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5 L’ANALISI STATICA NON LINEARE
5.1 Generalità
L’analisi statica non lineare, o analisi push-over, è un particolare tipo di analisi non lineare delle strutture sotto carichi orizzontali crescenti, che permette di individuare i cambiamenti nella risposta della struttura man mano che alcuni elementi entrano in fase plastica.
L’analisi statica non lineare viene utilizzata per sistemi dissipativi, come ad esempio le strutture in muratura, in quanto è il metodo di calcolo più rappresentativo della loro condizione ultima e quindi della risposta sismica globale dell’edificio.
Per le diverse direzioni in cui si considera agente l’azione sismica, l’analisi push-over consiste nell’applicare alla struttura i carichi gravitazionali e un sistema di forze orizzontali che, mantenendo invariati i rapporti relativi tra le forze stesse, vengono tutte scalate in modo da far crescere monotonamente lo spostamento orizzontale di un punto di controllo della struttura fino al raggiungimento delle condizioni ultime. Tale punto di controllo si trova solitamente sulla sommità della struttura analizzata.
Il risultato dell’analisi consiste nella determinazione della curva di capacità la quale è riportata in un diagramma che ha in ascissa lo spostamento orizzontale del punto di controllo e in ordinata la forza orizzontale totale applicata (taglio alla base).
106 Tra i punti di particolare interesse sulla curva, vengono individuati quello che corrisponde alla forza orizzontale massima e quello dello spostamento ultimo, definito per le strutture in muratura portante come lo spostamento che, oltre il punto di massima forza, corrisponde ad una riduzione della forza pari al 20% di quella massima.
L’analisi statica non lineare può esser utilizzata col fine di: - valutare i rapporti di sovra resistenza;
- verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici progettati con il fattore di struttura q;
- come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione; - come metodo per la valutazione della capacità degli edifici esistenti.
5.2 Le analisi previste
Al § 7.3.4.1, il D.M. 14/01/2008 definisce due gruppi di distribuzioni di forze orizzontali: un gruppo di distribuzioni principali (Gruppo 1) ed un gruppo di distribuzioni secondarie (Gruppo 2).
Le distribuzioni principali (Gruppo 1) sono:
- distribuzione proporzionale alle forze statiche, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75% ed a condizione di utilizzare come seconda distribuzione la a); - distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale
alla forma del modo di vibrare, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%; - distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in
un’analisi dinamica lineare, applicabile solo se il periodo fondamentale della struttura è superiore a TC.
Le distribuzioni secondarie (Gruppo 2) sono:
- a) distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;
- b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura;
La limitazione sul minimo di massa partecipante per le diverse distribuzioni di carico prima definite si riferisce alla generalità delle strutture; per le strutture in muratura però, come descritto al § 7.8.1.5.4, l’analisi statica non lineare è applicabile anche nei casi
107 in cui la massa partecipante del primo modo di vibrare sia inferiore al 75% della massa totale ma comunque superiore al 60%.
Sempre al § 7.3.4.1, il D.M. 14/01/2008 impone di considerare almeno due distribuzioni di forze, ricadenti l’una nelle distribuzioni principali e l’altra nelle distribuzioni secondarie.
Il numero di analisi da eseguite, oltre alle diverse distribuzioni di forze orizzontali, è determinato da:
- direzione della forzante: la forza sismica deve essere applicata secondo le direzioni principali della struttura e quelle ad esse ortogonali;
- verso della forzante: per ciascuna delle direzioni di applicazione, la forza sismica si deve considerare agente con verso concorde e discorde rispetto a quello fissato come positivo se per la direzione ortogonale l’edificio non è simmetrico;
5.3 La verifica per l’analisi push-over. Il metodo N2
Per le strutture in muratura, l’analisi statica non lineare prevede solo una verifica globale in spostamento e non la verifica dei singoli elementi come avviene per le analisi lineari.
Nota la relazione tra il taglio alla base della struttura e lo spostamento in sommità con cui viene descritto il comportamento globale del sistema MDOF, dalla curva di capacità che rappresenta tale relazione siamo in grado di determinare quella che è la capacità di spostamento ultimo della struttura per le diverse condizioni di carico.
