB ⇔
187) Due corde sono congruenti se e solo se hanno la stessa distanza dal centro.
In simboli: data una circonferenza e due corde AB e CD, vale
188) Date due circonferenze distinte, la corda maggiore ha minore distanza dal centro.
In simboli: data una circonferenza e due corde AB e CD, vale
189) (Relazione tra corde, angoli al centro corrispondenti e archi corrispondenti)
Data una circonferenza , siano AB e CD corde, e gli archi corrispondenti e α, β gli angoli al centro corrispondenti. Allora
190) Definizione di retta esterna, tangente e secante una circonferenza.
191) (Posizione reciproca tra circonferenza e retta).
E’ data una circonferenza di centro O e raggio r, e una retta s. Allora
• s è esterna a ⇔ d(s,O) > r
• s è tangente a ⇔ d(s,O)= r
• s è secante a ⇔ d(s,O)< r Come conseguenza abbiamo il seguente corollario
192) Una retta è tangente alla circonferenza ⇔ è perpendicolare al raggio che ha per estremo il punto di contatto.
193) (teorema delle tangenti).
I segmenti di tangente condotti da un punto P esterno alla circonferenza sono congruenti. Inoltre la semiretta di origine P che passa per il centro è la bisettrice dell’angolo.
194) (Angoli al centro e angoli alla circonferenza).
Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
195) Un angolo alla circonferenza è retto ⇔ insiste su una semicirconferenza.
196) Gli angoli alla circonferenza sono congruenti ⇔ insistono sullo stesso arco (o su archi congruenti).
197) Gli angoli alla circonferenza che insistono su due archi esplementari sono supplementari.
198) Corde parallele individuano archi congruenti
Abilità/capacità
199) Dimostrare i teoremi visti
200) Dimostrare i risultati utilizzando i contenuti del Modulo.
Modulo G2
Poligoni inscritti e circoscritti
Definizione di poligono inscritto e circoscritto.
201) (Condizione di inscrivibilità di un poligono).
Un poligono è inscrivibile in una circonferenza ⇔ gli assi dei suoi lati passano per uno stesso punto (che è il centro della circonferenza inscritta).
202) (condizione di circoscrivibilità di un poligono).
Un poligono è circoscrivibile a una circonferenza ⇔ le bisettrici dei suoi angoli interni passano tutte per uno stesso punto (che è il centro della circonferenza circoscritta).
203)Un triangolo è sempre circoscrivibile a una circonferenza.
Il centro della circonferenza circoscritta si chiama circocentro ed è il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo.
204) Un triangolo è sempre inscrivibile a una circonferenza.
Il centro della circonferenza inscritta si chiama incentro ed è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni.
205)Un triangolo è rettangolo ⇔ è inscrivibile in una semicirconferenza.
206) Triangoli rettangoli con l’ipotenusa in comune sono inscrivibili nella stessa circonferenza, avente per centro il punto medio dell’ipotenusa e per raggio la metà dell’ipotenusa.
207) (Condizione di inscrivibilità di un quadrilatero in una circonferenza).
Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza ⇔ due angoli opposti sono supplementari.
208) (Condizione di circoscrivibilità di un quadrilatero in una circonferenza).
Un quadrilatero è circoscrivibile in una circonferenza ⇔ la somma dei lati opposti è costante.
209) (Circoscrivibilità e inscrivibilità dei poligoni regolari).
Ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile a una circonferenza. La circonferenza inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro, detto centro del poligono.
210) Le rette che contengono le altezze di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto ortocentro.
211) Le mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto G detto baricentro. Inoltre il punto G divide la mediana in due parti, di cui quella che contiene il vertice è il doppio dell’altra.
Abilità/capacità
212) Dimostrare i teoremi visti.
213) Produrre dimostrazioni utilizzando i contenuti del Modulo.
Modulo G3
Equivalenza delle superfici piane
Conoscenze
214) Definizione di superficie piana.
215) Definizione superfici equivalenti.
216) ‘Equivalenza’ come relazione di equivalenza.
217) Significato di ‘somma’ e ‘differenza’ fra superfici.
218) Relazione di ordine fra superfici.
219) Somme e differenze di superfici equivalenti sono equivalenti.
220) Definizione di figure equiscomposte.
221) Figure equiscomposte sono equivalenti.
222) Ogni parallelogramma è equivalente al rettangolo di congruente base e altezza . 223) Due parallelogrammi con basi e altezze congruenti sono equivalenti.
224) Un triangolo è equivalente a un rettangolo che abbia la stessa base del triangolo e per altezza la metà dell’ altezza del triangolo.
225) Due triangoli con base e altezza congruenti sono equivalenti.
