Il Libel lus de impletione loci
Il presente lavoro ha come obiettivo principale quello di fornire l’edizione critica del Libellus de impletione loci, scritto dal matematico messinese Francesco Maurolico (Messina, 1494 – Messina, 1575).
Si tratta di un testo di argomento geometrico di circa cinquanta pagine, in cui l’autore affronta il problema della tassellazione dello spazio per mezzo dei cinque poliedri regolari. L’idea gli fu suggerita da Regiomontano (1436 – 1476), che nel suo Programma editoriale presentò, tra le opere che progettava di comporre, anche uno scritto de quinque corporibus aequilateris, in cui criticava l’opinione di Averroè. Non avendo letto il testo, perché perduto o mai composto, il Messinese decise di affrontare il medesimo argomento in un proprio trattrato e di dirimere la questione.
Nel Libellus de impletione Maurolico sostiene fermamente che Averroè, nel commento al III libro del De caelo, cercando di chiarire l’affermazione aristotelica secondo la quale lo spazio sia perfettamente riempito, come dai cubi, così anche dalle piramidi, sostenga, a sua volta, una tesi errata. Non è vero che dodici piramidi, al pari di otto cubi, riempiono tutto lo spazio intorno a un punto, perchè non è vera l’equivalenza tra otto angoli solidi di cubo e dodici di piramide.
Il matematico si pone, quindi, l’obiettivo di mostrare, con diversi proce-dimenti, che le piramidi, da sole, non possono tassellare lo spazio, e che, al contrario, tra i cinque solidi regolari, solo il cubo può farlo.
Il suo studio, tuttavia, si estende anche alle combinazioni di tre o più poliedri regolari e lo conduce alla conclusione che soltanto due combinazioni possono tassellare lo spazio: due piramidi unite a due ottaedri e una piramide con un ottaedro e due cubi.
Nell’ambito di questa ricerca è emerso come il De impletione, oltre a essere un trattato su un argomento geometrico specifico, rientri anche nell’interesse dell’autore per la geometria, in generale, e per i solidi regolari, in particolare.
Il decennio che va dalla fine degli anni ’20 a quella degli anni ’30 del Cinquecento è ricco per lui di studi e di scritti di geometria solida. Nel ’28 Maurolico tiene a Messina delle lezioni pubbliche sulla Sphaera del Sacrobosco e sui primi libri degli Elementi di Euclide; nel ’32 realizza la propria edizione dei libri XIII-XV degli Elementi; tra il ’36 e il ’37 scrive le
Compaginationes solidorum regularium e all’incirca negli stessi anni studia i
centri di gravità dei solidi regolari, trattati nel IV libro del De momentis
aequalibus.
D’altro canto, il De impletione costituisce anche un’importante tessera della storia del problema geometrico della tassellazione del piano e dello spazio. Ci si è resi conto di quanto le sue origini e prime formulazioni affondino le loro radici nella storia della filosofia, più che della matematica, e di come il problema sia stato oggetto di riflessione e di indagine nell’Antichità e poi per tutto il Medioevo, fino alla soluzione di Maurolico.
Sulla base degli studi condotti possiamo affermare che il Messinese sia stato il primo ad affrontare la questione della tassellazione dello spazio con i poliedri regolari in modo del tutto autonomo e con un’ottica e procedimenti peculiarmente matematici. Sia i commentatori di Aristotele sia gli studiosi medioevali si erano mossi nel contesto fisico-filosofico in cui la questione aveva avuto origine e si erano limitati a cercare di interpretare e comprendere al meglio le parole dello Stagirita, spesso completandole con teorie proprie. Maurolico, invece, dedica allo studio della tassellazione un trattato autonomo, scevro da contaminazioni filosofiche e da teorie o idee altrui, teso a dimostrare, con diversi metodi, che, a differenza del cubo, il tetraedro regolare ripetuto non tassella lo spazio.
Stato dell’arte
Tra gli studi finora condotti sulla storia della tassellazione dello spazio con i poliedri regolari, dei quali sono a conoscenza, si annovera quello di Marjorie Senechal1, che sembra non sapere dell’esistenza del De impletione
di Maurolico o, quantomeno, ignorare chi sia l’autore, dal momento che scrive “unfortunately this work [by Regiomontanus] was lost, but subsequent authors, probably influenced by him, discussed the problem in a similar way”2.