Al § C7.8.1.5 della Circolare 2 Febbraio 2009, n. 617 Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove Norme Tecniche per le Costruzioni” di cui al D.M. 14/01/2008, viene definita la capacità di spostamento allo stato limite ultimo come lo spostamento corrispondente ad una riduzione della forza non superiore al 20% del massimo.
La verifica delle strutture con l’analisi statica non lineare consiste nel confrontare la capacità della struttura con la domanda , cioè con i livelli di deformazione o spostamento richiesti dai diversi terremoti di progetto.
Il metodo descritto al § C7.3.4.1 della Circolare 2 Febbraio 2009, n. 617 Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove Norme Tecniche per le Costruzioni” di cui al D.M. 14/01/2008, si basa sull’ipotesi che la risposta del sistema MDOF possa essere correlata alla risposta di un sistema SDOF equivalente. Tale metodo d’analisi è utilizzabile solo per le costruzioni il cui comportamento sotto la componente del terremoto è governato da un
108 modo di vibrare naturale principale caratterizzato da una significativa partecipazione di massa.
Questo metodo denominato N2, si rifà al principio formulato da Pater Fajfar ( A nonlinear analysis method for performance-based seismic design).
La trasformazione del sistema MDOF nel sistema SDOF equivalente permette di valutare con semplicità la capacità richiesta al sistema dal sisma. Infatti per il sistema SDOF, calcolato il periodo proprio equivalente al sistema MDOF, dallo spettro di risposta elastico in spostamento si può ricavare lo spostamento massimo che deve sopportare; da questo si risale allo spostamento massimo per il sistema reale.
Figura 5.2 – Sistema e diagramma bilineare equivalente.
La forza F* e lo spostamento d* del sistema equivalente sono legati alle corrispondenti grandezze Fb (taglio alla base) e dc (spostamento del punto di controllo) del
sistema reale dalle relazioni:
d d F F * *
dove G è il fattore di partecipazione modale definito dalla relazione
N i i i N i i i T T m m M M 1 2 1
109 nella quale f è il vettore rappresentativo del modo di vibrare della struttura MDOF normalizzato al valore unitario della componente del punto di controllo ed M è la matrice delle masse.
Alla curva di capacità del sistema equivalente si deve ora sostituire una curva bilineare avente un primo tratto elastico ed un secondo tratto perfettamente plastico.
La rigidezza del tratto elastico viene individuata tracciando la secante alla curva di capacità del sistema equivalente ad un grado di libertà nel punto corrispondente ad un taglio alla base pari al 70% del valore massimo. Il tratto orizzontale della curva bilineare viene individuato tramite l’uguaglianza delle aree sottese dalle due curve tracciate, fino allo spostamento ultimo del sistema che come già detto si fa coincidere con lo spostamento associato ad una riduzione del 20% della forza massima.
Determinati di conseguenza i valori di d e della forza *y
*
y
F corrispondenti alla condizione di snervamento, la rigidezza secante k*, la massa m* ed il periodo elastico T* del sistema bilineare equivalente si ricavano dalle seguenti relazioni.
* * * y y d F k N i mi i m 1 * * * * 2 k m T
La procedura per determinare la domanda sismica del sistema SDOF si distingue in base al periodo proprio T* del modello bilineare. Se questo è di medio-lunga durata (sistemi flessibili) e quindi risulta T*>TC, la risposta in spostamento del sistema anelastico
è assunta uguale a quella di un sistema elastico di pari periodo.
*) ( * max , * max d S T d e De
Lo spettro di risposta elastico in spostamento delle componenti orizzontali SDe(T*)
si ottenuto dalla corrispondente risposta in accelerazione Se(T*) con la seguente
110 2 * * * 2 ) ( ) (T S T T SDe e
Se il sistema bilineare equivalente ha un periodo T*<TC (sistemi rigidi), la risposta
in spostamento del sistema anelastico si assume maggiore di quella del sistema elastico di pari periodo secondo l’espressione:
max , * * * * max , * max 1 1 e C e d T T q q d d
in cui q* rappresenta il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente.
