CORSO DI PROGETTAZIONE STRUTTURALE CON CALCOLO
AUTOMATICO
ANALISI MATRICIALE E MODALE DI UN TELAIO IN CALCESTRUZZO
Ing. Simone Caffè
www.simonecaffe.itDEFINIZIONE DELLA GEOMETRIA DEL TELAIO
COORDINATE DEI NODI
Nodo 1: x1 := 0.0 m⋅ z1 := 0.0 m⋅
Nodo 2: x2 := 0.0 m⋅ z2 := 7.0 m⋅
Nodo 3: x3 := 15.0 m⋅ z3 := 10.0 m⋅
Nodo 4: x4 := 15.0 m⋅ z4 := 0.0 m⋅
DEFINIZIONE DELLA GEOMETRIA DEL TELAIO
NOTA BENE:
La definizione del nodo i ed il nodo j dipendono dall’orientamento dell’elemento!
Se l’elemento 3 fosse stato orientato dal nodo 3 al nodo 4 (e non viceversa), l’angolo α3 sarebbe stato pari a 270°.
DIMENSIONE DEGLI ELEMENTI E ORIENTAMENTO
Elemento 1:
L1:=
(
x2−x1)
2+(
z2−z1)
2 = 7 m α1 := 90 deg⋅Elemento 2:
L2:=
(
x3−x2)
2+(
z3−z2)
2 = 15.3m α2 := atan10 m⋅15 m−⋅ 7 m⋅ = 11.31degElemento 3:
L3:=
(
x3−x4)
2+(
z3−z4)
2 = 10m α3 := 90 deg⋅DEFINIZIONE DEI MATERIALI E DELLE SEZIONI TRASVERSALI
DEFINIZIONE DEL MATERIALE:
Assumiamo una classe di calcestruzzo C25/30 ed un modulo di elasticità relativo a sezioni non fessurate pari a 30GPa
E 30 GPa⋅ 30000000kN m2
= :=
DEFINIZIONE SEZIONI TRASVERSALI:
Assumiamo che l’elemento 1 sia un pilastro 40x40 cm, l’elemento 2 sia una trave 70x40 cm ed infine l’elemento 3 un pilastro 60x40 cm.
h1:= 40 cm⋅ b1:= 40 cm⋅ A1:= h1⋅b1 = 0.16m2 I1
b1⋅h13
12 = 0.002133m4 :=
h2:= 70 cm⋅ b2:= 40 cm⋅ A2:= h2⋅b2 = 0.28m2 I2
b2⋅h23
12 = 0.011433m4 :=
h3:= 60 cm⋅ b3:= 40 cm⋅ A3:= h3⋅b3 = 0.24m2 I3
b3⋅h33
12 = 0.0072m4 :=
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA LOCALI
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA LOCALI:
Ogni elemento possiede una matrice di rigidezza scritta nel sistema LOCALE dei propri assi. Nell’esempio svolto utilizzeremo la formulazione di BERNOULLI che trascura gli effetti della rigidezza a taglio dell’elemento.
MATRICE LOCALE
DELL’ELEMENTO TRAVE
MATRICE LOCALE
DELL’ELEMENTO ASTA
i j
i j
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA LOCALI
K1_LOC
E A⋅ 1 L1
m N
⋅ 0
0
E A⋅ 1 L1
− m
N
⋅ 0
0
0
12 E⋅ ⋅I1 L13
m N
⋅
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
⋅
0
12 E⋅ ⋅I1
L13
− m
N
⋅
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
⋅
0
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
⋅
4 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
⋅
0
6 E⋅ ⋅I1
L12
− 1
N
⋅
2 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
⋅
E A⋅ 1 L1
− m
N
⋅ 0
0
E A⋅ 1 L1
m N
⋅ 0
0
0
12 E⋅ ⋅I1 L13
− m
N
⋅
6 E⋅ ⋅I1 L12
− 1
N
⋅
0
12 E⋅ ⋅I1
L13 m N
⋅
6 E⋅ ⋅I1 L12
− 1
N
⋅
0
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
⋅
2 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
⋅
0
6 E⋅ ⋅I1
L12
− 1
N
⋅
4 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
⋅
685714285.71 0 0 685714285.71
− 0 0
0 2239067.06 7836734.69
0 2239067.06
− 7836734.69
0 7836734.69 36571428.57
0 7836734.69
−
18285714.29
685714285.71
− 0 0 685714285.71
0 0
0 2239067.06
−
7836734.69
− 0 2239067.06
7836734.69
−
0 7836734.69 18285714.29
0 7836734.69
−
36571428.57
= :=
K2_LOC
E A⋅ 2 L2
m N
⋅ 0
0
E A⋅ 2 L2
− m
N
⋅ 0
0
0
12 E⋅ ⋅I2 L23
m N
⋅
6 E⋅ ⋅I2 L22
1 N
⋅
0
12 E⋅ ⋅I2 L23
− m
N
⋅
6 E⋅ ⋅I2 L22
1 N
⋅
0
6 E⋅ ⋅I2 L22
1 N
⋅
4 E⋅ ⋅I2 L2
1 N m⋅
⋅
0
6 E⋅ ⋅I2 L22
− 1
N
⋅
2 E⋅ ⋅I2 L2
1 N m⋅
⋅
E A⋅ 2 L2
− m
N
⋅ 0
0
E A⋅ 2 L2
m N
⋅ 0
0
0
12 E⋅ ⋅I2 L23
− m
N
⋅
6 E⋅ ⋅I2 L22
− 1
N
⋅
0
12 E⋅ ⋅I2 L23
m N
⋅
6 E⋅ ⋅I2 L22
− 1
N
⋅
0
6 E⋅ ⋅I2 L22
1 N
⋅
2 E⋅ ⋅I2 L2
1 N m⋅
⋅
0
6 E⋅ ⋅I2 L22
− 1
N
⋅
4 E⋅ ⋅I2 L2
1 N m⋅
⋅
549125178.39 0 0 549125178.39
− 0 0
0 1149877.51 8794871.79
0 1149877.51
− 8794871.79
0 8794871.79 89690445.8
0 8794871.79
− 44845222.9
549125178.39
− 0 0 549125178.39
0 0
0 1149877.51
−
8794871.79
− 0 1149877.51
