GESTIONE DELLA LOGISTICA E DELLA PRODUZIONE prova scritta del 21 dicembre 2006
Chi va piano…
Babbo Natale deve effettuare una consegna a 170 km dal Polo. Quanto più va veloce, tanto più il furgone rennato consuma benzina: pressappoco, per una velocità V compresa tra 70 e i 90 km/h occorrono (6 + V/90) litri per 100 km; da 90 a 110, ogni km/h in più oltre i 90 somma alla funzione precedente un ulteriore consumo di 1/55 litri per 100 km; successivamente, ogni km/h in più oltre i 110 km/h provoca un nuovo aumento dei consumi di 1/30 litri per 100 km. D’altra parte il buon vecchietto deve raggiungere la meta entro 1 ora e un quarto, a meno di non voler pagare una penale di 20 centesimi di euro per ogni minuto di ritardo.
Tenendo conto che la benzina sta a 1,280€/litro, quale velocità conviene che mantenga? Lo so che è facile, ma vorrei che lo risolveste in modo formale.
Effettivamente il problema è facile: possiamo rappresentare con un grafico i costi dovuti a consumo (linea blu) e penale (linea verde) in funzione della velocità.
costi sostenuti
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00
70 80 90 100 110 120 130 140 150
velocità
euro
carburante penale totale
Il costo totale (linea rossa) ha un punto di minimo all’incirca in corrispondenza alla velocità di 120 km/h, alla quale sembra aversi il miglior compromesso tra consumo (17,87 €) e penale (2,00 €).
Per risolvere il problema in modo formale si indichi con V > 70 la velocità del furgone. Il costo del carburante vale
C(V) = 2,18(6 + V/90) = 13,0800 + 0,0242V per V < 90 2,18[6 + V/90 + (V – 90)/55] = 9,5127 + 0,0639V per 90 < V < 110 2,18[6 + V/90 + (V – 90)/55 + (V – 110)/30] = 1,5194 + 0,1365V per V > 110 Il costo dovuto alla penale vale invece
P(V) = 0,20 (60⋅170/V – 75) = 2040/V – 15 per V < 60⋅170/75 = 136
0 altrimenti
Il costo totale T(V) = C(V) + P(V) ha un punto di minimo in corrispondenza alla velocità V* per la quale si annulla la derivata prima. Nei tre intervalli di velocità considerati deve quindi aversi
dT(V)/dV = 0,0242 – 2040/V2 = 0 per V ∈ [70, 90]
dT(V)/dV = 0,0639 – 2040/V2 = 0 per V ∈ (90, 110]
dT(V)/dV = 0,1365 – 2040/V2 = 0 per V ∈ (110, 136]
dT(V)/dV = 0,1365 > 0 per V ∈ (136, Vmax]
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Eseguendo i calcoli si ottengono per V* i valori 290,21, 178,73 e 122,24. I primi due risultano esterni all’intervallo di definizione della funzione e quindi il punto di minimo coincide con uno degli estremi di tale intervallo. Evidentemente in entrambi i casi il punto di minimo corrisponde all’estremo destro (V* = 90 km/h, oppure V* = 110). A tali punti corrisponde rispettivamente un costo di 22,90€ e 20,05€. Il terzo valore si trova invece all’interno dell’intervallo di definizione; il costo corrispondente, pari a 19,86€, è ben UN CENTESIMO al di sotto di quello corrispondente alla velocità di 120km/h, ERRONEAMENTE indicata come ottimale dalla precedente analisi qualitativa (mi raccomando…).
