Analisi qualitativa e quantitativa di reti di elementi distribuiti e concentrati

Modellistica delle linee di trasmissione

PARTE II

Analisi qualitativa e quantitativa di reti di elementi distribuiti e concentrati

prof. Antonio Maffucci

Sommario

Parte I: Modelli nel dominio della frequenza e nel dominio del tempo. Circuiti equivalenti nel dominio del tempo.

Parte II: Analisi qualitativa e quantitativa di reti di

elementi distribuiti e concentrati.

Reti di interconnessioni e circuiti concentrati

Equazioni

Equazioni del modello del modello a a linea

linea

caratteristiche

caratteristiche dei dei bipli bipli terminali

terminali

+

1. 1. Il Il modello modello analitico analitico è è sempre sempre ben ben posto posto ? ?

2. 2. Le Le soluzioni soluzioni numeriche numeriche convergono convergono sempre sempre ? ?

Formulazione del problema

0 x

v(x,t) i(x,t)

d +

− +

− +

v₁−( t ) v₂( t )

C₁ C₂

1

1’

2

2’

( t )

i₁ i₂( t )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

∂ =

− ∂

∂ =

− ∂

) s , x ( V ) s , x ( x Y

) s , x ( I

) s , x ( I ) s , x ( x Z

) s , x (

( ) ( ) V

[ _{1 1} ] 0

1 v . , i . , t =

f f ₂ [ v ₂ ( ) ( ) . , i ₂ . , t ] = 0

Modello

w₁ v1

+

−

R_c 1

1’ 2’

2

w2

R_c

v2

+

−

i1 i

2

+_ +_

z _cr z _cr

C

₁

C

₂

( ) ( )

( ) ( )

⎩ ⎨

⎧

∗ +

=

−

∗ +

=

−

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

2 2

2 2

1 1

1 1

t v t

z t

w t

i R t

v

t v t

z t

w t

i R t

v

cr c

cr c

( ) ( )

( ) ( )

⎩ ⎨

⎧

−

∗

=

−

∗

=

] 2

[ ) ( )

(

] 2

[ ) ( )

(

1 1

2

2 2

1

t w t

v t

p t

w

t w t

v t

p t

w { }

[ ]

{ ^{exp ( ) ( )} }

) (

) ( / ) ( )

(

/

1 1

s Y s Z d L

t p

R s

Y s Z L

t z

C L R

c cr

c

−

=

−

=

=

−

−

Proprietà della z _cr (t)

regolare funzione

) ( t = z

_cr

( ) ^{t − R c i} ( ) ^{t = w t +} ∫ ^{t z cr t − τ i τ d τ}

v

0

) ( ) (

) ( Il kernel

Il kernel dell dell ’ ’ equazione equazione integrale integrale

è è sempre sempre integrabile integrabile

Proprietà della p(t)

LC d

T t

for t

p ( ) = 0 < =

Le Le leggi leggi di di controllo controllo delle delle w(t) w(t) sono sono con con ritardo ritardo

in ogni in ogni istante istante t t le due terminazioni le due terminazioni sono sono disaccoppiate

disaccoppiate

( ) ^{τ −} ( ) ^{τ τ}

τ

−

=

⁻

∫ ^{p t v w d}

t w

T t

] 2

[ ) (

)

(

_{2 2}

0 1

Problema all’istante t

( ) ^{t − R c i} ( ) ^{t = e t +} ∫ ^{t z cr t − i τ d τ}

v

0

) ( ) 1 (

) (

Il modello Il modello è è ben ben posto? posto ?

E’ E ’ possibile possibile formulare formulare condizioni condizioni per garantire per garantire che che sia sia tale? tale?

v(t) +

−

R_c 1

1’

i(t)

+_ z_cr

C

^e(t)

(t)

( ) ( )

[ ^{v . , i . , t} ] ^{= 0}

f

Esempio: linea terminata su un bipolo non lineare e dinamico

Bipolo Bipolo

+ v ⁻

N ^e

i

v +

−

R

_c

z

_cr

(t)

