2 CASSONE CON PATCHES DI MFC APPLICATE SOLO SUI PANNELLI

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2 CASSONE CON PATCHES DI MFC APPLICATE SOLO SUI PANNELLI

2.1.1 Schema del cassone

Il cassone viene analizzato attraverso un modello a parametri concentrati in cui gli elementi che lavorano a sforzo normale sono i correnti, gli elementi che lavorano a taglio e momento torcente sono i pannelli. Inoltre,si suppone essere costituito da un certo numero di baie (݊); conseguentemente, per effetto dell'impedito ingobbamento, il problema risulta essere ݊ ∙ ሺ݉ − 3ሻ volteiperstatico, con ݉ che indica il numero di correnti, nel caso specifico 4.

La soluzione del problema sarà, quindi, la somma dei risultati ottenuti dall'analisidel sistema principale e del sistema supplementare.

Figura 2.1 Modello del cassone a parametri concentrati

Affinché i risultati dello studio siano applicabili per diversi casi, non verranno esplicitate né le caratteristiche del cassone (dimensioni e materiale) né quelle del MFC (dimensioni, deformazione imposta, voltaggio applicato), ottenendo perciò delle risoluzioni in forma parametrica.

Inoltre, definito con ܧ il modulo di Young e con ν il fattore di contrazione di Poisson del materiale, si definisce il modulo di taglio ܩ mediante la seguente relazione:

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54 2.1.2 Sistema principale

Dato che lo studio è di tipo preliminare, si trascurano gli effetti dell'incollaggio tra le patch di MFC e i pannelli del cassone (discorso analogo per i correnti). Ciò implica la congruenza tra gli spostamenti delle patch di MFC, dovute alla propria deformazione, e gli spostamenti dei pannelli.

La deformazione imposta è di puro scorrimento ottenuta tramite un allungamento (ߝ; −ߝ) lungo una direzione ruotata di 45° rispetto l'asse longitudinale del cassone. Sfruttando i Circoli di Mohr si ricava che la ߝ genera una ߛ nel piano x-y del cassone tale che:

ߛ௫௬ = ߝ (2.2)

Figura 2.2 Circolo di Mohr

Per effetto della ߛ_௫௬ si genera nelle sezioni dei pannelli un flusso che è costante lungo tutta l'apertura del cassone:

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55 Figura 2.3 Flusso q0

2.2 Cassone costituito da una sola baia

2.2.1 Sistema supplementare

Supponendo che il cassone sia costituito da una sola baia, il sistema supplementare risulta una volta iperstatico.

Di seguito si procede al calcolo dell'incognita iperstatica ܺ_ଵ.

L'incognita ܺ_ଵè applicata su ogni corrente,deve avere un andamento lineare lungo l'asse longitudinale del cassone in modo che abbia valore massimo all'incastro e valore nullo all'estremità libera. Inoltre, tale sistema di forze deve essere autoequilibrato.

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56 L'andamento lineare nei correnti 1, 2, 3 e 4 dello sforzo dovuto a ܺ_ଵ è definito dalle seguenti relazioni:

ܰଵ= ܰଷ = ܺଵቀ1 −_ܮቁݖ (2.4)

ܰଶ= ܰସ= −ܺଵቀ1 −_ܮቁݖ (2.5)

Figura 2.5 Andamento sforzo nei correnti

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57 Figura 2.6 Equilibrio sul corrente 1

Dall'equilibrio in direzione longitudinale si ricava:

−ܰ + ܰ + ∆ܰ + ∆ݍ ∙ ∆ݖ = 0 (2.6)

Da cui:

∆ݍ = −∆ܰ_{∆ݖ =}ܺ_ܮଵ (2.7)

Figura 2.7 Flusso dovuto alla variazione lineare dell'incognita iperstatica

Affinché si abbia equilibrio dei flussi nella sezione considerata si determina il flusso incognito ݍ_ଵ:

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58 Figura 2.8 Contributi ai flussi

Il flusso complessivo dovuto agli effetti dell'impedito ingobbamento è schematizzato nella figura di seguito:

Figura 2.9 Flusso causato dall'impedito ingobbamento

Posto che sia ܺ_ଵ= 1, lo sforzo ߬_ଵ nei pannelli è:

߬ଵ=_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 (2.9)

Di conseguenza la ߛ_ଵ sarà:

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59 2.2.2 Equazione di Muller-Breslau

L'equazione di Muller-Breslau, o di congruenza, permette il calcolo dell'incognita iperstatica ܺ_ଵ:

4 ∙ ܺଵ∙ ߟଵ= ܺଵ∙ ቈන ܯ_{ܧ ∙ ܫ ܸ݀ + න}ଵ∙ ܯ଴ ܶ_{ܩ ∙ ܣ ∙ ߯ ∙ ܸ݀ + න}ଵ∙ ܶ଴ ܰ_{ܧ ∙ ܣ ܸ݀ + න}ଵ∙ ܰ଴ ܯ௧ଵ_{ܩ ∙ ܬ ܸ݀}∙ ܯ௧଴ ఊ ఊ ఊ ఊ ቉ +ܺଵଶቈන ܯଵ ଶ ܧ ∙ ܫ ܸ݀ + න ܶଵ ଶ ܩ ∙ ܣ ∙ ߯ ∙ ܸ݀ + න ܰଵ ଶ ܧ ∙ ܣ ܸ݀ + න ܯ௧ଵ ଶ ܩ ∙ ܬ ܸ݀ ఊ ఊ ఊ ఊ ቉

I termini a primo membro indicano il Lavoro virtuale delle forze interne mentre quello a secondo membro indica il Lavoro virtuale delle forze esterne .

Nel caso in questione si ha che:

• ߟଵ= 0 poiché la sezione alla radice non può ingobbarsi a causa della

presenza del vincolo d'incastro;

• ܯଵ = 0, ܯ଴= 0 poiché il cassone non è soggetto a momento flettente; • ܶଵ = 0, ܶ଴= 0 poiché il cassone non è soggetto a taglio;

• ܰ଴ = 0 poiché il sistema principale non è soggetto a sforzo normale;

L'equazione di Muller-Breslau può, quindi, essere riscritta nella seguente forma:

ߟଵ଴+ ܺଵ∙ ߟଵଵ= 0 (2.11)

Dove i termini della (2.11) sono di seguito elencati:

ߟଵ଴= න ܯ௧ଵ_{ܩ ∙ ܬ ܸ݀}∙ ܯ௧଴ ఊ = න ൤ර ߬ଵ∙ ߛ௫௬∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ (2.12) ߟଵଵ= න ܯ௧ଵ ଶ ܩ ∙ ܬ ܸ݀ ఊ + න ܰଵଶ ܧ ∙ ܣ ܸ݀ = ఊ = න ൤ර ߬ଵ∙ ߛଵ∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ + 4 න ܰଵଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ௅ ଴ (2.13)

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60 Sostituendo i termini negli integrali con le rispettive espressioni si ottengono i seguenti risultati:

ߟଵ଴= න ൤ර ߬ଵ∙ ߛ௫௬∙ ݐ ∙ ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ = න ቈ2 ∙ න 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݐ݀ݏ + ு ଴ 2 ∙ න − 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݐ ∙ ݀ݏ ௐ ଴ ቉ ௅ ଴ ݀ݖ = = න ߛ௫௬_{ܮ ∙ ሺܪ − ܹሻ݀ݖ = ߛ}௫௬ ௅ ଴ ∙ ሺܪ − ܹሻ ߟଵଵ= න ൤ර ߬ଵ∙ ߛଵ∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ + 4 න ܰଵଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ௅ ଴ = = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න −}1 ௐ _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ௅ ଴ +_{ܧ ∙ ܣ න ቀ1 −}4 ௅ ݖ_ܮቁଶ݀ݖ ଴ = න ܪ + ܹ 2 ∙ ܩ ∙ ܮଶ_{∙ ݐ ݀ݖ} ௅ ଴ + 4 ܧ ∙ ܣ න ቀ1 −ݖܮቁ ଶ ݀ݖ ௅ ଴ = =_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ ηଵ଴= ߛ௫௬∙ ሺܪ − ܹሻ (2.14) ߟଵଵ=_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ (2.15)

