Propagazione in ambiente reale

Propagazione in ambiente reale

  Nella quasi totalità dei radio-collegamenti reali, TX ed RX sono circondati da oggetti (edifici, colline, vegetazione, suolo, ecc.) che rendono lo scenario di propagazione assai diverso dallo spazio libero

  L onda EM interagisce con gli oggetti dello scenario (riflessioni sulle pareti, diffrazioni sugli spigoli, ecc.); l effetto di tale interazione dipende dalle caratteristiche geometriche ed elettromagnetiche dell ambiente.

Le caratteristiche della propagazione in un radio-collegamento reale a.  dipendono sensibilmente dalle proprietà dello scenario propagativo

b.  hanno un impatto molto significativo sulle caratteristiche del segnale ricevuto (andamento spazio-temporale della potenza ricevuta, dispersione angolare, shift in frequenza dovuto a spostamento Doppler, …)

Propagazione in presenza di ostacoli

Diffraction Path Transmission

Reflection

L onda elettromagnetica subisce diverse interazioni con l ambiente reale di propagazione prima di giungere al ricevitore. I meccanismi di propagazione più importanti sono:

1) Riflessione;

2) Diffrazione;

3) Trasmissione (Rifrazione);

[ 4) Diffusione (Scattering); ]

In presenza di un ostacolo finito è Il fenomeno che avviene a causa del

bordo dell ostacolo

Diffrazione - il principio di Huygens-Fresnel

 Il fenomeno della diffrazione può essere introdotto e descritto a partire dal principio di Huygens o delle sorgenti secondarie : noto il fronte d onda F all istante t, è possibile ricostruire il successivo fronte d onda F all istante t+dt supponendo che gli elementi di superficie dS di F siano eccitati ad emettere contemporaneamente onde sferiche con la velocità v dell onda; l inviluppo di tali onde secondarie all istante t+dt costituisce il fronte d onda F allo stesso istante.

T R

Q

P_o r_o s

S₁

! ^{$ =}

( )

s e r

A e K

) R ( d

s j 0

r

j _{00 0}

!(R)= K

( )

r₀ !e^{" j#0s}

Sup.Sferica

#

 Teoria scalare Ψ generica componente del campo

Il teorema di Kirchhoff (1/2)

  Detta Ψ la generica componente del generico campo, in una regione omogenea priva di sorgenti:

nel caso in figura quindi

( )

!

) ,

, , , ,

, -

,

= ) . + ) /

S Green

di funzioneMetododella

2

2 dS

G n n r G

0 !

( ) !

"

#$

& % ' (

)

* +) ) ,

+ )

* ,

=

*

S S

n dS n G

r G

!

"

 Fatte le seguenti ipotesi:

- d , r >> λ

- Mezzo senza perdite - -

- S = sup. d onda

0 r

n lim r

lim r

r = " ! =

#

!

" #

$

%

$

%

( )

4 G 1

S

S_∞ O Q P

r! ' r!

!! nˆ d!

!

Funzione di Green di Spazio Libero

!(!r) = j"

4# F

( )

Campo! in Q

"$$#$$%

&e^{' j"(}

( & 1+ cos

(

)

*

K

( )

(

)

  Il teorema di Kirchhoff diviene invece assai utile per valutare il campo ricevuto in presenza di un ostacolo. L integrale deve essere limitato alla porzione di fronte d onda non intercettata dall ostacolo stesso:

d

ρ S_A

P

Il teorema di Kirchhoff (2/2)

Il valore di ψ su S_A può essere approssimato con il valore che si avrebbe in assenza dell ostacolo

(approssimazione di Kirchhoff);

  In assenza di ostacoli (Spazio Libero), il calcolo del campo ricevuto per mezzo del teorema di Kirchhoff è possibile ma inutilmente complicato, poiché vale la formula di Friis (estremamente più semplice)

!(!r) = j"

4# F

( )

d &( & 1+ cos

(

)

S

*

Diffrazione – esempi teorici fondamentali

  Con il termine Diffrazione si intende indicare una particolare categoria di fenomeni propagativi generati dalla presenza di ostacoli sul cammino di propagazione.