+−

L

z

+ v

_L

⁻ i

_L

C + v

_C

⁻ i

_C

Estremit

Estremit à à della della linea linea

Modello matematico

( ) 1 ( ) ( ) 0

0

C t

C

C i d v

t C

v = ∫ τ τ +

( ) ¹ ( ) ( ) ⁰

0

L t

L

L v d i

t L

i = ∫ τ τ +

( ) ⁼ ∫ ^{t cr} ( ^{− τ} ) ( ) ^{τ τ}

z t z t i d

v

0

( ) t − R i ( ) t − v ( ) ( ) t − e t = 0

v _{c z}

( v i ) 0

N _N , _N , v _C , i _C , v _L , i _L , v , i =

Elementi

Elementi dinamici dinamici

Sottorete

Sottorete resistiva resistiva

Il problema è ben posto se tutte le grandezze sono esprimibili in funzione delle variabili di stato

c

c V

v = i _L = I _L

z

z V

v = Circuito

Circuito resistivo resistivo associato

associato v z

i v _c , _L ,

N _e

i

v +

−

R

_c

+−

i

_C

V

_C

+ ⁻

V I

L

V

_z

L

+

+

generatori di

sostituzione

Un risultato generale

In questo modo tutti i risultati della Teoria dei Circuiti concentrati si estendono ai circuiti distribuiti

Il problema è ben posto se il circuito resistivo associato

ammette una ed una sola soluzione

Esempio: linea terminata su un resistore non lineare

( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

τ τ τ

−

=

=

−

−

−

= +

∫ ^{t cr}

z

z c

d i

t z

t v

t e t

v t

i R t

v

t v g t

i

0 )

(

0

e(t) i

v +

−

R

_c

z

_cr

( t)

+−

+ v

_z

−

Circuito resistivo associato

( )

( ) ⁰

0

= +

−

−

= +

e v

i R v

v g i

z c

e(t) i

v +

−

R

_c

z

_cr

( t)

+−

+ v

_z

⁻

( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

τ τ τ

−

=

=

−

−

−

= +

∫ ^{t cr}

z

z c

d i

t z

t v

t e t

v t

i R t

v

t v g t

i

0

0 )

(

0

e i

v +

−

R

_c

V

_z

g(v)

+

+ _

1) la funzione g(v) è continua

2) il resistore è debolmente attivo 3) vale la relazione

Condizioni sufficienti per la corretta posizione

R c

dv

dg > − 1

Queste condizioni sono sufficienti a garantire che il

modello ammette una ed una sola soluzione

Resistore debolmente attivo

R c

dv

dg > − 1

La condizione impone un limite alla pendenza nel tratto negativo della stessa

v i

I

-I

resistore controllato in

tensione debolmente

attivo

Un problema mal posto

i

₀

(t)

+

- j(t)

i

_d

(t)=0

v

_d

(t) g(.)

Ipotesi: linea senza perdite, condizioni iniziali nulle, non è verificata la condizione sulla pendenza

R

c

d

dg v < − 1 /

( ) ^{) 0}

( − − =

− R g v j w

v

_c

Soluzione alla terminazione di sinistra:

Un problema mal posto

R

c

t v t

E ( ) ( )) /

( − E ( t ) = − R

_c

j ( t ) + w ( t )

la soluzione è data dall'intersezione della g(.) con la retta , dove

v i

A

B

C E(t)

E +

E -

quando E

⁻

< E t ( ) < E

⁺

non è più garantita l'unicità della soluzione

( ) ^{) 0}

( − − =

− R g v j w

v

_c

bipolo bipolo

+ v ⁻

N ^e

i

v +

−

R

_c

z

_cr

(t)

+−

L

z

+ v

_L

⁻ i

_L

C + v

_C

⁻ i

_C

Estremit

Estremità à della della linea linea

Modello numerico di una linea terminata su

un bipolo non lineare e dinamico

Modello numerico

integrazione

integrazione con la regola con la regola dei dei trapezi trapezi

( ) ( )

( ) ^m ( ) ^m

m cr

z tz I S

V − Δ =

2

0

( ) ¹ ( ) ( ) ( ) ( ) ⁰

1

r 2

t z I t z I

S ^m = Δ ∑ ^m ₌ ⁻ _cr ^{m − r r} + Δ _cr ^m

( ) ⁼ ∫ ^{t cr} ( ^{− τ} ) ( ) ^{τ τ}

z t z t i d

v

0

t

m

t _m = Δ

Modello numerico

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ^{V I} ) ⁰

N =

=

−

−

m m

m m

m m

m m

m m

z m

c m

I V

I V

I V

E V

I R V

, ,

, ,

, ,

, _{C C L L}

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) m ( ) m ( ) m

m cr m

z m

m I m

m

Q C I

V t

S tz I

V

Q L V

I t

V C

C

0 L L

2 2 2

Δ =

− Δ =

− Δ =

−

E’ possibile garantire la convergenza della soluzione

numerica?