Il valore della ܺ_ଵ sarà il seguente:

ܺଵ= −ߟ_ߟଵ଴ ଵଵ

(2.16)

Andando a sostituire nella (2.16) le espressioni (2.14), (2.15) e (2.1) si ottiene l'espressione esplicita di ܺ_ଵ:

ܺଵ= −_{8 ∙ ܮ}6 ∙ ߛ_ଶ_{∙ ݐ + 3 ∙ ܣ ∙ ሺܪ + ܹሻ ∙ ሺ1 + νሻ}௫௬∙ ݐ ∙ ܧ ∙ ܣ ∙ ሺܪ − ܹሻ ∙ ܮ (2.17)

Dalla (2.17) risulta che all'aumentare della lunghezza del cassone il valore di ܺ_ଵ diminuisce. Ciò implica una riduzione degli effetti dovuti all'impedito ingobbamento.

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61 2.2.3 Calcolo dell'angolo di rotazione ࣂ della sezione d'estremità

Per il calcolo dell'angolo di rotazione (ߠ) della sezione d'estremità si sfrutta il Teorema dei Lavori virtuali.

Si suppone di applicare all'estremità libera un momento torcente di modulo unitario.

Figura 2.10 Momento torcente applicato all'estremità del cassone

Tale momento genererà uno sforzo nella struttura calcolabile mediante la formula di Bredt:

߬௙௜௧௧ =_{2 ∙ ܹ ∙ ܪ ∙ ݐ}1 (2.18)

Il lavoro virtuale delle forze esterne è il momento torcente di modulo unitario per la rotazione da esso prodotta:

ܮ௘௩= 1 ∙ ߠ (2.19)

Il lavoro virtuale delle forze interne è il seguente:

ܮ௜௩= න ൤ර ߬௙௜௧௧∙߬௥௘௔௟௘_{ܩ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ൨} ௅

଴ ݀ݖ

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62 Dove si indica: • Tratti 2-1 e 4-3 ߬௥௘௔௟௘ ܩ = ൬ݍ଴−2 ∙ ܮ൰ ∙ܺଵ ܩ ∙ ݐ1 • Tratti 1-4 e 3-2 ߬௥௘௔௟௘ ܩ = ൬ݍ଴+2 ∙ ܮ൰ ∙ܺଵ ܩ ∙ ݐ1 Eguagliando la (2.19) e la (2.20) si ottiene: ߠ = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܹ ∙ ܪ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴+_{2 ∙ ܮ൰ ∙}ܺଵ _{ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ}1 ு ଴ + 2 ∙ න 1 2 ∙ ܹ ∙ ܪ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ଴−2 ∙ ܮ൰ ∙ܺଵ ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ1 ௐ ଴ ቉ ݀ݖ = ௅ ଴ = න ൤_{ܹ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴+_{2 ∙ ܮ൰ +}ܺଵ _{ܪ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴−_{2 ∙ ܮ൰൨}ܺଵ ௅ ଴ ݀ݖ = =_{ܹ ∙ ܪ ∙ ߛ}ܮ ௫௬∙ ሺܹ + ܪሻ +_{2 ∙ ܩ ∙ ݐ ∙}ܺଵ ܪ − ܹ_{ܹ ∙ ܪ} ߠ =_{ܹ ∙ ܪ ∙ ߛ}ܮ ௫௬∙ ሺܹ + ܪሻ +_{ܧ ∙ ݐ ∙}ܺଵ ܪ − ܹ_{ܹ ∙ ܪ ∙ ሺ1 + νሻ} (2.21)

La (2.21) indica che l'angolo di rotazione ߠ dipende da due contributi:

• ܮ

ܹ ∙ ܪ ∙ ߛ௫௬∙ ሺܹ + ܪሻ

che, impostata l'entità della deformazione ߛ_௫௬, varia linearmente con la lunghezza del cassone

• ܺଵ

ܧ ∙ ݐ ∙ܪ − ܹܹ ∙ ܪ ∙ ሺ1 + νሻ che dipende dal valore dell'incognita iperstatica l'aumentare di ܮ, come indicato nella (2.17), e dal tipo di materiale ܺଵ, decrescente con usato, essendo presente nella formula il modulo di Young ܧ ed il fattore di contrazione di Poisson ν.

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63 2.2.4 Valori di ࣂ e ࢄ_૚ al variare della lunghezza del cassone

Di seguito si riportano i valori di ߠ e ܺ_ଵ per un cassone in cui viene fatta variare la lunghezza longitudinale e del materiale utilizzato per la sua costruzione.

Le dimensioni utilizzate sono le seguenti:

Grandezza Unità di misura Valore

L lunghezza cassone m 0.5 − 2

H altezza cassone m 0.1

W larghezza cassone m 0.3

t spessore cassone m 0.001

A area del corrente m2 4.2 ∙ 10ିହ

ߝ deformazione imposta da MFC sui pannelli

ppm 1350

Tabella 2.1 Dimensioni del cassone

Il primo tipo di materiale usato è l'alluminio, di cui si riportano le caratteristiche:

E modulo di Young Pa 72 ∙ 10ଽ

ν fattore di contrazione 0.33

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64 Figura 2.11 Valore ࣂ per cassone in alluminio

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65 Lunghezza del cassone [m] Valore angolo di rotazione ߠ

della sezione d'estremità [deg]

Valore incognita iperstatica ܺଵalla sezione d'incastro [N]

0.50 0.5075 1.1583 ∙ 10ଷ 0.75 0.7678 800.40 1.00 1.0270 608.08 1.25 1.2857 489.40 1.50 1.5441 409.16 1.75 1.8023 351.40 2.00 2.0605 307.87

Tabella 2.3 Valori di ࣂ e ࢄ_૚ per cassone in alluminio

2.2.5 Rigidezza torsionale

Per il calcolo della rigidezza torsionale si considera l’intera struttura come una molla soggetta ad un momento applicato. Si definiscono, quindi, la rigidezza equivalente della struttura con ܭ_௘௤ e il momento applicato con ܯ_௧. Applicando la legge lineare di Hooke si ottiene:

ܯ௧ = ܭ௘௤∙ ߠ (2.22)

Dalla quale si ricava:

ܭ௘௤=ܯ_ߠ௧ (2.23)

Supponendo di applicare un momento torcente di modulo unitario (ܯ_௧ = 1ሻ ed applicando il teorema dei lavori virtuali (analogamente a quanto fatto nel paragrafo 2.2.3) si deduce che la rigidezza torsionale equivalente è l’inverso dell’angolo di rotazione della sezione d’estremità calcolato mediante la (2.21).

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66 Figura 2.13 Rigidezza torsionale al variare della lunghezza del cassone

2.2.6 Flussi effettivi

Il flusso effettivo agente nei vari tratti sarà il seguente:

ݍଵସ= ݍଷଶ= ݍ଴+ ݍଵ= ݍ଴+_{2 ∙ ܮ}ܺଵ (2.25)

ݍଶଵ= ݍସଷ= ݍ଴− ݍଵ= ݍ଴−_{2 ∙ ܮ}ܺଵ (2.26)

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67 2.2.7 Carichi effettivi

Il carico effettivo agente nei correnti sarà il seguente:

ܲଵ = ܲଷ= ܺଵቀ1 −ݖ_ܮቁ (2.27)

ܲଶ= ܲସ= −ܺଵቀ1 −ݖ_ܮቁ (2.28)

Di seguito si riporta l'andamento del carico effettivo nel solo corrente 1 per un cassone che rispetta le dimensioni indicate in Tabella 2.1 ed il materiale indicato in Tabella 2.2.

