2. HELICAL 3D: INFORMAZIONI GENERALI
In questo capitolo vengono riportate le informazioni essenziali che riguardano il codice di calcolo HELICAL 3D, in corso di validazione da parte del DIMNP della facoltà di Ingegneria dell’Università di Pisa per conto di AVIO PROPULSIONE AEROSPAZIALE s.p.a. di Torino.
Tali informazioni saranno utili per la comprensione dei capitoli successivi, in particolare il capitolo 3, relativo alla sensibilità della soluzione ai parametri di modellazione.
HELICAL 3D è un codice di calcolo mirato alla progettazione e ottimizzazione di ingranaggi cilindrici elicoidali, in particolare della simulazione del contatto tra le dentature delle ruote,simulazione che può essere di tipo statico o dinamico: il presente lavoro riguarda solamente la validazione in campo statico.
Il suo vantaggio principale sta nei tempi molto brevi di simulazione.
Difatti in un tempo di 3h riesce a simulare tutto l’ingranamento di una coppia di ruote dentate con una risoluzione di circa 70 posizioni durante il periodo di ingranamento.
Altri codici di calcolo F.E.M., quali ANSYS, richiedono a parità di risoluzione tempi di soluzione maggiori dell’ ordine dei 3 giorni di simulazione.
Inoltre anche la modellazione è molto semplice e veloce e richiede da parte dell’operatore le sole informazioni riguardanti il modulo, il diametro di piede e altre informazioni sul dente e sui corpi ruota.
In pratica esistono quindi dei modelli già “preconfezionati” in cui cambiare solo i parametri della simulazione,tra cui quelli geometrici.
2.1 PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO 2.1.1 Approccio generale di modellazione
In HELICAL 3D possono essere modellate due ruote cilindriche elicoidali..[ 2]
Queste ruote sono modellate in modo completo, ovverosia modellandone tutti i denti (Figura 3.1) : questa scelta è probabilmente dovuta al fatto che con questo codice di calcolo è possibile eseguire simulazioni dinamiche, per cui assumono importanza le forze di inerzia di tutta la ruota, comprese le parti che da un punto di vista statico sarebbero scariche ( ad es. le zone lontane dalla zona di ingranamento ).
Inoltre modellando interamente le due ruote è possibile nel programma introdurre altri parametri importanti quali gli errori di taglio dei denti, e vedere la loro influenza ad esempio sull’errore di trasmissione,importante per le vibrazioni.
Inoltre modellando per intero la ruota è possibile analizzare correttamente l’accoppiamento della ruota con alberi supportati da cuscinetti, con una opportuna matrice di rigidezza.
Il modello delle ruote è agli elementi finiti, in particolare viene modellata in maniera diversa la dentatura rispetto al corpo ruota o RIM, nel senso che hanno mesh strutturate in modo diverso.
Questa strategia è stata usata per fare in modo che la mesh del RIM, dove sono presenti minori gradienti di tensione, sia meno fitta in modo da ottimizzare il modello e rendere la simulazione più veloce; del resto ciò porta al problema di interfacciare le due mesh, interfaccia che anticipiamo essere regolata da due parametri.
L’unione tra le mesh in senso circonferenziale avviene tramite l’uso della trasformata di Fourier, [2] (applicabile a funzioni periodiche, qui il periodo è pari al massimo a 360°, cioè un giro della ruota,dopo di che naturalmente l’informazione legata agli spostamenti si ripete). Dati gli spostamenti dei nodi di una delle due mesh,ad esempio della mesh dei denti, possiamo scrivere lo spostamento di un punto qualsiasi dell’interfaccia attraverso una funzione periodica, esprimibile in serie di coseni e seni. I coefficienti di tale serie sono a priori incogniti, dovendo ancora trovare la soluzione F.E.M., ma tale serie permette di ricavarsi lo spostamento dei nodi di interfaccia dell’altra mesh, ad esempio quella del RIM , a meno del valore di tali coefficienti. Infatti facendo l’ipotesi di piccoli spostamenti è legittimo nella serie di seni e coseni mettere come argomento la posizione iniziale e non finale di tali nodi.
In questo modo si sono legati linearmente gli spostamenti dei nodi di interfaccia delle due mesh.
