CALCOLO INTEGRALE

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CALCOLO INTEGRALE

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Calcolo Integrale

Dato un intervallo I ⊆ R, si affrontano due tipi di problematiche:

1. Integrazione indefinita.

Data f : I ⊆ R → R si vuole calcolare una funzione F (x ) : F⁰(x ) = f (x ), ovvero si vuole compiere l’operazione inversa della derivazione

2. Integrazione definita.

Data f : I ⊆ R → R si vuole calcolare l’area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione f (x ) e l’asse delle ascisse per x ∈ I , come indicato in figura

I y

x f(x)

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Integrazione indefinita

Definizione di primitiva.

Sia f : I ⊆ R → R.

Ogni funzione F derivabile in I e t.c.

F⁰(x ) = f (x ), ∀x ∈ I

`e dettaprimitiva di f in I.

Def. Una funzione f che ammette una primitiva `e detta integrabile in senso indefinito.

Esempio. f (x ) = cos(x ), I = R.

La funzione F (x ) = sin(x ) `e una primitiva di f in R, in quanto F⁰(x ) = D(sin(x )) = cos(x ) = f (x ), ∀x ∈ R.

Oss. Anche la funzione G (x ) = sin(x ) + 5 `e una primitiva di f in R.

Una qualsiasi funzione del tipo F (x ) = sin(x ) + c, con c ∈ R `e una primitiva di f (x ) = cos(x ).

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Teorema. Due primitive F (x ) e G (x ) della stessa funzione f (x ) sull’intervallo I possono differire solo per una costante, ovvero

G (x ) − F (x ) = c, con c ∈ R.

Dim. Sia H(x ) = G (x ) − F (x ). Se F e G sono due primitive, per definizione sono derivabili e lo `e anche la loro differenza, quindi H

`e derivabile e H⁰(x ) = G⁰(x ) − F⁰(x ) = f (x ) − f (x ) = 0. Per il Teorema della derivata nulla allora H(x ) `e costante su I , ovvero H(x ) = G (x ) − F (x ) = c.

Corollario. Sia f : I ⊆ R → R integrabile in senso indefinito su I , sia F (x ) una sua primitiva.

Alloratutte le primitive di f su I sono del tipo F (x ) + c, con c ∈ R

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Def. Indichiamo con Z

f (x )dx l’insieme di tutte le primitive di f in I , ovvero

Z

f (x )dx = {F (x ) + c, c ∈ R, F una primitiva di f }.

Z

f (x )dx `e detto integrale indefinito di f in dx.

Il calcolo della primitva F di una funzione f data `e un esempio di PROBLEMA INVERSO, precisamente`e il problema inverso della derivazione

e l’integrale della derivata di una funzione F (x ) rid`a la funzione stessa (pi`u una costante generica):

Z

F⁰(x )dx = F (x ) + c

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Esempio 1.

Z

cos(x )dx = sin(x ) + c (perch`e D(sin(x )) = cos(x )) Esempio 2.

Z dx =

Z

1dx = x + c Esempio 3.

Z

xdx =?

f (x ) = x , cerco F (x ) : F⁰(x ) = x . Ricordo che D(x²) = 2x , allora x = ¹₂D(x²) = D(¹₂x²). Ovvero F (x ) = ¹₂x² e

Z

xdx = 1 2x²+ c Esempio 4.

Z

x²dx =?

f (x ) = x², cerco F (x ) : F⁰(x ) = x².

Ricordo che D(x³) = 3x², allora x²= ₃¹D(x³) = D(¹₃x³).

Ovvero F (x ) = ¹₃x³ e Z

x²dx = 1 3x³+ c Z

x^αdx = 1

α + 1x^α+1+ c, α ∈ R \ {−1}

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Esempio 5.

Z

x⁻¹dx =Z 1 xdx =?

f (x ) =_x¹, cerco F (x ) : F⁰(x ) = _x¹.

Ricordo che D(log(x )) = ¹_x per x > 0 e D(log(−x )) = ¹_x per x < 0, allora

Z 1

xdx = log(|x |) + c, per x > 0 e x < 0 Ricordando le derivate delle funzioni elementari abbiamo:

Z

sin(x )dx = − cos(x ) + c Z

e^xdx = e^x+ c

Z 1

1 + x²dx = arctan(x ) + c

Z 1

√1 − x²dx = arcsin(x ) + c

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Esercizio 1. Calcolare la primitiva di f (x ) = sin(x ) che vale 5 in x₀ = π.

Sappiamo che Z

sin(x )dx = − cos(x ) + c. Tra tutte le primitive, cerco quella che vale 5 in x0 = π, ovvero − cos(π) + c =5. Ottengo una equazione in cui l’incognita `e c e la ricavo:

c = 5 + cos(π) = 5 − 1 = 4.