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68 Figura 2.16 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 0.75 m in alluminio

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Figura 2.21 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 2.0 m in alluminio

Come si può notare dalle figure qui sopra, il valore dello sforzo alla sezione d'incastro coincide con quello dell'incognita ܺ_ଵ indicato in tabella 2.3.

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71

2.3 Cassone costituito da tre baie

Supponendo che il cassone sia costituito da tre baie, il sistema risulta tre volte iperstatico.

Di seguito si procede al calcolo delle incognite iperstatiche ܺ_ଵ, ܺ_ଶ, ܺ_ଷ il cui andamento nelle tre baie è schematizzato nella figura seguente:

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72 Di seguito si riportano le espressioni analitiche degli sforzi agenti sul corrente 1 nelle tre baie, dove con ܮ si indica la lunghezza della baia:

Baia 1 Baia 2 Baia 3

• Sistema supplementare I ܰଵ= ܺଵ∙ ቀ1 − ݖ ܮቁ ܰଵ= 0 ܰଵ= 0 • Sistema supplementare II ܰଶ= ܺଶ∙ ݖ ܮ ܰଶ= ܺଶ∙ ቀ2 −ݖܮቁ ܰଶ= 0 • Sistema supplementare III ܰଷ= 0 _ܰ_ଷ_{= ܺ}_ଷ_{∙ ቀ}ݖ ܮ − 1ቁ ܰଷ= ܺଷ∙ ቀ3 −ݖܮቁ Tabella 2.4 Espressioni analitiche degli sforzi nelle tre baie

Dalla (2.7) e (2.8) si possono ricavare i flussi agenti nelle varie baie, i quali vengono schematizzati nella figura seguente:

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73 Posti ܺ_ଵ= 1, ܺ_ଶ= 1, ܺ_ଷ= 1, gli sforzi nei pannelli nei tratti 2-1 e 4-3 saranno:

߬ଵ= −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଵ= 0 ߬ଵ= 0

߬ଶ =_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଶ = −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଶ= 0

߬ଷ = 0 _߬

ଷ =_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଷ= −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1

Tabella 2.5 Sforzi nei pannelli nei tratti 2-1 e 4-3

Le deformazioni nei tratti 2-1 e 4-3 saranno:

ߛଵ = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଵ= 0 ߛଵ= 0

ߛଶ=_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଶ= −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଶ = 0

ߛଷ= 0 _ߛ

ଷ=_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଷ = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1

Tabella 2.6 Deformazioni nei pannelli nei tratti 2-1 e 4-3

Nei tratti 1-4 e 3-2 i segni degli sforzi e delle deformazioni sono di segno opposto a quelli indicati nelle tabelle sopra.

2.3.2 Equazioni di Muller-Breslau

Nel caso di tre incognite iperstatiche dalle equazioni di Muller-Breslau si ricava il seguente sistema:

൝ߟߟଶଵ= ߟ= ߟଶ଴ଵ଴+ ܺ+ ܺଵଵ∙ ߟ∙ ߟଵଵଶଵ+ ܺ+ ܺଶଶ∙ ߟ∙ ߟଵଶଶଶ+ ܺ+ ܺଷଷ∙ ߟ∙ ߟଵଷଶଷ

ߟଷ = ߟଷ଴+ ܺଵ∙ ߟଷଵ+ ܺଶ∙ ߟଷଶ+ ܺଷ∙ ߟଷଷ

(2.29)

Di seguito si esplicitano i termini che compongono il sistema (2.29): ߟଵ= ߟଶ= ߟଷ = 0

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74 ߟଵ଴= න ൤ර ߬ଵ∙ ߛ௫௬∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ = න ቈ2 ∙ න 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݀ݏ + ு ଴ 2 ∙ න − 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݀ݏ ௐ ଴ ቉ ௅ ଴ ݀ݖ = = න ߛ௫௬_{ܮ ∙ ሺܪ − ܹሻ݀ݖ = ߛ}௫௬ ௅ ଴ ∙ ሺܪ − ܹሻ ߟଵଵ= න ൤ර ߬ଵ∙ ߛଵ∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ + 4 න ܰଵଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ௅ ଴ = = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න −}1 ௐ _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ௅ ଴ +_{ܧ ∙ ܣ න ቀ1 −}4 ௅ ݖ_ܮቁଶ݀ݖ ଴ = න ܪ + ܹ 2 ∙ ܩ ∙ ܮଶ_{∙ ݐ ݀ݖ} ௅ ଴ + 4 ܧ ∙ ܣ න ቀ1 −ݖܮቁ ଶ ݀ݖ ௅ ଴ = =_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ ߟଵଶ= න ൤ර ߬ଵ∙ ߛଶ∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ + 4 න ܰଵ∙ ܰଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ௅ ଴ = = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න −}1 ௐ _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ௅ ଴ +_{ܧ ∙ ܣ න ቀ1 −}4 ௅ ݖ_{ܮቁ ∙}_{ܮ ݀ݖ}ݖ ଴ = න − ܪ + ܹ 2 ∙ ܩ ∙ ܮଶ_{∙ ݐ ݀ݖ +}_{ܧ ∙ ܣ න ቀ1 −}4 _{ܮቁ ∙}ݖ ݖ_{ܮ ݀ݖ} ௅ ଴ = ௅ ଴ = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 2₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ ߟଵଷ= න ൤ර ߬ଵ∙ ߛଷ∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ + 4 න ܰଵ∙ ܰଷ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ௅ ଴ = 0 ߟଶ଴= න ൤ර ߬ଶ∙ ߛ௫௬∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ + න ൤ර ߬ଶ∙ ߛ௫௬∙ ݐ݀ݏ൨ ଶ௅ ௅ ݀ݖ = = න ቈ2 ∙ න −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ}1 ௫௬∙ ݀ݏ + ு ଴ 2 ∙ න + 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݀ݏ ௐ ଴ ቉ ௅ ଴ ݀ݖ + + න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ}1 ௫௬∙ ݀ݏ + ு ଴ 2 ∙ න − 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݀ݏ ௐ ଴ ቉ ଶ௅ ௅ ݀ݖ = 0 ߟଶଵ= ߟଵଶ

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75 ߟଶଶ= න ൤ර ߬ଶ∙ ߛଶ∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ + 4 න ܰଶଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ௅ ଴ + න ൤ර ߬ଶ∙ ߛଶ∙ ݐ݀ݏ൨ ଶ௅ ௅ ݀ݖ + 4 න ܰଶଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ = ଶ௅ ௅ = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න −}1 ௐ _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ௅ ଴ + න ቈ2 ∙ න ൬−_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න}1 ௐ_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ଶ௅ ௅ +_{ܧ ∙ ܣ න ቀ}4 ௅ ݖ_ܮቁଶ݀ݖ ଴ + 4 ܧ ∙ ܣ න ቀ2 −ܮቁݖ ଶ ݀ݖ ଶ௅ ௅ = =_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ +}ܮ _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ =}ܮ =_{ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 8₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ ߟଶଷ= න ൤ර ߬ଶ∙ ߛଷ∙ ݐ݀ݏ൨ ଶ௅ ௅ ݀ݖ + 4 න ܰଶ∙ ܰଷ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ଶ௅ ௅ = = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න −}1 ௐ _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ଶ௅ ௅ +_{ܧ ∙ ܣ න ቀ2 −}4 ଶ௅ ݖ_{ܮቁ ∙ ቀ}_{ܮ − 1ቁ ݀ݖ}ݖ ௅ = = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 2₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ ߟଷ଴= න ൤ර ߬ଷ∙ ߛ௫௬∙ ݐ݀ݏ൨ ଶ௅ ௅ ݀ݖ + න ൤ර ߬ଷ∙ ߛ௫௬∙ ݐ݀ݏ൨ ଷ௅ ଶ௅ ݀ݖ = = න ቈ2 ∙ න −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ}1 ௫௬∙ ݀ݏ + ு ଴ 2 ∙ න + 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݀ݏ ௐ ଴ ቉ ଶ௅ ௅ ݀ݖ + + න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ}1 ௫௬∙ ݀ݏ + ு ଴ 2 ∙ න − 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݀ݏ ௐ ଴ ቉ ଷ௅ ଶ௅ ݀ݖ = 0 ߟଷଵ= ߟଵଷ ߟଷଶ= ߟଶଷ

