Tabella con le correzioni del periodo pendolo

Nota iniziale

Per una compilazione corretta della scheda è fondamentale riportare e rispondere correttamente alle domande poste nelle varie sezioni.

La domanda e la sua relativa risposta DEVONO essere evidenziate da un quadrato, dal grassetto o in qualche modo

Scheda n.0 (Analisi dell’apparato sperimentale)

Identificare e quantificare la possibile presenza di errori sistematici e/o errori casuali nella misura della lunghezza del pendolo

Scheda n.1 (Analisi iniziale della prima misura) g o T dipendono dalla oscillazione considerata ? Quantificare la risposta alla domanda precedente Scheda 1c (Conclusioni sulla prima misura)

Quale è la differenza nel valore di g estratto nella scheda 1a e 1b ? Quanto cambia il valore di T estratto nella scheda 1a e 1b ?

Quanto cambia l’errore su g estratto nella scheda 1a e 1b ? Le due misure sono compatibili, perché ?

Cosa ho imparato ?

Scheda n.2 (Verifica della bontà della correzione teorica su q)

La differenza dei periodi misurati a diversi angoli è statisticamente significativa ? La differenza dei T₀ estratti a diversi angoli è statisticamente significativa ?

Esiste un angolo limite oltre al quale T₀ non è costante ? Scheda n.3 (T vs L  estrazione dei singoli g)

Compatibilità di misure a diverso L Cosa osservo ?

Come si confronta l’accelerazione di gravità cosi ottenuta con i valori 1a e 1b Scheda 3a (T vs L  regressione lineare)

Quale è l’andamento (L vs T, L vs T²,L vs T³) che i dati seguono meglio ? C’e’ evidenza di errori sistematici ?

L’osservabile messa sulle ordinate può influire nella stima dell’errore sistematico ? Scheda 3b (Conclusioni della terza misura)

g estratto nella schede 1a, 1b 3, 3a e 3b è differente ? di quanto ? Perche ? Scheda n.4 (Analisi della dipendenza dalla massa)

g dipende dalla massa appesa ? Se si di quanto ? La differenza è significativa ? Conclusioni Finali

Quantifica i risultati !

Quale è il valore di g che ho misurato ( 1 Valore solo) ? E’ consistente con le attese ?

Quale è il metodo più affidabile per misurare g ?

La relazione è sostanzialmente la sintesi di questi punti

ESPERIENZA Pendolo

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Anno accademico:

Se Possibile tenete il formato di queste schede

Obiettivo dell’esperimento

Materiale a disposizione

Relazioni usate e approssimazioni fatte

Modalità di esecuzione e risultato atteso

Pendolo

Pendolo - Scheda n. 0

CALCOLO DELLA LUNGHEZZA EFFETTIVA DEL PENDOLO

Dataset 1

Lunghezza filo L₁=

Posizione del centro di massa della massa appesa L₂= Correzioni dovute a nodi, ….. L₃ =

Lunghezza pendolo L=

Errore sulla lunghezza del pendolo =

Disegno e conti su come avete calcolato il centro di massa della massa appesa al pendolo

Foto della massa appesa al pendolo Pendolo - Scheda n. 0

Calcolo del baricentro

Tabella parametri principali.

L1 L2 L3 L_pend (con errore)

M1 xx g M2 yy g M3 zz g

.. .. .. .. .. ..

Tabella riassuntiva posizioni centro di massa

L M

Filo

Supporto con gancio Supporto senza gancio

Dischetto base Altri Dischetti

Errore Strumentale

Pendolo - Scheda n. 0

Pendolo - Scheda n. 0

La misura della lunghezza del pendolo può essere affetta da un errore statistico e da un errore sistematico.

L’errore statistico può essere generato da:

- Incertezza nelle tacche del metro usato

- Difficoltà nel fare la misura (mani non ferme etc etc)

- Errore nelle misura delle osservabili utili a calcolare il baricentro - Altro

L’errore sistematico può essere generato da:

- Identificazione del punto di inizio e fine del filo ( nodi ?) - Montaggio del pendolo

- Movimenti non ‘ideali’ del peso usato

- Errore nella determinazione del baricentro della massa appesa - Altro

Identificare e quantificare la possibile presenza di errori sistematici e/o errori casuali nella misura della lunghezza del pendolo

Pendolo - Scheda n.1

Tabella con il Dataset-1 e le accelerazioni di gravità ottenute per ogni periodo misurato Fate attenzione a:

