Appunti sintetici
Appunti e complementi per gli studenti
SOMMARIO
1. - Le funzioni goniometriche... 2
1.1 Misura degli angoli e definizioni di base ... 2
1.2 Definizione delle funzioni goniometriche... 3
1.3 Archi associati... 6
1.4 Archi notevoli ... 8
1.5 Le funzioni goniometriche inverse... 11
1.6 Le formule goniometriche... 14
---
1. - Le funzioni goniometriche
1.1 Misura degli angoli e definizioni di base
Le funzioni circolari sono così chiamate in quanto definite mediante un particolare cerchio di riferimento, detto cerchio goniometrico (Fig.1), avente raggio unitario (o meglio, il cui raggio viene assunto come unità di misura) e, in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, centro nell’origine O(0;0). Il suo punto A(1,0) è detto origine degli archi mentre il raggio OA è detto raggio (o lato) iniziale degli angoli. Il cerchio si considera orientato in senso antiorario.
Un angolo α, nella teoria delle funzioni circolari, viene pensato come una rotazione che porta il raggio iniziale OA sul raggio (o lato) finale OP. Il punto P è chiamato estremo dell’angolo (o dell’arco) e si suole dire che esso rappresenta l’angolo (o l’arco) α. Nella teoria delle funzioni circolari le parole arco e angolo sono pressoché sinonimi.
Misura in gradi sessagesimali
La misura degli angoli in gradi sessagesimali è molto antica ed è ancora molto usata. Essa si basa sulla definizione dell’angolo grado ( 1° ) considerato come 90-esima parte dell’angolo retto.
Il grado viene diviso in 60 primi (60’) ed ogni primo in 60 secondi (60’’). I secondi si dividono in decimi, centesimi ecc. secondo l’ordinario sistema di numerazione decimale.
Dato che l’angolo α viene pensato come una rotazione, esso può superare il giro, può essere negativo ecc. Tuttavia occorre subito precisare che due angoli distinti α, β possono essere rappresentati dallo stesso punto P ed in tal caso la differenza fra essi è multiplo del giro, cioè se esiste in intero k tale che
α – β = k360°
Per k = 0 i due angoli, comunque, sono uguali.
y
O A
P
α x
α=AP
cos
sen tg
α
α α
T
X Y
FIG.1 (definizione SENO, COSENO, TANG.)
O α cos sen
α α
X Y
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
Misura in radianti
La misura in radianti dell’angolo α consiste nel rapporto fra la lunghezza dell’arco AP ed il raggio OA.
Poiché OA è assunto come unità di misura ( OA 1 = ), allora è α = AP (in radianti). Dal punto di vista matematico le grandezze in radianti sono da considerarsi come numeri reali adimensionali.
La misura intuitiva degli angoli in radianti è basata sul classico numero trascendente π (= 3.14159...), il quale rappresenta il rapporto geometrico fra le lunghezze di mezza circonferenza e il suo raggio, cosicché π è la misura in radianti dell’angolo piatto.
Ciò consente di scrivere una semplice proporzione per passare facilmente dai gradi ai radianti e viceversa. Indicando con α° la misura in gradi e con α la misura in radianti si ha
α° : α = 180° : π
Oppure, in maniera più diretta si può tener conto delle equivalenze π = 180° e 1° = π/180.
Gli angoli notevoli
Alcuni angoli sono frequentemente utilizzati in molte applicazioni, per la loro semplicità geometrica. Si tratta dei multipli di 30° (quadrante dell’orologio) e dei multipli di 45° (diagonali del quadrato).
Ognuno di questi angoli può essere scritto in gradi ed in radianti ed il grafico di fig. 2 rappresenta una sintesi delle equivalenze goniometriche fra le misure in gradi ed in radianti.
1.2 Definizione delle funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche (dette a volte funzioni circolari o trigonometriche) sono funzioni di una variabile arco (o angolo) α a valori numerici.
Dato l’arco α, si costruisce in primo luogo il punto P che lo rappresenta (si veda fig.1) e si considerano quindi le sue coordinate (cos α; senα), dette rispettivamente coseno di α e seno di α. Il rapporto fra seno e coseno di α rappresenta il coefficiente angolare del raggio OP (però con l’esclusione del caso in cui OP sia verticale, cioè parallelo all’asse y) e viene chiamato tangente di α, cioè tgα = senα/cosα (per α ≠ 90° +k180° = π/2 + kπ, essendo k un intero, cioè k∈Z ).
In altri termini si è posto, per definizione:
30°=π/6 60°= π/3
π/2 90°=
120°=2π/3
150°=5π/6 180°=π
210°=7π/6
240°=4π/3
270°=3π/2
300°=5π/3
330°=11π/6 360°=2π 0°=0
145°=π/4 135°=3π/4
225°=5π/4 315°=7π/4
FIG.2 (Angoli notevoli)
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
cos OX (ascissa di P, compreso il segno) sen OY (ordinata di P, compreso il segno)
tg sen AT (pendenza di OP, solo per 90° k180 k (ove k=0, 1, 2,...
cos 2
α = ± α = ±
α π
α = = ± α ≠ + ° = + π ± ±
α )
(tg è anche l'ordinata di T, compreso il segno) α
L’ultima identità, tg α = AT , deriva dalla similitudine dei triangolo OXP e OAT, (si veda fig.1) ovvero dalla proporzione OX : XP = OA : AT da cui AT = XP ⋅OA / OX , ovvero, tenendo conto delle misure OY = sen α, XP = cosα, OA = 1, si ha la formula cercata detta identità della tangente.