Esempi:

 La diffrazione determina in particolare:

  Campo non nullo anche in zone non direttamente illuminate dalla sorgente;

  Campo diverso da quello di Spazio Libero nelle zone direttamente illuminate dalla sorgente

Diffrazione da Apertura Diffrazione da “Knife Edge”

 La diffrazione è tanto più rilevante quanto più le dimensioni geometriche in gioco (ostacoli, aperture, raggi di curvatura) sono piccole rispetto a λ

 Il teorema di Kirchoff permette di risolvere in linea di principio qualunque problema di diffrazione. Occorre di volta in volta determinare la superficie S_A e risolvere l integrale per il calcolo del campo

Zone di Fresnel (1/3)

R₁ R₂

r = R₁+R₂ R₁

T R

k 2 R

r

=

+ " !

r₁ r₃

r₂ r_k

P_k

I zona di Fresnel II zona di Fresnel III zona di Fresnel ρ_k

ρ_k : k^mo raggio di Fresnel

  In alcuni casi è possibile valutare gli effetti della diffrazione senza dover risolvere esplicitamente l integrale di Kirchhoff (può essere complicato)

  Zone di Fresnel : porzioni di fronte d onda delimitate dall intersezione fra il

medesimo e le sup.

sferiche di raggio r_k

Zone di Fresnel (2/3)

  si può osservare che

2 k k k

2 1 1 k

k2 k2

k2 12

2

1 r 1 r

1 R R

r R

R R

r !!"#

$$%& ' ( )

!!" +

$$% #

& ' ( )

= ' ( +

' (

= +

=

k 2 2 R

1 R

2 1 k 2

R r R

2 1 1 R r

2 1 1 R

R R

2 2k 1

2k 2

1 2

k k k

2

1 1 k

2

1 + " !

$ #

$ #

" ! + +

% =

%

&

' ((

)

*

++,- ../0 #

$

"

% +

%

&

' ((

)

*

++,- ../0 #

$

"

= +

2 0

x

2 x

2 1 1 x

1! " !

#

( )

"

#

$$

%

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( +

!!

"

#

$$

%

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= ) ' *

(

=

!!

!!

"

#

$$

$$

%

&

( ' + +

( )

2 2 1

1

2 2 1 k

1 2 k2

R

Rk 2

1 R

R

R 2

1 k R

R 2 k

k k 2

R 1 R

1 2

1

k 2

1,R

R >>! e

Zone di Fresnel (3/3)

Supponendo che k·λ/2 << R₂: !_k = k "#" R₁R₂ R₁ + R₂

( )

(

)

  Considerato inoltre P_k appartenente alla circonferenza di raggio ρ_k k 2

2 r k R

R r

R RP

TP_k + _k = ₁ + _k = ₁ + ₂ + " ! = + " !

Fissata la frequenza di collegamento e la distanza fra T ed R, la somma delle distanze del punto P_k dai punti T ed R è una costante  il punto P_k appartiene ad un ellissoide di fuochi T ed R. Ciò significa che al variare di R₁ (e di R₂=r-R₁), la circonferenza di raggio ρ_k cambia e si sposta, ma appartiene sempre ad un ellissoide di fuochi T ed R detto k^mo ellissoide di Fresnel

T R

r

!/4 !/4

"_M

Esempio: primo ellissoide di Fresnel (k=1) semi-asse maggiore = r/2 +λ/4

semi-asse minore =

4

M = !r

"

Diffrazione da apertura circolare (1/2)

 In alcuni casi, le zone di Fresnel permettono di valutare gli effetti della diffrazione senza dover risolvere esplicitamente l integrale di Kirchhoff. E il caso ad esempio dell apertura circolare, ove si desideri valutare il campo ricevuto lungo l asse dell apertura

