Fig, 27 Contorni dei cristalli di calcite dell’area elaborata

Fig, 27 Contorni dei cristalli di calcite dell’area elaborata

Immagini analoghe a quella di figura 27 ricavate per altri campioni, sono riportate nell’allegato 2.

Dalla figura 27 con ImageJ vengono ricavati una ampia serie di dati statistici, in particolare area e perimetro delle figure, coordinate del baricentro, dimensioni e orientamento degli assi e molti altri, con valori espressi in pixel. Attraverso la risoluzione determinata per ogni serie di immagini con la prima foto, (vedi figura 17) dai valori in pixel è possibile risalire ai valori metrici. L’elaborazione non prende in considerazione gli elementi incompleti e questo è il motivo per cui non vengono analizzate le figure tagliate dai bordi e l’insieme “resto” ha la forma di figura 26.

L’allegato 3 riporta la prima e l’ultima pagina della tabella di dati ricavati dall’elaborazione del campione AE-VVV (dato il numero di elementi analizzati, 9706, il riportarli tutti richiederebbe ben 278 pagine).

A riprova che la figura 27 e quelle analoghe riportate all’allegato 2 mostrano effettivamente la struttura cristallina del marmo investigato e per conservare memoria, per ulteriori elaborazioni, della direzione di luce sotto la quale i vari cristalli riflettevano quando illuminati in fase di rilevazione, è stata sviluppata una elaborazione parallela.

I cristalli rilevati in ciascuna direzione di illuminazione sono stati colorati con un diverso falso colore e le immagini assemblate con gli stessi metodi prima descritti. Il complessivo è stato poi sovrapposto al reticolato di figura 27 con il risultato di figura 28, denominato match. (Particolare di 1200x800 px).

Il risultato è da considerare molto buono anche se ad una attenta osservazione è possibile rilevare qualche discordanza tra riflessione luminosa e bordi determinati con l’elaborazione.

Fig. 28 Immagine “match”.

Nell’allegato 4 sono riportate le immagini “match”, analoghe alla figura 28 ricavate per le strutture cristalline dell’allegato 2.

6.4 Utilizzo dei dati ricavati dalle elaborazioni.

L’elaborazione delle foto con ImageJ produce anche un consistente insieme di dati da utilizzare per altre analisi.

Di primario interesse per la presente Tesi è la ricostruzione della distribuzione dei cristalli per classi di dimensione, la Crystal Size Distribution o più brevemente CSD. Per tale attività si farà ricorso al Teorema fondamentale della Stereologia ed al metodo di elaborazione di Schwartz-Saltykov.

Il Teorema fondamentale della Stereologia (Delesse, 1848) stabilisce l'equivalenza tra le frazioni in volume, in area, linee e punti occupati da una fase

αααα in un volume di interesse:

V_αααα=A_αααα=L_αααα=P_αααα

ove V_αααα è la frazione in volume, A_αααα è la frazione in area, L_αααα è la frazione in linee e Pαααα quella in punti.

I dati ottenuti da sezioni planari della roccia (tale è la superficie del campione fotografato) possono essere espressi in forma di CSD ove n(L) (unità: mm-4) è il numero di cristalli di dimensioni assegnate L contenuti nell'unità di volume. La CSD viene di solito rappresentata usando diagrammi semilogaritmici con la dimensione caratteristica della particella di interesse L alle ascisse ed il logaritmo naturale del numero delle particelle log n(L) alle ordinate (Marsh & Cashman, 1988).

Nelle elaborazioni che seguiranno le particelle (cristalli) saranno assimilate a cerchi di area equivalente e la dimensione tipica L considerata sarà il diametro D della particella.

Le popolazioni di cristalli in un marmo sono generate dai processi metamorfici a partire dai nuclei (grani) della roccia di partenza e la loro crescita

dipende dalle condizioni di pressione e temperatura alle quali la roccia è stata sottoposta e dalla loro durata. Le CSD dipendono quindi fortemente dalla storia termo barica e deformativa del sistema e rappresentano una sorta di impronta digitale della roccia per la loro intima relazione con i processi petrogenetici.

Avendo assimilato i cristalli in sezione a cerchi, possiamo supporre che le nostre distribuzioni areali di dimensioni siano generate da sezioni di particelle sferiche di taglia differente sezionate a differenti distanze dal loro centro. Esistono vari metodi per ricostruire una CSD nello spazio di una fase polidispersa, formata cioè da sfere di diametro diverso, in base a informazioni planari. La trattazione che verrà adottata fu proposta in origine da Schwartz negli anni trenta del secolo scorso ed è nota come metodo di Schwartz-Saltykov (De Hoff & Rhines, 1972). La procedura fu a suo tempo considerata molto farraginosa per il gran numero di calcoli che richiede, tuttavia si presta ad una facile implementazione su computer e consente di ottenere ricostruzioni molto più accurate di quelle raggiungibili con altri sistemi. Il principio che ne è alla base è semplice: in una CSD, il contributo alla classe di dimensione (in sezione) n è dato da un certo numero di sfere della classe n sezionate al centro più i contributi provenienti dalle sezioni non centrali delle sfere più grandi.

