Sistemi di equazioni lineari
Siano X1, . . . , Xn indeterminate. Un’equazione lineare (o di primo grado) nelle incognite X1, . . . , Xn a coefficienti nel campo K `e della forma
a1X1+ . . . + anXn = b, ai, b ∈ K, 1 ≤ i ≤ n. (0.1) Una soluzione di (0.1) `e un elemento (x1, . . . , xn) ∈ Kn tale che sostituito al posto della n–upla delle indeterminate (X1, . . . , Xn) d`a luogo ad un’identit`a. L’equazione (0.1) si dice omogenea se b = 0, altrimenti si dice non omogenea.
Se si considerano simultaneamente m ≥ 1 equazioni lineari nelle incognite X1, . . . , Xn:
a11X1+ a12X2+ . . . + a1nXn = b1 a21X1+ a22X2+ . . . + a2nXn = b2
...
am1X1+ am2X2+ . . . + amnXn = bm
, (0.2)
si ottiene un sistema di m equazioni lineari nelle incognite X1, . . . , Xn.
Il sistema (0.2) si dice omogeneo se b1 = . . . = bm = 0, mentre si dice non omogeneo se bi 6= 0, per qualche i, con 1 ≤ i ≤ m. Una soluzione di (0.2) `e una n–upla (x1, . . . , xn) ∈ Kn tale che essa `e soluzione simultanea delle m equazioni lineari di (0.2). Il sistema (0.2) si dice compatibile se ammette soluzioni, altrimenti si dice non compatibile.
Si noti che ogni sistema omogeneo `e compatibile, in quanto ammette sempre come soluzione il vettore nullo di Kn. Tale soluzione `e detta soluzione banale. Una soluzione diversa dal vettore nullo si dice soluzione non–banale.
Il sistema
a11X1+ a12X2+ . . . + a1nXn = 0 a21X1+ a22X2+ . . . + a2nXn = 0
...
am1X1+ am2X2+ . . . + amnXn= 0
, (0.3)
si dice sistema omogeneo associato a (0.2).
Proposizione 0.1. Se il sistema (0.2) `e compatibile, allora le sue soluzioni sono tutte e sole le n–uple ottenute sommando ad una di esse le soluzioni del sistema omogeneo associato.
Proof. Si denotino con Σ e Σ0 i sottoinsiemi di Kn le cui n–uple sono rispettivamente le soluzioni del sistema (0.2) e del sistema omogeneo associato. Se (x1, . . . , xn) ∈ Σ e (y1, . . . , yn) ∈ Σ0, allora (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn+ yn) ∈ Σ, infatti aj1(x1+ y1) + aj2(x2+ y2) + . . . + ajn(xn+ yn) = aj1x1+ aj2x2+ . . . + ajnxn+ aj1y1+ aj2y2+ . . . + ajnyn = bj + 0 = bj, 1 ≤ j ≤ m. Viceversa, se (x1, . . . , xn) ∈ Σ, presa comunque (z1, . . . , zn) ∈ Σ, si ha (z1−x1, z2−x2, . . . , zn−xn) ∈ Σ0. Infatti aj1(z1−x1)+aj2(z2−x2)+
. . . + ajn(zn− xn) = aj1z1+ aj2z2+ . . . + ajnzn− (aj1x1+ aj2x2+ . . . + ajnxn) = bj− bj = 0, 1 ≤ j ≤ m. Poich`e (z1, . . . , zn) = (x1, . . . , xn) + (z1− x1, . . . , zn− xn), segue l’asserto.
Al sistema (0.2) `e possibile associare la matrice formata dai coefficienti del sistema:
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... . .. ... an1 an2 . . . ann
,
A `e detta matrice associata al sistema (0.2) o matrice dei coefficienti del sistema (0.2) o matrice incompleta del sistema (0.2). Aggiungendo ad A come (n + 1)–esima colonna la
colonna dei termini noti b =
b1 b2 ... bm
si ottiene
A =¯
a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 ... ... . .. ... ... an1 an2 . . . ann bm
che `e detta matrice completa del sistema (0.2). Ponendo X =
X1 X2 ... Xm
, si ha che il
sistema (0.2) si pu`o esprimere in forma matriciale:
AX = b.
Due sistemi di equazioni lineari nelle incognite X1, . . . , Xn si dicono equivalenti se possiedono le stesse soluzioni. (Si noti che due sistemi equivalenti non necessariamente hanno lo stesso numero di equazioni).
Un sistema di equazioni lineari nelle incognite X1, . . . , Xn si dice a gradini se la matrice associata al sistema `e a gradini ed `e priva di righe nulle.