• Unità di misura

• Intestazione tabella

• Cifre significative

Periodo (s) Acc. Grav. (m/s²) 1

2 3

…………

15

Specificate la massa, la lunghezza del pendolo e l’angolo di oscillazione

Asse X # periodo

Asse Y Periodo Misurato

Utilizzate un foglio elettronico o un qualsiasi Strumento informatico. In alternativa usate la carta millimetrata

• Mettete esplicitamente cosa c’e’ sugli assi

• Scegliete con cura gli estremi dell’asse delle X e delle Y

• Indicate il valore atteso

Asse X # periodo

Asse Y Acc. Grav. estratta

Utilizzate un foglio elettronico o un qualsiasi Strumento informatico. In alternativa usate la carta millimetrata

• Mettete esplicitamente cosa c’e’ sugli assi

• Scegliete con cura gli estremi dell’asse delle X e delle Y

• Indicate il valore atteso

Pendolo - Scheda n.1

g o T dipendono dalla oscillazione considerata ? Quantificare la risposta alla domanda precedente

Come è possibile verificare se il periodo T o g dipendono dalla oscillazione considerata ?

1) Posso ad esempio estrarre le differenze tra due periodi consecutivi:

• Se la loro media è compatibile con zero allora le fluttuazioni sono casuali

• Se l’istogramma è simmetrico intorno a zero allora le fluttuazioni sono casuali

• Se l’errore strumentale è confrontabile o superiore a queste differenze allora la loro origine potrebbe essere strumentale e non fisica

2) Posso estrarre l’andamento del periodo in funzione del tempo, ovviamente mi aspetto una retta parallela all’asse delle ascisse. Se questo non fosse vero allora le misure di tempo non sarebbero ne ripetibili ne indipendenti.

Tutti questi punti servono a quantificare la risposta alla domanda:

A voi la scelta di quali e quanti test fare.

Se trovate altri modi o tecniche aggiuntivi per rispondere alla domanda ancora meglio

g o T dipendono dalla oscillazione considerata ?

Pendolo - Scheda n.1a

Se la misura del periodo risulta essere indipendente e ripetibile Dai dati del Dataset-1 estraete: Valor medio

Deviazione standard Deviazione dalla Media

del periodo misurato e dell’accelerazione di gravità estratta (vedi la discussione nei lucidi successivi)

Fate poi una Tabella con questi valori

T = xxx m/s² s_T = xx m/s² s_T^m = xx m/s² g = xxx m/s² s_g = xx m/s² s_g^m = xx m/s2

Quale è l’intervallo in cui si trova il valore vero di g con un C.L. del 95%

(usare la t di student)

Se la misura del periodo risulta NON essere indipendente e ripetibile non è corretto utilizzare la media dei 15 periodi misurati. Evidentemente esiste un effetto legato all’ampiezza di oscillazione (che diminuisce con il numero di oscillazioni a causa dell’attrito). Allora è necessario usare una sola misura di periodo ove è noto l’ampiezza di oscillazione (una delle prime).

Quindi:

prendete il secondo o terzo o quarto periodo misurato ed estraete

l’accelerazione di gravità con il suo errore. In altre parole fate una Tabella con questi valori (vedi la discussione nei lucidi successivi)

L = xxx m errore = xx m T = xxx s errore = xx s g = xxx m/s² errore = xx m/s²

Attenzione:

Fino a questo momento avete usato il primo dataset (cioè la misure di singoli 15 periodi consecutivi)

- I dati sperimentali ottenuti possono aver mostrato che:

• Le misure di periodo NON SONO ripetibili ed indipendenti tra loro in quanto dipendono dall’ampiezza di oscillazione del pendolo stesso

oppure

• Le misure di periodo SONO ripetibili ed indipendenti. Questo è ovviamente possibile ma bisogna mettersi in particolari condizioni sperimentali

Nel primo caso si è costretti a:

• Utilizzare solo la prima o seconda oscillazione (perché è l’unica in cui l’ampiezza di oscillazione sia nota).

• Correggere il periodo misurato (noto q) secondo la relazione riportata nel template.

• Estrarre la misura dell’accelerazione di gravità utilizzando una sola misura di periodo (senza cioè poter utilizzare la deviazione dalla media per ridurre gli errori strumentali).

• Usare la propagazione degli errori per estrarre l’errore su g.

Ricordate che:_

• In linea teorica (ma non necessariamente avete acquisiti i dati per fare ciò) rifacendo più misure di periodo a pari ampiezza di oscillazione sarebbe possibile estrarre un periodo medio, con deviazione standard e deviazione dalla media.

• L’errore strumentale intrinseco non necessariamente coincide con l’errore associato alla vostra misura del periodo poiche non tiene conto della di presa dati.

