3 CASSONE CON PATCHES DI MFC APPLICATE SUI PANNELLI E SUI CORRENTI

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(1)3 CASSONE CON PATCHES DI MFC APPLICATE SUI PANNELLI E SUI CORRENTI 3.1.1. Schema del cassone. Lo schema del cassone è lo stesso descritto nel paragrafo 2.1.1.. 3.1.2. Sistema principale. Il sistema principale è lo stesso descritto nel paragrafo 2.1.2 con aggiunta dipatches di MFC anche sui correnti.In questo modo si può introdurre una deformazione su di essi, in direzione longitudinale, che provoca nella struttura una flessione differenziale. In questo modo l'angolo di rotazione viene incrementato. Le deformazioni, affinché il risultato finale sia quello voluto, devono essere di segno opposto sui correnti adiacenti.. Figura 3.1 Andamento deformazioni nei correnti. 114.

(2) Di conseguenza nasceranno nei correnti degli sforzi normali, costanti, che seguono la seguente relazione: = ∙ ∙ . (3.1). Essendo costante su ogni corrente non influenza il valore dei flussi agenti nel sistema principale, che restano quelli indicati dalla (2.3).. 3.2 Cassone costituito da una sola baia 3.2.1. Sistema supplementare. Il sistema supplementare è lo stesso indicato nel paragrafo 2.2.1.. 3.2.2. Equazione di Muller-Breslau. La presenza di sforzi normali costanti nei correnti va a modificare le equazioni di Muller-Breslau in quanto viene introdotto un termine nel calcolo di che non compare nella (2.12): . . . =

(3) ∙ ∙ +

(4) . . ∙ ∙. (3.2). Risolvendo la (3.2) si ricava: . . . =

(5) ∙ ∙ +

(6) . . #. =

(7) 2 ∙

(8). . ∙ = ∙. % 1 1 ∙ ∙ + 2 ∙

(9) − ∙ ∙ & +

(10) '1 − ( ∙ + 2∙"∙ 2∙"∙ ". +

(11) ' − 1( ∙ ) +

(12) '1 − ( ∙ * +

(13) ' − 1( ∙ = " ". ". " = ∙ +, − -. + ∙ + − ) + * − . 2. 115.

(14) " η = ∙ +, − -. + + − ) + * − . 2. (3.3). Il termine . è, invece, lo stesso indicato dalla (2.15) in quanto lo sforzo normale introdotto, facendo parte del sistema principale, non compare nel sistema supplementare. Il calcolo dell'incognita iperstatica 0 segue la relazione indicata dalla (2.16) da cui si ricava: 0 = −. 6 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ +, − -. ∙ " + ) + − ) + * − . . = 50 |+). 8. −. 8 ∙ ") ∙ + 3 ∙ ∙ +, + -. ∙ +1 + ν.. 3 ∙ ∙ ∙ ∙ ") ∙ + − ) + * − . 8 ∙ ") ∙ + 3 ∙ ∙ +, + -. ∙ +1 + ν.. 0 = 50 |+). 8. −. 3.2.3. =. 3 ∙ ∙ ∙ ∙ ") ∙ + − ) + * − . 8 ∙ ") ∙ + 3 ∙ ∙ +, + -. ∙ +1 + ν.. (3.4). Calcolo dell'angolo di rotazione 9 della sezione d'estremità. Per il calcolo della rotazione si sfrutta la relazione (2.21). In questo caso l'effetto delle deformazioni imposte sui correnti non appare esplicitamente nella formula ma è presente attraverso 0 , calcolato secondo la (3.4).. 3.2.4. Valori di 9 e :; al variare della lunghezza del cassone. Per il calcolo dei valori di e 0 , le dimensioni del cassone sono quelle indicate in Tabella 2.1.. Il materiale usato è l'alluminio, le cui caratteristiche sono indicate in Tabella 2.2.. 116.

(15) Figura 3.2 Valore θ per cassone in alluminio. Figura 3.3 Valore :; per cassone in alluminio. 117.