Proposizione 0.2. Un sistema a gradini `e sempre compatibile. In particolare esso am- mette un’unica soluzione oppure ∞n−m soluzioni a seconda che n = m oppure m < n.
Proof. Si noti che per un sistema a gradini si ha m ≤ n. Se m = n, allora il sistema sar`a del tipo
a11X1+ a12X2+ . . . + a1nXn = b1 a22X2+ . . . + a2nXn = b2
... annXn = bn
Allora dall’ultima equazione si ha xn = a−1nnbn e procedendo con le sostituzioni a ritroso si ottiene un’unica soluzione (x1, . . . , xn) ∈ Kn. Pertanto un sistema di equazioni lineari
a gradini di n equazioni in n incognite `e compatibile e possiede un’unica soluzione.
Se m < n, sia aij il pivot della i–esima riga della matrice A associata al sistema. Si noti che se aij `e il pivot della i–esima riga e akh `e il pivot della k–esima riga, con i < k, allora j < h. Possiamo supporre che X1, . . . , Xm siano le incognite del sistema aventi come coefficienti i pivot della matrice A. Allora il sistema considerato `e equivalente al seguente:
a11X1 + a12X2 + . . . + a1nXm = b1− (a1m+1Xm+1+ . . . + a1nXn) a22X2+ . . . + a2mXm = b2− (a2m+1Xm+1+ . . . + a2nXn)
...
ammXm = bm− (amm+1Xm+1+ . . . + amnXn)
(0.4)
Attribuendo valori arbitrari tm+1, . . . , tn ∈ K alle incognite Xm+1, . . . , Xn si ottiene un sistema a gradini di m equazioni nelle m incognite X1, . . . , Xm, il quale ha un’unica soluzione. Pertanto il sistema (0.4) ammette le infinite soluzioni al variare dei parametri tm+1, . . . , tn ∈ K. Pertanto un sistema di equazioni lineari a gradini di m equazioni in n incognite `e compatibile e possiede ∞n−m soluzioni.
Osservazione 0.3. Un’equazione lineare a1X1 + . . . + anXn = b, con (a1, . . . , an) 6=
(0, . . . , 0), si pu`o considerare come un sistema a gradini, pertanto essa possiede ∞n−1 soluzioni.
Metodo di eliminazione di Gauss–Jordan
Il metodo di eliminazione di Gauss–Jordan consente di stabilire se un sistema `e compati- bile ed in caso affermativo di trovarne le soluzioni. Esso consiste nel sostituire il sistema assegnato con un sistema a gradini ad esso equivalente mediante passaggi successivi detti operazioni elementari sulle equazioni del sistema, che corrispondono ad altrettante oper- azioni elementari di riga sulle righe della matrice completa del sistema. Le corrispondenti operazioni elementari sulle equazioni del sistema sono:
Proposizione 0.4. Le soluzioni di un sistema non cambiano se esso viene sottoposto ad una qualunque selle seguenti operazioni, dette operazioni elementari sulle equazioni:
i) scambio di due equazioni,
ii) moltiplicazione di entrambi i membri di un’equazione per uno scalare non nullo, iii) addizione di un multiplo di una equazione ad un’altra equazione.
Se si effettua su un sistema un’operazione elementare di tipo i), il nuovo sistema che si ottiene `e equivalente al precedente in quanto le soluzioni di un sistema non dipendono dall’ordine in cui si considerano le sue equazioni.
Analogamente, se si effettua un’operazione di tipo ii), le soluzioni non cambiano in quanto equazioni proporzionali hanno le stesse soluzioni.
Infine se si effettua una operazione di tipo iii), allora anche in tal caso si ottengono sistemi equivalenti. Infatti la n–upla (x1, . . . , xn) ∈ Kn soddisfa due equazioni
ai1X1+ . . . + ainXn= bi, aj1X1+ . . . + ajnXn = bj, se e solo se `e soluzione delle equazioni
ai1X1+ . . . + ainXn = bi, c(ai1X1+ . . . + ainXn) + (aj1X1+ . . . + ajnXn) = cbi+ bj, per ogni scalare c ∈ K.
Esempi 0.5. Sia K = R.
1.
X1+ 2X2+ 3X3 = 1 2X1+ X2+ 4X3 = 2 3X1− 3X2+ X3 = 1
, A =¯
1 2 3 1
2 1 4 2
3 −3 1 1
R02 = R2− 2R1 R03 = R3− 3R1
1 2 3 1
0 −3 −2 0
0 −9 −8 −2
,
R03 = R3− 3R2
1 2 3 1
0 −3 −2 0
0 0 −2 −2
,
X1+ 2X2+ 3X3 = 1
−3X2− 2X3 = 0
−2X3 = −2
,
pertanto l’unica soluzione del sistema `e −23, −23, 1 ∈ R3.