T R

 Contributo dell elemento dΣ appart. ad S_A

 R₁, R₂ >> h  χ≅ 0 e F(θ,φ) ≅ A (costante)

S_A h

 Se R₂ >> λ si approssima s ≅ r_k all interno della k^ma zona di Fresnel e analogamente s ≅ r_k+1 all interno della (k+1)^ma  i contributi dei punti della (k +1)^ma zona di Fresnel differiscono da quelli della k^ma per il fatto che nella (*) s vale r_k+1 e non r_k. Trascurando l effetto di tale differenza sull ampiezza ed osservando che r_k+1 = r_k + λ/2  i contributi della (k+1)^ma zona sono sfasati rispetto a quelli della k^ma di βλ/2 = π

dE(R) = j!

4" ^{# F}

( )

R₁ # e^{& j!s}

s # 1+ cos

(

)

dE(R) = j!

2" ^{# A #}

e^{$ j!R1}

R₁ # e^{$ j!s}

s #d% *

( )

R₂ R₁

Diffrazione da apertura circolare (2/2)

 Se la (k+1)^ma zona di Fresnel passa attraverso l apertura, essa tende ad annullare i contributi al campo ricevuto dati dalla k^ma  se dall apertura passa un numero pari di zone di Fresnel, in R si ha un minimo del campo, mentre si ha un massimo se tale numero è dispari

0 1 2

E/ E₀

h / ρ₁

Andamento reale

1 ²

Diffrazione da Knife-Edge (1/4)

Y

X

Z h

T

R Q d

ρ dΣ

X

Z

T h R

a b

  Ostacolo piano (Knife-Edge = Lama di coltello ) appart.al piano XY, infinitamente esteso in direzione Y e limitato fra h e -∞ in direzione X;

  T ed R collocati su asse Z (  alla stessa altezza) da parti opposte rispetto all ostacolo

Diffrazione da Knife-Edge (2/4)

 Contributo dell elemento dΣ appartenente ad S_A

 Ipotesi 1: sorgente tanto lontana dallo schermo da poter approssimare il fronte d onda con il piano XY

 Ipotesi 2: h << a , h << b

 Ipotesi 3: le sorgenti secondarie dΣ che danno contributo rilevante al campo in R sono tutte e sole quelle per cui

x << ρ, d ; y << ρ, d Si giustifica osservando che le sorgenti secondarie più rilevanti appartenenti alla prime zone di Fresnel e sono quindi più raccolte attorno alla direzione del collegamento

dE(R) = j!

4" ^{# F}

( )

d # e^{& j!'}

' ^{# 1+ cos}

(

)

E(R)= j!

4" ^{# F}

( )

d # e^{& j!'}

' ^{# 1+ cos}

(

)

h

+)

*

&) +)

*

E(R)= j! 4" ^#

e^{$ j! a+b( )}

ab F

( )

d a# e^{$ j! '$b( )}

' ^{b# 1+ cos}

(

)

h

+)

*

$) +)

*

Diffrazione da Knife-Edge (3/4)

Ipotesi 2 + Ipotesi 3

F(θ,φ) = A costante ; χ ≅ 0 d ≈ a , ρ ≈ b

a denominatore si pone d = a , ρ = b

negli esponenziali a numeratore si osserva che

( ) ( )

a y 1 x

a a a

y x

a

d! = ² + ² + ² ! = + ² +₂ ² !

2 1 z z

1+ z!0 +

"

( ) ( )

a 2

y a x

a 2

y 1 x

a a

d ² ₂ ² ! = ² + ²

"

"

#

$

%%

&

' + +

(

!

( )

b 2

y b ! x² + ²

"

# (Analogamente)

Diffrazione da Knife-Edge (4/4)

E(R) = j!

2" # A # e^{$ j!(a+b)}

ab e^{$ j!}

x²+ y²

2a # e^{$ j!x}

2+ y²

2b dx

h

+%

&

$%

+%

&

= j!