(24)

76 ߟଷଷ= න ൤ර ߬ଷ∙ ߛଷ∙ ݐ݀ݏ൨ ଶ௅ ௅ ݀ݖ + 4 න ܰଷଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ଶ௅ ௅ + න ൤ර ߬ଷ∙ ߛଷ∙ ݐ݀ݏ൨ ଷ௅ ଶ௅ ݀ݖ + 4 න ܰଷଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ = ଷ௅ ଶ௅ = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න −}1 ௐ _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ଶ௅ ௅ + න ቈ2 ∙ න ൬−_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න}1 ௐ_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ଷ௅ ଶ௅ +_{ܧ ∙ ܣ න ቀ}4 ଶ௅ ݖ_{ܮ − 1ቁ}ଶ݀ݖ ௅ + 4 ܧ ∙ ܣ න ቀ3 −ݖܮቁ ଶ ݀ݖ ଷ௅ ଶ௅ = =_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ +}ܮ _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ =}ܮ =_{ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 8₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ ߟଵ = ߟଶ= ߟଷ= 0 (2.30) ߟଵ଴ = ߛ௫௬∙ ሺܪ − ܹሻ (2.31) ߟଵଵ =_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ (2.32) ߟଵଶ = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 2₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ (2.33) ߟଵଷ = 0 (2.34) ߟଶ଴= 0 (2.35) ߟଶଵ= ߟଵଶ (2.36) ߟଶଶ=_{ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 8₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ (2.37) ߟଶଷ= −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 2₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ (2.38) ߟଷ଴= 0 (2.39) ߟଷଵ= ߟଵଷ (2.40) ߟଷଶ= ߟଶଷ (2.41) ߟଷଷ=_{ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 8₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ (2.42)

(25)

77 Dai risultati ottenuti si può notare che valgono le seguenti relazioni:

ߟଶଶ= 2 ∙ ߟଵଵ (2.43)

ߟଷଷ= 2 ∙ ߟଵଵ (2.44)

ߟଶଷ= ߟଵଶ (2.45)

Riscrivendo il sistema (2.29) in forma matriciale, si ottiene:

൥ߟߟଵଵଶଵ ߟߟଵଶଶଶ ߟߟଵଷଶଷ ߟଷଵ ߟଷଶ ߟଷଷ ൩ ∙ ൥ܺܺଵଶ ܺଷ ൩ = − ൝ߟߟଵ଴ଶ଴ ߟଷ଴ ൡ (2.46)

Andando a sostituire nella (2.46) i risultati ottenuti dai calcoli precedenti e le relazioni (2.40), (2.41) e (2.42) la matrice assume la seguente forma:

൥ߟߟଵଵଵଶ 2 ∙ ߟߟଵଶଵଵ ߟ0ଵଶ 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ ൩ ∙ ൥ܺܺଵଶ ܺଷ ൩ = − ቊߟ0ଵ଴ 0 ቋ (2.47)

Per il calcolo delle incognite iperstatiche è stato usato il comando Matlab "\" (denominato Backslash oleftmatrix divide).

2.3.3 Calcolo dell'angolo di rotazione ࣂ della sezione d'estremità

Per il calcolo dell'angolo di rotazione ߠ della sezione d'estremità ci si riconduce a quanto descritto nel paragrafo 2.2.3, per cui sono valide la (2.18) e la (2.19), mentre va riscritta la (2.20):

ܮ௜௩= න ൤ර ߬௙௜௧௧∙߬௥௘௔௟௘_{ܩ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ൨} ௅ ଴ ݀ݖ + = න ൤ර ߬௙௜௧௧∙߬௥௘௔௟௘_{ܩ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ൨} ଶ௅ ௅ ݀ݖ + = න ൤ර ߬௙௜௧௧∙߬௥௘௔௟௘_{ܩ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ൨} ଷ௅ ଶ௅ ݀ݖ (2.48)

(26)

78 Dove si ha:

• Tratti 1-4 e 3-2 ߬௥௘௔௟௘

ܩ = ݍ଴−ܺ2ܮ +ଵ ܺ2ܮଶ ߬௥௘௔௟௘ܩ = ݍ଴−2ܮ +ܺଶ 2ܮܺଷ ߬௥௘௔௟௘ܩ = ݍ଴−2ܮܺଷ

• Tratti 2-1 e 4-3 ߬௥௘௔௟௘

ܩ = ݍ଴+ܺ2ܮ −ଵ ܺ2ܮଶ ߬௥௘௔௟௘ܩ = ݍ଴+2ܮ −ܺଶ ܺ2ܮଷ ߬௥௘௔௟௘ܩ = ݍ଴+2ܮܺଷ Tabella 2.7 Sforzo reale nella struttura

Eguagliando la (2.19) alla (2.48) si ottiene la seguente relazione:

ߠ = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܹ ∙ ܪ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴+ܺ_{2ܮ −}ଵ _{2ܮ൰ ∙}ܺଶ _{ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ}1 ு ଴ + 2 ∙ න 1 2 ∙ ܹ ∙ ܪ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ଴−ܺ2ܮ +ଵ ܺ2ܮ൰ ∙ଶ ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ1 ௐ ଴ ቉ ݀ݖ + ௅ ଴ + න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܹ ∙ ܪ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴+_{2ܮ −}ܺଶ _{2ܮ൰ ∙}ܺଷ _{ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ}1 ு ଴ + 2 ∙ න 1 2 ∙ ܹ ∙ ܪ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ଴−ܺ2ܮ +ଶ ܺ2ܮ൰ ∙ଷ ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ1 ௐ ଴ ቉ ݀ݖ + ଶ௅ ௅ + න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܹ ∙ ܪ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴+_{2ܮ൰ ∙}ܺଷ _{ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ}1 ு ଴ + 2 ∙ න 1 2 ∙ ܹ ∙ ܪ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ଴−ܺ2ܮ൰ ∙ଷ ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ1 ௐ ଴ ቉ ݀ݖ = ଷ௅ ଶ௅ = ൤_{ܹ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴+_{2ܮ −}ܺଵ _{2ܮ൰ +}ܺଶ _{ܪ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴−_{2ܮ +}ܺଵ ܺ_{2ܮ൰൨ ∙ ܮ +}ଶ + ൤_{ܹ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴+_{2ܮ −}ܺଶ _{2ܮ൰ +}ܺଷ _{ܪ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴−ܺ_{2ܮ +}ଶ ܺ_{2ܮ൰൨ ∙ ܮ +}ଷ + ൤_{ܹ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴+_{2ܮ൰ +}ܺଷ _{ܪ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ൬ݍ}1 ଴−ܺ_{2ܮ൰൨ ∙ ܮ =}ଷ =_{ܹ ∙ ܪ ∙ ߛ}3 ∙ ܮ ௫௬∙ ሺܹ + ܪሻ +_{ܧ ∙ ݐ ∙}ܺଵ ܪ − ܹ_{ܹ ∙ ܪ ∙ ሺ1 + νሻ =} =_{ܹ ∙ ܪ ∙ ߛ}ܮ௖௔௦ ௫௬∙ ሺܹ + ܪሻ +_{ܧ ∙ ݐ ∙}ܺଵ ܪ − ܹ_{ܹ ∙ ܪ ∙ ሺ1 + νሻ} ߠ =_{ܹ ∙ ܪ ∙ ߛ}ܮ௖௔௦ ௫௬∙ ሺܹ + ܪሻ +_{ܧ ∙ ݐ ∙}ܺଵ ܪ − ܹ_{ܹ ∙ ܪ ∙ ሺ1 + νሻ} (2.49)