(16) Lunghezza del cassone [m] 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00. 3.2.5. Valore angolo di rotazione della sezione d'estremità [deg] 0.5484 0.8102 1.0699 1.3289 1.5874 1.8457 2.1039. Valore incognita iperstatica 0. alla sezione d'incastro [N] −4.633 ∙ 10* −5.2026 ∙ 10* −5.4726 ∙ 10* −5.6280 ∙ 10* −5.7283 ∙ 10* −5.7982 ∙ 10* −5.8497 ∙ 10*. Tabella 3.1 Valori di 9 e :; per cassone in alluminio. Rigidezza torsionale. Per il calcolo della rigidezza torsionale si rimanda a quanto descritto nel paragrafo 2.2.5.. Figura 3.4 Rigidezza torsionale al variare della lunghezza del cassone. 3.2.6. Flussi effettivi. Per i flussi effettivi si fa riferimento alle equazioni (2.25) e (2.26).. 118.

(17) 3.2.7. Carichi effettivi. Per i carichi effettivi si fa riferimento alle equazione (2.27) e (2.28). Di seguito si riporta l'andamento del carico effettivo nel solo corrente 1 per un cassone che rispetta le dimensioni indicate in Tabella 2.1 ed il materiale indicato in Tabella 2.2.. Figura 3.5 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 0.5 m in alluminio. 119.

(18) Figura 3.6 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 0.75 m in alluminio. Figura 3.7 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 1.0 m in alluminio. 120.


(20) Figura 3.10 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 1.75 m in alluminio. Figura 3.11 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 2.0 m in alluminio. Come si può notare dalle figure qui sopra, il valore dello sforzo alla sezione d'incastro coincide con quello dell'incognita 0 indicato in tabella 3.1. 122.

(21) 3.3 Cassone costituito da tre baie 3.3.1. Sistema supplementare. Il sistema supplementare è quello indicato nel paragrafo 2.3.1 e si fa riferimento alla figura 2.21 ed alle relazioni indicate nelle tabelle 2.4, 2.5 e 2.6.. 3.3.2. Equazioni di Muller-Breslau. Il sistema di equazioni di Muller-Breslau è quello indicato dalla (2.29).. Si procede al calcolo dei soli termini del tipo (con A ≥ 2) in quanto i restanti termini sono gli stessi del caso in cui non si abbia deformazione imposta sui correnti, ovvero quelli indicati dalla (2.30), (2.32), (2.33), (2.43), (2.44), (2.45) e (3.3). . ). ) =

(22) ) ∙ ∙ +

(23) ) ∙ ∙ +. . . . ) ) ∙ ) ∙ +

(24) +

(25) = " ∙ + − ) + * − . ∙ ∙. . . ). . *. * =

(26) * ∙ ∙ +

(27) * ∙ ∙ + . . ). . * * ∙ * ∙ +

(28) +

(29) = " ∙ + − ) + * − . ∙ ∙ ) . ). . ) = " ∙ + − ) + * − . * = " ∙ + − ) + * − .. (3.5) (3.6). Dalla (3.5) e (3.6) si deduce che per A ≥ 2 si ha:. = " ∙ + − ) + * − .. (3.7). 123.

(30) La (2.46) può essere riscritta nella seguente maniera:. C ) 0. ) 2 ∙ . ). 0 0. ) D ∙ C0) D = − E F 0* 2 ∙ . (3.8). Si nota che la struttura della matrice dei coefficienti del sistema di equazioni di Muller-Breslau mantiene invariata sia la sua forma, indicata dalla (2.63), che i valori dei suoi termini, indicati dalla (2.32) e dalla (2.33). Varia, invece, il vettore dei termini noti che vede l'inserimento dei coefficienti al posto degli zeri che completavano il vettore stesso nel caso di patches di MFC applicate solo sui panelli.. 3.3.3. Calcolo dell'angolo di rotazione 9 della sezione d'estremità. Per il calcolo della rotazione si sfrutta la relazione (2.49). L'effetto delle deformazioni imposte sui correnti è presente attraverso 0 . 3.3.4. Valori di 9 e delle incognite iperstatiche al variare della lunghezza del cassone. Per il calcolo dei valori di e delle incognite iperstatiche, le dimensioni del cassone sono quelle indicate in Tabella 2.1. Il materiale usato è l'alluminio, le cui caratteristiche sono indicate in Tabella 2.2.. 124.


(32) Figura 3.14 Valore :G per cassone in alluminio. Figura 3.15 Valore :H per cassone in alluminio. 126.

