MODELLO STAZIONARIO GAUSSIANO (Modello Plume)

GAUSSIANO (Modello Plume)

Deriva dalla soluzione analitica plume dell’equazione euleriana della dispersione di un inquinante nel PBL che ne costituisce lo scheletro, su cui però è stato aggiunto un apparato sostanzialmente semiempirico.

E’ stato il primo tipo di modello impiegato per scopi applicativi ed ingegneristici.

Può essere applicato per stime di prima approssimazione quando:

 il suolo è privo di orografia significativa,

 le sorgenti sono ciminiere abbastanza elevate che emettono in modo pressoché continuo inquinanti poco reattivi,



i parametri meteorologici e micrometeorologici presentano una variazione temporale abbastanza lenta,

 il PBL è in condizioni quasi adiabatiche

Fotografia di un plume di una ciminiera elevata con tasso di emissione Q (g/s) integrata in un’ora.

Tre Zone Distinte

1

A

A

2 3

Zona 1 (zona ascensionale).

Il plume esce verticale dalla sorgente per piegarsi sottovento con baricentro orizzontale. Se h è l’altezza fisica della ciminiera e h

è la quota del baricentro del plume, si definisce plume rise: h = h

-h

Zona 2 (dispersione senza interazione col suolo).

Dopo il livellamento,il plume si dilata (più o meno a seconda della turbolenza senza raggiungere il suolo.

Zona 3 (interazione col suolo).

La parte bassa del plume giunge al suolo dove subisce

una riflessione totale o parziale a seconda del tipo di

Iniziamo considerando la Zona 2

Sezione trasversale del plume ad una distanza x dalla sorgente.

h

m

La concentrazione è più elevata presso il baricentro del plume

 diminuisce rapidamente con la distanza trasversale dal baricentro.

Se si evidenzia la distribuzione trasversale e verticale della concentrazione alla distanza x si ottiene:

Ci sono tutti gli elementi per la costruzione di un modello semiempirico.

y

Concentrazione z

C o n c e n t r a z i o n e

Un possibile Modello Semiempirico è:

C(x,y,z) = K f

f

dove:

f

= funzione simmetrica a campana nella coordinata y. La scelta naturale è una funzione gaussiana con valor medio nullo e deviazione standard 

;

f

è anch’essa una funzione simmetrica a campana.

Anche in questo caso la scelta naturale è una gaussiana a valor medio h

e standard deviation 

;

K è una costante da determinare.

In sostanza il

modello semiempirico

 



 



 





 







 ₂

2 2

2 2

exp 2 2

1 exp 2

2 ) 1

, ,

( _y  _z ^m

h z y

K y z y x C

Che è la forma base del Modello Gaussiano Stazionario, sostanzialmente coincidente con la

soluzione base plume.

Non è una forma generale visto che si riferisce solo

alla Zona 2.

Determinazione K  legge della conservazione della massa ottenendo in modo definitivo la forma base del

Modello Gaussiano Stazionario:

Consideriamo ora la Zona 3  Interazione col suolo.

Ipotesi = riflessione totale del plume al suolo e all’altezza di rimescolamento.

   



 



 

















 ²_{2 2} ²

exp 2 exp 2

, 2 ,

z m y

z y

h z y

U z Q

y x

C    

Se si tiene conto delle riflessioni multiple, si ha la forma completa del Modello Gaussiano Stazionario

  _z

y z

y

y f U

z Q y x

C 















 ²₂

exp 2 , 2

,   



 

























 



  



















 



  





,....

2 , 1 , 0

2

2 2

2 exp 1 2

2 exp 1

j z

m i z

m i z

h jz z h

jz f z





formula che, una volta noto:

•

il tasso di emissione Q

• le coordinate (x,y,z) del punto dove si vuol conoscere la concentrazione (punto ricettore)

• la velocità del vento U

• le standard deviation 

e 

• la quota di livellamento del plume h

consente di determinare (con i limiti sottolineati) la

concentrazione dell’inquinate in esame nel punto

ricettore.