Nella (2.49) il termine ܮ_௖௔௦ indica la lunghezza totale del cassone, pari a tre volte la lunghezza di una singola baia ሺܮ_௖௔௦= 3 ∙ ܮሻ. Si può notare che tale relazione è identica alla (2.21), ciò implica che la rotazione della sezione d'estremità dipende, oltre che dal termine costante dovuto alla deformazione imposta, dal valore della sola incognita iperstatica ܺ_ଵ agente sulla sezione d'incastro.

Tale risultato è particolarmente utile poiché, aumentando il numero di baie, e quindi di incognite iperstatiche, il valore della rotazione sarà sempre espresso dalla (2.49), o in maniera equivalente(2.21), col solo termine ܺ_ଵ che varierà a seconda dei casi analizzati.

(27)

79 2.3.4 Valori di ࣂ e delle incognite iperstatiche al variare della lunghezza del cassone

Di seguito si riportano i valori di ߠ edelle incognite iperstatiche per un cassone in cui viene fatta variare la lunghezza longitudinale ed il materiale utilizzato per la sua costruzione.

I dati di riferimento per le dimensioni del cassone sono quelli indicati nella Tabella 2.1. Il materiale usato è l'alluminio le cui caratteristiche sono elencate in Tabella 2.2.

(28)

80 Figura 2.25 Valore ࢄ_૚ per cassone in alluminio

(29)

81 Figura 2.27 Valore ࢄ_૜ per cassone in alluminio

Lunghezza del cassone [m] Valore angolo di rotazione ߠ [deg] Valore incognita iperstaticaܺ_ଵ_[N] Valore incognita iperstaticaܺ_ଶ_[N] Valore incognita iperstaticaܺ_ଷ_[N] 0.50 0.4994 2.3109 ∙ 10ଷ _78.49 _2.66 0.75 0.7595 1.9789 ∙ 10ଷ _−179.96 _16.23 1.00 1.0194 1.6886 ∙ 10ଷ _−260.69 _39.33 1.25 1.2789 1.4534 ∙ 10ଷ _−275.81 _50.58 1.50 1.5380 1.2666 ∙ 10ଷ _−267.38 _54.13 1.75 1.7969 1.1176 ∙ 10ଷ _−251.24 _53.88 2.00 2.0556 997.4 −233.47 51.94

(30)

82 2.3.5 Rigidezza torsionale

Il calcolo della rigidezza torsionale si ripete come indicato nel paragrafo 2.2.5, per cui sarà nuovamente l’inverso dell’angolo di rotazione della sezione d’estremità. In questo caso, però, l’angolo che si considera è quello calcolato mediante la (2.49).

Figura 2.28 Rigidezza torsionale al variare della lunghezza del cassone

2.3.6 Flussi effettivi

Per il calcolo del flusso effettivo agente nei vari tratti delle varie baie, note che siano le incognite iperstatiche, si fa riferimento alla figura 2.23:

Tratti 1-4 e 3-2 Tratti 2-1 e 4-3 Baia 1 ݍଵସ= ݍଷଶ= ݍ଴−_{2ܮ +}ܺଵ ܺ_2ܮଶ ݍଶଵ= ݍସଷ= ݍ଴+ܺ_{2ܮ −}ଵ ܺ_2ܮଶ Baia 2 ݍଵସ= ݍଷଶ= ݍ଴−ܺ_{2ܮ +}ଶ ܺ_2ܮଷ ݍଶଵ= ݍସଷ= ݍ଴+ܺ_{2ܮ −}ଶ ܺ_2ܮଷ Baia 3 ݍଵସ= ݍଷଶ= ݍ଴−ܺ_2ܮଷ ݍଶଵ= ݍସଷ= ݍ଴+ܺ_2ܮଷ

(31)

83 2.3.7 Carichi effettivi

Il carico effettivo agente nel corrente1 sarà il seguente:

Corrente 1 Baia 1 _ܰ ଵ= ሺܺଶ− ܺଵሻ ∙ݖ_{ܮ + ܺ}ଵ Baia 2 _ܰ ଵ= ሺܺଷ− ܺଶሻ ∙ ቀ_{ܮ − 1ቁ + ܺ}ݖ ଶ Baia 3 _ܰ ଵ= ܺଷ∙ ቀ3 −ݖ_ܮቁ

Tabella 2.10 Sforzo normale nel corrente 1 nel caso di tre incognite iperstatiche

(32)

(33)

(34)

Figura 2.35 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 2.0 m in alluminio

Come si può notare dalle figure qui sopra, il valore dello sforzo alla sezione d'incastro coincide con quello dell'incognita ܺ_ଵ indicato in Tabella 2.10.

(35)

87

2.4 Cassone costituito da quattro baie

Supponendo che il cassone sia costituito da quattro baie, il sistema risulta quattro volte iperstatico. Di seguito si procede al calcolo delle incognite iperstatiche ܺ_ଵ, ܺ_ଶ, ܺ_ଷ, ܺ_ସ.

L'andamento delle incognite iperstatiche nelle quattro baie è schematizzato nella figura seguente:

(36)

88 Di seguito si riportano le espressioni analitiche degli sforzi agenti sul corrente 1 nelle quattro baie, dove con ܮ si indica la lunghezza della baia:

Baia 1 Baia 2 Baia 3 Baia 4

• Sist. suppl. I ܰଵ = ܺଵ∙ ቀ1 − ݖ ܮቁ ܰଵ= 0 ܰଵ= 0 ܰଵ= 0 • Sist. suppl. II ܰଶ= ܺଶ∙ ݖ ܮ ܰଶ = ܺଶ∙ ቀ2 −ܮቁݖ ܰଶ= 0 ܰଶ= 0 • Sist. suppl. III ܰଷ= 0 _ܰ_ଷ _{= ܺ}_ଷ_{∙ ቀ}ݖ ܮ − 1ቁ ܰଷ= ܺଷ∙ ቀ3 −ܮቁݖ ܰଷ= 0 • Sist. suppl. IV ܰସ= 0 ܰସ = 0 _ܰ_ସ_{= ܺ}_ସ_{∙ ቀ}ݖ ܮ − 2ቁ ܰସ= ܺସ∙ ቀ4 −ܮቁݖ Tabella 2.11 Espressioni analitiche degli sforzi nelle quattro baie

Dalla (2.7) e (2.8) si possono ricavare i flussi agenti nelle varie baie, i quali vengono schematizzati nelle figure seguenti:

(37)

89 Figura 2.37 Flussi nelle quattro baie (Baia 1 e Baia2)

(38)

90 Figura 2.38 Flussi nelle quattro baie (Baia 3 e Baia 4)

(39)

91 Posti ܺ_ଵ= 1, ܺ_ଶ= 1, ܺ_ଷ= 1, ܺ_ସ= 1 gli sforzi nei pannelli nei tratti 2-1 e 4-3 saranno:

߬ଵ= −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଵ= 0 ߬ଵ = 0 ߬ଵ= 0 ߬ଶ =_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଶ= −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଶ= 0 ߬ଶ = 0 ߬ଷ = 0 _߬ ଷ=_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଷ= −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଷ = 0 ߬ସ = 0 ߬ସ= 0 _߬ ସ=_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ସ = −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1

Tabella 2.12 Sforzi nei pannelli nei tratti 2-1 e 4-3

Le deformazioni nei tratti 2-1 e 4-3 saranno:

ߛଵ = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଵ= 0 ߛଵ= 0 ߛଵ= 0 ߛଶ=_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଶ = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଶ= 0 ߛଶ= 0 ߛଷ= 0 _ߛ ଷ =_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଷ= −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଷ= 0 ߛସ= 0 ߛସ= 0 _ߛ ସ=_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛସ = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1

Tabella 2.13 Deformazioni nei pannelli nei tratti 2-1 e 4-3

Nei tratti 1-4 e 3-2 i segni degli sforzi e delle deformazioni sono di segno opposto a quelli indicati nelle tabelle sopra.