Il modello numerico è ben posto se il circuito discreto associato ammette una

ed una sola soluzione

Il circuito discreto associato

+

+

N

I +

−

R_c

+ −

+− E

( )

^m

S

( )

^m

Δt 2C

V

( )

^m

V_C

( )

^m

I_C

( )

^{m Qv}

( )

^m

I_L

( )

^m

Q_L

( )

^m

+ V

( )

^m − 2L / Δ t

0.5Δtz_cr⁽⁰⁾

L

( )

m

( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

τ τ τ

−

=

=

−

−

−

= +

∫ ^{t cr}

z

z c

d i

t z t

v

t e t

v t

i R t

v

t v g t

i

0

0 )

(

0

e(t) i

v +

−

R

_c

z

_cr

( t)

+−

+ v

_z

−

Esempio: linea terminata su un

resistore non lineare

Circuito discreto associato ( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

τ τ τ

−

=

=

−

−

−

= +

∫ ^{t cr}

z

z c

d i

t z

t v

t e t

v t

i R t

v

t v g t

i

0

0 )

(

0

e(t)

i

v +

−

R_c

z

_cr

( t)

+−

+ v

_z −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

= Δ

−

=

−

−

= +

m m

cr m

z

m m

z m

c m

m m

S I

z V

E V

I R V

V g I

t 5

. 0

, 0 )

(

0

+

−

+−

I

( )

^m

V

( )

^m _E

( )

^m

S

( )

^m R_c

0.5Δtz_cr^{( 0)} +

Corretta posizione del problema numerico

R eff

dv

dg > − 1

( cr ( ) c )

c

eff R tz R

R = 1 + 0 . 5 Δ ⁰ / 1) la funzione g(v) è continua

2) il resistore è debolmente attivo 3) vale la relazione

Queste condizioni sono sufficienti a garantire che il

modello numerico ammette una ed una sola soluzione

Interpretazione della condizione sulla pendenza

R eff

dv

dg > − 1 ^R _eff ^{= R} _c ( ^{1 + 0 . 5 Δ tz} _cr ( ) ^{0 / R} _c )

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

= ⎧

dv R dg x _m min _c

Δ t x

x

< 2 1 + m

ν

Per un particolare problema resta fissata la quantità

Il passo di discretizzazione dovrà risultare

Se la condizione sulla pendenza è rispettata, si ha

quindi è sempre possibile scegliere un Δt opportunamente piccolo in modo che il problema numerico risulti ben posto.

In caso contrario qualunque sia Δt il problema numerico è sempre mal posto (non c'è l'unicità)

Interpretazione della condizione sulla pendenza

Δ t x

x

m m

< 2 1 + ν

x

_m

> −1

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

= ⎧

dv

R dg

x _m min _c

Riformulazione di un problema mal posto

e(t) i

v +

−

R

_c

z

_cr

( t)

+−

+ v

_z

−

( )

⎩ ⎨

⎧

= +

−

−

= +

0 )

( 0

e V

i R v

v g i

z c

( ) u F ( V e ) F

i = = _z +

v i

P₁

P₂

P₃

− e / R_c

e

R c

dv

dg < − 1

e(t)

i v +

−

R

_c

z

_cr

(t)

+−

+ v

_z

(t) −

C

p

i v +

−

R

_c

+−

V

_z

E

p

+ − +

E

−

Modello di ordine superiore:

effetto di una capacità parassita

+

+ +

− ⁻

I ( )

^m

V ( )

^m

_E ( )

^m

S ( )

^m

R

_c

Q ( )

^m

I

_C

( )