2" # A # e^{$ j!(a+b)}

ab e^{$ j!}

a+b

2ab

(

)

h

+%

&

$%

+%

&

Diffrazione da KE

Attenuazione Supplementare (1/3)

 E₀(R) = campo che si avrebbe in assenza dell ostacolo:

L

= E

E =

j !

2 " # A # e

ab e

a+b

2ab

(

) dx

$%

+%

& ^dy

$%

+%

&

j !

2 " # A # e

ab e

a+b

2ab

(

) dx

h

+%

& ^dy

$%

+%

&

=

e

a+b 2abx²

dx

$%

+%

&

e

a+b 2abx²

dx

h +%

&

 Attenuazione supplementare L_S

L

=

2 ! e

dx

0 +$

%

e

a+b 2abx²

dx

h +$

%

E

(R) = j!

2 " # A # e

ab e

a+b

2ab

(

) dx

$%

+%

& ^dy

$%

+%

&

 Posto

ab b a 2 dx d

ab b a x 2

+

!

"

= + #

$ !

=

"

L

= E

E =

2 2

!

a + b ab

e

# 2$²

d $

0 +%

&

1 2

!

a + b ab

e

# 2$²

d$

h' 2

! a+b

ab +%

&

=

2 e

# 2$²

d $

0 +%

&

e

# 2$²

d $

h' 2

! a+b

ab

+%

&

0: parametro di Fresnel

( )

2 e 1

2

1 ^j₄

!

=

"

! #

Integrale di Fresnel

Diffrazione da KE

Attenuazione Supplementare (2/3)

L

= E

E = 1

1 + j

2 e

"

2#²

d#

#₀

+$

%

Si noti che:

Diffrazione da KE

Attenuazione Supplementare (3/3)

A_s (dB) = 20 log (E₀/ E )

!0

  P e r ν ₀ > - 1 s i p u ò approssimare come:

  Per il valore di | A_S(dB)| è inferiore a 1 dB, e d u n q u e l e f f e t t o dell ostacolo risulta in pratica trascurabile. Osservando che

la condizione

corrisponde a h < -ρ₁ ovvero alla condizione di non intersezione tra l ostacolo ed il primo ellissoide di Fresnel

L_S( )dB = 6.4 + 20 ! log₁₀

(

)

h 2

0 1 !

"

=

#

!₀ < ! " 2

0 < " ! 2

#

L_S

Lee’s simplified attenuation formulas [*]

L(!₀) =

"20log 0.5 " 0.62!

(

)

"20log 0.5exp "0.95_#$

(

)

"20log 0.4 " 0.1184 " 0.38 " 0.1^'#_$

{ (

)

}

"20log 0.225

!₀

#

$' %

&

( !0>2.4 )

* ++ ++

, ++ ++

[*]W. C. Y. Lee, Mobile Communications Engineering, Mc Graw Hill, New York 1982

KE Diffraction – calcolo del campo (1/3)

z

x y

r_R dy χ

! dz

!

jkx

in E e

E! = ₀ ^!

( x, y, 0 )

  Bordo del KE coincidente con asse y; R nel generico punto del piano XZ

  Ipotesi: onda incidente sul Knife Edge piana uniforme e incidenza normale:

( )

( ) ^{j z}

inc inc

e z A

, y , x H

z , y , x

E _{" !}

#

$% =

$&

'

( )

( )

! ! ( )

"

#

$

% #

&

' +

= $ () + *

0 R

r j

' dx ' r dy

cos e 4 1

A j z

, 0 , x H

z , 0 , x

E ^R

  Supponendo z >> λ e sapendo che le sorgenti secondarie (y , x ) che danno un contributo significativo al campo ricevuto in (x,0,z) sono solo quelle per y ≈ qualche λ (prime zone di Fresnel)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

"

#

$ +

% #

&

# '=

() + , *+ + " + "

=

- , &"

%

0 R

4 j j 0

R 2 2 R

2 2 R

' e dx

cos 2 1

e z A

, 0 , x H

z , 0 , x E

2 ' ' y

y '

x x z

r

R

( ) _!"^#

$%&(_R = z² + x'x' ²

Z Y

( ) ^{j z} X

inc x,y,z A e

E = # ^"!