Nel secondo caso invece:

Nel secondo caso si potrebbe calcolare il valore dell’accelerazione di gravità in tre modi differenti. Le tre tecniche sulla carta sembrano equivalenti ma, analizzate con cura, non lo sono

1. Calcolo per ciascuna coppia di valori di L e T il corrispondente valore di g e poi estraggo il valore di g finale attraverso l’operazione di media effettuata su tutti i g parziali ottenuti. La deviazione standard e la deviazione della media li estraggo dai diversi valori di g cosi ottenuti. In questa caso ‘trascuro’ l’errore strumentale su L e su T e uso solo i diversi valori di g ottenuti per estrarre l’errore su g.

Il metodo quindi mi permette un errore molto più piccolo dell’errore strumentale intrinseco. Idealmente se ottenessi sempre lo stesso valore di g in ogni misura avrei una deviazione standard e della media pari a zero ! (Esiste un metodo alternativo per estrarre sigma) 2. Estraggo un T medio ed un L medio e con questi estraggo un g

medio. Deviazione standard e deviazione dalla media li ottengo dalla propagazione degli errori a partire da di s_L e s_T. Ovviamente questo è possibile solo se le misure di T e di L sono indipendenti e ripetibili . 3. Per ciascuna coppia di valori L e T estraggo il corrispondente valore

di g e il corrispondente errore attraverso la propagazione degli errori strumentali sul tempo s_T e sulla lunghezza s_L. Il valore finale di g si ottiene attraverso la media pesata di tutti i valori di g ottenuti.

In questo ultimo caso bisogna però riflettere sul fatto che:

- la media pesata può essere fatta solo tra misure indipendenti della medesima osservabile e quindi i diversi valori di g devono essere tra loro compatibili (questa è una condizione necessaria ma non sufficiente).

- quindi posso applicare il terzo metodo solo se ho la compatibilità entro un certo ‘confidence level’ di tutte le misure di periodo

- l’errore della media pesata dipende solo dagli errori delle singole osservabili e non da come sono distribuite le osservabili stesse. Il terzo metodo quindi non tiene in considerazione delle possibili fluttuazioni statistiche che possono originarsi dalla modalità di misura di T e di L (ad esempio oscillazioni della massa, vibrazioni del supporto, ….. ).

Che metodo scegliere ?

- nel caso in cui le condizioni sperimentali siano rimaste costanti (le misure di T ed L sono ripetibili e indipendenti) il secondo metodo è il più corretto.

- Nel caso in cui le condizioni siano variate allora non ho più l’indipendenza e la ripetibilità per L e T allora il terzo metodo è il più corretto ma devo verificare la compatibilità delle misure per poter fare la media pesata.

in altre parole ho un dataset in cui le accelerazioni di gravità sono

‘identiche’ tra loro a meno dell’incertezza strumentale intrinseca che quindi risulta essere la sorgente dominante di errore e bisogna quindi valutarne il peso.

- Il primo metodo è quasi equivalente al precedente ma non viene chiesta la compatibilità statistica tra tutte le misure). In altre parole non è l’incertezza strumentale che caratterizza le fluttuazioni statistiche osservate ma piuttosto la metodologia di misura. E’ una cosa che non dovrebbe accadere ma se la misura su ‘g’ è fatta in maniera poco accurata o se sono presenti fattori fuori dal controllo dello sperimentatore (vibrazioni della massa appesa, allungamento del filo per l’accelerazione centrifuga, …) potrebbe rappresentare la realtà dei dati acquisiti. Sicuramente è indice del fatto che è possibile migliorare la misura (ma non necessariamente si ha il tempo o i mezzi per farlo).

Grafico del risultato ottenuto (con barre di errore date dalla deviazione dalla media) paragonato con quello atteso,

9.70 9.75 9.80 9.85 9.90 9.95 10.00

0 1 arb. units2 3 4

Accelerazione di Gravità (m/s2)

Valore Atteso Misura sperimentale Scrivete cosa c’e’ sugli assi. Mettete le unità di misura. Fate un didascalia

Non è importante farlo con il PC. Usate pure la carta millimetrata

Estraete la compatibilità tra misura e valore atteso e commentate il risultato ottenuto

Pendolo - Scheda n.1b

1 - Estrarre l’accelerazione di gravità a partire da uno dei primi periodi misurati con la correzione per l’angolo di oscillazione (vedi lucidi successivi o discussione in aula).

