lotto svizzero

lotto svizzero

Estrazione del Lotto. Da un’urna contenete 45 palline numerate ne vengono estratte 6. Dalle rimanenti 39 verrà poi estratta una settima pallina che costituirà il cosiddetto Numero Complementare (NC). Chi intende partecipare al gioco compila dei pronostici scegliendo, per ogni pronostico, 6 numeri tra 1 e 45.

Alcune domande:

1. Quante diverse combinazioni di 6 numeri è possibile estrarre dall’urna?

2. Quante sono le probabilità di indovinare i 6 numeri estratti con un solo pronostico?

3. Quante sono le probabilità di indovinare 5 numeri + il Numero Complementare?

4. Quante sono le probabilità di indovinare 5 numeri senza il Numero Complementare?

5. Quante sono le probabilità di indovinare 4 numeri?

6. Quante sono le probabilità di indovinare 3 numeri?

7. Come suddivideresti le vincite?

Alcune risposte:

1. Le diverse combinazioni sono

C _45,6 = 45!

(45 − 6)! · 6! = 45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40

6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 8 ^′ 145 ^′ 060

2. Se l’estrazione non è truccata, tutte le 8145060 combinazioni del punto precedente sono equiprobabili.

E sono tutte diverse. La probabilità di indovinare quella giusta la calcoliamo dividendo il numero di casi favorevoli per il numero di casi possibili. Il caso favorevole qui è uno solo (una combinazione) e i casi possibili 8145060.

P ₆ = casi favorevoli casi possibili = 1

8145060

3. Calcoliamo dapprima le probabilità di indovinare esattamente 5 numeri su 6. In questo caso quanti sono i casi favorevoli? Dobbiamo tener conto di quante possibilità ci sono di indovinare cinque numeri su sei estratti e anche di quante possibilità ci sono di scegliere il numero “sbagliato” tra i 39 non estratti. Avremo:

P ₅ = casi favorevoli

casi possibili = C _6,5 · C _39,1

C _45,6 = 6 · 39

8145060 = 234 8145060

Se dobbiamo calcolare la probabilità di indovinare 5 numeri e il numero complementare, per sceglier il numero “sbagliato” avremo una sola possibilità (cioè il numero complementare) e dunque:

P _5+NC = C _6,5 · C _1,1

C _45,6 = 6 · 1

8145060 = 6 8145060

4. Per calcolare la probabilità di indovinare 5 numeri ma non il numero complementare, terremo conto che per sceglier il numero “sbagliato” avremo 38 possibilità e dunque:

P _5senzaNC = C _6,5 · C _38,1

C _45,6 = 6 · 38

8145060 = 228 8145060

Noteremo come le probabilità di fare 5 con il numero complementare, sommate a quelle di fare 5 senza numero complementare, corrispondono alle probabilità di fare 5 con o senza numero complementare:

P _5+NC + P 5senzaNC = P 5

5. La probabilità di indovinare esattamente 4 numeri sarà di:

P ₄ = C _6,4 · C _39,2 C _45,6 =

6 · 5 2 · ^{39 · 38} 2

8145060 = 15 · 741

8145060 = 11115

8145060

0.1365%

6. La probabilità di indovinare esattamente 3 numeri sarà di:

P ₄ = C _6,3 · C _39,3 C _45,6 =

6 · 5 · 4

6 · 39 · 38 · 37 6

8145060 = 20 · 9139

8145060 = 182780

8145060

2.244%

Possiamo scrivere la formula generale per calcolare la probabilità di indovinare esattamente n numeri

P _n = C _6,n · C _39,6−n C _45,6

7. Del totale degli incassi il lotto svizzero ne riserva il 50% da distribuire in vincite, chiama questo 50%

vincita totale. L’8% della vincita totale è distribuita tra quelli che hanno indovinato 5 numeri e il

numero complementare. Assegna 50.- CHF a tutti quelli che hanno indovinato 4 numeri, e 6.- CHF a

tutti quelli che hanno indovinato 3 numeri. Di quello che resta della vincita totale dopo queste asse-

gnazioni, il 20% è distribuito tra chi ha indovinato 5 numeri e l’80% è riservato per quelli che hanno

indovinato 6 numeri. Se nessuno ha indovinato 6 numeri, la somma a loro riservata va nel Jackpot.