8794871.79
−
0 8794871.79 44845222.9
0 8794871.79
− 89690445.8
= :=
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA LOCALI
K3_LOC
E A⋅ 3 L3
m N
⋅ 0
0
E A⋅ 3 L3
− m
N
⋅ 0
0
0
12 E⋅ ⋅I3 L33
m N
⋅
6 E⋅ ⋅I3 L32
1 N
⋅
0
12 E⋅ ⋅I3 L33
− m
N
⋅
6 E⋅ ⋅I3 L32
1 N
⋅
0
6 E⋅ ⋅I3 L32
1
⋅N
4 E⋅ ⋅I3 L3
1 N m⋅
⋅
0
6 E⋅ ⋅I3 L32
− 1
N
⋅
2 E⋅ ⋅I3 L3
1 N m⋅
⋅
E A⋅ 3 L3
− m
N
⋅ 0
0
E A⋅ 3 L3
m N
⋅ 0
0
0
12 E⋅ ⋅I3 L33
− m
N
⋅
6 E⋅ ⋅I3 L32
− 1
N
⋅
0
12 E⋅ ⋅I3 L33
m N
⋅
6 E⋅ ⋅I3 L32
− 1
N
⋅
0
6 E⋅ ⋅I3 L32
1
⋅N
2 E⋅ ⋅I3 L3
1 N m⋅
⋅
0
6 E⋅ ⋅I3 L32
− 1
N
⋅
4 E⋅ ⋅I3 L3
1 N m⋅
⋅
720000000 0 0 720000000
− 0 0
0 2592000 12960000
0 2592000
− 12960000
0 12960000 86400000
0 12960000
− 43200000
720000000
− 0 0 720000000
0 0
0 2592000
− 12960000
− 0 2592000 12960000
−
0 12960000 43200000
0 12960000
− 86400000
= :=
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA GLOBALI
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI ROTAZIONE:
Al fine di determinare le matrici di rigidezza del singolo elemento, scritte nel sistema globale degli assi, è necessario introdurre il concetto di MATRICI DI ROTAZIONE.
i
j
α x
iy
ix
jy
jX
jY
jX
iY
iNOTA BENE:
Si proietta il sistema globale (ROSSO) sul sistema locale (BLU) determinando così la matrice di rotazione G!
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA GLOBALI
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA GLOBALI:
Attraverso una trasformazione di coordinate si scrivono le matrici locali di ciascun elemento nel sistema globale degli assi:
∙
∙
K1_GLOB:= G1T⋅K1_LOC⋅G1 K2_GLOB:= G2T⋅K2_LOC⋅G2 K3_GLOB:= G3T⋅K3_LOC⋅G3 G1
cos( )α1
sin( )α1
− 0 0 0 0
sin( )α1
cos( )α1
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos( )α1
sin( )α1
− 0
0 0 0 sin( )α1
cos( )α1
0 0 0 0 0 0 1
0
−1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
−1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
= :=
G2
cos( )α2
sin( )α2
− 0 0 0 0
sin( )α2
cos( )α2
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos( )α2
sin( )α2
− 0
0 0 0 sin( )α2
cos( )α2
0 0 0 0 0 0 1
0.98
−0.2 0 0 0 0
0.2 0.98
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.98
−0.2 0
0 0 0 0.2 0.98
0 0 0 0 0 0 1
= :=
G3
cos( )α3
sin( )α3
− 0 0 0 0
sin( )α3
cos( )α3
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos( )α3
sin( )α3
− 0
0 0 0 sin( )α3
cos( )α3
0 0 0 0 0 0 1
0
−1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
−1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
= :=
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA GLOBALI
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA GLOBALI:
Attraverso una trasformazione di coordinate si scrivono le matrici locali di ciascun elemento nel sistema globale degli assi:
K1_GLOB
2239067.06 0 7836734.69
−
2239067.06
−
−0 7836734.69
−
0 685714285.71
0
−0 685714285.71
− 0
7836734.69
− 0 36571428.57
7836734.69
−0 18285714.29
2239067.06
−
−0 7836734.69 2239067.06
0 7836734.69
−0 685714285.71
−
−0 0 685714285.71
−0
7836734.69
− 0 18285714.29
7836734.69
−0 36571428.57
=
K2_GLOB
528049205.28 105379865.55 1724816.27
−
528049205.28
−
105379865.55
−
1724816.27
−
105379865.55 22225850.62
8624081.33 105379865.55
−
22225850.62
−
8624081.33
1724816.27
−
8624081.33 89690445.8 1724816.27 8624081.33
−
44845222.9
528049205.28
−
105379865.55
−
1724816.27 528049205.28 105379865.55 1724816.27
105379865.55
−
22225850.62
−
8624081.33
−
105379865.55 22225850.62 8624081.33
−
1724816.27
−
8624081.33 44845222.9 1724816.27 8624081.33
−
89690445.8
=
K3_GLOB
2592000 0 12960000
− 2592000
−
−0 12960000
−
0 720000000
0
−0 720000000
− 0
12960000
− 0 86400000 12960000
−0 43200000
2592000
−
−0 12960000