Un’altra importantissima identità (detta fondamentale o pitagorica) è quella che deriva dalla considerazione del triangolo rettangolo OXP e dal teorema di Pitagora: XP
2+ OX
2=OA
2, che , una volta sostituite le misure XP =s enx, OX = cosx, OA = 1, diventa:
2 2
sen α + cos α = 1 per α qualunque Essa consente di esprimere il seno mediante il coseno e viceversa:
2 2
sen α = ± − 1 cos α e cos α = ± − 1 sen α (per α qualunque) Queste relazioni irrazionali si ricordano spesso nella loro forma razionale:
2 2
2 2
sen 1 cos (1 cos )(1 cos ) cos 1 sen (1 sen )(1 sen )
α = − α = − α + α
α = − α = − α + α
E’ possibile anche legare la tangente al solo coseno mediante la formula
21
21 tg + α = cos
α che spesso viene ricordata invertita, cioè nella forma:
Essa si dimostra considerando che
2 2 2
2
2 2 2
sen cos sen 1
1 tg 1
cos cos cos
α α + α
+ α = + = =
α α α , dove al numeratore è
stata applicata l’identità pitagorica; in modo analogo si procede anche per l'altra relazione.
Oltre alle tre funzioni principali, già viste, sono utilizzate anche tre funzioni reciproche (secante, cosecante e cotangente) e precisamente:
sec 1 per ogni angolo k
cos 2
cos ec 1 per ogni angolo k sen
cot cos per ogni angolo k sen
α = α ≠ + π π
α
α = α ≠ π
α α
α = α ≠ π
α
In particolare si noti che tg α cotα = 1 ogni qualvolta è α ≠ kπ/2 Segno delle funzioni goniometriche
Per memorizzare facilmente i segni assunti dalle funzioni goniometriche, si può ricorrere agli schemi grafici della fig.3 In essi si tiene conto che i seni sono ordinate, i coseni sono ascisse e le tangenti sono pendenze. In particolare si osserva che nel terzo quadrante le tangenti assumono gli stessi valori del primo quadrante.
Le formule seguenti:
+ − + − +
− + −
0
0
0 οο
y=seno x=coseno m=tangente
FIG.3
2
2
cos 1
1 tg
D D (detta a volte identità ausiliaria); inoltre, si ha anche
2 2
2
sen tg
1 tg D D
D
.
+ + +++
+ +
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
2 2
2
sen 1 cos , cos 1 sen , cos = 1
α = ± − α α = ± − α α ± 1+tg
α , che vengono frequentemente utilizzate per passare dal valore di una funzione a quello di un’altra, possono così essere perfezionate anche nel segno ogni qualvolta si conosce il quadrante di appartenenza dell’angolo α.
Periodicità
Le funzioni goniometriche sono periodiche, cioè ripetono identicamente il loro valore ad ogni giro (successivo o precedente rispetto al primo giro). In realtà le funzioni seno e coseno (e quindi le reciproche cosecante e secante) hanno un periodo uguale ad un giro ( 2 π = 360°) mentre tangente e cotangente hanno per periodo mezzo giro ( π=180° ). Si hanno dunque le identità
sen sen( 2k ) per ogni angolo sen cos( 2k ) per ogni angolo
tg tg( k ) per ogni angolo k
2
α = α + π α
α = α + π α
α = α + π α ≠ + π π
In tutte le scritture precedenti si considera k ∈Z (insieme dei numeri interi).
Diagrammi delle funzioni goniometriche
La sinusoide è il diagramma della funzione y = senx al variare dell’angolo x (fig. 4)
Si noti che per qualunque arco x:
- 1 ≤ sen x ≤ +1
La periodicità del grafico rispetta quella della funzione e perciò è 2 π.
La cosinusoide è il diagramma della funzione y = cosx al variare dell’angolo x (fig.5).
Si noti che per qualunque arco x:
- 1 ≤ cos x ≤ +1
La periodicità del grafico rispetta quella della funzione e perciò è 2 π.
y
x
1
−1
0 π 2π 3π 4π
−2π −π
−3π
y = senx
FIG. 4
y
x
1
−1
0 π/2 2π
−π/2
−2π
y = cosx
FIG. 5
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
La tangentoide (Fig.6) è il diagramma della funzione y = tgx al variare dell’angolo x.
Il diagramma è esso stesso periodico, con periodo π.
Si noti che per x prossimo ad archi del tipo
θ = (2k+1)π/2, la funzione tangente acquista valori molto grandi in modulo, positivi a sinistra di θ e negativi a destra di θ.
Il valore 1 corrisponde
ovviamente all’angolo π/4 e si ripete con periodicità π. Le rette verticali di equazione cartesiana x = π/2 + kπ ( per ogni k ∈Z) sono asintoti verticali dei rami di tangentoide.
N.B. Valori assunti dalle funzioni goniometriche
Le funzioni seno e coseno possono assumere qualsiasi valore numerico compreso fra –1 e +1.