(33) Lunghezza del Valore angolo di cassone [m] rotazione [deg] 0.50 0.5284 0.75 0.7887 1.00 1.0487 1.25 1.3084 1.50 1.5677 1.75 1.8267 2.00 2.0855. Valore incognita iperstatica 0 [N] −1.8112 ∙ 10* −2.1497 ∙ 10* −2.4642 ∙ 10* −2.7255 ∙ 10* −2.9338 ∙ 10* −3.0992 ∙ 10* −3.2316 ∙ 10*. Valore incognita iperstatica 0) [N] −4.0391 ∙ 10* −4.2680 ∙ 10* −4.2824 ∙ 10* −4.2440 ∙ 10* −4.1971 ∙ 10* −4.1537 ∙ 10* −4.1162 ∙ 10*. Valore incognita iperstatica 0* [N] −3.9797 ∙ 10* −4.4811 ∙ 10* −4.7202 ∙ 10* −4.8561 ∙ 10* −4.9419 ∙ 10* −4.9998 ∙ 10* −5.0410 ∙ 10*. Tabella 3.2 Valori di θ e delle incognite iperstatiche per cassone in alluminio. 3.3.5. Rigidezza torsionale. Per il calcolo della rigidezza torsionale si rimanda a quanto descritto nel paragrafo 2.3.5.. Figura 3.16 Rigidezza torsionale al variare della lunghezza del cassone. 127.

(34) 3.3.6. Flussi effettivi. Per il calcolo del flusso effettivo agente nei vari tratti delle varie baie, note che siano le incognite iperstatiche, si fa riferimento alla figura 2.23:. Tratti 1-4 e 3-2 Baia 1 Baia 2 Baia 3. I = I*) = I −. 0 0) + 2" 2". I) = I* = I +. 0) 0* + 2" 2" 0* = I − 2". I = I*) = I − I = I*). Tratti 2-1 e 4-3. 0) 0* − 2" 2" 0* = I + 2". I) = I* = I + I) = I*. 0 0) − 2" 2". Tabella 3.3 Flussi nelle baie nel caso di tre incognite iperstatiche. 3.3.7. Carichi effettivi. Il carico effettivo agente nel corrente 1 sarà il seguente:. Corrente 1 Baia 1 Baia 2 Baia 3. = +0) − 0 . ∙ + 0. ". = +0* − 0) . ∙ ' − 1( + 0) " = 0* ∙ '3 − ( ". Tabella 3.4 Sforzo normale nel corrente 1 nel caso di tre incognite iperstatiche. Di seguito si riporta l'andamento del carico effettivo nel solo corrente 1 per un cassone che rispetta le dimensioni indicate in Tabella 2.1 ed il materiale indicato in Tabella 2.2.. 128.




(38) Figura 3.23 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 2.0 m in alluminio. 132.

(39) 3.4 Cassone costituito da quattro baie 3.4.1. Sistema supplementare. Il sistema supplementare è quello indicato nel paragrafo 2.4.1 e si fa riferimento alla figura 2.36 ed alle relazioni indicate nelle tabelle 2.11, 2.12 e 2.13.. 3.4.2. Equazioni di Muller-Breslau. Il sistema di equazioni di Muller-Breslauè quello indicato dalla (2.50). Il termine è calcolato secondo la (3.7). La (2.61) può essere riscritta nella seguente maniera:. J ) 0 0. 3.4.3. ) 2 ∙ . ) 0. 0. ) 2 ∙ . ). 0 0. 0 0) K ∙ J K = − L M 0*. ) 0 2 ∙ . (3.9). Calcolo dell'angolo di rotazione 9 della sezione d'estremità. Per il calcolo della rotazione si sfrutta la relazione (2.49). L'effetto delle deformazioni imposte sui correnti è presente attraverso 0 . 3.4.4. Valori di 9 e delle incognite iperstatiche al variare della lunghezza del cassone. Per il calcolo dei valori di e delle incognite iperstatiche, le dimensioni del cassone sono quelle indicate in Tabella 2.1. Il materiale usato è l'alluminio, le cui caratteristiche sono indicate in Tabella 2.2.. 133.


(41) Figura 3.26 Valore :G per cassone in alluminio. Figura 3.27 Valore :H per cassone in alluminio. 135.

