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Procedimento: se necessario, costruire una retroazione dello stato che renda raggiungibile il sistema tramite un solo ingresso.

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Allocazione degli autovalori

• Propriet`a : Sia dato un sistema con m ingressi descritto dalle matrici A, B, C, D, completamente raggiungibile di dimensione n.

Per ogni polinomio p (λ) monico di grado n, esiste una matrice K ∈ R

m×n

tale che il polinomio caratteristico dalla matrice di stato A + BK che descrive il sistema retroazionato coincide proprio con p (λ).

Procedimento: se necessario, costruire una retroazione dello stato che renda raggiungibile il sistema tramite un solo ingresso.

1. Si considera la matrice di ingresso B. Se esiste una colonna b

i

della matrice B per cui il sistema risulti raggiungibile

rango[b

i

Ab

i

A

n−1

b

i

] = n

allora, relativamente alla coppia (A, b

i

), si determina un vettore riga k

Ti

tale che la matrice A + b

i

k

Ti

abbia gli autovalori desiderati.

La matrice di retroazione K per (A, B) ha righe tutte nulle, eccetto la i–esima, che coincide con k

Ti

:

K =

0 ...

k 0

Ti

0 ...

0

(2)

Lemma di Heymann. Se (A, B) `e raggiungibile e se b

i

`e una colonna non nulla di B, allora esiste una matrice M

i

∈ R

m×n

, tale che (A + BM

i

, b

i

)

`e raggiungibile.

————–

Determinazione della matrice M

i

:

• Consideriamo i = 1. Si scelgono n colonne linearmente indipendenti della matrice di raggiungibilit` a R

+

, procedendo nel seguente modo:

– Si consideri la successione dei vettori A

i

b

1

, i = 1, . . . , ν

1

, arrestandosi al primo intero ν

1

per cui A

ν1

b

1

risulti linearmente dipendente dai precedenti:

A

ν1

b

1

`e comb. lin. di {b

1

, Ab

1

, , . . . , A

ν1−1

b

1

}

– Si consideri poi la successione dei vettori A

i

b

2

, i = 1, . . . , ν

2

, costruita in modo analogo.

A

ν2

b

2

`e comb. lin. di {b

1

, , . . . , A

ν1−1

b

1

, b

2

, , . . . , A

ν2−1

b

2

} – Quando ν

1

+ ν

2

+ . . . + ν

k

= n il procedimento si arresta.

• Si costruiscono le matrici Q ∈ R

n×n

ed S ∈ R

m×n

nel seguente modo:

Q = [b

1

. . . A

ν1−1

b

1

. . . b

k−1

. . . A

νk−1−1

b

k−1

b

k

. . . A

νk−1

b

k

] S = [0 . . . e

2

. . . 0 . . . e

k

0 . . . 0]

dove il vettore e

i

rappresenta la i–esima colonna della matrice identit` a I

m

: il vettore e

2

corrisponde alla ν

1

–esima colonna di S; e

3

alla

1

2

)–esima colonna di S, e

k

`e la

1

+ . . . + ν

k−1

)–esima colonna di S.

• La matrice

M

1

= SQ

−1

soddisfa il lemma di Heymann.

(3)

Nel caso di sistemi a pi` u ingressi si distinguono due casi.

1) Il sistema `e raggiungibile utilizzando solamente l’ingresso i-esimo. In questo caso sar` a possibile posizione a piacere gli autovalori del sistema retroazionato utilizzando solamente l’ingresso i-esimo:

v u

S k

i

e

i

y x

 

K

K = e

i

k

i

=

0 ...

k

i

...

0

In questo caso la matrice di retroazione K ha solo la riga i-esima diversa da zero.

2) Il sistema `e raggiungibile solamente utilizzando pi` u ingressi. In questo caso si procede ad attuare una prima retroazione u = M

i

x+w che renda il sistema retroazionato raggiungibile utilizzando solamente l’ingresso i-esimo:

w u

S M

i

y x

˙x = (A + BMi)x + Bw y = (C + DMi)x + Dw

Il modo per calcolare la matrice M

i

`e fornito dal lemma di Heyman.

Utilizzando una seconda retroazione statica dello stato w = e

i

k

i

x + v `e possibile posizionare in modo arbitrario gli autovalori del sistema complessivo:

v w u

S M

i

k

i

e

i

y x

˙x = [A + B(Mi + eiki)]x + Bv y = [C + D(Mi+ eiki)]x + Dv

K = Mi+ eiki

(4)

Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare ( ˙x = Ax + Bu) a due ingressi:

˙x(t) =

1 1 1 0 1 0 0 0 1

x(t) +

0 01 0 0 1

u(t), B =  b1 b2



Si calcoli, se `e possibile, una retroazione K dello stato che posizioni tutti gli autovalori del sistema retroazionato in -1.