La funzione tangente può assumere invece qualunque valore, come chiaramente visto nel grafico della tangentoide.
1.3 Archi associati
Si consideri (Fig. 7) un rettangolo ABCD iscritto nel cerchio goniometrico, avente i lati paralleli agli assi cartesiani, come nella vicina figura. I quattro vertici rappresentano angoli che hanno gli stessi valori assoluti di seno, coseno e tangente: in altri termini due angoli distinti, rappresentate da due dei vertici del rettangolo, hanno stesse funzioni trigonometriche salvo (eventualmente) il segno.
Gli angoli corrispondenti a punti A,B.C,D, si dicono “direttamente associati ( fra loro)”
Se il rettangolo ABCD viene ruotato di 90° si ottiene il rettangolo PQRS che rappresenta nuovi angoli che si considerano
“inversamente associati (ai precedenti)”.
Questi nuovi angoli hanno seni e coseni scambiati con i precedenti angoli (sempre salvo l’eventuale segno), e quindi anche tangenti e cotangenti (sempre salvo l’eventuale segno). Chiamando cofunzioni di seno, tangente e secante le tre funzioni coseno, cotangente e cosecante e, viceversa, cofunzioni di coseno, cotangente e cosecante le tre funzioni seno, tangente e secante, si potrà affermare che passando da un angolo ad un’altro inversamente associato, le funzioni si scambiano con le cofunzioni (salvo l’alterazione eventuale dei segni).
y
x α
90+α 90−α
180−α
180+α
270−α 270+α
360−α −α A
B
C D
P Q
R S
O
FIG. 7 (Archi associati) y
0 x
π/2 π
−π/2 3π/2
−π
y = tgx
1 π/4
FIG. 6
A B
D C
O P Q
R S
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
N.B. Gli angoli corrispondenti ai punti PQRS sono inversamente associati agli angoli corrispondenti ai punti ABCD, però sono direttamente associati fra di loro. Allo stesso modo, considerando PQRS come primo rettangolo e ABCD come secondo, gli angoli corrispondenti ad ABCD sono inversamente associati agli angoli corrispondenti a PQRS.
Se indichiamo con α l’an golo corrispondente al punto A (e lo consideriamo come angolo di partenza), i suo associati diretti più interessanti sono:
180° – α: supplementare di α (rispetto ad α ha stesso seno, coseno e tangente opposti) sen(180° - α) = senα cos(180° - α) = - cosα tg(180° - α) = - tgα
180° + α: α aumentato di un angolo piatto (rispetto ad α ha stessa tangente, ma seno e coseno opposti)
sen(180° + α) = - senα cos(180° + α) = - cosα tg(180° + α) = tgα α - 180°: α diminuito di un angolo piatto, equivale all’aumentato di un angolo sen( α - 180°) = - senα cos( α - 180°) = - cosα tg( α - 180°) = tgα
360° – α: esplementare di α (rispetto ad α ha coseno, seno e tangente opposti) sen(360° - α) = - senα cos(360° - α) = cosα tg(360° - α) = - tgα
- α : opposto di α, equivale all’esplementare.
sen( - α) = - senα cos( - α) = cosα tg( - α) = - tgα Invece i più interessanti associati inversi di α sono:
90° – α: complementare di α (Le funzioni sono scambiate con le cofunzioni conservandone i segni)
sen(90° - α) = cosα cos(90° - α) = senα tg(90° - α) = cotgα N.B. La parola coseno deriva da “ complementi sinus” cioè “ seno del complementare”
90° + α: α aumentato di un angolo retto
sen(90° + α) = cosα cos(90° + α) = - senα tg(90° + α) = - cotgα 270° – α:
sen(270° - α) = - cosα cos(270° - α) = - senα tg(270° - α) = cotgα 270° + α:
sen(270° + α) = - cosα cos(270° + α) = senα tg(270° + α) = - cotgα Parità delle funzioni goniometriche
In generale, una funzione numerica y = f(x) , dove x ed y sono cioè variabili numeriche, è detta
funzione di tipo pari se f(-x) = f(x) per qualunque valore x del campo di esistenza
funzione di tipo dispari se f(-x) = - f(x) per qualunque valore x del campo di esistenza
Esempi:
La funzione f(x) = x
4+ 3x
2– 5 è di tipo pari. Infatti f(-x) = (-x)
4+ 3(-x)
2– 5 = x
4+ 3x
2– 5 = f(x) per qualunque numero x.
La funzione g(x) = x
3+ 3x
5– 5x è di tipo dispari. Infatti g(-x) = (-x)
3+ 3(-x)
5– 5(-x) = - x
3- 3x
5+ 5x = - (x
3+ 3x
5– 5x) = - g(x), per qualunque numero x
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
La funzione h(x) = x
3+ 2 non ha alcuna parità, in quanto h(-x) = -x
3+ 2 non è nè uguale né opposta a h(x).
La funzione sen(x) è di tipo dispari, infatti sen(-x) = - senx La funzione cos(x) è di tipo pari, infatti cos(-x) = cosx La funzione tg(x) è di tipo dispari, infatti tg(-x) = - tgx Esercizi riguardanti le funzioni pari/dispari:
1) Provare che la somma di funzioni di tipo pari è di tipo pari, mentre la somma di due funzioni di tipo dispari è di tipo dispari.