(40)

92 2.4.2 Equazioni di Muller-Breslau

Nel caso di quattro incognite iperstatiche dalle equazioni di Muller-Breslau si ricava il seguente sistema: ൞ ߟଵ = ߟଵ଴+ ܺଵ∙ ߟଵଵ+ ܺଶ∙ ߟଵଶ+ ܺଷ∙ ߟଵଷ+ ܺସ∙ ߟଵସ ߟଶ= ߟଶ଴+ ܺଵ∙ ߟଶଵ+ ܺଶ∙ ߟଶଶ+ ܺଷ∙ ߟଶଷ+ ܺସ∙ ߟଶସ ߟଷ= ߟଷ଴+ ܺଵ∙ ߟଷଵ+ ܺଶ∙ ߟଷଶ+ ܺଷ∙ ߟଷଷ+ ܺସ∙ ߟଷସ ߟସ= ߟସ଴+ ܺଵ∙ ߟସଵ+ ܺଶ∙ ߟସଶ+ ܺଷ∙ ߟସଷ+ ܺସ∙ ߟସସ (2.50)

I risultati ottenuti per il caso di tre baie, dalla (2.30) alla (2.42), sono gli stessi del caso in questione. Bisogna, quindi, calcolare i termini rimanenti:

ߟଵସ= න ൤ර ߬ଵ∙ ߛସ∙ ݐ݀ݏ൨ ௅ ଴ ݀ݖ + 4 න ܰଵ∙ ܰସ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ௅ ଴ = 0 ߟଶସ= න ൤ර ߬ଶ∙ ߛସ∙ ݐ݀ݏ൨ ଶ௅ ௅ ݀ݖ + 4 න ܰଶ∙ ܰସ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ௅ ଴ = 0 ߟଷସ= න ൤ර ߬ଷ∙ ߛସ∙ ݐ݀ݏ൨ ଷ௅ ଶ௅ ݀ݖ + 4 න ܰଷ∙ ܰସ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ଷ௅ ଶ௅ = = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න −}1 ௐ _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ଷ௅ ଶ௅ +_{ܧ ∙ ܣ න ቀ3 −}4 ଷ௅ ݖ_{ܮቁ ∙ ቀ}_{ܮ − 2ቁ ݀ݖ}ݖ ଶ௅ = = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 2₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ ߟସ଴= න ൤ර ߬ସ∙ ߛ௫௬∙ ݐ݀ݏ൨ ଷ௅ ଶ௅ ݀ݖ + න ൤ර ߬ସ∙ ߛ௫௬∙ ݐ݀ݏ൨ ସ௅ ଷ௅ ݀ݖ = = න ቈ2 ∙ න −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ}1 ௫௬∙ ݀ݏ + ு ଴ 2 ∙ න + 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݀ݏ ௐ ଴ ቉ ଷ௅ ଶ௅ ݀ݖ + + න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ}1 ௫௬∙ ݀ݏ + ு ଴ 2 ∙ න − 1 2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ߛ௫௬∙ ݀ݏ ௐ ଴ ቉ ସ௅ ଷ௅ ݀ݖ = 0

(41)

93 ߟସଵ= ߟଵସ ߟସଶ= ߟଶସ ߟସଷ= ߟଷସ ߟସସ= න ൤ර ߬ସ∙ ߛସ∙ ݐ݀ݏ൨ ଷ௅ ଶ௅ ݀ݖ + 4 න ܰସଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ ଷ௅ ଶ௅ + න ൤ර ߬ସ∙ ߛସ∙ ݐ݀ݏ൨ ସ௅ ଷ௅ ݀ݖ + 4 න ܰସଶ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ = ସ௅ ଷ௅ = න ቈ2 ∙ න _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න −}1 ௐ _{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ଷ௅ ଶ௅ + න ቈ2 ∙ න ൬−_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ൬−}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ൰ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ + 2 ∙ න}1 ௐ_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ ∙}1 _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ ∙ ݐ ∙ ݀ݏ}1 ଴ ு ଴ ቉ ݀ݖ + ସ௅ ଷ௅ +_{ܧ ∙ ܣ න ቀ}4 ଶ௅ ݖ_{ܮ − 2ቁ}ଶ݀ݖ ௅ + 4 ܧ ∙ ܣ න ቀ4 −ݖܮቁ ଶ ݀ݖ ଷ௅ ଶ௅ = =_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ +}ܮ _{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 4₃_{ܧ ∙ ܣ =}ܮ =_{ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 8₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ ߟଵସ= 0 (2.51) ߟଶସ= 0 (2.52) ߟଷସ= −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 2₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ (2.53) ߟସ଴= 0 (2.54) ߟସଵ= ߟଵସ (2.55) ߟସଶ= ߟଶସ (2.56) ߟସଷ= ߟଷସ (2.57) ߟସସ=_{ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ +}ܪ + ܹ 8₃_{ܧ ∙ ܣ}ܮ (2.58)

(42)

94 Dai risultati ottenuti si può notare che valgono le seguenti relazioni:

ߟଷସ= ߟଵଶ (2.59)

ߟସସ= 2 ∙ ߟଵଵ (2.60)

Riscrivendo il sistema (2.50) in forma matriciale, si ottiene:

൦ ߟଵଵ ߟଵଶ ߟଵଷ ߟଵସ ߟଶଵ ߟଶଶ ߟଶଷ ߟଶସ ߟଷଵ ߟଷଶ ߟଷଷ ߟଷସ ߟସଵ ߟସଶ ߟସଷ ߟସସ ൪ ∙ ൦ ܺଵ ܺଶ ܺଷ ܺସ ൪ = − ቐ ߟଵ଴ 0 0 0 ቑ (2.61)

Andando a sostituire nella (2.61) i risultati ottenuti dai calcoli precedenti e le relazioni (2.43), (2.44), (2.45), (2.59) e (2.60) la matrice assume la seguente forma:

൦ ߟଵଵ ߟଵଶ 0 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ ߟଵଶ 0 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ ߟଵଶ 0 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ ൪ ∙ ൦ ܺଵ ܺଶ ܺଷ ܺସ ൪ = − ቐ ߟଵ଴ 0 0 0 ቑ (2.62)

Si può subito notare la semplice struttura che assume la matrice dei coefficienti:

ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ۍߟ_ߟଵଵ_ଵଶ _{2 ∙ ߟ}ߟଵଶ_ଵଵ _ߟ0_ଵଶ 0 ⋯ ⋯_{0 ⋯ ⋯} 0₀ 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ ߟଵଶ 0 ⋯ 0 0 0 ߟଵଶ ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋱ ⋱ ߟଵଶ 0 0 0 ⋯ 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې (2.63)

Dalla (2.63)si deduce che è possibile aumentare il numero di incognite iperstatiche senza dover, ogni volta, riscrivere le equazioni di Muller-Breslau e calcolare i termini mancanti. Bisogna, però, tener presente che nei calcoli il termine ܮ rappresenta la lunghezza della baia, per cui essa sarà pari alla lunghezza totale del cassone fratto il numero di parti in cui viene suddiviso il cassone stesso, ovvero il numero di incognite iperstatiche.