(42) Figura 3.28 Valore :N per cassone in alluminio. Lunghezza cassone [m] 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00. [deg]. 0.5273 0.7869 1.0464 1.3058 1.5650 1.8239 2.0827. 0 [kN]. −1.6452 −1.8959 −2.1429 −2.3631 −2.5503 −2.7074 −2.8391. 0) [kN]. −3.7569 −4.1364 −4.3055 −4.3839 −4.4182 −4.4303 −4.4311. 0* [kN]. −3.9879 −4.1221 −4.0719 −4.0038 −3.9489 −3.9092 −3.8811. Tabella 3.5 Valori di θ e delle incognite iperstatiche per cassone in alluminio. 0 [kN]. −3.5267 −4.1484 −4.4988 −4.7129 −4.8503 −4.9422 −5.0058. 136.

(43) 3.4.5. Rigidezza torsionale. Per il calcolo della rigidezza torsionale si rimanda a quanto descritto nel paragrafo 2.4.5.. Figura 3.29 Rigidezza torsionale al variare della lunghezza del cassone. 3.4.6. Flussi effettivi. Per il calcolo del flusso effettivo agente nei vari tratti delle varie baie, note che siano le incognite iperstatiche, si fa riferimento alle figure2.37 e 2.38: Tratti 1-4 e 3-2 Baia 1 Baia 2 Baia 3 Baia 4. I = I*) = I −. 0) 0* + 2" 2" 0* 0 = I − + 2" 2" 0 = I − 2". I = I*) = I − I = I*) I = I*). 0 0) + 2" 2". Tratti 2-1 e 4-3 I) = I* = I +. 0) 0* − 2" 2" 0* 0 = I + − 2" 2" 0 = I + 2". I) = I* = I + I) = I* I) = I*. 0 0) − 2" 2". Tabella 3.6 Flussi nelle baie nel caso di quattro incognite iperstatiche. 137.

(44) 3.4.7. Carichi effettivi. Il carico effettivo agente nel corrente 1 sarà il seguente:. Corrente 1 Baia 1 Baia 2 Baia 3 Baia 4. = +0) − 0 . ∙ + 0. ". = +0* − 0) . ∙ ' − 1( + 0) " = +0 − 0* . ∙ ' − 2( + 0* " = 0 ∙ '4 − ( ". Tabella 3.7 Sforzo normale nel corrente 1 nel caso di quattro incognite iperstatiche. Di seguito si riporta l'andamento del carico effettivo nel solo corrente 1 per un cassone che rispetta le dimensioni indicate in Tabella 2.1 ed il materiale indicato in Tabella 2.2.. Figura 3.30 Sforzo nel corrente 1 per cassone di lunghezza 0.5 m in alluminio. 138.




(48) 3.5 Cassone costituito da un numero di baie superiore a quattro Per il caso di cassone costituito da un numero di baie superiore a quattro si consulti l’appendice B.. 3.6 Sforzi nei correnti al variare del numero di incognite iperstatiche e della lunghezza del cassone Di seguito viene mostrato l'andamento dello sforzo normale nel corrente 1 al variare del numero di incognite iperstatiche e della lunghezza del cassone. I dati di riferimento per le dimensioni del cassone sono riportati nella Tabella 2.1, quelli per il materiale in Tabella 2.2.. Figura 3.37 Sforzo normale nel corrente 1 al variare delle I.I. per cassone di 0.5 m in alluminio. 142.

(49) Figura 3.38 Sforzo normale nel corrente 1 al variare delle I.I. per cassone di 0.75 m in alluminio. Figura 3.39 Sforzo normale nel corrente 1 al variare delle I.I. per cassone di 1.0 m in alluminio. 143.



(52) 3.7 Rigidezza flessionale Per il calcolo della rigidezza flessionale si sfrutta quanto descritto nel paragrafo 2.7. Gli sforzi agenti nei correnti del sistema principale saranno dovuti al carico applicato, indicati dalla (2.67) e (2.68), alla quale si aggiungono quelli dovuti alle deformazioni imposte: O = ∙ . (3.10). I flussi agenti nei pannelli del sistema principale sono gli stessi indicati dalla (2.69) alla (2.72). Gli sforzi agenti nei correnti del sistema supplementare si ricavano sfruttando la figura 2.4 e le relazioni (2.4) e (2.5), mentre per i flussi si sfrutta la figura 2.9 e la relazione (2.8). Per il calcolo della incognita iperstatica si utilizzano le relazioni (2.11), (2.12) e (2.13). Esplicitando i calcoli si ottiene: #I . . =