^m

Δ t 2C

_p

0.5Δtz

_cr⁽⁰⁾ +

e(t)

i v +

−

R

_c

z

_cr

(t)

+−

+ v

_z

(t) −

C

p

Modello di ordine superiore:

effetto di una capacità parassita

Interpretazione del modello di ordine superiore

i

₀

(t)

+

- j(t)

i

_d

(t)=0

v

_d

(t)

g(.) dg d v < − 1 / R

_c

v i

A

B

C E(t)

E +

E -

quando

E

⁻

< E t ( ) < E

⁺

non è più garantita

l'unicità della soluzione

Interpretazione del modello di ordine superiore

v i

A

B

C E(t)

E

+

E

-

v

E +

E - P -

P +

P ₀ E

la capacità impone la continuità della soluzione,

quindi si discriminano le possibili soluzioni in E

⁻

< E t ( ) < E

⁺

Simulazione di linee di

trasmissione singole ideali

w₁ v1

+

−

R_c 1

1’ 2’

2

w2

R_c

v2

+

−

i1 i

2

+_ +_

C₁ C₂

0 x

v(x,t) i(x,t)

d +

− +

− +

v₁−( t ) v₂( t )

C₁ C₂

1

1’

2

2’

( t )

i₁ i₂( t )

( ) ( )

( ) ( )

⎩ ⎨

⎧

=

−

=

−

) (

) (

2 2

2

1 1

1

t w t

i R t

v

t w t

i R t

v

c c

( ) ( )

⎨ ⎧ w

₁

( t ) = 2 v

₂

t − T − w

₂

t − T

( ) ( ) ^{. , . , ] 0}

[

_{2 2}

2

v i t =

( ) ( ) ^{. , . , ] 0} f [

_{1 1}

1

v i t =

f

) ( )

( t R t z

_c

=

_c

δ

) (

)

( t t T

p = δ −

Formulazione del problema

x=0 x +

v(x,t)− i(x,t)

x=d +

−

+

v v−

i

R i₁

j(t) R₁

1

2

2 2

rete

+

− R₁

j(t) R₂

R_c

+−

R_c

+

) − 1(t w

+

− )

1(t

i i₂(t)

)

1(t

v w₂(t) v₂(t)

Circuito equivalente

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

−

−

−

=

−

−

−

=

=

−

=

−

) (

2 ) (

) (

2 ) (

) (

) (

1 1

2

2 2

1

2 2

2

1 1

1

T t w T

t v t

w

T t w T

t v t

w

t w t

i R t

v

t w t

i R t

v

c c

( ) ( )

( ) ( )

⎩ ⎨

⎧

−

=

−

=

t i R t

v

R t v t

j t

i

2 2 2

1 1

1

( ) /

i₂n

i₁n

+

−

R₁ R₂

R_c

+−

R_c

+

−

+

− jn v₁ⁿ w₁ⁿ w₂ⁿ v₂ⁿ

( )

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪

⎪ ⎪

⎨

⎧

−

=

−

=

= +

+ +

=

−

−

−

−

m n m

n n

m n m

n n

n c n

n c n

c n

w v

w

w v

w

R w R

v R

j R R w

R v R

2 2

1

2 2

2 1

1 1

1 1

2 2

t m T

t n t

Δ

= Δ

=

Esempio: analisi di interconnessione su package

+

v

s

R

s

60 mm 1 mm

4 mm

5 mm

problema- tipo: trasmissione del segnale di clock

t

) (t v_s

TS

tr

VS

C

r

Confronto tra modelli: distribuito e concentrato

s +

v

R

s

C

r

Ll

Cl

( ) ( ) ( ) ( )

dt t z C dv

dz t z di

dt t z L di dz

t z dv

, ,

, ,

=

−

=

−

mm 60

ns 2 . 0

02 . 97 Z

pF/m 37

. 34

H/m 324

. 0

0

=

=

Ω

=

=

μ

=

l T C

L

Tensione sul ricevitore

V

_th

s 9 s,

1 nF,

1 C

, ,

V

1 =

₀

= = μ = μ

=

_{s r r s}

s

R Z t T

V

errore di

sincronia

Tensione sul ricevitore

V

_th

s 9 . 0 s,

1 . 0 nF,

0.1 C

, V,

1 =

₀

= = μ = μ

=

_{s r r s}

S

R Z t T

V

errore di sincronia

riduzione del

margine dalla

soglia

Tensione sul ricevitore

V

_th

ns 90 ns,

10 nF,

0.01 C

, V,

1 =

₀

= = =

=

_{s r r s}

S

R Z t T

V

Tensione sul ricevitore

distribuito full-wave ns

3 . 0 ns,

09 . 0 pF,

0.1 C

, V,

1 =

₀

= = =

=

_{s r r s}

S

R Z t T

V

0 0.5 1 1.5 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t [ns]