2) Provare con un esempio che sommando una funzione tipo pari con un’altra tipo d ispari si ottiene una funzione senza parità.
3) Provare che la funzione f(x) = log [(1-x)/(1+x)] è di tipo dispari.
4) Provare che il prodotto o il rapporto di due funzioni di tipo dispari è di tipo pari.
5) Provare che secx è tipo pari, cosecx è tipo dispari, cotgx è tipo dispari.
1.4 Archi notevoli
Arco di 45° ( π/4)
Si proverà che sen 45° = cos 45° = 2
2 e tg 45° =1.
Si può fare una verifica analitica, basata sul fatto che tg45° = 1 in quanto il raggio OP rappresenta nel caso in esame la direzione della bisettrice del 1°
quadrante, quindi di coefficiente angolare 1 .
Si ricava poi cos45° =
2
1 1 1 2
1 tg 45 = 2 = 2 = 2
+ ° e quindi sen45° =
cos (90°-45°) = cos45° = 2 2 .
Si può anche ricorrere alla seguente prova geometrica diretta:
Il triangolo OHP (della fig. 8), dove P rappresenta l’estremo dell’arco di 45°, è un triangolo rettangolo isoscele (sulla base OP) avendo OHP=90° e OPH=180° - 90° - 45° = 45°.
Quindi, per il teorema di Pitagora, OP
2= OH
2+ HP
2= 2 OH
2da cui consegue OH
2= ½ OP
2= ½ (essendo OP = 1 in quanto raggio del cerchio goniometrico).Dunque OH = cos45° = 2
2 . Inoltre sen45° = HP=OH= 2
2 , ed infine tg45° = HP/OH = 1.
y
x
P
O H
45°
FIG. 8
45°
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
Arco di 60° ( π/3)
Si proverà che sen60° = 3
2 , cos 60° = 1
2 e tg 60° = 3 . Il triangolo OAP, individuato, nella fig. 9, dal punto P che rappresenta l’arco di 60° e dal punto A origi ne degli archi, è equilatero. Ed infatti dall’essere OA = OP il triangolo risulterà isoscele sulla base AP e quindi avrà angoli uguali OPA n e OAP n aventi somma 120°. Ne risultano due angoli uguali di 60° e perciò il triangolo sarà equilatero.
Ne segue OH = cos60° = 1 2 .
Dall’identità pitagorica (I rel. fond.) si calcola poi il seno:
sen60° =
21 3 3
1 cos 60 1
4 4 2
− ° = − = =
Infine risulta
3
sen60 2
tg60 3
cos 60 1 2
° = ° = =
° ed
ovviamente cos 60 1 3
cotg60
sen60 3 3
° = ° = =
° Arco di 30° ( π/6) E’ cos30° = 3
2 , sen 30° = 1
2 e tg 30° = 1 3
3 = 3 in quanto 30° è il complementare di 60° e scambia con quest’ultimo le funzioni con le cofunzioni (il seno diventa il coseno, ecc).
L’arco di 18° ( π/10 )
L’arco di 18° è considerato notevole in quanto metà di 36° e quarta parte di 72°: questi angoli sono anch’essi notevoli, in quanto il pentagono regolare (angolo al centro 360° / 5 = 72°) ed il decagono regolare (angolo al centro 360° / 10 = 36° ) sono poligoni che appartengono alla storia antica della matematica.
Si ricorda che la sezione aurea di un segmento lungo R è la sua parte x che è media proporzionale fra R e la parte restante, cioè
R : x = x : (R – x) Per calcolare x si ha:
2 2
2 2 2
R R 4R
R(R x) x x Rx R 0 x
2
− ± +
− = ⇒ + − = ⇒ = e, scegliendo
solo la soluzione positiva per esigenze geometriche, si ottiene infine x = 5 1 2 R
− . Il numero 5 1 2
− è
detto, spesso, il rapporto aureo.
Ora si dimostrerà un classico teorema di geometria, più volte richiesto in sede di Esame di Stato:
y
x
P
O H
60°
A
FIG. 9
60°
6 6
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
Teorema: Il lato del decagono regolare è sezione aurea del raggio.
Dim (fig.10):
Sia dato un decagono regolare di centro A e sia ABC uno dei 10 triangoli isosceli uguali in cui la figura si può dividere.
L’angolo in A è 360° /10 = 36° e quindi in C e B si hanno due angoli uguali, ciascuno 72°.
Considerando la bisettrice CD si forma un triangolo CBD avente l’angolo in B di 72°, in C di 36° e quindi di 72° in D.
Esso è allora isoscele e simile a ABC.
Anche DCA risulta isoscele, avendo in A e C angoli uguali
di 36°. Ne consegue AD=DA=CB. Quindi il lato CB si può considerare come la parte AD del raggio AB.
Dalla similitudine dei triangoli ABC e CBD si può trarre la proporzione AB : CB = CB : DB. Tenendo conto che CB = AD, essa si riscrive nella forma
AB : AD = AD : DB da cui risulta che AD (e quindi CB) è la sezione aurea del raggio.
