Numeri complessi
(richiami)
5
Definizioni
MQ <=> onde => numeri complessi i = √
Unità immaginaria −1 numero complesso
x y
x0 y0
|z0|
z0 = x0+ iy0
ϕ z = x + iy = |z|eiϕ
rappresentazione cartesiana
rappresentazione polare
modulo e fase
rappresentazione
cartesiana parte reale+ i parte immaginaria
rappresentazione
polare |z| = !
x2+ y2 ϕ = atan(y/x) complesso coniugato (cc) z∗ = x − iy = |z|e−iϕ
|z
0| y0
–
regola per trovare il cc: i ! –i
6
Operazioni elementari
modulo quadro
prodotto
somma
z1 z2
x1 y1
y2
x2
x1 +x2 y1 +y2
(richiamo: fasori)
7
Esponenziali
per ! reale
x y
e
i32π=
− i
eiπ =−1
e
iπ2= i
ei2π = 1
N.B.:
z + z∗ = 2x = 2|z| cos ϕ z − z∗ = 2iy = 2i|z| sin ϕ
da cui: argomenti notevoli:
8
Numeri complessi: relazioni utili
eiz = e−y(cos x + i sin x) eiϕ −1 = eiϕ2
! eiϕ2
−e−iϕ2
"
= eiϕ22i sinϕ 2 eiϕ + 1 = eiϕ2
!
eiϕ2 + e−iϕ2
"
= eiϕ22 cos ϕ 2
9
