1
ma
J
p= J
p/drift+ J
p/diff= q µ
pp ε − qD
pdp dx J
n= J
n/drift+ J
n/diff= q µ
nn ε + qD
ndn
dx
all’equilibrio:
= 0
J
pJ
n= 0 J = J
p+ J
n= 0
0 0
/ /
≠
≠
drift n
drift p
J J
0 0
/ /
≠
≠
diff n
diff p
J
J
2
decresce
decresce cresce cresce
invariata invariata cresce cresce
quindi J è
crescente con VA, diretta da sn verso dx
> 0 V A
ε J ndrift
pdrift
J
pdiff
J
ndiff
J J n
J p A
bi V
V −
3
V
A< 0 :
cresce
cresce
J pdif f
J ndif f
decresce decresce
J p
J n
decresce decresce
J pdrif t
invariata invariata
J ndri f t
ε
A bi
V
V −
4
Equazione del diodo ideale
assunzione di partenza:
1. Non ci sono sorgenti esterne di generazione di carica 2. Valgono le approssimazioni di svuotamento e di neutralità 3. Si cerca una soluzione stazionaria
4. G=0, R=0 nella regione di svuotamento (quindi le correnti sono costanti nella regione svuotata)
5. Basso livello di iniezione
6. per i minoritari nelle regioni di bulk 7. NA, ND costanti
In queste condizioni, si possono scrivere le equazioni di continuita’
per i minoritari, rispettivamente, nella zona n:
nella zona p:
= 0 dt
d
p n n
p
p x
D p
τ
− Δ
∂ Δ
= ∂
22
0
dx p qD d
J
p pΔ
n−
≅
dx qD dp
p q
J
p= µ
pε −
pp
n= p
n0+ Δ p
nn p p
n
n x
D n
τ
− Δ
∂ Δ
= ∂
22
0
p p
p
p n
n
n n
n
dx n qD d
J
Δ +
=
≅ Δ
0
≅ 0
ε
5
• Strategia per trovare l’equazione del diodo
in zona n:
- si risolvono le (1)
- si impongono le condizioni al contorno - si sostituiscono le Δpn e Δnp nelle (2)
- si sostituiscono Jp(x) e Jn(x) in J(x)= Jp(x) + Jn(x)
Poiché, per ipotesi, Jp=cost, Jn=cost nella zona di svuotamento (ip.
4),:
in zona p:
3b 2b 1b
p p
p
p n
n
n p p
n
n n
n
dx n qD d
J
n x
D n
Δ +
=
− Δ
≅
− Δ
∂ Δ
= ∂
0
2 2
0 τ
n n
n
n p
p
p n p n
p p
p
dx p qD d
J
p x
D p
Δ +
=
− Δ
≅
− Δ
∂ Δ
= ∂
0
2 2
0 τ
3a 2a 1a
) (
) (
)
( depl J p x n J n x p
J = + −
6
• Determinazione delle condizioni al contorno scopo: trovare
ricordiamo che:
essendo
dunque
Cioè le concentrazioni di elettroni e lacune ai confini della zona di svuotamento, sono legate alla Vbi. Se la tensione passa da Vbi a Vbi-VA, ci si aspetta che valga la stessa relazione, cioè:
Applicando l’ipotesi di basso livello di iniezione, si ha:
) (
), (
) (
), (
+∞
Δ
−∞
Δ
Δ
− Δ
n p
n n
p p
p n
x p
x n
0 0 2
0 0
2
ln ln
ln
p n i
n p i
D bi A
n n q
kT n
n p q
kT n
N N q
V = kT = =
2 0
0 p i
p
p n
n =
kT qV p
n
bi
e n
n
0=
0 kTqV n
p
bi
e p p
0=
0kT V V q n p
A bi
e p p
) ( −
kT
=
V V q p n
A bi
e n n
)
( −
=
kT V V q kT p
qV p
A bi bi
e n e
n
) (
0
−
=
0 n
n
n
n ≅
) 1
0 (
0 ⇒ Δ = −
= kT
qV p
kT p qV p
p
A A
e n
n e
n
n
7
analogamente
Invece le condizioni al contorno agli estremi delle regioni di bulk, si trovano assumendo che entrambe le regioni siano infinitamente estese al di là di -xp e xn.