Dove T_o = periodo del pendolo che avrei dovuto misurare nel caso il pendolo fosse ideale, cioè il periodo della formula

2 - A partire dall’incertezza su q e T calcolate il contributo introdotto da q alla misura del periodo T₀

3 - Calcolate poi l’errore su g con la propagazione degli errori

esplicitando il contributo all’errore introdotto dalla misura del periodo e dalla misura della lunghezza

g = xxx m/s² errore = xx m/s²

Non Corretto g = s_g = s_g (media) =

Corretto g = s_g = s_g (media) =

q= s_q= T= s_T= T₀= s_T0=

1° termine (T_o) df(L,T)/dT_o= df(L,T)/dT₀ sT₀ (df(L,T)/dT₀ sT₀)² 2° Termine L df(L,T)/dL= df(L,T)/dL s_L (df(L,T)/dL sL)²

T = T₀ 1 1

2² sin² q 2  1

2² 3 4



 



 

2

sin⁴ q 2 ...



 





 



2

4 2

To

g =  L

Tabella con le correzioni del periodo pendolo

1.000 1.005 1.010 1.015 1.020 1.025 1.030

0 10 20 30 40

Ampiezza di Oscillazione

Fattore di correzione del periodo

Nota:

Nel pendolo reale il periodo è maggiore di quello calcolato con l’approssimazione delle piccole oscillazioni

Il fattore di correzione, quindi, deve ridurre il periodo del pendolo

‘reale’ (quindi quello che avete misurato) per ‘tenere conto’

dell’ipotesi piccole oscillazioni

Pendolo - Scheda n.1c

Scrivete cosa c’e’ sugli assi e le unità di misura. Fate un didascalia Non è importante farlo con il PC. Usate pure la carta millimetrata

Confrontate la miglior stima di g con il suo errore estratta nella scheda 1a con quella estratta nella scheda 1b e quella attesa . Mettete il confronto in un grafico

.

Misura di g con e senza la correzione sull’angolo di oscillazione:

Quale è la differenza nel valore di g estratto nella scheda 1a e 1b ? Quanto cambia il valore di T estratto nella scheda 1a e 1b ?

Quanto cambia l’errore su g estratto nella scheda 1a e 1b ? Le due misure sono compatibili, perché ?

Cosa ho imparato ?

Pendolo - Scheda n.2

Dataset 2

Fate un plot con il periodo del pendolo misurato a diversi angoli (ascisse: angolo 1^a oscillazione, ordinate: periodo del pendolo).

Confrontate la vostra misura con l’andamento atteso

Ricordatevi, per ogni punto, di inserire le barre di errore sulla misura dell’angolo e su quella del periodo

Domanda:

La differenza dei periodi misurati a diversi angoli è statisticamente significativa (usate gli stessi criteri che avete usato per il periodo del pendolo nella scheda 1) ?

Pendolo - Scheda n.2 Dataset 2

Utilizzando la relazione

Estraete l’osservabile T₀ (con relativo errore) per i diversi valori dell’angolo di oscillazione e producete un grafico con il valore di T₀ estratto a diversi angoli (mettete sulle ascisse l’angolo di

oscillazione con errore e sulle ordinate il valore di T₀).

Ricordatevi, per ogni punto, di inserire le barre di errore sulla misura dell’angolo e su quella del periodo

Domanda:

La differenza dei T₀ estratti a diversi angoli è statisticamente significativa ? Esiste un angolo limite oltre al quale T₀ non è costante ?

T = T

1  1

2

sin

q

2  1 2

3 4



 



 

2

sin

q 2 ...



 





 



Pendolo - Scheda n.3 Descrizione dataset-3

L = x m L = x m L = x m L = x m

Misure (s) T ± s_m Misure (s)

- q Corrette -

T ± s_m

Tabella del periodo misurato per una oscillazione del pendolo con e senza la correzione per l’angolo

Fate un PLOT

Asse X Lunghezza Pendolo con errore Asse Y Periodo al quadrato con errore Fate un PLOT

Asse X Lunghezza Pendolo con errore Asse Y Acc. Grav. con errore

L = x m L = x m L = x m L = x m

g g ± s_m

Come errore su L utilizzate quello trovato nella scheda 0.

Per stimare l’errore su T avete due alternative:

- Fate più misure a L e q fissato e dai periodi misurati estraete il valor medio, deviazione standard e deviazione dalla media

- Fate una stima verosimile dell’incertezza di una misura di periodo (questa

tecnica può implicare una serie misure di controllo o una complessità maggiore della tecnica precedente)

Pendolo - Scheda n.3

Estraete l’accelerazione di gravità e il suo errore (con T

corretto per q). Ovviamente bisogna ottenere un solo valore finale per g con il suo errore

Verificate la compatibilità statistica dell’accelerazione di gravità ottenuta con pendoli di diverse lunghezze

Compatibilità di misure a diverso L Cosa osservo ?

