Il polinomio di Taylor di grado 1.

Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

Argomenti 26 ottobre 2017

Il polinomio di Taylor di grado 1.

1. Esercizio. Sia f (x) una funzione derivabile in a. Se poniamo

ε = ε(x) = f (x) − f(a)

x − a − f ⁰ (a) otteniamo con facili passaggi:

f (x) = f (a) + f ⁰ (a) · (x − a) + ε · (x − a) (1) ove ε `e una funzione di x tale che lim

x→a ε = 0.

La formula (1) si chiama formula (sviluppo) di Taylor di punto iniziale a con il resto del primo ordine nella forma di Peano.

Il polinomio p 1 (x) = f (a) + f ⁰ (a) · (x − a) `e il polinomio di primo grado che meglio approssima f, nel senso che il suo valore e quello della sua derivata prima coincidono in a con quelli di f . Tale polinomio si chiama polinomio di Taylor di grado 1 della funzione f , con punto iniziale a. In [s] esso viene chiamato linearizzazione di f in a.

Il termine ε · (x − a), che `e infinitesimo di ordine superiore al primo per x → a, non ci dice nulla sull’errore che commettiamo valutando i valori del polinomio al posto dei valori della funzione.

2. Esercizio. Nel caso a = 0 la formula di Taylor si chiama formula di Maclaurin.

Riconoscere la correttezza delle seguenti formule, ove ε `e una funzione infinitesima per t → 0:

e ^t = 1 + t + ε · t cos t = 1 + ε · t

sin t = t + ε · t (1 + t) ^α = 1 + αt + ε · t log(1 + t) = . . . arctan t = . . .

3. Esercizio. Usando gli sviluppi di Taylor, determinare gli asintoti obliqui a + ∞ delle seguenti funzioni:

p

3x ⁷ − 4x ⁶ log(2 + 4 ^x ) 4. Esercizio. Esercizio importante. Studiare la dispensa:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/Landau.pdf.

5. Esercizio. Esercizio importante. Studiare gli sviluppi asintotici dal formulario di Analisi 1:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/Form.An1.pdf

6. Esercizio. Ricordare che funzioni dello stesso ordine (in particolare funzioni asintotiche) hanno gli stessi o-piccoli.

7. Esercizio. Usando gli sviluppi di Taylor/Maclaurin, determinare i seguenti limiti:

x→0 lim

sin x − x

tan x − x lim

x→+∞

 x − x ² log

 1 + 1

x



x→0 lim

x cos x − sin x

1 + x ² − e ^x

+ sin ³ x lim

x→0

x4 ^x − log ³ (1 − x) − x 1 − cos x

x→0 lim

(e ^x − 1) ³ − log ² (1 + x)

1 − cos ² x lim

x→0

√ 2x − x ² − p

−2 log(1 − x) x

+ sin ² x

1

x→0 lim

e ^x − e ^3x

x lim

x→−1

√

x + 2 − 1 x + 1

x→0 lim

sin ² 4x

1 − cos x lim

x→0

sin x − xe ^x + x ² cos x sinh ³ x

x→0 lim

x sin x ² − 2 log cos x

x + sin x lim

x→+∞ x cos 1

√ x −

r x + 1

x

!

x→1 lim

tan(x − 1) − sin(x − 1)

x(x − 1) ² + log(2x − x ² ) lim

x→0

log(1 + x sin x) − e ^x

+ 1

√ 1 + 2x ⁴ − 1

10. Esercizio. Al variare di α, β > 0 calcolare:

x→0 lim

(sin βx)(1 − cos αx) (2 ^βx − 1) ² log(α + βx)

11. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A7.pdf (Esercizi settimanali, Foglio 7) svolgere tutti gli esercizi.

12. Esercizio. Svolgere gli esercizi delle pagine seguenti.

2

Analisi Matematica 1- 2014-2015, Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo

• Usando la scala degli infiniti e/o i limiti fondamentali (o sviluppi al primo ordine), calcolare i seguenti limiti:

1.

x →+∞ lim

5x ⁴ + x ³ + 1 3 ^2x + 5 ^x

[R = 0]

2.

x→−∞ lim

5x ⁴ + x ³ + 1 3 ^2x + 5 ^x

[R = + ∞]

3.

x lim →0

log(1 + sin x) x

[R = 1]

4.

x lim →0

4x ⁴ log (x ⁵ + x ² )

[R = 0]

5.

x lim →0

e ^{1 −cos x} − e ^{sin x} log (1 + 3x)

[R = −1/3]

6.

x lim →0

x ^{x log x}

[R = 1]

7.

x lim →0

| log x| ^1/x

[R = + ∞]

8.

x →+∞ lim

log x ⁵ + √ x + 2x x + log (e ^x + 2) + sin x

[R = 1]

9.

x →+∞ lim (x + √

x) sin 5 x

[R = 5]

10.

x lim →π

√ 1 + sin x − √

1 − sin x 1 − cos ² x .

[R = + ∞]

12.

x →+∞ lim

log(log x) 1 + log x .

[R = 0]

13.

x lim →0

√ 1 + x − √ 1 − x

x .

[R = 1]

14.

x lim →2

sin(tan(x − 2)) sin(x − 2) .