2.
X3+ 2X4 = 3 2X1+ 4X2− 2X3 = 4 2X1+ 4X2− X3+ 2X4 = 7
, A =¯
0 0 1 2 3
2 4 −2 0 4 2 4 −1 2 7
R03 = R1
2 4 −1 2 7 2 4 −2 0 4
0 0 1 2 3
,
R02 = R2− R1
2 4 −1 2 7
0 0 −1 −2 −3
0 0 1 2 3
,
R03 = R3+ R2
2 4 −1 2 7
0 0 −1 −2 −3
0 0 0 0 0
,
2X1+ 4X2 − X3+ 2X4 = 7
−X3− 2X4 = −3 0 = 0
, X4 = u, X2 = t, X3 = 3 − 2u, X1 = 5 − 2u − 2t,
pertanto il sistema ammette le ∞2 soluzioni: (5 − 2u − 2t, t, 3 − 2u, u) ∈ R4, t, u ∈ R.
3.
X1+ X2+ 2X3+ X4 = 0 X1+ X2+ X3 + 2X4− X5 = 0
X1+ X2 + 3X4 − 2X5 = 0 X1+ X2+ 3X3+ X5 = 0
, A =¯
1 1 2 1 0 1 1 1 2 −1 1 1 0 3 −2 1 1 3 0 1
R02 = R2− R1 R03 = R3− R1 R04 = R4− R1
1 1 2 1 0
0 0 −1 1 −1
0 0 −2 2 −2
0 0 1 −1 1
,
R03 = R3− 2R2
R04 = R4− R2
1 1 2 1 0
0 0 −1 1 −1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
,
X1+ X2+ 2X3+ X4 = 0
−X3+ X4− X5 = 0 , X4 = u, X5 = v, X2 = t, X3 = u − v, X1 = −t − 3u + 2v, pertanto il sistema ammette le ∞3 soluzioni: (−t − 3u + 2v, t, u − v, u, v) ∈ R5, t, u, v ∈ R.
4.
X1− 5X2 − 8X3+ X4 = 3 3X1 + X2− 3X3− 5X4 = 1
X1− 7X3+ 2X4 = −5 11X2+ 20X3− 9X4 = 2
, A =¯
1 −5 −8 1 3
3 1 −3 −5 1
1 0 −7 2 −5
0 11 20 −9 2
R02 = R2 − 3R1 R03 = R3− R1
1 −5 −8 1 3
0 16 21 −8 −8
0 5 1 1 −8
0 11 20 −9 2
,
R03 = R3− R2
1 −5 −8 1 3
0 16 21 −8 −8
0 −11 −20 9 0
0 11 20 −9 2
,
R04 = R4+ R3
1 −5 −8 1 3
0 16 21 −8 −8
0 −11 −20 9 0
0 0 0 0 2
,
X1− 5X2− 8X3+ X4 = 3 16X2+ 21X3− 8X4 = −8
−11X2− 20X3+ 9X4 = 0 0 = 2
,
pertanto il sistema non ammette soluzioni.
Teorema 0.6. (Teorema di Rouch`e–Capelli)
Un sistema di m equazioni in n incognite AX = b, dove A ∈ Mm,n(K), b ∈ Mm,1(K), X = (X1, . . . , Xn)t, `e compatibile se e solo se rg(A) = rg(A|b). In tal caso il sistema possiede ∞n−r, dove r = rg(A).
Proof. Sia A = (aij). Allora la n–upla (x1, . . . , xn) ∈ Kn `e soluzione di AX = b se e solo se
x1
a11 a21 ... am1
+ x2
a12 a22 ... am2
+ . . . + xn
a1n a2n ... amn
=
b1 b2 ... bm
.
Pertanto il vettore colonna b `e combinazione lineare dei vettori colonna di A. Questa ultima condizione `e equivalente a rg(A|b) = rg(A).
Se il sistema `e compatibile e r = rg(A), allora possiamo supporre che le prime r righe di A siano linearmente indipendenti ed applicando Gauss–Jordan `e possibile trasformarlo in un sistema a gradini con r equazioni. Allora, dal Teorema 0.2, esso ammetter`a ∞n−r soluzioni.
Teorema 0.7. (Teorema di Cramer)
Un sistema di n equazioni in n incognite AX = b, dove A ∈ GLn(K), b ∈ Mm,1(K), X = (X1, . . . , Xn)t, `e compatibile ed ammette l’unica soluzione (x1, . . . , xn) ∈ Kn, dove
xi = Pn
k=1bkAki
det(A) , 1 ≤ i ≤ n.