Sistema di Coordinate adottato.

Semplificazioni più usate:

=> concentrazione solo al livello del suolo

=> si trascurano tutte le riflessioni tranne quella al suolo.

Ulteriore semplificazione: concentrazione al suolo e sottovento la sorgente.



 









 





 ²₂ ²₂

exp 2 exp 2

) 0 , , (

z m z

y

h y

y U

y Q x

C    



 







 ²₂

exp 2 )

0 , , (

z m z

y

h U

y Q x

C   

Sovrapposizione degli effetti = in un punto ricettore

la concentrazione è la somma dei contributi in quel

punto dovuti a tutte le sorgenti presenti

Determinazione dei parametri di dispersione

Questi parametri sono il risultato dell’interazione tra il fumo emesso e la turbolenza del PBL.

     

 x  x  x x x

x

zt zb

z

yt yb

y

2 2

2

2 2

2





















=> 

e 

l’effetto della turbolenza interna del plume

=> 

e 

l’effetto della turbolenza del PBL

=> Effetto della turbolenza interna del plume

     

5 . 3

x x h

x _zb

yb

 





=> Effetto della turbolenza del PBL.

Sono usati

due metodi differenti

•

Metodo Moderno: i due parametri di dispersione sono funzione dei parametri che caratterizzano la turbolenza del PBL (u

, H

, L, z

)

• Metodo Antico : i due parametri sono espressi in

funzione della Categoria di Stabilità Atmosferica

2 1 2

*

* 2

*

) ( 9 . 0 1

25 .

0 

 



 

 

 u

U z w x t w

i

y

Metodo Moderno.

=>

Parametro di dispersione trasversale

NB: questa relazione si può usare anche in condizioni stabili, ponendo w_* a zero.

Parametro di dispersione verticale Situazioni Convettive:

Situazioni Stabili:

2 2 2

zc zm

z  

  

2 2

* 2^zc 0.33w t



 

 ^0.6 ^{per / 1}

exp 2

. 1

1 /

per 6

. 0 exp 2

. 1

* 2

2

* 2

2

*

* 2

2

* 2

2

















m zmu

zm

m m

zmu zm

h tu t

u

h tu h

u t t

u









 tu L

zmu

z *

2

2  11.11



N.B. T=U/x

Metodo Antico

 Basato su Classi di Stabilità Atmosferica.



Relazioni Pasquill-Gifford.

- derivano dalla campagna di Prairie Grass - emissioni al suolo

- suolo piano, non urbanizzato e a bassa rugosità - tempo di mediazione 10 minuti

- distanza sottovento considerata <1000 m.

    

     ⁵

3

2 4

2 1

1 1

z k y k

k x

x x k

k x

x x k

 

 





1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 D i s t a n z a S o t t o v e n t o ( m )

1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

sig_y (m)

A CD E F B

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

D i s t a n z a S o t t o v e n t o ( m ) 1

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

sig_z (m)

A B

C

D E F

Relazioni di Briggs.

Tali relazioni derivano da un numero vasto di dati sperimentali disponibili sia per emissioni in quota che per emissioni al suolo.

La Relazione Generale è:

 bx^c

ax 

 1



Briggs ha considerato due situazioni tipiche:

• Situazione Rurale: relativa ad una rugosità superficiale bassa e ciminiere elevate;

• Situazione Urbana: relativa a rugosità superficiale elevata ed emissioni a bassa quota.

I coefficienti della relazione sono differenti per le due situazioni

che vale sia per il parametro di dispersione trasversale

che per il parametro di dispersione verticale

Coefficienti per la Dispersione Trasversale.

Coefficienti per la Dispersione Verticale.