* * * * ( ) y e F m T S q
Una volta trovata la domanda in spostamento d*max del sistema SDOF per lo stato limite in esame si può determinare la domanda sismica del sistema MDOF dmax.
* max
max d
d
Per la verifica infine, la domanda di spostamento va infine confrontata con la capacità di spostamento del sistema.
5.4 Applicazione dell’analisi push-over all’edificio oggetto di studio
L’analisi push-over dell’edificio è stata eseguita, come per l’analisi modale e quella con spettro di risposta, su un modello tridimensionale a macro elementi schematizzando la struttura con un telaio equivalente (Figure 4.1 e 4.2). Tale analisi è stata eseguita nuovamente con l’ausilio del software di calcolo MIDAS/Gen 2010.
Le distribuzioni di forze orizzontali utilizzate per l’analisi dell’edificio oggetto di studio sono state la distribuzione corrispondente alla distribuzione di accelerazioni proporzionale alla forma del modo di vibrare, tra quelle principali, e la distribuzione a) tra
111 quelle secondarie, cioè quella corrispondente a una distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione.
Tenendo conto anche della direzione e del verso della forzante sismica, le analisi effettuate sulla struttura oggetto di studio sono le otto di seguito riportate:
- X+ mode: distribuzione proporzionale al modo di vibrare, direzione X, verso positivo;
- X- mode: distribuzione proporzionale al modo di vibrare, direzione X, verso negativo;
- Y+ mode: distribuzione proporzionale al modo di vibrare, direzione Y, verso positivo;
- Y- mode: distribuzione proporzionale al modo di vibrare, direzione Y, verso negativo;
- X+ unif acc: distribuzione uniforme di accelerazioni, direzione X, verso positivo; - X- unif acc: distribuzione uniforme di accelerazioni, direzione X, verso negativo; - Y+ unif acc: distribuzione uniforme di accelerazioni, direzione Y, verso positivo; - Y- unif acc: distribuzione uniforme di accelerazioni, direzione Y, verso negativo.
Le cerniere plastiche utilizzate per l’analisi sono cerniere di tipo FEMA. Tale tipo di cerniera è l’unico previsto dal programma di calcolo utilizzato per l’analisi nel caso di strutture in muratura. Le cerniere di tipo FEMA prevedono, dopo un tratto elastico, un comportamento di tipo incrudente con rigidezza costante. Per la muratura si sostituisce il tratto incrudente con un tratto a comportamento perfettamente plastico. Il tratto plastico si interrompe al raggiungimento del limite di deformazione inteso come spostamento massimo ammesso. Raggiunto tale limite si assume che la resistenza si abbatta drasticamente.
I limiti della deformazione ultima e la formulazione utilizzata per la determinazione della resistenza massima di ogni elemento sono già stati abbondantemente descritti al Capitolo 2 dove si descrive il metodo SAM e gli elementi che costituiscono il modello a telaio equivalente.
5.5 I risultati dell’analisi push-over
Nella seguente tabella sono riportati in maniera sintetica i risultati delle verifiche allo SLV per l’analisi push-over ottenuti per le diverse distribuzioni di azioni orizzontali
112 applicate nelle due direzioni. Tali risultati sono stati dedotti attribuendo alla muratura le proprietà dedotte dallo studio dell’IQM per la muratura stessa.
Di seguito, per ognuna delle otto analisi eseguite, si riporta la curva di capacità per il sistema reale ad n gradi di libertà (F - d), la curva di capacità del sistema ad un grado di libertà equivalente (F* - d*) e la bilineare equivale te al sistema ad un grado di libertà. Per ogni analisi si riporta anche una tabella riassuntiva dei parametri che caratterizzano l’analisi stessa.