R(x,0,z) dy’

dx’

Q(x’,y’,0)

( )

( )

" %

&

"

"

+

"

' =

() _{% $} ^{% # % $&}

sin 2

cos 1

2 1 e e

A e

z A , 0 , x H

z , 0 , x

E j z j ₄ ^j

0

  Applicando il metodo della fase stazionaria per la risoluzione dell integrale, è possibile ottenere la seguente soluzione per il campo ricevuto:

x > 0 (Regione illuminata)

( )

( )

" %

&

"

"

' =

() ^{% # % $&}

sin 2

cos 1

2 1 e e

z A , 0 , x H

z , 0 , x

E j ₄ ^j

x < 0 (Shadow Region)

(ρ,θ ⁾"

y"

x"

Confine dʼombra"

Onda Piana Incidente"

•  θ > 0 se x > 0

•  θ < 0 se x < 0

KE Diffraction – calcolo del campo (2/3)

Z X

(r_,q)"

y"

x"

Confine dʼombra"

Onda Cilindrica Diffratta"

Onda Piana Incidente"

( )

( ) ( )

( )

" #

"

+

!

"

"

$=

%& ^{( ) ( '#}

>

! '

( e D

e A U

e z A

, 0 , x H

z , 0 , x E

Diffratta

Cilindrica

Onda

4 j j 0 0)

per solo

( Onda Piana z 0 j

!

!

! "

!

!

! #

! $

! "

!

! #

$

 La presenza del knife-edge genera un onda diffratta che nelle ipotesi fatte risulta essere un onda cilindrica

 Le superfici d onda sono perciò dei cilindri aventi per asse il bordo superiore del Knife-Edge  è allora possibile definire i Raggi Diffratti che si propagano dal bordo dell ostacolo in direzione radiale.

  : Coefficiente di Diffrazione

( ) ^{" +} _!^!

#$

= %

! 2sin

cos 1

2 D 1

KE Diffraction – calcolo del campo (3/3)

Z X

Osservazioni:

  La possibilità di estendere l ottica geometrica al fenomeno della diffrazione fin qui mostrata e sottoposta ai seguenti vincoli e limitazioni:

1) Approccio scalare alla teoria della diffrazione (Huygens-Fresnel);

2) Onda incidente piana;

3) Incidenza normale;

4) Ostacolo assimilato ad un knife-edge trasversalmente illimitato;

5) Ricevitore lontano dal confine d ombra del raggio diretto (D(0)=∞)

  Tali ipotesi di lavoro assai raramente risultano verificate in situazioni reali di diffrazione. E quindi opportuno generalizzare l approccio fin qui seguito in modo da estendere la descrizione a raggi della diffrazione a situazioni più realistiche

La legge della Diffrazione

Introdotta da J. B. Keller nel 1961 e si articola nei seguenti 2 seguenti assunti^[6] : I. Si generano uno o più raggi diffratti ogniqualvolta un raggio dell OG classica

(diretto o riflesso) incide su uno spigolo o un vertice;

II. Per ogni cammino diffratto vale il Principio di Fermat (Estensione del principio di Fermat al fenomeno della diffrazione)

Raggio Incidente

Cono di Keller

Legge della diffrazione: il raggio diffratto e quello incidente giacciono da parti opposte rispetto al piano perpend. allo spigolo e passante per il punto di diffrazione; gli angoli che tali raggi formano con lo spigolo (angolo di incidenza e angolo di di diffrazione) sono dati dalla legge di Snell per la diffrazione :

 Se i raggi si propagano nello stesso mezzo, θ_d⁼θi;

 Ogni raggio incidente genera una infinità di raggi diffratti sulla superficie laterale di un cono (cono di Keller)

d d

i

i sin n sin

n " ! = " !

VEDREMO MEGLIO IN UNA PROSSIMA LEZIONE…