La primitiva cercata `e allora F (x ) = − cos(x ) + 4.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

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Propriet` a di linearit` a dell’integrale

Teorema

Siano f (x ) e g (x ) due funzioni integrabili (in senso indefinito) su I . Allora, ∀α, β ∈ R, anche la funzioneh(x ) = αf (x ) + βg (x )`e integrabile e si ha:

Z

(αf (x ) + βg (x ))dx = α Z

f (x )dx + β Z

g (x )dx

Esempio. Calcolare Z

(4x³+ 2x²− 5 1 + x²)dx . Z

(4x³+ 2x²− 5

1 + x²)dx = 4 Z

x³dx + 2 Z

x²dx − 5

Z 1

1 + x²dx

= 41

4x⁴+ c1+ 21

3x³+ c2− 5 arctan(x) + c₃

= x⁴+2

3x³− 5 arctan(x) + c

Oss. Si mette una sola costante per tutti gli integrali:

c = c₁+ c₂+ c₃.

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Regola di integrazione per parti

Teorema. Siano f (x ) e g (x ) due funzioni derivabili su I . Se f⁰(x )g (x ) `e integrabile su I , allora lo `e anche f (x )g⁰(x ) e

Z

f⁰(x )g (x )dx = f (x )g (x ) − Z

f (x )g⁰(x )dx

log(x )dx . Riscrivo

Z

log(x )dx = Z

1 · log(x )dx ,

f⁰(x ) = 1, g (x ) = log(x ) ⇒ f (x ) = x, g⁰(x ) = 1 x Applicando la regola di integrazione per parti, si ha:

Z

1 · log(x )dx = x log(x ) − Z

x1

xdx = x log(x ) − x + c Quindi

Z

log(x )dx = x log(x ) − x + c

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sin²(x )dx . Abbiamo:

Z

sin²(x )dx = Z

sin(x ) · sin(x )dx .

f⁰(x ) = sin(x ), g (x ) = sin(x ) ⇒ f (x ) = − cos(x ), g⁰(x ) = cos(x ) Applicando la formula di integrazione per parti abbiamo:

Z

sin²(x )dx = Z

f⁰(x )g (x )dx = f (x )g (x ) − Z

f (x )g⁰(x )dx

= − cos(x ) sin(x ) + Z

cos²(x )dx

= − cos(x ) sin(x ) + Z

(1 − sin²(x ))dx

= − cos(x ) sin(x ) + x + c − Z

sin²(x )dx

Da cui: 2 Z

sin²(x )dx = − cos(x ) sin(x ) + x + c

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ovvero:

Z

sin²(x )dx = 1

2(x − cos(x ) sin(x )) + c In maniera analoga si ha

Z

cos²(x )dx = 1

2(x + cos(x ) sin(x )) + c

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Notazione di derivazione secondo Leibniz

Per denotare l’operazione di derivata, Leibniz usava la notazione d

dx.

Datay = f (x ), si ha f⁰(x ) = df (x ) dx = dy

La notazione di Leibniz si presta ad essere interpretata come unadx frazione, quindi dal primo e dall’ultimo termine dell’uguaglianza scritta sopra si ha:

dy = f⁰(x )dx

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Regola di integrazione per sostituzione

Teorema. Siano I e J due intervalli in R.

Sia ϕ : I → J una funzione derivabile.

Sia f : J → R una funzione integrabile.

Sia F una primitiva di f sull’intervallo J.

Allora la funzionef (ϕ(x ))ϕ⁰(x )`e integrabile sull’intervallo I e si ha:

Z

f (ϕ(x ))ϕ⁰(x )dx = F (ϕ(x )) + c

Interpretazione:

Posto y = ϕ(x ), si ha dy = ϕ⁰(x )dx e Z

f (ϕ(x ))ϕ⁰(x )dx = Z

f (y )dy = F (y ) + c = F (ϕ(x )) + c

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2xe^x²dx .

Dobbiamo individuare una funzione ϕ(x ) e la sua derivata ϕ⁰(x ) per poter scrivere l’integrale comeR f (ϕ(x))ϕ⁰(x )dx .

Poniamo:

y = ϕ(x ) = x², da cui dy

dx = ϕ⁰(x ) = 2x , dy = ϕ⁰(x )dx = 2xdx .

Di conseguenza:

Z

2xe^x²dx = Z

e^x²

|{z}

e^y

2xdx

| {z }

dy

= Z

e^ydy = e^y+ c = e^x²+ c.

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tan(x )dx . Anzitutto osserviamo che Z

tan(x )dx =

Z sin(x ) cos(x )dx =

Z 1

cos(x )sin(x )dx . Poniamo:

y = ϕ(x ) = cos(x ), da cui dy

dx = ϕ⁰(x ) = −sin(x ), dy = ϕ⁰(x )dx = −sin(x )dx .

Di conseguenza:

Z 1

cos(x )sin(x )dx = −

Z 1

cos(x )

| {z }

1/y

(− sin(x ))dx

| {z }

dy

= −Z 1

ydy = − log |y | + c = − log | cos(x )| + c.

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Riferimento bibliografico

Canuto-Tabacco, cap. 9.1 e 9.2.

Esercizi:

n. 1 - 10 del cap. 9 del libro Canuto-Tabacco.