1M. SENECHAL, Which Tetrahedra Fill Space? Early mathematicians gave
so-me puzzling answers; today the problem is not yet completely solved, in “Mathematics
Magazine”, vol. 54, n. 5, Mathematical Association of America, 1981, pp. 227-243.
Jeffrey Lagarias e Chuanming Zong, nella loro ricostruzione della sto-ria del problema3, invece, citano esplicitamente Maurolico come colui che
“corrects Aristotle’s assertion by changing the tiling” e che propone una tassellazione mista di tetraedri e ottaedri regolari, ma, allo stesso tempo, sostengono che il suo manoscritto sia andato perduto4. Essi non hanno,
quindi, avuto modo di leggere il testo del De impletione e di capire, fino in fondo, la portata della tesi mauroliciana.
L’anno successivo, Fernando Oliveira e Frank Vallentin hanno la pos-sibilità di confermare quanto sostenuto da Lagarias e Zong, leggendo la trascrizione e la traduzione italiana del Libellus realizzate nel corso della presente ricerca e all’epoca ancora inedite. Essi si rendono conto dell’impor-tanza del contributo dato dal matematico alla risoluzione del problema e, nel loro recente studio sulla “densità di impacchettamento di copie cogruenti di solidi convessi”5, gli ascrivono pienamente la scoperta che cinque tetraedri
regolari, disposti intorno a un punto comune, non riempiono completamente lo spazio, poiché ciascun angolo diedro misura 70, 52877◦, ossia meno di 360◦/5 (72◦).
Il fatto che la “scoperta” di Maurolico sia oggi ignota quasi a tutta la comunità scientifica è ascrivibile principalmente al fatto che il Libellus sia rimasto sin qui inedito e mai tradotto in nessuna lingua moderna6.
Prima del presente lavoro, infatti, non ci sono stati tentativi organici di studio e di edizione del trattato, eccetto una prima trascrizione realizzata da Antonio Garibaldi all’interno del “Progetto Maurolico”7.
Si presenta qui l’edizione critica del testo, corredata di traduzione italiana e glossario dei termini tecnici, nell’ambito di uno studio dettagliato del problema della tassellazione e della sua storia.
3J.C. LAGARIAS, C. ZONG, Mysteries in Packing Regular Tetrahedra, Notices of
AMS, vol. 59, n. 11, 2012, pp. 1540-1549.
4LAGARIAS, ZONG 2012, p. 1542.
5F.M. OLIVEIRA, F. VALLENTIN, Compunting upper bounds for the packing density
of congruent copies of a convex body, Cornell University Library, arXiv:1308.4893v1
[math.MG], 2013.
6Un possibile sviluppo di questo studio è, appunto, la traduzione del Libellus in
inglese.
7Si tratta di un progetto editoriale nato in seguito a una serie di workshop tenutisi
presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa (All’alba della matematica
moderna. Francesco Maurolico e il ritorno dei classici, 1993-96). In quella circostanza è
emersa la necessità di un’edizione completa dei suoi scritti matematici, circa cinquemila pagine fra manoscritti e stampe, e si è costituito un gruppo di ricerca con l’obiettivo di realizzarla. Per ulteriori informazioni sul “Progetto Maurolico” e per accedere all’edizione elettronica delle opere del matematico si veda il sito della F.M. OPERA MATHEMA-TICA: http://maurolico-test.elabor.biz/MaurolicoTest/index.html, sito aggiornato al 25/02/2015.
Questo contributo
Nel capitolo 1 ci proponiamo di chiarire i termini stessi della questione della tassellazione del piano e dello spazio, a partire dalla formulazione che ne dà Hilbert, nel diciottesimo dei suoi ventitrè problemi presentati al Congresso Internazionale dei Matematici, svoltosi a Parigi nell’agosto del 1900. (§ 1.1). La ricerca matematica successiva ha dimostrato che è possibile realizzare diversi tipi di tassellazione, in base alle simmetrie di cui gode il pattern considerato (tassellazioni periodiche e aperiodiche) o al tipo di pattern o tassello stesso (tassellazioni regolari, semiregolari, irregolari). Tassellazioni di tutti i tipi, dall’antichità fino a oggi, hanno avuto notevole diffusione nell’arte, nell’architettura e nell’urbanistica: basti pensare ai mosaici dell’Alhambra di Granada o alle incisioni di Escher.