(43)

95 2.4.3 Calcolo dell'angolo di rotazione ࣂ della sezione d'estremità

Per il Calcolo dell'angolo di rotazione ߠ della sezione d'estremità si sfrutta la relazione (2.49) tenendo presente che il valore di ܺ_ଵ è quello ricavato dalla risoluzione del sistema (2.62).

2.4.4 Valori di ࣂ e delle incognite iperstatiche al variare della lunghezza del cassone

Di seguito si riportano i valori di ߠ edelle incognite iperstatiche per un cassone in cui viene fatta variare la lunghezza longitudinale ed il materiale utilizzato per la sua costruzione.

I dati di riferimento per le dimensioni del cassone sono quelli indicati nella Tabella 2.1. Il materiale usato è l'alluminio le cui caratteristiche sono elencate in Tabella 2.2.

(44)

96 Figura 2.40 Valore ࢄ_૚ per cassone in alluminio

(45)

97 Figura 2.42 Valore ࢄ_૜ per cassone in alluminio

(46)

98 Lunghezza cassone [m] ߠ [deg] ܺଵ [N] ܺଶ [N] ܺଷ [N] ܺସ [N] 0.50 0.4982 2.4737 ∙ 10ଷ_353.24 _50.42 _7.05 0.75 0.7578 2.2265 ∙ 10ଷ_−14.02 _0.08 ₀ 1.00 1.0174 1.9789 ∙ 10ଷ_−179.97 _16.36 _−1.47 1.25 1.2768 1.7560 ∙ 10ଷ_−249.41 _35.41 _−4.93 1.50 1.5359 1.5644 ∙ 10ଷ_−273.15 _47.65 _−8.07 1.75 1.7949 1.4027 ∙ 10ଷ_−275.44 _54.01 _−10.21 2.00 2.0537 1.2668 ∙ 10ଷ_−267.91 _56.55 _−11.45

Tabella 2.14 Valori di θ e delle incognite iperstatiche per cassone in alluminio

2.4.5 Rigidezza torsionale

Il calcolo si rimanda a quanto descritto nel paragrafo 2.3.5.

(47)

99 2.4.6 Flussi effettivi

Per il calcolo del flusso effettivo agente nei vari tratti delle varie baie, note che siano le incognite iperstatiche, si fa riferimento alle figure2.37 e 2.38:

Tratti 1-4 e 3-2 Tratti 2-1 e 4-3 Baia 1 ݍଵସ= ݍଷଶ = ݍ଴−_{2ܮ +}ܺଵ _2ܮܺଶ ݍଶଵ= ݍସଷ= ݍ଴+_{2ܮ −}ܺଵ _2ܮܺଶ Baia 2 ݍଵସ= ݍଷଶ = ݍ଴−_{2ܮ +}ܺଶ _2ܮܺଷ ݍଶଵ= ݍସଷ= ݍ଴+_{2ܮ −}ܺଶ _2ܮܺଷ Baia 3 ݍଵସ= ݍଷଶ = ݍ଴−_{2ܮ +}ܺଷ _2ܮܺସ ݍଶଵ= ݍସଷ= ݍ଴+_{2ܮ −}ܺଷ _2ܮܺସ Baia 4 ݍଵସ= ݍଷଶ = ݍ଴−_2ܮܺସ ݍଶଵ= ݍସଷ= ݍ଴+_2ܮܺସ

Tabella 2.15 Flussi nelle baie nel caso di quattro incognite iperstatiche

2.4.7 Carichi effettivi

Il carico effettivo agente nel corrente 1 sarà il seguente:

Corrente 1 Baia 1 _ܰ ଵ= ሺܺଶ− ܺଵሻ ∙ݖ_{ܮ + ܺ}ଵ Baia 2 _ܰ ଵ= ሺܺଷ− ܺଶሻ ∙ ቀ_{ܮ − 1ቁ + ܺ}ݖ ଶ Baia 3 _ܰ ଵ= ሺܺସ− ܺଷሻ ∙ ቀ_{ܮ − 2ቁ + ܺ}ݖ ଷ Baia 4 _ܰ ସ = ܺସ∙ ቀ4 −_ܮቁݖ

Tabella 2.16 Sforzo normale nel corrente 1 nel caso di quattro incognite iperstatiche

(48)

(49)

(50)

(51)

2.5 Cassone costituito da un numero di baie superiore a quattro

Per il caso di cassone costituito da un numero di baie superiore a quattro si consulti l’appendice A.

2.6 Sforzi nei correnti al variare del numero di incognite iperstatiche e

della lunghezza del cassone

Di seguito viene mostrato l'andamento dello sforzo normale nel corrente 1 al variare del numero di incognite iperstatiche e della lunghezza del cassone.

I dati di riferimento per le dimensioni del cassone sono riportati nella Tabella 2.1, quelli per il materiale in Tabella 2.2.

(52)

104 Figura 2.52 Sforzo normale nel corrente 1 al variare delle I.I. per cassone di 0. 5 m in alluminio

(53)

105 Figura 2.54 Sforzo normale nel corrente 1 al variare delle I.I. per cassone di 1.0 m in alluminio

(54)

(55)

Dai grafici è possibile notare come gli effetti dell'impedito ingobbamento,all'aumentare della lunghezza del cassone e del numero di incognite iperstatiche, siano confinati nella zona limitrofa all'incastro con una graduale riduzione del valore di ܺ_ଵ.Ciò implica che, il secondo termine del membro a destra della (2.21), o in maniera equivalente della (2.49), è decrescente; l'angolo di rotazione della sezione libera ߠsarà, quindi, una funzione fortemente dipendente dalla deformazione imposta ߛ_௫௬.

(56)

108

2.7 Rigidezza flessionale

Per il calcolo della rigidezza flessionale si prende in considerazione il sistema di figura:

Figura 2.59 Carico agente sulla sezione d’estremità del cassone

Indicando con ݖ l’asse longitudinale del cassone, il momento flettente intorno l’asse ݔ generato dal carico di figura è:

ܯ௫ = ܲ ∙ ሺݖ − ݈ሻ (2.64)

Il momento d’inerzia rispetto l’asse ݔ dei correnti è:

(57)

109 Lo sforzo agente nei correnti del sistema principale in direzione ݖ segue la relazione:

ߪ଴௜ =ܯ_ܫ௫ ௫ ∙ ݕ

(2.66)

Sostituendo ad ݕ la corrispondente coordinata dei correnti si ottiene:

ߪ଴ଵ= ߪ଴ଶ=ܲ ∙ ሺݖ − ݈ሻ_{ܣ ∙ ܪ}_ଶ ∙ ൬−ܪ_2൰ (2.67)

ߪ଴ଷ= ߪ଴ସ=ܲ ∙ ሺݖ − ݈ሻ_{ܣ ∙ ܪ}_ଶ ∙ܪ₂ (2.68)

Il flusso agente nei vari tratti di una sezione del cassone del sistema principale rispetta le seguenti relazioni:

ݍ_଴ଶଵ= 0 (2.69)

ݍ_଴ଵସ=_{2 ∙ ܪ}ܲ (2.70)

ݍ_଴ସଷ= 0 (2.71)

ݍ_଴ଷଶ= −_{2 ∙ ܪ}ܲ (2.72)

Supponendo che il sistema sia composto da una sola baia, per cui una volta iperstatico, si possono sfruttare la figura 2.4 e le relazioni (2.4) e (2.5) per la determinazione degli sforzi normali agenti nei correnti,la figura 2.9 e la relazione (2.8) per la determinazione dei flussi agenti nei pannelli.