L’elaborazione avviene a partire dalla classe di dimensioni maggiori per la quale non esistono altri contributi. La dimensione delle classi stabilirà quale contributo la classe maggiore darà a quelle inferiori. Dalla classe immediatamente inferiore verrà tolto quindi il contributo della classe superiore per poi ricavare il contributo di questa classe a se stessa ed a quelle inferiori e così via fino all’ultima classe dimensionale.

Dal teorema fondamentale della stereologia sappiamo che la frazione in volume della fase α eguaglia la frazione areale nella sezione:

A_α = V_α

A_α lo si può ricavare dai dati ottenuti con ImageJ come la frazione di area occupata dai granuli di interesse, quindi Vα risulta legata alla CSD dalla relazione :

V_α = k

Σ

unfolding.

Trovati il numero e la dimensione delle classi che minimizzano (Aα - Vα) si può tracciare il diagramma della Crystal Size Distribution di cui la figura 29 è un esempio (campione AK-VV)

Fig. 29 Crystal Size Distribution del campione AK-VV

c ri s ta lli p e r c la s s e Dimensione classi µm ln

6.5 Analisi di un set di campioni.

Disponendo della strumentazione e del programma di elaborazione, è stato analizzato il primo gruppo di campioni, riportato in tabella 11.

Tabella 11

Si tratta di 20 tipi di marmi apuani che costituiscono la base di un nuovo catalogo e sono rappresentativi di buona parte delle litologie presenti nel comprensorio.

Sigla Denominazione Cava Latitud. Longit.

AA ARABESCATO CARRARA Fabbricotti 44,106350 10,102100

AB ARABESCATO CORCHIA 44,106350 10,102100

AC ARABESCATO VAGLI. Coop. Apuana _{44,102960 10,256850} AD BIANCO OLMO. Lochi-Lazzareschi _{44,083670 10,148190} AE BIANCO RAVACCIONE Barattini 44,101390 10,132140 AF BIANCO CARRARA _SAGRO. Marmi Walton 44,122854 10,140198 AG BIANCO PIASTRA _MARINA. Campolonghi 44,108880 10,217760 AH BRECCIA STAZZEMA. Italmarble Pocai 43,993579 10,299114 AJ CALACATA. Fabbricotti 44,106390 10,101930 AK CALACATA VAGLI. Coop. Apuana 44,103370 10,256380 AL CREMO DELICATO. Del Nero & Galeotti 44,091360 10,121690 AM PAONAZZETTO APUANO. Sagevan 44,090950 10,118820 AN STATUARIO _RAVACCIONE. Barattini 44,101170 10,131208 AP STATUARIO CARRARA _VENATO. Bettogli. Furrer _{44,090960 10,119630} AQ VERDELLO. Telara 44,069860 10,142890 AR ZEBRINO. Del Nero & Galeotti 44,085967 10,129995 AS BIANCO "P". Barattini 44,102364 10,192126

AT ACQUA BIANCA. Turba 44,118800 10,233250

AU BIANCO "P". Turba 44,118800 10,233250 AV ARABESCATO _PIASTRETA. Ronchieri 44,072178 10,238174

Nella tabella 11, oltre ai campioni, sono riportate le cave di provenienza con le relative posizioni GIS e le sigle utilizzate nei programmi di elaborazione. La figura 30 mostra invece la posizione topografica delle cave stesse. (La posizione di alcune cave non è discriminabile alla scala della foto satellitare.)

Fig. 30 Posizione delle cave di provenienza dei campioni.

I campioni sono stati analizzati al verso, al verso secondo e al contro per ottenere dati nelle tre dimensioni dello spazio ma anche per vedere se è possibile trovare caratteristiche di tipo petrografico da correlare a queste definizioni di giacimento.

7 - CONSIDERAZIONI SULLE CSD

7.1 Relazioni tra CSD e annealing.

Le sigle e le caratteristiche delle 60 CSD ricavate sono riportate nella tabella 12, per i campioni da AA ad AK e nella tabella 13 per i campioni AL-AV.