In definitiva il lato del decagono regolare è CB = 5 1 2
− R (essendo R = AB il raggio).
E’ quindi po ssibile calcolare seno e coseno di 18°: se si considera (fig. 11) il punto P estremo dell’arco di 18° e la sua proiezione H sull’asse x, il segmento PH = sen18° sarà esattamente metà del lato PQ di
un decagono regolare (si veda la figura a lato).
Dunque si avrà sen18° = PQ/2 = 5 1 4
− e , dalla
relazione pitagorica, cos18° = 10 2 5 4 + A
C B
A
C B
D
36°
36° 72°
72°
36°
FIG. 10
y
x
P
O H
18°
Q
18°
FIG. 11 H
18°
18°
36°
36° 72°
72°
36°
°
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
1.5 Le funzioni goniometriche inverse
Se si esaminano i diagrammi delle funzioni goniometriche oppure si riflette sulla questione degli archi associati o sulla periodicità, si nota che le funzioni circolari sono non biunivoche, cioè esistono molti (infiniti) valori di angolo che determinano lo stesso seno o lo stesso coseno o la stessa tangente.
Ciò significa che per effettuare l’inversione delle tre funzioni sarà necessario qualche accorgimento per limitare l’intervallo in cui considerare gli angoli (dovremo cioè operare su opportune restrizioni).
La funzione y = arcsenx , inversa della funzione x = sen y.
Nella fig.12 si noti l’inversione degli assi, dovuta al fatto che si intende definire una funzione y = arcsenx partendo da quella già nota, cioè x = sen y, che deve essere invertita.
Invece di disegnare l’intera sinusoide, si limitino gli angoli all’intervallo [ - π/2 ;+
π/2], in modo che il diagramma diventi un unico ramo crescente e quindi biunivoco, con codominio [-1; 1] (così viene definito l’insieme dei valori acquisiti da x).
In altre parole, per qualunque X preso nell’intervallo [ -1;1] (sull’asse verticale) esiste un unico e ben definito angolo Y (sull’ asse orizzontale, nella figura) tale che senY=X. Tale angolo Y è l’arco il cui seno è X e perciò si indica con Y = arcsen X.
In conclusione la funzione y = arcsen x ha campo di esistenza [-1;+1] e rappresenta l’arco, compreso fra - π/2 e + π/2 , il cui seno è x.
La funzione y = arccosx , inversa della funzione x = cosy.
Anche nella fig.13 sono stati invertiti gli assi, in quanto si intende definire la funzione y = arccosx invertendo x = sen y.
Invece di disegnare l’intera cosinusoide, si limitino gli angoli all’intervallo [0 ; π], in modo che il diagramma diventi un unico ramo decrescente e quindi biunivoco, con codominio [-1; 1].
In altre parole, per qualunque X preso nell’intervallo
[-1;1] (sull’asse verticale, in figura) esiste un unico e ben definito angolo Y (sull’ asse orizzontale, nella figura) tale che cosY=X.
Tale Y è l’arco il cui coseno è X e perciò si indica con Y = arccosX.
In conclusione la funzione Y = arccosx ha campo di esistenza [-1;+1] e rappresenta l’arco, compreso fra 0 e π, il cui coseno è x.
x
y
1
−1
0
π/2−π/2
x = seny y = arcsenx
X
Y
FIG. 12 (Restrizione della funzione seno)
x
y
1
−1
0
π/2 πx = cosy y = arccosx X
Y
FIG. 13 (Restriz. coseno)
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
La funzione y = arctgx , inversa della funzione x = tgy.
Anche nella fig.14 sono stati invertiti gli assi, in quanto si intende definire la funzione y = arctg x invertendo x = tg y.
Invece di disegnare l’intera tangentoide, si limitino gli angoli all’intervallo [ - π/2; +π/2], in modo che il diagramma diventi un unico ramo crescente e quindi biunivoco, con codominio (- ∞;
+ ∞).
In altre parole, per qualunque X preso nell’intervallo
(- ∞; +∞) (sull’asse verticale, in figura) esiste un unico e ben definito angolo Y (sull’ asse orizzontale, nella figura) tale che tg Y=X. Tale Y è l’arco la cui tangente è X e perciò si indica con Y = arctg X. In conclusione la funzione y = arctgx ha campo di esistenza tutto l’asse reale R = ( - ∞; +∞) e rappresenta l’arco, compreso fra - π/2 e +π/2 la cui tangente è x.
Le equazioni goniometriche elementari
Sono considerate equazioni goniometriche elementari le seguenti, in cui x rappresenta l’incognita : sen x = m , cos x = m , tg x = m, cot x = m dove m ∈R è un numero reale.
sen α(x) = senβ(x), cosα(x) = cosβ(x), tgα(x) = tgβ(x)
dove α(x), β(x) sono due funzioni angolari, dipendenti da una variabile x.
Si analizzeranno dettagliatamente tutti i vari casi. Faremo riferimento alla fig. 15.
L’equazione senx = m non ha soluzioni per m < -1 e per m > 1.
Invece per m ∈[-1;1] ammette due soluzioni principali supplementari θ e (π - θ), dove si considera θ = arcsen(m).