Analisi dmax [m] du [m] Verifica
X+ mode 0,051 0,0246 NO X- mode 0,0514 0,0269 NO Y+ mode 0,0429 0,0216 NO Y- mode 0,0424 0,0237 NO X+ unif acc 0,0449 0,0242 NO X- unif acc 0,0453 0,0222 NO Y+ unif acc 0,0357 0,0237 NO Y- unif acc 0,0353 0,0189 NO
Tabella 5.I: Riassunto dei risultati delle analisi push-over. Proprietà della muratura da IQM.
113 Analisi X+ mode
Curva forza spostamento per l’analisi X+ mode.
Curva forza spostamento scalata e bilatera equivalente per l’analisi X+ mode.
X+ mode G [-] Fy* [KN] m* [KN/g] k* [KN/m] T* [s] Se(T*) [m/s2] SDe(T*) [m] dmax [m] du [m] q* [-] 1,2474 3884,5 3382,1 477892 0,5284 5,784 0,0409 0,051 0,0246 5,912
Tabella riassuntiva parametri per l’analisi X+ mode. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 0,01 0,02 0,03 0,04 KN m F - d 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 KN m F* - d* Bilineare
114 Analisi X- mode
Curva forza spostamento per l’analisi X- mode.
Curva forza spostamento scalata e bilatera equivalente per l’analisi X- mode.
X- mode G [-] Fy* [KN] m* [KN/g] k* [KN/m] T* [s] Se(T*) [m/s2] SDe(T*) [m] dmax [m] du [m] q* [-] 1,2474 4100,4 3382,1 471030 0,5322 5,742 0,0412 0,0514 0,0269 5,615
Tabella riassuntiva parametri per l’analisi X- mode. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 0,01 0,02 0,03 0,04 KN m F - d 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 KN m F* - d* Bilineare
115 Analisi Y+ mode
Curva forza spostamento per l’analisi Y+ mode.
Curva forza spostamento scalata e bilatera equivalente per l’analisi Y+ mode.
Y+ mode G [-] Fy* [KN] m* [KN/g] k* [KN/m] T* [s] Se(T*) [m/s2] SDe(T*) [m] dmax [m] du [m] q* [-] 1,2353 4294,1 3207,2 627918 0,4488 6,809 0,0348 0,0429 0,0216 5,083
Tabella riassuntiva parametri per l’analisi Y+ mode. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 0,01 0,02 0,03 0,04 KN m F - d 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 KN m F* - d* Bilineare
116 Analisi Y- mode
Curva forza spostamento per l’analisi Y- mode.
Curva forza spostamento scalata e bilatera equivalente per l’analisi Y- mode.
Y- mode G [-] Fy* [KN] m* [KN/g] k* [KN/m] T* [s] Se(T*) [m/s2] SDe(T*) [m] dmax [m] du [m] q* [-] 1,2353 4635,8 3207,2 641646 0,4439 6,883 0,0343 0,0424 0,0237 4,709
Tabella riassuntiva parametri per l’analisi Y- mode. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 0,01 0,02 0,03 0,04 KN m F - d 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 KN m F* - d* Bilineare
117 Analisi X+ unif acc
Curva forza spostamento per l’analisi X+ unif acc.
Curva forza spostamento scalata e bilatera equivalente per l’analisi X+ unif acc.
X+ unif acc G [-] Fy* [KN] m* [KN/g] k* [KN/m] T* [s] Se(T*) [m/s2] SDe(T*) [m] dmax [m] du [m] q* [-] 1,2474 5841,8 3382,1 618867 0,4643 6,582 0,036 0,0449 0,0242 3,941
Tabella riassuntiva parametri per l’analisi X+ unif acc. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 0,01 0,02 0,03 0,04
KN
m F - d 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 KN m F* - d* Bilineare118 Analisi X- unif acc
Curva forza spostamento per l’analisi X- unif acc.
Curva forza spostamento scalata e bilatera equivalente per l’analisi X- unif acc.