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 D i s t a n z a S o t t o v e n t o ( m )

1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

sig_y (m)

A BC D EF

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

D i s t a n z a S o t t o v e n t o ( m ) 1

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

sig_z

A B

C D

E F

Schema Rurale

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 D i s t a n z a S o t t o v e n t o ( m )

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

sig_y (m)

A - B C D E - F

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

D i s t a n z a S o t t o v e n t o ( m ) 1

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

sig_z (m)

A - B C

D E - F

Schema Urbano

Innalzamento del Pennacchio

 all’emissione, i fumi caldi salgono verticalmente con aumento progressivo della sezione trasversale a causa dell’inglobamento progressivo di aria esterna;



successivamente il plume si piega in direzione sottovento, perdendo progressivamente la propria individualità (quantità di moto e galleggiamento)



al termine il plume presenta un baricentro che procede orizzontale sottovento (altezza efficace del plume).

In pratica, ad una distanza sottovento x l’altezza del baricentro del plume risulta pari a:

 x h h x h_m  

h = altezza fisica del camino,

 h = innalzamento del plume (variabile con la

distanza sottovento x)

Parametri che definiscono il plume rise

Condizioni di emissione:

- velocità di emissione dei fumi w

- temperatura dei fumi T

Parametri meteorologici:

- velocità del vento U - temperatura dell’aria T

- Stabilità del PBL.

Potenzialità Ascensionale del plume (Buoyancy Flux):

0 2 0

0

0 T

T gT

r w

F_b   ^a

Deflessione del plume all’emissione (stack-tip downwash)

Se:

w

< 1.5 U

il plume all’emissione subisce un abbassamento tale per cui l’altezza di emissione effettiva risulta pari a:



 



 



 U

r w h

h' ₀ 1.5 ⁰

Determinazione del plume rise.

 Distanza x

di livellamento del plume e Plume Rise all’equilibrio.

Situazioni Convettive

Situazioni Stabili

N x U

UN

h 2.6 F^b a _max 2.0715

3 1

max  



 



 



=> Plume Rise a distanza intermedie x<x

  U

x x F

h ^b

3 2 3 1

6 .

1





 



 

 dz

d T N g

a













 

 38.710 a 119 se 55 55

se 49

a 425

. 21

0 8

5 max

5 3 0

0 8

5 max

4 3 0

F F

x U

F

F F

x U

h F

b b

Perturbazioni indotte dagli edifici.

Il modello presentato presuppone l’assenza di ostacoli al suolo.

Ostacolo tipico  Presenza di un edificio.

Perturbazione dell’emissione da un edificio.

Caratteristiche della perturbazione:

•

Una zona di stagnazione

• Una zona di ricircolazione

• Una cavità turbolenta

• Una scia turbolenta.

Consideriamo un edificio con:

- Altezza h

- Dimensione trasversale alla direzione del vento W Sia: L

= MIN(h

,W)

Rettangolo Critico.

2L_b 5L_b

½ L_b

½ L_b Edificio

Direzione del Vento

Si consideri un camino con un plume il cui baricentro all’equilibrio sia pari a H

(calcolato senza tener conto della presenza dell’edificio).

Se il camino è sottovento all’edificio e

5 . 1 L h

H_e  _s 

è

possibile una perturbazione del plume da parte dell’edificio. In particolare, detto:

•

D = distanza tra camino ed edificio - h

= altezza dell’edificio

D < 3h

 plume si trova in zona di ricircolazione e la sua modellizzazione ad oggi è problematica;



se 10h

< D < 3h

, il plume risulta perturbato e ciò si può modellizzare con una modifica al plume rise ed ai parametri di dispersione;

 se D>10h

, il plume risulta non perturbato

Inserimento delle Informazioni Preliminari

Ciclo sulle ore di Simulazione

Ciclo sulle Sorgenti Inquinanti

Ciclo sui Punti del Dominio di Calcolo

Calcolo dell’innalzamento del pennacchio

Calcolo dei Parametri di Dispersione

Calcolo della Concentrazione

Dati Meteorologico

Dati delle Sorgenti

Distribuzione Spaziale della Concentrazione

Schema Logico di un Modello Stazionario

Gaussiano

Sorgenti Non Puntuali.