Si hanno poi due successioni di soluzioni (a causa della periodicità le soluzioni si succedono con periodo 2 π:
x = θ + 2kπ ∨ x = π - θ + 2kπ (dove k ∈Z)
Se invece si ha un’equazione del tipo sen α(x) = sen β(x), deve necessariamente dedursi che i due angoli α(x) e β(x), sono uguali o supplementari (salvo differenze di giri completi). Si scriveranno perciò le seguenti equazioni:
α(x) = β(x) + 2kπ ∨ α(x) + β(x) = π + 2kπ che, risolte, forniranno le soluzioni cercate.
x
0
π/2 y−π/2
x = tgy y = arctgx X
Y
FIG. 14
y
x θ
m
1
−1
π−θ
FIG. 15
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
L’equazione cosx = m non ha soluzioni per m < -1 e per m > 1 (vedi fig. 16).
Invece per m ∈[-1;1] ammette due soluzioni principali opposte θ e π - θ, dove si considera θ
= arccos(m).
Si hanno poi due successioni di soluzioni (a causa della periodicità le soluzioni si succedono con periodo 2 π:
x = ±θ + 2kπ ( ove k∈Z)
Se invece si ha un’equazione del tipo cos α(x) = cos β(x), deve necessariamente dedursi che (salvo differenze di giri completi) i due angoli α(x) e β(x), sono uguali o opposti. Si scriveranno perciò
le seguenti equazioni:
α(x) = β(x) + 2kπ ∨ α(x) = - β(x) + 2kπ che, risolte, forniranno le soluzioni cercate.
L’equazione tgx = m ha sempre soluzioni, per qualunque valore del numero m (si veda la fig. 17).
Trovato l’angolo principale θ = arctg(m), tutte le altre soluzioni si ottengono considerando la periodicità π della funzione tangente e perciò:
x = θ + kπ ( ove k ∈Z)
Se invece si ha un’equazione del tipo tg α(x) = tg β(x), deve necessariamente dedursi che (salvo differenze dovute alla periodità di mezzo giro) due angoli α(x) e β(x) sono uguali. Si potrà così scrivere l’equazione
α(x) = β(x) + kπ che, risolta, fornirà le soluzioni cercate.
Tutte le equazioni, se risolubili, si trasformano in una o più equazioni elementari, come quelle innanzi viste. Alcuni casi sono i seguenti:
sen α(x) + senβ(x) = 0
tenendo conto che il seno è funzione dispari, si esegue la sostituzione sen β(x) = - sen(-β(x)) per cui l’equazione diviene sen α(x) – sen(-β(x)) = 0, ovvero senα(x) = sen(-β(x)) che rientra nei casi precedenti.
cos α(x) + cosβ(x) = 0
Per cambiare segno al secondo termine si può eseguire la sostituzione cos β(x) = - cos(π-β(x)) per cui l’equazione diviene cos α(x) – cos(π-β(x)) = 0, ovvero cosα(x) = cos(π-β(x) che rientra nei casi precedenti.
y
x θ
m 1
−1
−θ
FIG. 16
y
x θ
m
θ+π
FIG. 17
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
sen α(x) = cosβ(x)
Per rientrare nei casi precedenti si ricorda che il coseno è il seno del complementare, perciò
cos β(x) = sen(π/2 - β(x)). da cui l’equazione sen α(x) = sen(π/2-β(x) che rientra nei casi precedenti.
1.6 Le formule goniometriche
Formula di sottrazione per il coseno: è l’identità cos( α −β = ) cos cos α β + sen sen α β
N.B. Si ricordi che un’identità è valida per qualunque valore degli archi α e β
Si prendano (fig. 18) i punti A, B che rappresentano gli angoli α, β, si consideri la differenza α - β e la si riporti sull’arco DC, dove D(1,0) rappresenta l’origine degli archi.
Le due corde AB e CD hanno stessa lunghezza, essendo associate ad angoli al centro uguali.
Esprimendo le distanze AB e CD con la nota formula di geometria analitica d =
2 2
2 1 2 1
(x − x ) + (y − y ) si otterrà la formula cercata.
Si scrivano primo luogo le coordinate dei quattro punti:
A(cos α; senα) , B(cosβ; senβ), C(cos(α-β);
sen( α-β)), D(1;0).
Infine, partendo dall’uguaglianza CD = AB si ricava:
CD
2= AB
2⇒ [ cos( α − β − ) 1 ] [
2+ sen( α −β − ) 0 ] (
2= cos β − cos α + ) (
2sen β − sen α )
2⇒
⇒ cos (
2α −β + − ) 1 2cos( α −β + ) sen (
2α −β = ) cos
2β + cos
2α − 2cos cos β α + sen
2β+ sen
2α − 2sen sen β α Si osservi che al 1° membro compaiono una unità pitagorica, cioè cos (
2α −β + ) sen (
2α −β = che ) 1 sommata all’unità numerica 1 fornisce 2. Al 2° membro si hanno due unità pitagoriche, cioè
2 2
cos β+ sen β = e 1 cos
2α + sen
2α = , la cui somma è ancora 2. Semplificando le quattro unità rilevate 1 (2 a sinistra e 2 a destra), si ha dunque − 2cos( α −β = − ) 2cos cos β α − 2sen sen β α .