Rimane da fissare la precisione con cui approssimare gli spostamenti all’interfaccia, il numero di coefficienti della serie di seni e coseni: ciò avviene attraverso l’uso del parametro CIRCORDER.
Analogamente in senso assiale si assume come funzione un polinomio di grado pari a quello indicato dal parametro AXIALORDER.
La mesh dei denti è realizzata per default con elementi con formulazione “ p-element”, cioè con elementi di ordine elevato per fare in modo di approssimare con sufficiente accuratezza la geometria del dente, utilizzando del resto pochi elementi:ciò sembra che porti dei vantaggi nei tempi di calcolo.; inoltre per la mesh dei denti sono previste mesh “preconfezionate” (template) per rendere più veloce la modellazione ( vedi di seguito ).
Inoltre tutti i denti hanno la stessa mesh di modo che la rigidezza di ogni dente sia approssimato con lo stesso grado di accuratezza e non ci siano problemi legati alla distribuzione della forza di contatto tra le varie coppie di denti in presa.
In Figura 2.1 è riportato un esempio di modellazione,in cui si vede la differenza tra le mesh del dente e del corpo ruota o RIM.
Figura 2.1-differenze tra la mesh del rim e della ruota
Nella modellazione del dente sono naturalmente comprese le seguenti modifiche, per cui si rimanda al capitolo 1:
• Spoglia lineare di testa e di piede.
• Spoglia parabolica di testa e di piede.
• Bombatura parabolica del fianco del dente.
• Modifiche del profilo del fianco del dente totalmente arbitrarie (superficie definita dall’utente).
• Errori nel taglio del dente (spacing errors)
Per quanto riguarda la simulazione del contatto , per cui si rimanda al paragrafo 2.1.2, esso adotta un metodo semianalitico, per cui il programma non è un FEM puro.
DENTI RIM
Infine per quanto riguarda l’ingresso della coppia non si sa di preciso come questa sia modellata, comunque esistono, rispetto al RIM, due modalità di modellazione.
La prima adotta un RIM SEMPLICE, come quello della ruota di Figura 2.1 (in colore arancione), in cui la coppia è applicata sottoforma di una serie di forze di modulo uniforme applicate in direzione circonferenziale sulla superficie interna della ruota stessa (come si è verificato nel capitolo 4).
La seconda adotta un RIM con profili scanalati, come quello del pignone di Figura 2.1 (in colore blu), in cui la coppia è applicata attraverso detti profili ( ciò è stato verificato nel capitolo 5Errore. L'origine riferimento non è stata trovata.).
2.1.2 Risoluzione del contatto tra i denti ( BOUSSINESQUE CERRUTI ) 2.1.2.1 Principio di base
La simulazione del contatto non avviene secondo una formulazione agli elementi finiti tradizionale.
Questi ultimi comportano che la zona interessata dal contatto, e cioè le superfici delle ruote, deve avere una mesh molto fine, essendo in rapporto con la dimensione dell’impronta che è, in generale, molto piccola rispetto alle dimensioni del dente.
Da ciò deriva un tempo di simulazione molto lungo e una complessità maggiore nella modellazione.
Al contrario HELICAL 3D si basa sull’uso di un metodo semianalitico, che abbrevia molto i tempi di soluzione.[ 3]
Questo metodo si basa sull’ idea di base che lo spostamento di un punto qualsiasi in prossimità della zona di contatto sia divisibile in due contributi.
Figura 2.2-Principio base del metodo semi-analitico di risoluzione del contatto
Con riferimento alla Figura 2.2 lo spostamento del punto generico A rispetto ad un’origine O, indicato con OA, può essere diviso in due contributi, OB ed BA : il primo, spostamento globale del dente, è calcolato con la soluzione agli elementi finiti mentre il secondo si basa fondamentalmente sulla soluzione di Boussinesque-Cerruti.
Questa ultima soluzione risolve il problema di un semi-spazio a cui è applicata una forza sulla superficie di tale semispazio.
In realtà per la precisione nel metodo di calcolo dello spostamento BA al semispazio è applicato una pressione uniforme su un’area (la cella della griglia di contatto come vedremo nel paragrafo 2.1.2.2): la soluzione a tale problema è comunque basata su Bousinesque-Cerruti.
Il punto B si trova su una superficie “matching surface” tale che lo spostamento del punto B sia calcolabile con una sufficiente accuratezza col metodo degli elementi finiti, e quindi non deve risentire eccessivamente degli spostamenti relativi al contatto.