Soluzione. I sottospazi di raggiungibili`a del sistema rispetto al primo e al secondo ingresso sono:

Xb1+ = Im

0 1 2 1 1 1 0 0 0

= Im

0 11 1 0 0

, Xb2+ = Im

0 1 2 0 0 0 1 1 1

= Im

0 10 0 1 1

Il sistema non `e raggiungibile utilizzando un solo ingresso. Gli autovalori della matrice A sono tutti instabili, λ1,2,3 = 1, per cui se si utilizza un solo ingresso, la parte non raggiungibile `e sicuramente instabile. Ne segue che il sistema non `e stabilizzabile mediante una retroazione dello stato che utilizzi un solo ingresso. Utilizzando entrambi gli ingressi, il sistema `e completamente raggiungibile per cui esiste sicuramente una matrice K tale da posizionare a piacere i poli del sistema retroazionato.

Applichiamo il lemma di Heymann per rendere il sistema raggiungibile mediante il primo ingresso. Le matrici Q, S ed M1 hanno la seguente struttura

Q = b1 Ab1 b2

 =

0 1 0 1 1 0 0 0 1

Q−1 =

−1 1 0 1 0 0 0 0 1

S =  0 e2 0  =

0 0 0 0 1 0

M1 = SQ−1 =

0 0 0 1 0 0

Il sistema che si ottiene retroazionando la matrice M1 `e il seguente

A + BM1 =

1 1 1 0 1 0 1 0 1

b1 =

01 0

Il polinomio caratteristico di tale matrice `e

A+BM1(s) = s3 − 3s2 + 2s = s(s − 1)(s − 2) Il polinomio caratteristico desiderato `e

A+BK(s) = (s + 1)3 = s3 + 3s2 + 3s + 1

(5)

La matrice di raggiungibilit`a del sistema (A + BM1, b1) `e:

R+ =

0 1 2 1 1 1 0 0 1

La matrice kT1 che impone al sistema retroazionato gli autovalori desiderati `e la seguente:

kT1 = kTc[R+(R+c )−1]−1

=  −1 −1 −6 

0 1 2 1 1 1 0 0 1

2 −3 1

−3 1 0

1 0 0

−1

=  −1 −1 −6 

−1 1 0 0 −2 1

1 0 0

−1

=  −1 −1 −6 

0 0 1 1 0 1 2 1 2

=  −13 −6 −14 

La matrice di retroazione complessiva `e quindi la seguente:

K = M1 +

kT1 0

=

−13 −6 −14

1 0 0

Tipicamente, nel caso a pi`u ingressi, esistono infinite soluzioni al problema di posiziona- mento arbitrario dei poli.

Nel caso in esame, una soluzione alternativa che non utilizza il lemma di Heymann `e la seguente. Si consideri una matrice K ad elementi tutti incogniti

K =

k11 k12 k13 k21 k22 k23

e si calcoli l’espressione della matrice retroazionata A + BK =

1 1 1

k11 1 + k12 k13 k21 k22 1 + k23

Posto k21 = 0, k22 = 0 e k13 = 0 si ottiene un sistema diagonale a blocchi A + BK =

1 1 1

k11 1 + k12 0 0 0 1 + k23

Tutti gli autovalori della matrice retroazionata sono in -1 se, per esempio, si sceglie k23 =

−2 e se si impone

A+BK(s) = s2 − (2 + k12)s + 1 + k12− k11 = s2 + 2s + 1

(6)

Da tale relazione si ricava

k12 = −4, k11 = −4

In definitiva la matrice di retroazione `e la seguente:

K =

−3 −4 0

0 0 −2

Stabilizzazione mediante retroazione dello stato.

Sia dato un sistema descritto dalle matrici di stato e di ingresso A e B.

• Se la coppia (A, B) `e raggiungibile, il problema della stabilizzazione pu` o essere risolto con il margine di stabilit` a che si desidera, in quanto gli autovalori di A + BK sono allocabili arbitrariamente.

• Se la coppia (A, B) non `e raggiungibile, si pu`o ancora risolvere il problema

se il sottosistema non raggiungibile `e asintoticamente stabile.

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