Infine, cambiando tutti segni e semplificando per 2, si ha la formula.
Le formule di addizione e sottrazione
Dalla precedente formula scaturiscono tutte le altre identità note come formule di addizione e sottrazione.
Addizione per il coseno: cos( α + β = ) cos cos α β − sen sen α β
La dimostrazione si ottiene sostituendo nella formula di sottrazione l’angolo - β al posto di β, ottenendo cos( α − −β = ( )) cos cos( α −β − ) sen sen( α −β . Ricordando che il seno è funzione tipo dispari ed il coseno ) è tipo pari, eseguendo qualche calcolo si ha la formula cercata.
Addizione per il seno: sen( α + β = ) sen cos α β + sen cos β α
La dimostrazione si ottiene sostituendo, nella formula di sottrazione del coseno, l’angolo 90° - α al posto di α, ottenendo così cos(90 ° − α −β = ) cos(90 ° − α ) cos β + sen(90 ° − α )sen β da cui si ricava la formula cercata, tenendo conto che cos(90 ° − α −β = ) cos[90 ° − α + β = ( )] sen( α + β ) e che
cos(90 ° − α = ) sen α , cos(90 ° − β = ) sen β .
yA
xB C
D α
β α−β
α−β
Ο
FIG. 18 α α
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
Sottrazione per il seno: sen( α −β = ) sen cos α β − sen cos β α
La dimostrazione si ottiene sostituendo, nella formula di addizione del seno, l’angolo - β al posto di β, ottenendo così sen( α − β = ) sen cos( α −β + ) sen( −β ) cos α = sen cos α β − sen cos β α .
Addizione per la tangente: tg tg
tg( )
1 tg tg α + β α + β =
− α ⋅ β Dalla ovvia relazione sen( ) sen cos cos sen
tg( )
cos( ) cos cos sen sen
α + β α β + α β
α + β = =
α + β α β − α β si ricava la formula cercata, dividendo tutti i termini per il monomio cos αcosβ: (al numeratore ed al denominatore, conformemente alla proprietà invariantiva delle frazioni) e poi semplificando e tenendo conto dell’identità della
tangente:
sen cos
tg( )
α β
α + β = cos α cos β
cos α
+ sen
cos β α cos cos cos
β
α β
cos cos α β
tg tg 1 tg tg sen sen
cos cos
α + β
= − α β
α β
− α β
Sottrazione per la tangente: tg tg
tg( )
1 tg tg α − β α − β =
+ α ⋅ β Basta sostituire - β al posto di β e tener conto che tg(-β) = - tgβ.
Formule di duplicazione cos 2 α = cos
2α − sen
2α ; sen2 α = 2sen cos α α ; 2tg
2tg2 1 tg
α = α
− α
Se nelle tre formule di addizione degli archi si sostituisce α al posto di β, si ottengono le formule di duplicazione cercate:
cos( α + β = ) cos cos α β − sen sen α β ⇒ cos( α + α = ) cos cos α α − sen sen α α ⇒ cos 2 α = cos
2α − sen
2α sen( α + β = ) sen cos α β + cos sen α β ⇒ cos( α + α = ) sen cos α α + cos sen α α ⇒ sen2 α = 2sen cos α α
tg tg
tg( )
1 tg tg α + β α + β =
− α ⋅ β ⇒ tg tg
tg( )
1 tg tg α + α α + α =
− α ⋅ α ⇒ 2tg
2tg2 1 tg α = α
− α
N.B.1 cos 2 α = cos
2α − sen
2α = (cos α − sen )(cos α α + sen ) α (1) cos 2 α = cos
2α − sen
2α = − 1 sen
2α − sen
2α = − 1 2sen
2α (2) cos 2 α = cos
2α − sen
2α = cos
2α − + 1 cos
2α = 2 cos
2α − 1
N.B.2 E’ possibile trasformare i monomi di 2° grado in seno e coseno in espressioni di 1° grado dell’arco doppio. Si tratta di formula utili in varie occasioni.
Esse sono: (3)
21 cos 2
sen 2
− α
α = (4)
21 cos 2
cos 2
+ α
α = (5) sen2
sen cos
2 α α = α
La (3) e la (4) si deducono facilmente ricavando sen
2α e cos
2α dalle (1) e (2). La terza deriva dalla formula di duplicazione per il seno.
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
Formule di bisezione
Dalle formule (3) e (4) precedenti, sostituendo 2
α in luogo di α si ricava:
2
1 cos
sen 2 2
α = − α ⇒ 1 cos
sen 2 2
α = ± − α
2
1 cos
cos 2 2
α = + α ⇒ 1 cos
cos 2 2
α = ± + α
L’indeterminazione di segno può essere eliminata solo se si conosce il quadrante a cui appartiene l’angolo
2
α (attenzione: occorre sempre tenere ben presente questa osservazione)
Riguarda alla tangente si ha:
2 2
2
sen 2 1 cos
tg 2 cos 1 cos
2
α = α α = − + α α ⇒ 1 cos
tg 2 1 cos
α = ± − α
+ α
L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cos α oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( )
( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen
tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
− α + α
α = ± = ± − α = ± α = α
+ α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2
α . In tale verifica è necessario considerare il denominatore 1+cos α non negativo (in quanto cosx ≥ -1 ⇒ 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
quadrante.