Quindi, si procede al calcolo della incognita iperstatica ܺ_ଵ applicando la (2.11) e calcolando i vari termini attraverso la (2.12) e (2.13).

Esplicitando i calcoli si ottiene:

ߟଵ଴= න ቈන ݍ଴ଵସ_{ݐ ∙}_{ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ +}ݍଵ ு ଴ න ݍ_଴ଷଶ ݐ ∙ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏݍଵ ு ଴ ቉ ௅ ଴ ݀ݖ + න ߪ଴ଵ∙ ௅ ଴ ܰଵ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ + න ߪ଴ଶ∙ ௅ ଴ −ܰଵ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ + + න ߪ଴ଷ∙ ௅ ଴ ܰଵ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ + න ߪ଴ସ∙ ௅ ଴ −ܰଵ ܧ ∙ ܣ ݀ݖ = = න ൤௅ _{2 ∙ ܪ ∙}ܲ _{2 ∙ ܮ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ܪ + ൬−}1 _{2 ∙ ܪ ∙}ܲ _{2 ∙ ܮ ∙ ܩ ∙ ݐ ∙ ܪ൰൨}1 ଴ ݀ݖ +

(58)

110 + න௅_{2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ1 −}ܲ ∙ ܮ _{ܮቁ ∙}ݖ _{ܧ ∙ ܣ}1 ଴ ∙ ቀ1 − ݖ ܮቁ ݀ݖ + න 2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ−1 +ܲ ∙ ܮ ܮቁ ∙ݖ ܧ ∙ ܣ1 ௅ ଴ ∙ ቀ1 − ݖ ܮቁ ݀ݖ + + න௅_{2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ−1 +}ܲ ∙ ܮ ݖ_{ܮቁ ∙}_{ܧ ∙ ܣ}1 ଴ ∙ ቀ1 − ݖ ܮቁ ݀ݖ + න 2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ1 −ܲ ∙ ܮ ܮቁ ∙ݖ ܧ ∙ ܣ1 ௅ ଴ ∙ ቀ1 − ݖ ܮቁ ݀ݖ = =_{2 ∙ ܧ ∙ ܣ}ܲ ∙ ܮ_ଶ_{∙ ܪ ∙ ቈන ቀ1 −}௅ ݖ_ܮቁଶ݀ݖ ଴ − න ቀ1 − ݖ ܮቁ ଶ ݀ݖ ௅ ଴ − න ቀ1 − ݖ ܮቁ ଶ ݀ݖ ௅ ଴ + න ቀ1 − ݖ ܮቁ ଶ ݀ݖ ௅ ଴ ቉ = 0 Da cui: ߟଵ଴= 0 (2.73)

In conseguenza della (2.73) si ha che ܺ_ଵ è nulla. Per cui gli sforzi del sistema principale coincidono con quelli effettivi.

A questo punto, noti gli sforzi agenti nella struttura, si può procedere al calcolo della rigidezza flessionale applicando il teorema dei lavori virtuali. Si suppone, quindi, che il carico applicato in figura 2.59 sia unitario e produca uno spostamento ߜ.

Il lavoro virtuale delle forze esterne sarà:

ܮ௘௩= 1 ∙ ߜ (2.74)

Gli sforzi generati dal carico saranno:

ߪ_{௙௜௧௧ଵ}= ߪ_{௙௜௧௧ଶ}= −_{2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ}ܮ ݖ_{ܮ − 1ቁ} (2.75) ߪ_{௙௜௧௧ଷ}= ߪ_{௙௜௧௧ସ} =_{2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ}ܮ _{ܮ − 1ቁ}ݖ (2.76) ݍ_{௙௜௧௧ଶଵ}= 0 (2.77) ݍ_{௙௜௧௧ଵସ}=_{2 ∙ ܪ}1 (2.78) ݍ_{௙௜௧௧ସଷ}= 0 (2.79) ݍ_{௙௜௧௧ଷଶ}= −_{2 ∙ ܪ}1 (2.80)

(59)

111 Il lavoro virtuale delle forze interne sarà:

ܮ௩௜ = න ቈන ݍ଴ଵସ_{ݐ ∙}ݍ_{ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ +}௙௜௧௧ଵସ ு ଴ න ݍ_଴ଷଶ ݐ ∙ ݍ_{௙௜௧௧ଷଶ} ܩ ∙ ݐ ∙ ݐ݀ݏ ு ଴ ቉ ௅ ଴ ݀ݖ + න ߪ଴ଵ∙ ௅ ଴ ߪ_{௙௜௧௧ଵ} ܣ ݀ݖ + න ߪ଴ଶ∙ ௅ ଴ ߪ_{௙௜௧௧ଶ} ܣ ݀ݖ + න ߪ଴ଷ∙ ௅ ଴ ߪ_{௙௜௧௧ଷ} ܣ ݀ݖ + න ߪ଴ସ∙ ௅ ଴ ߪ_{௙௜௧௧ସ} ܣ ݀ݖ = = න ൤௅ _{2 ∙ ܪ ∙ ݐ ∙}ܲ _{2 ∙ ܪ ∙ ܩ ∙ ܪ −}1 _{2 ∙ ܪ ∙ ݐ ∙ ൬−}ܲ _{2 ∙ ܪ ∙ ܩ൰ ∙ ܪ൨ ݀ݖ +}1 ଴ + න −௅ _{2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙}ܲ ∙ ܮ ଴ ቀ ݖ ܮ − 1ቁ ∙2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ1 −ܮ ݖܮቁ ݀ݖ + න 2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ܲ ∙ ܮ ௅ ଴ ቀ ݖ ܮ − 1ቁ ∙2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ1 −ܮ ݖܮቁ ݀ݖ + + න −௅ _{2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙}ܲ ∙ ܮ ଴ ቀ ݖ ܮ − 1ቁ ∙2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ1 −ܮ ܮቁ ݀ݖ + නݖ 2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ܲ ∙ ܮ ௅ ଴ ቀ ݖ ܮ − 1ቁ ∙2 ∙ ܣ ∙ ܪ ∙ ቀ1 −ܮ ݖܮቁ ݀ݖ = =_{2 ∙ ܩ ∙ ܪ ∙ ݐ +}ܲ ∙ ܮ +_{2 ∙ ܧ ∙ ܣ}ܲ ∙ ܮ_ଶ_{∙ ܪ ∙ ቈන ቀ1 −}௅ ݖ_ܮቁଶ݀ݖ ଴ − න ቀ1 − ݖ ܮቁ ଶ ݀ݖ ௅ ଴ − න ቀ1 − ݖ ܮቁ ଶ ݀ݖ ௅ ଴ + න ቀ1 − ݖ ܮቁ ଶ ݀ݖ ௅ ଴ ቉ = =_{2 ∙ ܩ ∙ ܪ ∙ ݐ}ܲ ∙ ܮ Da cui: ܮ௜௩=_{2 ∙ ܩ ∙ ܪ ∙ ݐ}ܲ ∙ ܮ (2.81)

Eguagliando la (2.74) con la (2.81) si ricava la rigidezza flessionale rispetto all’asse ݔ:

(60)

112 Figura 2.60 Rigidezza flessionale rispetto l’asse x al variare della lunghezza per cassone in alluminio

Supponendo di applicare un carico in direzione ݔ e ripetendo tutti i passaggi sopra descritti, si ricava che la rigidezza flessionale della struttira rispetto l’asse ݕ sarà:

(61)

113 Figura 2.61 Rigidezza flessionale rispetto l’asse y al variare della lunghezza per cassone in alluminio