D’altro canto tale superficie non deve essere troppo lontana in modo da non associare allo spostamento BA un contributo eccessivo degli spostamenti globali del dente (tipo lo spostamento flessionale del dente), che la soluzione di Boussinesque-Cerruti non comprende.[3,4]
Da questa duplice esigenza discende il nome di matching surface.
2.1.2.2 Applicazione alle ruote dentate.
Il metodo illustrato al paragrafo precedente è quello usato in HELICAL 3D per risolvere il contatto.[2]
Difatti HELICAL 3D dapprima calcola una linea di contatto teorica, a solidi indeformati, e intorno a questa linea costruisce una griglia di contatto, sia sulla ruota che sul pignone, griglia composta da celle sulle quali la pressione è considerata uniforme, e quindi è applicabile la soluzione mostrata al paragrafo 2.1.2.1. Un esempio di griglia è riportata in Figura 2.3.
A questo punto il programma iterativamente trova la giusta pressione da applicare ad ogni cella, con un tempo nettamente inferiore ad un codice di calcolo F.E.M. puro, come già accennato.
L’unico grosso inconveniente è che la soluzione non è accettabile, per quanto riguarda la pressione di contatto, nel caso che si verifichi contatto tra denti con larghezza di fascia diversa o con un difetto di montaggio delle ruote in senso assiale, ovverosia in tutti quei casi in cui ci sia un’effetto di bordo nell’andamento della pressione di contatto.
Ciò deriva chiaramente dal fatto che la soluzione basata sulla griglia di contatto fallisce nel caso in cui i due corpi a contatto non possano essere considerati semi-infiniti, come necessita la soluzione di Boussinesque-Cerruti.
Di conseguenza nell’uso del programma si dovrà verificare attraverso un’analisi delle pressioni di contatto sulle varie celle che il contatto non si estenda su tutta la larghezza di fascia in senso assiale. (E comunque come mostrano altri lavori svolti all’interno del DIMNP si deve porre cautela anche nel caso che il contatto si estenda a tutta la larghezza di fascia anche nel caso di denti con uguale larghezza di fascia).
Figura 2.3-Griglia di contatto su una delle due ruote dentate.
2.2 PARAMETRI DI MODELLAZIONE
Vengono ora illustrati i principali parametri di modellazione, che nel capitolo 3 saranno oggetto di uno studio di sensibilità.
Tali parametri non riguardano la modellazione geometrica delle ruote dentate, ma la rappresentazione in elementi finiti delle stesse e la modellazione del contatto e quindi interessano
In particolare sono stati suddivisi in tre categorie principali riguardanti i tre aspetti del modello già illustrati che sono:
• Modellazione del contatto
• Modellazione dei denti del pignone e della ruota
• Modellazione del RIM (o corpo ruota) 2.2.1 Parametri che regolano il contatto
Tali parametri riguardano principalmente le dimensioni delle celle della griglia di contatto.
Esiste una griglia sia per la ruota che per il pignone.
Con riferimento alla Figura 2.4 tali parametri sono:
• “NFACEDIVS”: rappresenta la suddivisione in celle lungo la larghezza di fascia del dente, direzione ζ di figura. In particolare il suo valore è attribuito all’indice j della figura stessa, quindi avremo 2*j+1 celle in senso assiale. Il suo valore va scelto in modo da avere una sufficiente divisione dell’impronta di contatto in senso assiale e in considerazione di approssimare con sufficiente accuratezza eventuali modifiche del fianco del dente (bombatura)
• “NPROFDIVS”: rappresenta la suddivisione della griglia nella direzione del profilo del dente. In particolare il suo valore è attribuito all’indice i della figura stessa, quindi avremo 2*i+1 celle lungo il profilo. Il suo valore è strettamente legato al parametro successivo.
• “DSPROF”: E’ Legato al precedente.Indicando l’ampiezza della cella nella direzione del profilo del dente, (in Figura 2.4 tale parametro indica il valore di ∆s). Va scelto in modo da avere una sufficiente risoluzione nella suddivisione dell’impronta di contatto secondo la direzione del profilo del dente.
