Misura dei volumi dei solidi
Prof. Daniele Ippolito
Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia
Geometria euclidea dello spazio
Presentazione n. 8
Per misurare l’area delle figure piane si parte dall’area del rettangolo.
Richiamo di geometria piana: misura delle aree
A = b∙h b
h
In geometria solida, per definire il volume delle figure, si parte dalla misura del volume del prisma retto.
V = Ab∙h
Ab h
Prismi particolari:
Volume del cubo:
Volume del parallelepipedo rettangolo:
V = a∙b∙c
V = a3 a
Come calcolare il volume di un prisma obliquo o di un cilindro?
L’estensione di una superficie è un concetto primitivo.
Due superfici si dicono equiestese se hanno la stessa estensione.
La relazione di equiestensione è una relazione di equivalenza, ossia gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Due figure piane equiestese si dicono pertanto equivalenti.
Richiamo di geometria piana: equivalenza tra aree
A = b∙h
b
h b
Un criterio necessario e sufficiente per verificare l’equivalenza di due poligoni è la scomponibilità.
Due poligoni si dicono equiscomponibili se, mediante una scomposizione, è possibile trasformare l’uno nell’altro.
Ad esempio, parallelogrammi aventi stessa base e stessa altezza sono equivalenti, ossia hanno la stessa area.
Nello spazio, assumiamo anche l’estensione di un solido come concetto primitivo.
Anche la relazione di equiestensione tra due solidi è una relazione di equivalenza e quindi due solidi equiestesi si dicono equivalenti.
Un primo criterio sufficiente (ma non necessario) per verificare l’equivalenza tra due solidi è la scomponibilità.
Equivalenza tra volumi
Un secondo criterio sufficiente per l’equivalenza tra volumi è il principio di Cavalieri:
Se due solidi hanno la stessa altezza e se le loro sezioni, tagliate lungo piani perpendicolari all’altezza, sono equivalenti, allora anche i solidi sono equivalenti.
Conseguenze:
1) Due prismi aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.
Infatti, ogni sezione è congruente alle basi.
Volume del prisma obliquo: V = Ab∙h Ab Ab
h h
2) Un prisma e un cilindro aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.
Volume del cilindro:
V = πr2∙h
L’area di una regione piana definita dal grafico di una funzione f(x) è data dal suo integrale definito tra a e b.
Richiamo di geometria piana:
area di una superficie delimitata da una funzione
S =
Il volume di un solido, di cui è nota l’area di ogni sezione perpendicolare all’altezza, definita da una funzione S(x), è data dall’integrale definito di S(x) tra a e b.
Volume di un solido con il metodo delle sezioni parallele
Volume di un solido di rotazione attorno all’asse x
∫
= V
[ f x ] dx
dx x
S
V
ba
b
∫ = ∫
a= ( ) π ( )
2Il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse x del sottografico di una funzione f(x) definita tra a e b è:
Volume di un solido di rotazione attorno all’asse x
Se il solido è generato dalla rotazione della regione R compresa tra due funzioni f(x) e g(x), che si intersecano in a e b (con f(x) ≥ g(x) tra a e b), il volume del solido è:
[ ] ∫ [ ]
∫ −
=
ba b
a
π f(x) dx π g(x) dx
V
2 2R
f(x)
g(x)
a b
Volume di un solido di rotazione attorno all’asse y
Se f(x) è invertibile tra a e b, il volume del solido Σ, generato dalla rotazione attorno all’asse y della regione S, compresa tra il grafico di f(x) e l’asse y, è:
dy y
f V
f ba
∫
f −Σ
=
( )) (
2 1
( )]
π [
dove f -1(y) è la funzione inversa di f(x).
S
-1
Σ
Volume di un solido di rotazione attorno all’asse y
Il volume del solido Π, generato dalla rotazione attorno all’asse y della regione P, compresa tra il grafico di f(x) e l’asse x è:
dx x
xf
=
V
ba
( )
2 ∫
Π
π
Questa formula è valida anche se f(x) non è invertibile.
L’unione dei solidi Σ e Π forma un cilindro.
Π
P
Cono:
Piramide:
Sfera:
A partire da queste generalizzazioni, è possibile calcolare il volume di altri solidi, di cui elenco qui i risultati:
3 h V = A
b⋅
3
2
h V = π r ⋅
3
3
4 r
V = π
La formula del volume della sfera ci permette anche di giustificare il risultato della misura della superficie sferica.
Dividiamo la superficie sferica in tanti pezzi; consideriamo uno di essi e la piramide che ha vertice nel centro della sfera e per base il pezzo della superficie.
Il volume della sfera è la somma dei volumi delle piramidi che hanno vertice nel centro e base sulla superficie sferica:
Vsf = Vp1 + Vp2 + … + Vpn = 1/3 S1 r + 1/3 S1 r + … + 1/3 Sn r = = 1/3 Ssf r
Si ottiene quindi: Ssf = 3 Vsf / r = 3 ∙ 4/3 πr3 / r = 4πr2
Sk
