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Equazioni, operazioni, funzioni

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Academic year: 2021

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

1

Appunti ed esercizi su:

Equazioni, operazioni, funzioni

19 gennaio 2012

1 Per altri materiali didattici o per informazioni:

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/

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Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perci`o pu`o capitare che: un paragrafo sia lasciato a met`a, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilit`a: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il pi`u che puoi da questi materiali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” `e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.

Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo “personale”: non sempre c’`e una sola risposta giusta!). Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verr`a richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai “costruirti gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archivio finale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, puoi annotare su un foglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.

In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”, si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettagli numerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnante nella scuola secondaria. Laddove si `e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fonti originali.

Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS (francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che di fisica.

Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti e quant’altro, scrivimi afra.marchi@yahoo.it.

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per gli stimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazione di appunti sempre pi`u completi.

Versione finale

(3)

Tabella 1: Tabella relativa all’esercizio 1

Operazione Operazione inversa somma sottrazione moltiplicazione divisione

quadrato radicequadrata

Il concetto di funzione

1

Operazioni, funzioni, equazioni

La tecnica anticipata nella sezione precedente si basa sul concetto di operazione inversa.

Teorema 1. Per risolvere un’equazione, di qualsiasi tipo, si applicano ad entrambi i membri una succes-sione di operazioni in grado di liberare la x

Alla luce di questo procedimento, possiamo vedere la risoluzione di equazioni note:

x + 4 = 5 ⇒ x + 4 − 4 = 5 − 4 ⇒ x = 1 (1) O ancora: 7x = 10 ⇒ 7x 7 = 10 7 ⇒ x = 10 7 (2)

In generale, si individua quali operazioni vengono svolte sulla x e si applicano le loro inverse. In base allo stesso ragionamento, sapremo risolvere la seguente:

x2= 13 (3)

1.0.1 Alcuni limiti

La tecnica enunciata nel teorema 1, non `e per`o sempre applicabile. Si consideri infatti la seguente equazione:

x2= 9

1.1

Definizione di funzione e rappresentazione cartesiana delle funzioni

Pi`u che di operazione, dovremo cominciare a parlare, d’ora un poi, di funzione. Domanda 1. Cos’`e, infatti, un’operazione?

Anche se la risposta non `e semplice, direte qualcosa come l’operazione riguarda due numeri. Infatti, il concetto di operazione, `e pi`u adatto al caso in cui si parla di numeri. Nel momento in cui si parla di quantit`a algebriche e variabili, come la x, `e pi`u opportuno parlare di funzione. Una funzione `e sostan-zialmente un’operazione fatta sulla x. Ad esempio sono funzioni l’elevamento al quadrato; l’elevamento alla terza potenza; l’aggiungere 6; il moltiplicare per 12; e cos`ı via.

Fin qui si tratta di funzioni algebriche, cio`e, in un certo senso tutte basate sulle operazioni elementari. Ma d’ora in poi vorremo iniziare a parlare di funzioni pi`u generali, definite attraverso operazioni pi`u complicate.

1.2

Funzioni elementari e loro classificazione

A questo punto rimandiamo al file sulle funzioni. 1

(4)

Tabella 2: Classificazione delle funzioni elementari.

Algebriche Razionali Intere f (x) = 4x7−3 8x 3 Fratte g(x) =2x9−5x 3+5x12 Irrazionali Intere r(x) =√4 3x7− 2x6+ 4x5 Fratte w(x) = √ 4x+2 2x+7x2

Trascendenti Circolari Seno a(x) = sin x Coseno k(x) = cos x Tangente l(x) = tan x Esponenziale d(x) = ax

Tabella 3: Principali funzioni elementari e relative funzioni inverse.

Funzione Funzione inversa In formule Potenza Radice xn←→ √nx

Seno Arcoseno sin x ←→ sin−1x = arcsin x

Figura

Tabella 1: Tabella relativa all’esercizio 1
Tabella 2: Classificazione delle funzioni elementari.

Riferimenti

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