• “SEPTOL”: Indica una tolleranza secondo cui ognuna delle “fette” in cui è suddiviso nel senso ζ di figura viene considerata o meno in contatto con la corrispettiva “fetta”
dell’altra ruota dall’algoritmo del programma addetto al contatto. Come vedremo ha una forte influenza sulla soluzione.
Figura 2.4-Elementi principali concernenti la griglia di contatto
2.2.2 Parametri che regolano la modellazione agli elementi finiti del dente
Tali parametri riguardano la mesh agli elementi finiti del dente del pignone e della ruota. Tali parametri non necessariamente devono avere lo stesso valore per il pignone e per la ruota.
Con riferimento alla Figura 2.5 tali parametri sono:
• “NFACEELEMS”: Indica il numero di elementi finiti in senso assiale in cui suddividere il dente del pignone e della ruota.
• “COORDORER”: Indica il grado della funzione di interpolazione usata per le cordinate.
• “DISPLORDER”: Indica il grado della funzione di forma usata all’interno degli elementi finiti per trovare lo spostamento di un punto qualsiasi dato quello nei nodi.
• “ MESH TEMPLATE”: Tale parametro indica il tipo di “template” da usare per la mesh del dente. In altre parole si regola la forma della mesh su un piano perpendicolare all’ asse della ruota attraverso l’uso di mesh preconfezionate “template”. I template usati nel presente lavoro di tesi sono mostrati in Figura 2.6, in cui viene mostrato il
“MEDIUM” e “FINEROOT”.
Figura 2.5-Particolare della mesh dei denti
Figura 2.6-Forme della mesh,sulla sinistra è visibile il template FINEROOT,mentre sulla destra è visibile il template MEDIUM.
2.2.3 Parametri che regolano la modellazione agli elementi finiti del RIM
Figura 2.7- Particolare della mesh del RIM.
Tali parametri riguardano la mesh agli elementi finiti del RIM (o corpo ruota) del pignone e della ruota. Tali parametri non necessariamente devono avere lo stesso valore per il pignone e per la ruota.
Vengono riportati solo i principali parametri,altri saranno indicati nel capitolo 3, e comunque sono riportati nel manuale del programma, e riguardano in modo particolare la modellazione dei profili scanalati, per la simulazione di una coppia che entra lateralmente rispetto alla ruota dentata.
Con riferimento alla Figura 2.7, dove il RIM è colorato in arancione, tali parametri sono:
• “RIMDIA”: E’ il valore del diametro esterno del RIM. Nel caso che il RIM abbia la stessa lunghezza in senso assiale del dente, come in Figura 2.7 e in Figura 2.5, tale parametro può essere variato senza cambiare la geometria della ruota, ma solo la forma della mesh dei denti, che per default è sempre del tipo mostrato in Figura 2.6.Nel caso invece che il RIM della ruota dentata abbia estensione diversa e/o non sia centrato rispetto al dente, (come il pignone colorato in blu in Figura 2.1), tale parametro diventa di tipo geometrico e non può essere variato a meno di accettare che il modello fisico della ruota cambi.
• “AXIALORDER”: E’ un parametro che regola l’unione delle mesh del RIM e del Dente in senso assiale,regolando il grado di una funzione polinomiale che ancora non si è ben capito come funziona. Come si può vedere confrontando la Figura 2.5 con la Figura 2.7 la mesh del RIM e del dente non hanno gli stessi nodi all’interfaccia e inoltre
sono costituiti da elementi con funzione di forma con grado diverso. Tale parametro è strettamente legato quindi ai parametri NFACEELEMS e NDIVSWIDTH.
• “CIRCORDER”: E’ un parametro che svolge la stessa funzione del precedente ma regolando il grado della funzione che regola l’interfaccia delle mesh in senso circonferenziale. Tale parametro è strettamente legato quindi al parametro NTHETA e al numero di denti nonché al MESH TEMPLATE.
• “ELEMENTTYPE”: E’ un parametro che assegna il grado della funzione di forma agli elementi che costituiscono il RIM.
• “NDIVSRADIAL”: E’ un parametro che regola il numero di elementi in cui è suddiviso il RIM in senso radiale
• “NTHETA”: E’ un parametro che regola il numero di elementi in cui è suddiviso il RIM in senso circonferenziale.
• “NDIVSWIDTH”: E’ un parametro che regola il numero di elementi in cui è suddiviso il RIM in senso assiale.