[V]

Simulazione di linee di

trasmissione singole con perdite

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎩ ⎨

⎧

=

∗

−

−

=

∗

−

−

) ( )

(

) ( )

(

2 2

2 2

1 1

1 1

t w t

i t z t

i R t

v

t w t

i t z t i R t

v

cr c

cr c

( ) ( )

⎧ w ( t ) = p ( t ) ∗ [ 2 v t − w t ]

0 x

v(x,t) i(x,t)

d +

− +

− +

v₁−( t ) v₂( t )

C₁ C₂

1

1’

2

2’

( t )

i₁ i₂( t )

w₁ v1

+

−

R_c 1

1’ 2’

2

w2

R_c

v2

+

−

i1 i

2

+_ +_ z_cr z_cr

C₁ C₂

( ) ( ) ^{. , . , ] 0}

[

_{2 2}

2

v i t =

( ) ( ) ^{. , . , ] 0} f [

_{1 1}

1

v i t =

f

Formulazione del problema

Valutazione delle risposte impulsive

• decomposizione in parte principale e regolare

• valutazione analitica delle parti principali

• valutazione numerica dei remainders )

( )

( )

( t z t z t

z

_c

=

_cp

+

_cr

) ( )

( )

( s Z s Z s

Z

_c

=

_cp

+

_cr

P ( s ) = P

_p

( s ) + P

_r

( s )

) ( )

( )

( t p t p t

p =

_p

+

_r

) ( )

( s P s

P ≈

_p

) ( )

( s Z s Z

_c

≈

_cp

) ( )

( s = O s

⁻¹

P

_r

) ( )

( s = O s

⁻¹

Z

:

per s → ∞

Convoluzioni: metodo dei trapezi

n n

cr

n

t z i S

v ≅ Δ

⁰

+

2

~

∑

⁻

=

Δ

−

Δ +

=

¹

1 0

2

n

k

k k n cr n

cr

n

t z i t z i

S

( ) t i t

z t

v ( ) =

_cr

( ) ∗

~

∑

⁻

=

−

−

−

+ Δ

= Δ

¹

1

) ( ) ( )

( 0 )

(

ˆ

2

~

ⁿ

k

m k k n r m

n r

n

t p y t p y

w

( )

) ( )

( 2 )

(

) ( )

~ (

t w t

v t

y

t y t

p t

w

−

=

∗

= ^p

_r

^{( t ) = L}

⁻¹

{ ^e

^−sT

^{[ P ( s ) − P}

_p

^{( s )]} } t

m T

t n

t = Δ = Δ

+

− R₁

j(t) R₂

R_c

+−

R_c

+

) − 1(t w

+

− )

1(t

i i₂(t)

)

1(t

v w₂(t) v₂(t)

) (t

z_cr z_cr(t)

i₂n

i₁n

+

−

R₁ R₂

R_eff

+−

R_eff

+

−

+

− jn v₁ⁿ e₁ⁿ e₂ⁿ v₂ⁿ

t z R

R

_eff

=

_c

+ 0 . 5

_rc⁰

Δ

( )

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

Δ Δ +

+

=

Δ Δ +

+

=

= +

+ +

=

∑

∑

−

=

−

−

=

−

1

1

2 0

2 2

2

1

1

1 0

1 1

1

2 2

2 1

1 1

1 1

2 2

n

k

k k n cr n

cr n

n

n

k

k k n cr n

cr n

n

n eff n

n eff n

eff n

i z t

i t z w

e

i z t

i t z w

e

R e R

v R

j R R e

R

v R

R

c

y

_cr

(t )