226) La mediana di un triangolo individua due triangoli equivalenti.
227) Un trapezio è equivalente a un triangolo avente per altezza la stessa altezza e per base la somma delle basi del trapezio.
228) Ogni poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza.
229) Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari (in particolare un rombo) è equivalente alla metà di un rettangolo che ha base e altezza congruenti alle diagonali del quadrilatero.
230) E’ possibile trasformare:
a) un poligono convesso in un triangolo equivalente;
b) un triangolo in un altro con altezza fissata;
c) un triangolo in un altro con base fissata;
d) un triangolo in un rettangolo di congruente base o congruente altezza;
e) da a, b, c , d segue che è possibile trasformare un poligono convesso in un rettangolo equivalente con base o altezza fissati (con le suddette
costruzioni è dunque è possibile confrontare l’estensione di due qualunque poligoni).
231) Area di una superficie.
232) Per mezzo dei teoremi sulle equivalenze dei poligoni, determinazione dell’area del rettangolo, del parallelogramma, del triangolo, del trapezio, del rombo e di un poligono regolare.
Abilità/capacità
233) Dimostrare i teoremi visti.
234) Trasformare un poligono di n lati in un triangolo equivalente, avente altezza o base fissata (dunque, di conseguenza, in un rettangolo equivalente).
235) Dimostrare l’equivalenza di assegnate figure piane, utilizzando i teoremi visti, o parametrizzando.
Modulo G4
Teoremi di Pitagora ed Euclide
Conoscenze
236) Teorema di Pitagora (dimostrazione ottenuta scomponendo un opportuno quadrato).
237) Applicazioni del teorema di Pitagora
• in un quadrato: esprimere il lato in funzione della diagonale e la diagonale in funzione del lato;
• in un triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°: esprimere i cateti in funzione dell’ipotenusa e l’ipotenusa in funzione di uno dei due cateti;
• il lato di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r è ;
• il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio è . 238) Primo teorema di Euclide.
239) Teorema di Pitagora, come corollario del primo teorema di Euclide.
240) Secondo Teorema di Euclide.
241) Trasformare un rettangolo in un quadrato equivalente utilizzando il primo o il secondo teorema di Euclide.
Abilità/capacità
242) Risolvere problemi geometrici per via algebrica utilizzando i contenuti del Modulo.
Modulo G5
Teorema di Talete e similitudine
Conoscenze
243) Definizione di rapporto fra grandezze e di proporzione.
244) Proprietà delle proporzioni: invertire, permutare, comporre e scomporre.
245) Il Teorema di Talete.
246) Conseguenza del Teorema di Talete: se una retta r interseca due lati di un triangolo, r è parallela al terzo lato se e solo se stacca sui lati coppie di segmenti proporzionali.
247) Teorema della bisettrice di un angolo interno.
248) Definizione di similitudine fra due triangoli: la similitudine è una relazione di equivalenza.
249) Primo, secondo e terzo criterio di similitudine.
250) Se due triangoli sono simili con rapporto di similitudine k, allora
• il rapporto fra due altezze è uguale a k;
• il rapporto fra i perimetri è uguale a k;
• il rapporto fra le aree è uguale a k2.
251) Primo e secondo teorema di Euclide nel linguaggio delle proporzioni.
252) Definizioni di poligoni simili.
253) Dati due triangoli simili con rapporto di similitudine uguale a k
• il rapporto fra i loro perimetri è uguale a k;
• il rapporto fra le aree è uguale a k2;
• il rapporto fra due diagonali corrispondenti è uguale a k.
254) Teorema delle corde: data una circonferenza e due corde che si intersecano, è costante il prodotto delle misure dei segmenti individuati su ciascuna corda dal punto di intersezione.
255)Teorema delle secanti. Se da un punto esterno P a una circonferenza si conducono due secanti, su ogni secante si individuano due segmenti che hanno per estremi P e uno dei punti di incontro della secante con la circonferenza: il prodotto delle misure dei segmenti su una secante è uguale al prodotto delle misure dei segmenti sull’altra secante.
256) Teorema della secante e della tangente. Se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente alla circonferenza, il prodotto fra le misure dei segmenti che hanno per estremi il punto esterno e uno dei punti di intersezione della secante con la circonferenza è uguale al quadrato della misura del segmento di tangenza.
257) La sezione aurea: definizione.
258)Misura della sezione aurea di un segmento di misura l. 259)Costruzione della sezione aurea di un segmento.
Abilità/capacità
260) Saper dimostrare i teoremi contenuti nel Modulo.
261) Saper risolvere problemi utilizzando i risultati presentati nel Modulo.