Estrarre l’accelerazione di gravità secondo la discussione fatta nella scheda 1 e discussa nella scheda successiva.

Come si confronta l’accelerazione di gravità cosi ottenuta con i valori 1a e 1b

Grafico del risultati ottenuti nelle misure 1°, 1b e 3 (con barre di errore date dalla deviazione dalla media) paragonato con quello atteso,

9.70 9.75 9.80 9.85 9.90 9.95 10.00

0 1 arb. units2 3 4

Accelerazione di Gravità (m/s2)

Valore Atteso Misura sperimentale Scrivete cosa c’e’ sugli assi. Mettete le unità di misura. Fate un didascalia

Non è importante farlo con il PC. Usate pure la carta millimetrata

Estraete la compatibilità tra misura e valore atteso e commentate il risultato ottenuto

In questo caso si ha una situazione simile a quella della scheda 1.

Solo che le lunghezze sono tutte differenti tra loro.

Per estrarre g potrei (ma in questo caso non è la tecnica più corretta, vedi piu avanti):

1. Calcolare per ciascuna coppia di valori di L e T il corrispondente valore di g e poi estrarre il valore di g finale attraverso l’operazione di media effettuata su tutti i g ottenuti. La deviazione standard e la deviazione della media li estraggo dai diversi valori di g. In questa caso ‘trascuro’ l’errore strumentale su L e su T e uso solo i diversi valori di g ottenuti per ottenere l’errore su g.

2. Per ciascuna coppia di valori L e T estraggo il corrispondente valore di g e il corrispondente errore attraverso la propagazione degli errori strumentali sul tempo s_T e sulla lunghezza s_L. Il valore finale di g si ottiene attraverso la media pesata di tutti i valori di g ottenuti.

In questo ultimo caso bisogna però riflettere sul fatto che (vedi scheda 1):

- la media pesata può essere fatta solo tra misure indipendenti della medesima osservabile e quindi i diversi valori di g devono essere tra loro compatibili (questa è una condizione necessaria ma non sufficiente).

-l’errore della media pesata dipende solo dagli errori delle singole osservabili e non da come sono distribuite le osservabili stesse. Il terzo metodo quindi non tiene in considerazione le possibili fluttuazioni statistiche che possono originarsi dalla modalità di misura di T e di L (ad esempio oscillazioni della massa, vibrazioni del supporto, ….. )

La tecnica migliore dovrebbe permettermi di sfruttare il legame tra T ed L cioè la regressione lineare

Pendolo - Scheda n.3a

Tabella Coefficienti di correlazione T vs L, T² vs L e T³ vs L.

-Usate T corretto per q –

Quale è l’andamento che i dati seguono meglio

Estraete l’accelerazione di gravità (con T corretto per q) con il suo relativo errore attraverso la regressione lineare semplice.

C’e’ evidenza di errori sistematici ?

Analizzate il termine noto !

Riflettete su che osservabile è stata messa sulle ordinate e quale sulle ascisse. Può influire nella stima dell’errore sistematico ?

2

4 2 ^a

a g T

L q

mx

Y 



 



=



=



Pendolo - Scheda n.3b

Rifate la regressione lineare tenendo conto che gli errori sulla misura di L e di T sono noti e del fatto che

I valori di g estratti nelle schede 3, 3a e questo sono differenti ? di quanto ? Perché ?

In altre parole

I risultati sono diversi ? Se si di quanto ?

La differenza è significativa ?

(exp) (exp)

)

(

2

x y

y

tot s b s

s = 

Pendolo - Scheda n.4 Facoltativa

Descrizione dataset-5

M1 M2 M3 M4

Lunghezza flo Misure (s) - q Corrette -

T ± s_m

Tabella del periodo misurato per le diverse masse (almeno due)

Estraete g con l’errore ricordandovi di prendere la prima oscillazione e correggere per l’angolo.

I dati sono compatibili ? posso fare una media pesata ? Si osserva qualcosa di anomalo ?

M1 M2 M3 M4

g g ± s_m

g dipende dalla massa appesa ? Se si di quanto ?

La differenza è significativa ?

CONCLUSIONI

Grafico del valore di g ottenuto mediando i risultati con differenti masse, con differenti L, con la regressione lineare e quello delle schede precedenti.

Confrontatelo con il valore atteso

PLOT

Quale è il valore di g che ho misurato ? E’ consistente con le attese ?

Quale è il metodo più affidabile per misurare g ?