Abbiamo cercato, poi, di indagare le origini e gli sviluppi della questione che Maurolico affronta nel suo Libellus, ossia la tassellazione dello spazio per mezzo dei cinque poliedri regolari e, in particolare, per mezzo dei tetraedri regolari (§ 1.2). A partire dalle parole dello stesso Mauolico abbiamo visto come la fonte dell’errore secolare sulla tassellazione sia una frase scritta da Aristotele nel suo De caelo, come argomentazione contro la teoria fisica esposta da Platone nel Timeo. La questione, poi, si è ulteriormente artico-lata attraverso i commenti al De caelo (§ 1.3) di Potamo d’Alessandria, di Alessandro d’Afrodisia e di Simplicio, i quali, pur non mettendo in dubbio l’affermazione aristotelica, vi hanno apportato contributi personali. Nel Medioevo (§ 1.4), poi, diversi uomini di scienza, sia nei commentari al De
caelo sia in opere indipendenti, si sono confrontati con il problema. Alcuni di
loro, come Averroè e Ruggero Bacone, condividendo le parole dello Stagirita, si sono impegnati nel tentativo di spiegarle; altri, invece, come Tommaso, le hanno messe in dubbio, sebbene, alla fine, abbiano optato per “salvarle”. Sui
generis è il caso di Thomas Bradwardine, che, in un trattato di geometria, si
è occupato del problema del riempimento dello spazio e, sebbene scettico, più che verso le parole aristoteliche, verso quelle dei commentatori, ha concluso, tuttavia, con l’indecidibilità della questione.
Nel capitolo 2 ci siamo posti l’obiettivo di delineare la figura di Francesco Maurolico, ricostruendone la biografia, attraverso le parole del nipote (§ 2.3), e illustrandone la produzione (§ 2.5), con particolare attenzione per l’opera matematica. Egli si inserisce a pieno titolo nel contesto culturale e scientifico della rinascita della matematica dei secoli XV-XVI (§ 2.1), con i suoi studi e le sue edizioni di opere classiche ex traditione Maurolyci (§ 2.4).
Proprio in questo clima Regiomontano stila il Programma editoriale, manifesto del suo duplice progetto di scrivere opere proprie e di rieditare alcuni testi scientifici antichi (§ 2.2). Tra le proprie rientra anche il De
quinque corporibus aequilateris, uno scritto con il quale egli intende confutare
quanto sostenuto da Averroè, dal quale Maurolico trae l’idea di affrontare il problema della tassellazione dello spazio con i poliedri regolari.
Il capitolo 3 ha per oggetto, appunto, il Libellus de impletione
lo-ci, ossia il testo con il quale il Messinese realizza quanto preannunciato
da Regiomontano: confutare l’errata opinione di Averroè e risolvere il “problema”.
Abbiamo cercato innanzitutto di sottolineare l’importanza del testo per l’autore e di ricostruire le vicende che hanno portato alla sua stesura (§ 3.1). Si è proceduto, poi, ad analizzarlo, nel suo contenuto, nelle finalità e nei metodi adottati (§ 3.2). La tesi di fondo sostenuta da Maurolico è che soltanto il cubo, ripetuto otto volte, da solo, riempie lo spazio intorno a un dato punto; il tetraedro regolare, invece, può riempirlo soltanto se combinato con l’ottaedro (due tetraedri e due ottaedri) o con l’ottaedro e il cubo (un tetraedro, un ottaedro e due cubi). La conclusione alla quale il matematico approda, dunque, smentisce sia quanto detto da Averroè – ossia che, come otto cubi, anche dodici tetraedri riempiano lo spazio – che da Aristotele – ossia che, come il cubo, anche il tetraedro riempia lo spazio.