(53)

(54). . ∙. #I I. I. . −. *) ∙ +

(55) ∙ ∙ & +

(56) O ∙ +

(57) O ) ∙ + P∙ P∙ ∙ ∙. . −. +

(58) O * ∙ +

(59) O ∙ = ∙ ∙. . . =

(60) . 1 1 ∙ ∙ , + Q− ∙ ∙ ,R + 2∙, 2∙"∙P∙ 2∙, 2∙"∙P∙. ∙" 1 +

(61) Q ∙ '1 − ( + ∙ R ∙ ∙ '1 − ( + " ∙ " 2∙∙, . +

(62) Q. ∙" 1 ∙ '−1 + ( + ∙ ) R ∙ ∙ '1 − ( + 2∙∙, " ∙ ". 1 ∙" +

(63) Q ∙ '−1 + ( + ∙ * R ∙ ∙ '1 − ( + " ∙ " 2∙∙,. ∙" 1 +

(64) Q ∙ '1 − ( + ∙ R ∙ ∙ '1 − ( = " ∙ " 2∙∙, . =. ) ) ) ) ∙" ∙

(65) '1 − ( −

(66) '1 − ( −

(67) '1 − ( +

(68) '1 − ( & + 2 ∙ ∙ ) ∙ , " " " ". = + − ) + * − . ∙. " 2. 146.

(69) Da cui:. = + − ) + * − . ∙. Il termine . è lo stesso indicato dalla (2.15).. " 2. (3.11). Per il calcolo della incognita iperstatica si frutta la (2.16). A questo punto si procede al calcolo della incognita iperstatica mediante l’uso del teorema dei lavori virtuali. Il lavoro virtuale delle forze esterna è dato dalla (2.74), mentre quelle delle forze interne, nel caso in questione, diventa: 0. 1 0. 1 "S =

(70) Q + R∙ ∙ , Q− + R ∙ Q− R ∙ , + 2∙, 2∙" 2∙,∙P 2∙,∙ 2∙" 2∙,∙P. . +

(71) Q−. . +

(72) Q−. 0. " ∙" + R ∙ '1 − ( + ∙ ∙ ∙ '1 − ( + " 2∙∙,∙ " 2∙∙, . ∙" 0. " − R ∙ '1 − ( + ∙ ) ∙ ∙ '1 − ( + 2∙∙, " 2∙∙,∙ ". ∙" 0. " +

(73) Q + R ∙ '1 − ( + ∙ * ∙ Q− R ∙ '1 − ( + 2 ∙ ∙ , " 2 ∙ ∙ , ∙ ". . ∙" 0. " +

(74) Q − R ∙ '1 − ( + ∙ ∙ Q− R ∙ '1 − ( = 2∙∙, " 2∙∙,∙ ". =. −. +. ∙" 0. " ) . + ∙

(75) '1 − ( +

(76) '1 − ( + 2∙P∙,∙ 2∙∙,∙ " 2∙∙, ". 0. " ) ) ∙

(77) '1 − ( +

(78) '1 − ( + 2∙∙,∙ " 2∙∙, ". 0. " ) * ∙

(79) '1 − ( −

(80) '1 − ( + 2∙∙,∙ " 2∙∙, ". 0. " ) − ∙

(81) '1 − ( −

(82) '1 − ( + 2∙∙,∙ " 2∙∙, ". =. ∙" 1 " ∙" + ∙ ∙ + + ) − * − . = 2∙P∙,∙ 2∙∙, 2 2∙P∙,∙. 147.

(83) Da cui:. "S =. ∙" 2∙P∙,∙. (3.12). La rigidezza flessionale rispetto l’asse Tsarà quindi: UVW = . 2∙,∙∙P = X ". (3.13). Si nota che l’espressione è la stessa indicata dalla (2.82). Ciò implica che la rigidezza torsionale non risente delle deformazioni imposte sui correnti, anche se usati per generare una flessione differenziale capace di incrementare l’angolo di rotazione dell’estremità libera del cassone. La rigidezza flessionale intorno all’asse Y sarà la stessa indicata dalla (2.83).. 148.

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