Ciò implica che i minoritari (che hanno lunghezza di diffusione Lp e Ln), si ricombinino e perciò:
Torniamo alle equazioni di partenza zona n,
soluzione
Condizioni al contorno:
) 1
0
(
0
⇒ Δ = −
=
kTqV n
kT n qV n
n
A A
e p
p e
p p
0 )
( ,
0 )
( −∞ = Δ +∞ =
Δ n p p n
x
nx ≥
2 2
2
,
0
p p pp p
n
n
D L
D p dx
p
d Δ = =
Δ −
τ τ
p
p L
x L
x
n
x A e A e
p
−
+
=
Δ ( )
1 2p A n
A p
n
L x kT
qV no
kT qV n
L x n
n n
e e
p A
e p
e A x
p
e A e
A p
) 1 (
) 1 (
) (
) 2
) (
) 1
2
0 2
2 1
−
=
−
=
= Δ
+
= +∞
Δ
−
∞
−
∞ +
8
soluzione finale
zona p,
soluzione
condizioni al contorno:
p n
A x x L
kT qV n
n
x p e e
p ( ) =
0( − 1 )
−( − )/Δ
Δ =
−
= dx
p qD d
x
J
p( )
p n=
−
−
−
=
− − n pA x x L
kT qV n
p
p
p e e
qD L 1 )
0( 1 )
( )/(
p n
A
x x L
kT qV p n
p p e e
L
q D 0 ( − 1 ) − ( − ) /
=
x
px − ≤
2 2
2
,
0
n n nn n
p
p
D L
D n dx
n
d Δ = =
Δ −
τ τ
n
n L
x L
x
p
x A e A e
n
−
+
=
Δ ( )
1 2n A p
A n
p
n n
n
L x kT
qV p
kT qV p
L x p
p
L L
L p
e e
n A
e n
e A x
n
e A e
A e
A n
) 1 (
) 1 (
) (
) 2
0 )
( )
1
0 1
0 1
2 2
1
−
=
−
=
=
− Δ
=
= +
=
−∞
Δ
−
∞ +
∞ +
∞
−
9
soluzione finale
da cui:
zona di svuotamento:
n p
A x x L
kT qV p
p
x n e e
n ( ) =
0( − 1 )
( + )/Δ
n p
A x x L
kT qV
n p n p
n
n
e e
L n qD dx
n qD d
x
J ( ) Δ =
0( − 1 )
( + )/=
n
p
x x
x ≤ ≤
−
) (
) (
) (
cost
) (
cost
n p
p n
p n
p n
n
n p
p
x J
x J
J J
J
x J
J
x J
J
+
−
= +
=
−
=
=
=
=
) 1 (
) (
) 1 (
) (
0 0
−
=
−
−
=
kT qV p
n n p
n
kT qV n
p p n
p
A A
e L n
x qD J
e L p
x qD J
) 1
0
(
0
⎟ ⎟ −
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛ +
=
kTqV p
n n n
p
p
n e
AL p qD
L J qD
) 1
( −
= kT
qV s
A
e J
J
10
Per passare da J ad I, basterà moltiplicare per l’area della giunzione, ottenendo:
con:
Commento ai risultati:
tensione diretta
) 1
0
( −
=
kTqVA
e I I
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡ +
=
=
0 00 n
p p p
n n
s
p
L n D
L qA D
A J I
kT qV kT
qVA A
e e −1 ≅
kT I qV
I = +
A→ ln ln
0In scala
log
11
tensione inversa
corrente inversa di saturazione
ni cresce con T, quindi Io dipende fortemente da T (e dal band gap del materiale).
Inoltre nelle zone meno drogate ci sono più portatori di minoranza e quindi un maggiore contributo alla corrente inversa.
Esaminando le espressioni:
Si osserva che se NA>ND e qundi pn0>np0, allora Jp>Jn.
Cioè se si ha una giunzione brusca asimmetrica tipo p+n, la corrente in polarizzazione diretta è prevalentemente composta da lacune che diffondono da p verso n.
1 − ≅ 1
kT
−
qVA
e
I 0
I ≅ −
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡ +
⎥ =
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡ +
=
⎥ =
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡ +
=
D p
p A
n n i
D i p
p A
i n
n
n p
p p
n n
N L
D N
L qAn D
N n L
D N
n L
qA D
L p n D
L qA D I
2 2
2
0 0
0
) 1 (
) 1 (
0 0
−
=
−
=
kT qV p
n n n
kT qV n
p p p
A A
e L n
J qD
e L p
J qD
12
Concentrazione dei portatori in polarizzazione diretta e inversa:
Diretta:
I portatori di minoranza si ricombinano secondo una legge governata da Ln, Lp.
Inversa:
le concentrazioni dei portatori di minoranza sono al di sotto loro valore di equilibrio.
Ln, Lp hanno un diverso significato fisico: solo i portatori di
minoranza generati termicamente entro Ln, Lp contribuiscono alla corrente.
p n A
n p A
L x kT x
qV n
n n
L x
kT x qV p
p p
e e
p p
x p
e e
n n
x n
/ ) (
0 0
/ ) (
0 0
) 1 (
) (
) 1 (
) (
−
− +
− +
=
− +
=
13
Diodo = giunzione + contatti metallici
Qual è la funzione dei contatti?
I contatti sono il luogo in cui i maggioritari nel semiconduttore vengono scambiati con elettroni che scorrono nel circuito esterno.
Contatto metallo-zona p: per creare una lacuna, un elettrone deve saltare nel circuito esterno.
La lacuna creata si muove verso la giunzione, diffonde attraverso la zona di svuotamento e viene iniettata nella regione n. Adesso è un minoritario ed è destinato a ricombinarsi con un maggioritario che proviene dal circuito esterno attraverso il contatto.
In inversa i minoritari generati termicamente nelle immediate
vicinanze della zona di svuotamento vengono trascinati dal campo elettrico nella zona opposta, dove, da maggioritari, migrano verso il contatto. Qui l’eccesso di portatori finisce nel circuito esterno.
14
In polarizzazione diretta:
la concentrazione di lacune in x=xn è superiore al valore di equilibrio.
Per mantenere la neutralità di carica, degli elettroni vengono richiamati dal circuito esterno.
Allontanandosi da xn verso il contatto, le lacune in eccesso si
ricombinano e la loro concentrazione decresce esponenzialmente con x. La stessa cosa vale per la corrente.
Gli elettroni necessari a mantenere la neutralità hanno all’incirca la stessa distribuzione, rispetto a x, delle lacune.
La corrente totale (I= Ip+In) è costante attraverso il diodo:
In polarizzazione inversa:
per V>0.1 V diventa trascurabile. Le lacune in zona n allora tendono a diffondere verso xn. Ma solo quelle generate ad una distanza media pari ad una lunghezza di diffusione riescono ad arrivare in xn dove poi trovano un campo favorevole alla loro migrazione in p.
kT qV no n
n
A
e p x
p ( ) =
15
16