Terminato nel 1529, il Libellus, come quasi tutte le opere di Maurolico, è oggetto di rilettura e revisione anni più tardi. Al ’35 risale un’aggiunta che rivela quanto l’autore sia attento osservatore del mondo circostante, fonte inesauribile di spunti di riflessione e di studio. La visione del pavimento del Duomo di Messina lo induce a soffermarsi sulla tassellazione del piano per mezzo di combinazioni di poligoni, mentre fino ad allora si era soffermato solo su quella con un poligono ripetuto.
Il capitolo 4 è dedicato, infine, a una panoramica degli altri sviluppi dell’interesse per i poliedri regolari, che ha animato Maurolico durante il decennio che va dalla fine degli anni ’20 alla fine degli anni ’30.
Ci siamo soffermati innanzitutto sull’edizione ex traditione Maurolyci dei libri XIII-XV degli Elementi (§ 4.1), analizzando le motivazioni che lo hanno indotto alla sua stesura (la conoscenza di Euclide limitata ai soli primi sei libri e l’insoddisfazione verso le edizioni allora diffuse) e i criteri adottati per realizzarla.
Abbiamo trattato, poi, il breve manoscritto sopra menzionato, le
Compa-ginationes solidorum regularium (§ 4.2), in cui Maurolico studia lo sviluppo
della superficie dei poliedri regolari sul piano. Abbiamo cercato di ricostruire la storia della stesura del testo e, dall’analisi dei vari elenchi programmatici dell’autore, abbiamo ipotizzato che si tratti di uno scritto preparatorio di un’opera più estesa e organica sull’argomento (che, tuttavia, si ignora se sia stata realizzata oppure no). Ci siamo soffermati, poi, sulla materia trattata, notando come la ricerca mauroliciana prenda le mosse dall’esigenza pratica
di realizzare i modellini cartacei dei cinque solidi regolari: il matematico non si limita a studiare lo sviluppo dei solidi, ma si pone anche il problema di trovare quello più utile e funzionale alla costruzione dei rispettivi modelli. Questa ricerca lo induce a osservare le caratteristiche dei solidi regolari, a compilare tabelle riassuntive e a individuare alcune relazioni tra gli elementi costitutivi. Abbiamo notato come uno degli enunciati formulati da Mau-rolico anticipi la formula di Eulero sui poliedri convessi8, pur nell’ambito di una ricerca del tutto diversa da quella del matematico svizzero. Se la formulazione di Eulero rientra nel suo più ampio progetto di fondare la stereometria su basi solide, quella di Maurolico, invece, si colloca in uno studio circoscritto ai soli poliedri regolari (e non ai convessi, in generale), con finalità principalmente pratiche.
Infine ci siamo focalizzati sul IV libro del De momentis aequalibus, nel quale il Messinese studia i centri di gravità dei solidi simmetrici, del paralle-lepipedo e del conoide parabolico (§ 4.3). Abbiamo descritto brevemente le fasi redazionali dell’opera, ai fini di sottolineare come il IV libro rientri cronologicamente negli anni in cui Maurolico si dedica allo studio dei poliedri, nella fattispecie gli anni ’35-’36. Il matematico torna a studiare i centri di gravità negli anni ’40, dal momento che la trattazione della piramide è posteriore al ’44, e ancora dopo, negli anni ’60, dato che la parte sul conoide parabolico è stata aggiunta nel ’65.
In appendice al presente lavoro sono pubblicate le edizioni critiche del
Libellus de impletione loci e delle Compaginationes solidorum regularium,
con le rispettive traduzioni in italiano.
Abbiamo deciso di allestire un’edizione anche del secondo testo, poiché si è rivelato ricco di spunti interessanti sui poliedri e sulle loro caratteristiche, strettamente connesso agli studi condotti nel Libellus. L’autore stesso, infatti, sottolinea la necessità di costruire manualmente i modelli cartacei dei poliedri, per poterli studiare e assemblare nelle tassellazioni.
Abbiamo compilato anche un breve glossario, come ausilio alla compren-sione del significato dei termini tecnici usati da Maurolico nei due testi in questione; abbiamo preferito, infatti, quando possibile, lasciarli inalterati piuttosto che tradurli con i corrispettivi moderni.
8La formula di Eulero sui poliedri convessi è: V + F = S + 2, dove V sta per vertici,
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