) ( t p

_r

Esempio: linea singola RLGC

Esempio: effetto di distorsione del segnale introdotto dalle perdite

cm d

cm mS

G

m R

cm nH

L

cm pF

C

5

/ 5

. 0

/ 5 . 2

/ 10

/ 4

=

=

Ω

=

=

Circuito equivalente =

Esempio: effetto di distorsione del segnale introdotto dalle perdite

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 V

lossless RLGC skin-effect

Simulazione di linee di

trasmissione multiconduttore

Due casi possibili:

Dielettrico omogeneo: n modi TEM con la stessa velocità

Dielettrico non-omogeneo: n modi TEM con la velocità diverse

( ) ^{t I} ( ^{t T} )

p = δ −

( ) ( ) ∑ ( )

=

− = δ −

Δ

= t ⁿ _{h h} t T_h

t

p T_v T_v¹ e s^T

Linee ad n+1 conduttori con ritardi diversi

YC

1

_ 2

n

n+1

1

_ 2

n

n+1 YC

)]

( )

( [

) ( )

(

)]

( )

( [

) ( )

(

1 1

2

2 2

1

t t

t p t

t t

t p t

j i

j

j i

j

+

−

∗

=

+

−

∗

=

2 2

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

2 2

c 2

1 1

c 1

t t

t y t

t t

t y t

j v

i

j v

i

+

∗

=

+

∗

=

Funzioni descrittive:

operatore di propagazione e ammettenza caratteristica

Parametri indipendenti dalla frequenza

C G

) Y(

L R

) Z(

s s

s s

+

= +

=

Parametri dipendenti dalla frequenza (skin-effect)

C G

) Y(

L K

R )

Z(

s s

s s s

+

=

+ +

=

) Y(

) ( Y ) ( Z )

( Y )

(t s L ^{1 1} s ¹ s s

y_c ↔^L _c = ^{− − −}

) ( )

) (

( )

(t P s e ^{d Y s Z s}

p ↔L = ⁻

Non è possibile valutarle analiticamente

Non è possibile ricorrere ad una procedura

di inversione completamente numerica, per

la presenza di termini irregolari

R = diag(41.67, 41. 67, 41.67) [Ω] / [m ] G = diag(0.59, 0.59, 0. 59) [mS ] / [m ]

L =

2. 42 0. 69 0. 64 0.69 2. 36 0. 69 0.64 0. 69 2. 42

[ μ H] / [m] C =

21. 0 −12.3 −4. 01

−12.3 26. 2 −12.3

−4.01 −12.3 21. 0

[pF] / [m ]

T _i [ns]

μ

_i

/ 10

⁷

[s

⁻¹

]

1.9879 8.1404

3

2.3437 6.6667

2

8.8272 3.6404

1 modo

Esempio: linea RLGC a 4 conduttori

Esempio:

spettro di ampiezza delle funzioni descrittive

0 0.1 0.2 0.3 GHz 0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

11 12 13 23 33

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

GHz 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

mS

11 12 13 23 33

) ( f P

)

( f

Y

_c

Valutazione semi-analitica delle risposte impulsive di una linea multiconduttore

) ( )

( )

( t y t y t

y

_c

=

_cp

+

_cr

) ( )

( )

( s Y s Y s

Y

_c

=

_cp

+

_cr

P ( s ) = P

_p

( s ) + P

_r

( s )

) ( )

( )

( t p t p t

p =

_p

+

_r

∞

→

≈ P s s

s

P ( )

_p

( ) per

∞

→

≈ Y s s

s

Y

_c

( )

_cp

( ) per

∞

→

= O s

⁻

s

s

P

_r

( ) (

¹

) per

∞

→

= O s

⁻

s

s

Y

_cr

( ) (

¹

) per

Parte principale di P(s)

∑

=

−

−

=

ⁿ

i

i i

T

p

( t ) e A ( t T )

P

^{i i}

1 μ

δ

( )

_i^{( ) T}

) ( i i

A = u

⁰

w

⁰

2 c

_i^{2 (}_i¹⁾

i

= λ μ

−1

= U W

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

5x 10⁶

11 12 13 22 23

) (t p

_r

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 GHz4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

11 12 13 23 33

) ( f P

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

11 12 13 23 33

)

( f

P

_r