X- unif acc G [-] Fy* [KN] m* [KN/g] k* [KN/m] T* [s] Se(T*) [m/s2] SDe(T*) [m] dmax [m] du [m] q* [-] 1,2474 5945,1 3382,1 607546 0,4686 6,521 0,0363 0,0453 0,0222 3,873
Tabella riassuntiva parametri per l’analisi X- unif acc. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0 0,01 0,02 0,03 0,04 KN m F - d 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 KN m F* - d* Bilineare
119 Analisi Y+ unif acc
Curva forza spostamento per l’analisi Y+ unif acc.
Curva forza spostamento scalata e bilatera equivalente per l’analisi Y+ unif acc.
Y+ unif acc G [-] Fy* [KN] m* [KN/g] k* [KN/m] T* [s] Se(T*) [m/s2] SDe(T*) [m] dmax [m] du [m] q* [-] 1,2353 6760,6 3207,2 835032 0,3892 7,852 0,0289 0,0357 0,0237 3,229
Tabella riassuntiva parametri per l’analisi Y+ unif acc. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 0,01 0,02 0,03 0,04 KN m F - d 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 KN m F* - d* Bilineare
120 Analisi Y- unif acc
Curva forza spostamento per l’analisi Y- unif acc.
Curva forza spostamento scalata e bilatera equivalente per l’analisi Y- unif acc.
Y- unif acc G [-] Fy* [KN] m* [KN/g] k* [KN/m] T* [s] Se(T*) [m/s2] SDe(T*) [m] dmax [m] du [m] q* [-] 1,2353 7041,1 3207,2 848223 0,3861 7,914 0,0286 0,0353 0,0189 3,100
Tabella riassuntiva parametri per l’analisi Y- unif acc. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 0,01 0,02 0,03 0,04 KN m F - d 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 KN m F* - d* Bilineare
121 Come fatto in precedenza per i risultati ottenuti usando le proprietà meccaniche della muratura ricavati dallo studio dell’IQM, si riporta sinteticamente nella tabella seguente i risultati ottenuti considerando, come proprietà della muratura, quelle indicate nella tabella C8A.2.1 della Circolare 2 Febbraio 2009, n. 617 Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove Norme Tecniche per le Costruzioni” di cui al D.M. 14/01/2008.
Analisi dmax [m] du [m] Verifica
X+ mode 0,0515 0,0185 NO X- mode 0,0519 0,0186 NO Y+ mode 0,0423 0,0178 NO Y- mode 0,0419 0,0197 NO X+ unif acc 0,0442 0,0172 NO X- unif acc 0,0444 0,0172 NO Y+ unif acc 0,0362 0,0163 NO Y- unif acc 0,0359 0,0154 NO
Tabella 5.II: Riassunto dei risultati delle analisi push-over. Proprietà della muratura da NTC.
I risultati delle analisi statiche non lineari, ottenuti con le caratteristiche del materiale dedotte sia dall’IQM che dalla tabella C8A.2.1 dalle NTC, confermano che la struttura non risulta verificata per l’azione sismica definita per lo SLV. Per ogni analisi effettuata infatti, la domanda di spostamento (dmax) risulta essere sensibilmente maggiore
della capacità di spostamento offerta dalla struttura (du).
Per le verifiche eseguite viene violato anche il limite q* 3 imposto dalle NTC al § 7.8.1.6 (Verifiche di sicurezza). Tale parametro impone un vincolo di duttilità al complesso strutturale in quanto rappresenta il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente.
Analizzando l’evoluzione del danneggiamento della struttura si nota immediatamente che la quasi totalità delle fasce di piano presenta rotture per flessione già per il primo step di carico o per quelli immediatamente successivi (Figura 5.3). Questo
122 risulta facilmente intuibile dato che lo sforzo assiale di compressione nelle fasce stesse risulta essere di modesta entità.
Figura 5.3 – Telai X2 e X3, Analisi X+ mode, step 1: formazione delle cerniere plastiche a momento nella quasi totalità delle fasce di piano.
Continuando ad incrementare la spinta orizzontale iniziano a danneggiarsi gli elementi verticali con rotture per taglio e per flessione (Figura 5.4).
Figura 5.4 – Telai X2 e X3, Analisi X+ mode, step ultimo: localizzazione delle cerniere plastiche formatesi per l’ultimo step di carico.
