Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2019/2020
Meccanica Razionale - Appello del 9/05/2020 Appello svolto in modalit` a a distanza
Nome ...
N. Matricola ... Ancona, 9 maggio 2020
1. (15 punti) Una circonferenza di raggioR e massa M ruota con velocit`a angolare ω = ω bk attorno al suo centro O che `e fisso nell’origine del piano verticale O(x, y), con l’asse y verticale ascendente. Sul punto A della circonferenza `e incernierata l’asta AB, di lunghezza L e massa m, libera di ruotare attorno ad A. Sul punto A agisce inoltre una forza viscosa di costante di viscosit`a λ. Utilizzando le coordinate lagrangiane θ e ϕ indicate in figura, scrivere le equazioni del moto utilizzando le equazioni di Lagrange.
O
A
B R
y
x
θ
ϕ
ω
F
λPS.: si possono usare le formule notevoli per il momento d’inerzia di un’asta rispetto ad un asse baricentrale e perpendicolare all’asta, I0 =m L2/12, e per una circonferenza rispetto ad un asse baricentrale e perpendicolare al piano della circonferenza I0 =M R2.
Svolgimento. Energia cinetica della circonferenza:
TC = 1
2I ω2 = 1
2M R2ω2
Centro di massa dell’asta:
P0− O = L 2
bi cos θ + bj sin θ + R
bi cos ϕ + bj sin ϕ v0= L
2 θ˙
−bi sin θ + bj cos θ + R ˙ϕ
−bi sin ϕ + bj cos ϕ v20 = L2
4
θ˙2+ R2ϕ˙2+ R L ˙θ ˙ϕ (cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ) =
= L2 4
θ˙2+ R2ϕ˙2+ R L ˙θ ˙ϕ cos(θ − ϕ) Energia cinetica dell’asta:
Ta= 1
2m v02+1 2I ˙θ2 =
= 1
2m L2 4
θ˙2+ R2ϕ˙2+ R L ˙θ ˙ϕ cos(θ − ϕ)
+1
2 1
12m L2θ˙2 =
= 1
2m L2
3 θ˙2+ R2ϕ˙2+ R L ˙θ ˙ϕ cos(θ − ϕ)
Energia cinetica totale:
T = TC+ Ta= 1
2M R2ω2+1
2m L2 3
θ˙2+ R2ϕ˙2+ R L ˙θ ˙ϕ cos(θ − ϕ)
All’energia potenziale contribuisce solo l’asta:
V = m g y0 = m g (R sin ϕ +L 2 sin θ) Punto A:
A − O = R
bi cos ϕ + bj sin ϕ vA= R ˙ϕ
−bi sin ϕ + bj cos ϕ Forze non conservative e forze generalizzate di Lagrange:
Fλ = −λ vA= −λ R ˙ϕ
−bi sin ϕ + bj cos ϕ Qθ = Fλ·∂A
∂θ = 0 Qϕ = Fλ·∂A
∂ϕ = −λ R ˙ϕ
−bi sin ϕ + bj cos ϕ
· R ˙ϕ
−bi sin ϕ + bj cos ϕ
=
= −λ R2ϕ˙ Lagrangiana
L = T − V
∂L
∂θ = −1
2m R L ˙θ ˙ϕ sin(θ − ϕ) − m gL 2 cos θ
∂L
∂ ˙θ = 1
3m L2θ +˙ 1
2m R L ˙ϕ cos(θ − ϕ)
∂L
∂ϕ = 1
2m R L ˙θ ˙ϕ sin(θ − ϕ) − m g R cos ϕ
∂L
∂ ˙ϕ = m R2ϕ +˙ 1
2m R L ˙θ cos(θ − ϕ)
Equazioni di Lagrange:
1
3m L2θ +¨ 1 2m R L
h
¨
ϕ cos(θ − ϕ) − ˙ϕ ( ˙θ − ˙ϕ) sin(θ − ϕ) i
+ +1
2m R L ˙θ ˙ϕ sin(θ − ϕ) + m gL
2 cos θ = 0 m R2ϕ +¨ 1
2m R Lh ¨θ cos(θ − ϕ) − ˙θ ( ˙θ − ˙ϕ) sin(θ − ϕ) i
− 1
2m R L ˙θ ˙ϕ sin(θ − ϕ) + m g R cos ϕ = −λ R2ϕ˙ Semplificando:
1
3m L2θ +¨ 1
2m R L ¨ϕ cos(θ − ϕ) + ˙ϕ2 sin(θ − ϕ) + m gL
2 cos θ = 0 m R2ϕ +¨ 1
2m R Lh ¨θ cos(θ − ϕ) − ˙θ2 sin(θ − ϕ)i
+ m g R cos ϕ = −λ R2ϕ˙ Siccome la circonferenza ruota con velocit`a costante abbiamo ˙ϕ = ω e ¨ϕ = 0. Quindi:
1
3m L2θ +¨ 1
2m R L ω2 sin(θ − ϕ) + m gL
2 cos θ = 0 1
2m R Lh ¨θ cos(θ − ϕ) − ˙θ2 sin(θ − ϕ)i
+ m g R cos ϕ = −λ R2ω
2. (15 punti) Calcolare la matrice d’inerzia della lamina piana di massa M mostrata in figura, dove AO = OH = L e C − O e B − O formano angoli di π/4 con l’asse x.
O L A L
B C
H y
x π
/Non si possono usare le formule notevoli dei momenti d’inerzia.
Svolgimento. Notiamo che il piano (x, z) `e di simmetria materiale, quindi l’asse y `e principale d’inerzia e quindi I12= 0. Per il calcolo dei restanti elementi della matrice `e conveniente riguardare il dominio come normale rispetto ad y. Inoltre, data la simmetria della figura, basta calcolare gli integrali sulla met`a del dominio ad y ≥ 0 e quindi raddoppiare. le equazioni delle rette su cui giacciono i lati AC ed OC sono rispettivamente
y = x ovvero x = y y = x + L
2 ovvero x = 2 y − L Il dominio della figura ad y ≥ 0 `e quindi:
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ L, 2 y − L ≤ x ≤ y}
Inoltre, l’area della figura `e L2. Quindi:
I11= 2 σ Z L
0
Z y 2 y−L
y2dx
dy = 2 σ Z L
0
y2(L − y) dy =
= 2 σ
LL3
3 −L4 4
= 2 σ 1
12L4= 1 6M L2 I22= 2 σ
Z L 0
Z y 2 y−L
x2dx
dy = 2 σ Z L
0
y3
3 −(2 y − L)3 3
dy =
= 2 σ L4 12 − 1
3 Z L
−L
z3dz 2
= 2 σ L4 12 − 0
= 1 6M L2 I33= I11+ I22= 1
3M L2