2592000 0 12960000
−0 720000000
−
−0 0 720000000
−0
12960000
− 0 43200000 12960000
−0 86400000
=
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA TOTALE
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI CONNETTIVITA’:
La matrice di rigidezza totale della struttura è pari alla sommatoria delle matrici di rigidezza dei singoli elementi scritte nel sistema globale ed opportunamente
«connesse» alla struttura.
Le matrici che consentono di assemblare tra loro le singole matrici di rigidezza, scritte nel sistema globale, si dicono matrici di CONNETTIVITA’:
NOTA BENE:
Le matrici di connettività hanno tante colonne quanti sono i gradi di libertà TOTALI della struttura (nel nostro caso 4 nodi x 3DOF = 12 colonne) e tante righe quanti sono i DOF del singolo elemento (ovvero 6).
Le matrici sono composte unicamente da 0 e 1: l’1 si pone unicamente nei DOF cui è connesso un elemento e secondo il verso dell’asse locale .
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA TOTALE
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI CONNETTIVITA’:
C1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
:=
C2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
:=
C3 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
:=
Elemento 1: connette il nodo 1 al nodo 2
Elemento 2: connette il nodo 2 al nodo 3
Elemento 3: connette il nodo 4 al nodo 3
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA TOTALE
DEFINIZIONE DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA TOTALE:
∙
∙
Operando la trasformazione soprastante le matrici di ogni singolo elemento, scritte nel sistema globale, sono pronte per essere ASSEMBLATE tra loro in quella che diventerà la matrice TOTALE della struttura.
K1:= C1T⋅K1_GLOB⋅C1 K2:= C2T⋅K2_GLOB⋅C2 K3:= C3T⋅K3_GLOB⋅C3
∑
K TOT := K 1 + K 2 + K 3
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA TOTALE
DEFINIZIONE DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA TOTALE:
DEFINIZIONE DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA RIDOTTA:
La riduzione della matrice TOTALE di rigidezza serve ad eliminare le righe e le colonne riferite ai DOF vincolati. La riduzione si attua con l’operatore OC di Contrazione che possiede un numero di righe pari al numero di DOF liberi (nodo 2 = 3 DOF + nodo 3 = 3 DOF + nodo 4 = 1 DOF (rotazione)) ed un numero di colonne pari a tutti i DOF della struttura (4 nodi x 3 DOF = 12).
2239067 0 -7836735 -2239067 0 -7836735 0 0 0 0 0 0
0 685714286 0 0 -685714286 0 0 0 0 0 0 0
-7836735 0 36571429 7836735 0 18285714 0 0 0 0 0 0
-2239067 0 7836735 530288272 105379866 6111918 -528049205 -105379866 -1724816 0 0 0
0 -685714286 0 105379866 707940136 8624081 -105379866 -22225851 8624081 0 0 0
-7836735 0 18285714 6111918 8624081 126261874 1724816 -8624081 44845223 0 0 0
0 0 0 -528049205 -105379866 1724816 530641205 105379866 14684816 -2592000 0 12960000
0 0 0 -105379866 -22225851 -8624081 105379866 742225851 -8624081 0 -720000000 0
0 0 0 -1724816 8624081 44845223 14684816 -8624081 176090446 -12960000 0 43200000
0 0 0 0 0 0 -2592000 0 -12960000 2592000 0 -12960000
0 0 0 0 0 0 0 -720000000 0 0 720000000 0
0 0 0 0 0 0 12960000 0 43200000 -12960000 0 86400000
DEFINIZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA RIDOTTA
DEFINIZIONE DELL’OPERATORE DI CONTRAZIONE:
OC 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
:=
NODO 1 – incastrato quindi tutti i DOF sono bloccati e gli spostamenti noti e nulli!
NODO 2 – sono incogniti tutti gli spostamenti!
NODO 3 – sono incogniti tutti gli spostamenti!
NODO 4 – incernierato, pertanto è incognita unicamente la rotazione!