Nel secondo caso si ha: ( )( )
( )( )
2 2
2 2
1 cos 1 cos (1 cos ) (1 cos ) 1 cos
tg 2 1 cos 1 cos 1 cos sen sen
− α − α
α = ± = ± − α = ± − α = − α
+ α − α − α α α
Anche in questo caso l’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si può verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2
α . In questa verifica è necessario considerare il denominatore 1+cos α non negativo (in quanto cosx ≥ -1 ⇒ 1+cosα
≥ 0).
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
Formule parametriche razionali
Servono ad esprimere le tre funzioni sen α, cosα, tgα, mediante un unico parametro numerico t = tg 2 α .
Si ottengono dalle formule di duplicazione, scritte però per l’angolo α in luogo di 2α (ed ovviamente 2 α al posto di α):
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2sen cos
2 2
2sen cos cos 2tg
2 2 2 2 2t
sen 2sen cos
2 2 cos sen cos sen 1 tg 1 t
2 2 2 2 2
cos cos
2 2
α α
α α α α
α α
α = = α + α = α α = + α = +
α + α
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
cos sen
2 2
cos sen cos cos 1 tg
2 2 2 2 2 1 t
cos cos sen
2 2 cos sen cos sen 1 tg 1 t
2 2 2 2 2
cos cos
2 2
α α
α − α α − α − α
α α −
α = − = α + α = α α = + α = +
α + α
2
2 2 2 2
2tg 1 tg 2tg
sen 2 2 2 2t
tg cos 1 tg 1 tg 1 tg 1 t
2 2 2
α + α α
α = α α = + α ⋅ − α = − α = −
Formule di prostaferesi
Si tratta di formule che consentono di trasformare somme e differenze di seni o coseni in prodotti:
p q p q p q p q
senp senq 2sen cos senp senq 2sen cos
2 2 2 2
+ − − +
+ = − =
p q p q p q p q
cos p cos q 2 cos cos cosp cos q 2sen sen
2 2 2 2
+ − − +
+ = − = −
Esse si ricavano dalle formule di addizione e sottrazione con un tipico procedimento di cui si darà un solo esempio, lasciando gli altri tre casi come utile esercizio.
Partendo da sen( ) sen cos cos sen sen( ) sen cos cos sen
α + β = α β + α β
⎧ ⎨ α −β = α β − α β
⎩ , sommando membro a membro si ha
sen( α + β + ) sen( α −β = ) 2sen cos α β . Si ponga poi al primo membro p q α + β =
⎧ ⎨α−β =
⎩ ed al secondo
membro quanto ottenuto per α e β ricavati con i passaggi
p q
p 2 p q 2
q 2 p q p q
2
⎧α = + α + β = α = + ⎪
⎧ ⇔ ⎧ ⇔ ⎪
⎨ α −β = ⎨ β = − ⎨ −
⎩ ⎩ ⎪β =
⎪⎩
.
Sostituendo il tutto, infatti, si ottiene p q p q senp senq 2sen cos
2 2
+ −
+ = .
In modo analogo si ottengono le altre tre formule.
corrispondente sulla circonferenza goniometrica.L’ultima formula può essere ulteriormente modificata, moltiplicando (sotto radice) numeratore e denominatore per 1 + cosα oppure per 1 - cosα.
Nel primo caso si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos sen sen tg 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos α= ± − α + α = ±− α = ± α = α + α + α + α + α + α
L’assenza del simbolo ± nell’ultima formula non è un errore. Infatti si verificherà che formula ottenuta è valida indipendentemente da quadrante in cui si trova
2 α
. In tale verifica è necessario considerare il
denominatore 1+cosα non negativo (in quanto cosx ≥ -1 � 1+cosα ≥ 0):
Se 2
α è del 1° quadrante allora α, che è il doppio, è del 1° o 2° quadrante. In tal caso il seno è positivo ed occorre il segno "+".
Se 2
α è del 2° quadrante allora α, che è il doppio, è del 3° o 4° quadrante. In tal caso il seno è negativo come il primo membro ed segno "+".
Per 2
α nel 3° e 4° quadrante si applica la periodicità di mezzo giro e ci riduce al 1° o 2°
Formule di Werner
Hanno una funzione inversa rispetto alle formule di prostaferesi. Si ottengono dalle formule di addizione e sottrazione, sommando o sottraendo le due del seno o le due del coseno.
Ad esempio, partendo da sen( ) sen cos cos sen sen( ) sen cos cos sen
α + β = α β + α β
⎧ ⎨ α − β = α β − α β
⎩ si ha
sen( α + β + ) sen( α − β = ) 2sen cos α β , ovvero
sen( ) sen( )
sen cos
2
α + β + α − β
α β =
le altre, ottenute in maniera simile, sono:
cos( ) cos( )
cos cos
2
cos( ) cos( )
sen sen
2
α − β + α + β α ⋅ β =
α − β − α + β α ⋅ β =
Schema riassuntivo valori del seno e del coseno
Nota: occorre sempre ricordare che il coseno e il seno di un angolo rappresentano, rispettivamente, l'ascissa e l'ordinata del punto corrispondente sulla circonferenza goniometrica.