[R = 1]

15.

x →−∞ lim

p x ² + 3x + 2 + x

[R = −3/2]

16.

x→+∞ lim 3 ^x+1 − 3 ^{√ x}

⁺¹

[R = + ∞]

17. Calcolare al variare del parametro α ∈ R

x→+0 lim

1 − e ^−αx

+ x ⁵ sin ¹ _x x ²

[R = α]

18. Calcolare al variare dei parametri α, β ∈ R

x→0 lim

cos(αx) − cos(βx) x ²

[R = ^β

^−α ₂

] 19. Calcolare al variare del parametro a > 0

x →+∞ lim

a ^x + 4 ^x 7 ^x + 2 ^x sin(e ^x )

[ se a < 7 allora R = 0, se a = 7 allora R = 1, se a > 7 allora R = + ∞]

Analisi Matematica 1- 2014-2015, Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo

1. Determinare l’ordine di infinitesimo di x − tan(x + x ³ ) + 4 ^−1/3x per x → 0 ⁺ e calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:

x→0 lim

x ^a − sin x ² + 1 − e ^−x

x − tan(x + x ³ ) + 4 ^−1/3x 2. Calcolare il seguente limite:

x→2 lim

e ^x−2 − x + cos(x − 2) + (x − 2) ⁴ sin 

1 x −2



log(x − 1) − (x − 2) .

3. Determinare l’ordine di infinitesimo di x ^a − log(1 − x ² ) − 2 tan ² x per x → 0 ⁺ al variare del parametro a > 0 e calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:

x→0 lim

3 ⁻

+ e ^{x −}

^x

− 1 − x x ^a − log(1 − x ² ) − 2 tan ² x . 4. Calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite

x lim →0

α ² x ² log(x) + x sin(x)

x ⁴ log(1 + x) + e ^x

^+x − 1 − x − αx .

5. Determinare l’ordine di infinitesimo di 2 ^x

^−x − 2 ^x + 2(log 2)x + x ³ sin ¹ _x

per x → 0 ⁺ e calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite

x→0 lim

2 ^x

^−x − 2 ^x + 2(log 2)x + x ³ sin ¹ _x
sin(αx ² ) + (cos x − 1) ² + e ^−3/x

. 6. a) Dato il limite

n lim →∞

log(n!)

n ² = 0, (1)

calcolare

n→∞ lim

 n ² + log(n!) + cos n   sin

 1 n



log(n + 1) − arctan

 1 n



log(n − 1)



.

b) [FACOLTATIVO] Dimostrare a).

 



−∞ a < 3

−3/4 a = 3 0 a > 3.

Esercizio n.2

Ris. 0 Esercizio n.3

Ordine di infinitesimo: 





a a < 2 4 a = 2 2 a > 2.

Valore del limite: 





0 a < 2

−∞ a = 2

−1/4 a > 2.

Esercizio n.4

 2/3 α = 0 0 α 6= 0 Esercizio n.5

Ordine di infinitesimo = 2, valore del limite:

 + ∞ α = 0

log 2

α α 6= 0 Esercizio n.6 Si ha

log(n!) = log n + log(n − 1) + . . . + log 2 = X n k=1

log k ≤ n log n.

Siccome log n = o(n) per n → ∞, allora lim n →∞ log(n!) n

= 0.

Il limite `e 2.

Analisi Matematica 1 - 2014-2015- Canali 1 e 2 F. Albertini, G. Colombo

Esercizi sui limiti, parte 3

1. Determinare l’ordine di infinitesimo di x − tan(x + x ³ ) + 4 ^−1/3x per x → 0 ⁺ e calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:

x→0 lim

x ^a − sin x ² + 1 − e ^−x

x − tan(x + x ³ ) + 4 ^−1/3x

2. Determinare l’ordine di infinitesimo di x ^a − log(1 − x ² ) − 2 tan ² x per x → 0 ⁺ al variare del parametro a > 0 e calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:

x→0 lim

3 ⁻

+ e ^{x −}

^x

− 1 − x x ^a − log(1 − x ² ) − 2 tan ² x . 3. Calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite

x→0 lim

α ² x ² log(x) + x sin(x)

x ⁴ log(1 + x) + e ^x

^+x − 1 − x − αx .

4. Determinare l’ordine di infinitesimo di 2 ^x

^−x − 2 ^x + 2(log 2)x + x ³ sin ¹ _x

per x → 0 ⁺ e calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite

x→0 lim

2 ^x

^−x − 2 ^x + 2(log 2)x + x ³ sin ¹ _x
sin(αx ² ) + (cos x − 1) ² + e ^−3/x

. 5. Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite

x→0 lim

x ^3a log x + 

1 − e ^arcsin

^(x)  2

1 − cos x − x − log(1 − sinh x) 6. Calcolare il limite seguente:

n→+∞ lim

5n! − √ 5 n ²⁺ⁿ

n ³ log 

1 + √ ¹ n

 − 2n ² log(1 + n) n ⁻ⁿ

7. Per ogni valore di α ∈ R determinare il limite seguente:

x lim →0

2 ^x − sin(αx) − 1 + x ³ sin ¹ _x 2 − cos( √

x) − √ 1 + x 8. Determinare l’ordine di infinitesimo di 1 + tan ^{3 1} _n

− e ^sin

(

) per n → +∞, e calcolare il limite della successione

a _n = 1 + tan ³ _n ¹

− e ^sin

(

)

1 n

 e ^sin

(

) − e



per n → +∞ al variare del parametro a ∈ R.