Sorgente Area: una porzione di piano che emette uniformemente (Es. emissioni diffuse da un impianto industriale, da un parco minerali, da una città in cui sia presente il riscaldamento invernale).

Sorgente Linea: segmento lineare di spazio che emette uniformemente (Es. un nastro trasportatore, una strada extraurbana).

Sorgente Volume: volume di spazio che emette uniformemente (Es. impianto industriale chimico con notevole sviluppo in altezza).

In un Modello Stazionario, la procedura usata per modellizzare queste sorgenti, si basa sul principio di:

-suddividere la sorgente in sorgenti tanto piccole da essere assimilabili a sorgenti puntuali;

- calcolare concentrazione in ogni punto di interesse

come somma delle concentrazioni dovute ad ogni

singola sorgente puntuale in cui si è suddivisa la

sorgente originaria.

Sorgente Area.

P

X Y

dx dy

y dy U

dx q C

y z

y

















 



 0

2 2

exp 2









NB: q è il tasso di emissione (g/(m

s)

Sorgente Linea.

Y

X x

y

+ p

-p x₁ y₁

U



 R(X,Y)

   























  













  







y y

z c z

x y erf p

x y erf p

U f Y Q

X C

















2

cos sin

2

cos sin

2 ) 2

, (

1

   



 



 





 



 

 ₂ ² ₂ ²

exp 2 exp 2

z s z

s z

H z H

f z



 erf x e dt

x

 ^t



0

2 2



Elementi da determinare:

- Parametri di dispersione 

e 

; - Velocità del vento modificata U

NB: Q il tasso di emissione g/(ms); H

quota di emissione.

2 2

0 a



  

c z 3.57 0.53U

0  



z

y 0

0 2

 















stabili

condizioni in

141

. 61

e adiabatich

condizioni in

49

. 86

convettive

condizioni in

62

. 110

91465 . 0 92332 . 0

93198 . 0

x x

x

za

 ^



_ya 1000sin / 2.15cos

Determinazione dei Parametri di Dispersione:

In generale si ha

-

il primo termine tiene conto dell’effetto scia delle auto

 

 

 















stabili situazioni in

2958

. 57 / ) ln(

0857 . 1 500 . 12

e adiabatich

situazioni in

2958 . 57 / ) ln(

7706 . 1 333 . 14

convettive

situazioni in

2958 . 57 / ) ln(

8096 . 1 333 . 18

x x

x



- il secondo termine tiene conto della turbolenza.

Determinazione della velocità del Vento modificata.

Questo parametro dipende:

-dalla velocità del vento U

- dall’angolo  tra il segmento stradale e la direzione del vento

- dalla stabilità atmosferica (espressa per esempio con le Categorie di stabilità).

) 0

( U

f U

U_c    

dove la funzione f() è data da:

  



 

F E, categorie nelle

sin

8534 . 0 1466 . 0

D C, B, A, Categorie nelle

sin 7758 . 0 2242 . 0



  f

Sorgente Volume.

Modo più semplice  trattarla come sorgente puntuale con un plume avente una dispersione iniziale.

I parametri di dispersione trasversale e verticale all’origine saranno diversi da zero.

3 .

0 L 4

y 



15 .

0 H 2

z 



 

y x 

 

con L dimensione trasversale e H verticale.

Ad una generica distanza x il valore dei parametri di dispersione sarà quello relativo alle distanze x

e x

(rispettivamente per il parametro trasversale e

verticale) date da:

x_y = x + x_vy x_z = x + x_vz

dove x_vy e x_vz si ottengono risolvendo le equazioni:

Modelli Gaussiani Stazionari Disponibili.

- ISC3 (US-EPA).

- OML (NERI-DK)

- CALINE4 (US-EPA)