Tabella 12

Sigla Verso Classi CL. min. C. max. Pendenza Intercetta

AA V 5 0,1169 0,5845 -6,2294 4,5675 VV 4 0,124 0,496 -7,9123 5,56 VVV 3 0,1523 0,4569 -6,3541 5,3367 AB V 6 0,0972 0,5832 -6,2703 4,4159 VV 5 0,1132 0,566 -8,3133 5,416 VVV 4 0,1259 0,5036 -9,3155 5,9424 AC V 8 0,0778 0,6224 -13,305 6,4945 VV 4 0,1246 0,4984 -10,471 6,3476 VVV 5 0,1027 0,5135 -10,014 5,812 AD V 8 0,0859 0,6872 -4,8248 3,4015 VV 7 0,0885 0,6195 -7,9738 4,8958 VVV 4 0,1345 0,538 -7,2143 5,2684 AE V 3 0,1625 0,4875 -6,3014 5,3062 VV 6 0,0996 0,5976 -7,2968 4,8038 VVV 6 0,0921 0,5526 -9,5573 5,6222 AF V 10 0,0623 0,623 -14,182 6,284 VV 5 0,1145 0,5725 -11,571 6,3801 VVV 9 0,0706 0,6354 -8,7927 4,8475 AG V 9 0,0907 0,8163 -6,179 3,9485 VV 8 0,0846 0,6768 -5,9967 3,9455 VVV 10 0,0727 0,727 -6,0815 3,7365 AH V 6 0,0992 0,5952 -10,613 6,0074 VV 2 0,1885 0,377 -4,6771 5,3293 VVV 2 0,2074 0,4148 -6,9145 6,1804 AJ V 4 0,1294 0,5176 -9,4761 6,0963 VV 3 0,1659 0,4977 -6,2094 5,2349 VVV 7 0,0827 0,5789 -11,127 5,9123 AK V 4 0,1201 0,4804 -9,9698 6,1938 VV 7 0,0823 0,5761 -12,33 6,2128 VVV 3 0,149 0,447 -8,8658 6,1227

Tabella 13

Sigla Verso Classi CL. min. C. max. Pendenza Intercetta

AL V 3 0,1524 0,4572 -8,4108 6,017 VV 3 0,1525 0,4575 -6,8352 5,5268 VVV 3 0,1536 0,4608 -9,5256 6,2633 AM V 6 0,0978 0,5868 -7,7229 5,0326 VV 5 0,1113 0,5565 -7,5039 5,1482 VVV 4 0,1423 0,5692 -6,4131 4,9532 AN V 10 0,0469 0,938 -4,7254 3,1058 VV 10 0,0693 0,693 -7,6813 4,412 VVV 7 0,0991 0,6937 -7,616 4,7848 AP V 5 0,1144 0,572 -9,1462 5,7252 VV 7 0,1097 0,7679 -7,526 4,7088 VVV 5 0,1186 0,593 -9,1622 5,7156 AQ V 6 0,0638 0,7018 -9,5506 5,562 VV 6 0,1007 0,6042 -9,7126 5,7268 VVV 10 0,076 0,76 -9,4827 5,1741 AR V 4 0,123 0,492 -9,1848 5,9794 VV 6 0,0931 0,5586 -12,687 6,4322 VVV 4 0,1136 0,4544 -12,467 6,8572 AS V 3 0,1412 0,4236 -5,2652 4,9365 VV 6 0,0906 0,5436 -9,4732 5,4678 VVV 4 0,1089 0,4356 -8,9641 5,7073 AT V 3 0,1576 0,4728 -8,0824 9,8009 VV 3 0,1555 0,4665 -8,7974 5,9476 VVV 5 0,1061 0,5305 -10,621 5,9631 AU V 4 0,1231 0,4924 -7,2677 5,2457 VV 3 0,1535 0,4605 -8,4959 5,8173 VVV 5 0,1031 0,5155 -9,3693 5,6154 AV V 10 0,0608 0,7904 -6,0416 3,7124 VV 3 0,1589 0,4767 -5,7433 5,0719 VVV 5 0,1218 0,609 -7,4708 5,0379

Questi dati consentono alcune considerazioni di carattere generale.

Anzitutto, dall’osservazione delle 60 immagini “bordi”, di cui la figura 27 e quelle dell’allegato 2 sono degli estratti parziali, e dalla tipologia delle Crystal

Size Distribution dell’allegato 5 si può dedurre che il processo assolutamente

prevalente nella formazione dei cristalli dei campioni analizzati è l’annealing, e partendo da questa premessa si svilupperanno le considerazioni successive.

In secondo luogo si osservi l’andamento dei diagrammi delle CSD dell’allegato 5: alcune caratteristiche comuni a molti o a tutti sono evidenti: - Basso numero di classi granulometriche.

- Andamento pressoché rettilineo dei diagrammi reso evidente dalla retta di compensazione riportata da ciascuno.

- Classe di dimensioni minori con valori anomali, molto spesso inferiori a quelli della classe successiva. (Non evidenziabili nel caso di due sole classi, ma evidente anche in casi con tre classi.)

l basso numero di classi granulometriche era atteso, data la tendenza del processo di annealing all’equigranularità. Le rocce ad alto numero di classi sono quelle ignee e le rocce sedimentarie non classate.

Da notare in particolare le CSD con due sole classi dimensionali, espressione di una equigranularità pressoché completa.

L’andamento rettilineo dei diagrammi (già notevole, ma che diventerebbe ancora più evidente se si eliminasse la classe di dimensioni minori in base alle considerazioni che si faranno in seguito), costituisce una caratteristica notevole delle CSD che risultano dalle elaborazioni.

Essendo le CSD rappresentate su un diagramma semilogaritmico,

l’essere la funzione rettilinea significa che è costante il rapporto tra i

numeri di cristalli per unità di volume di due classi di dimensione

successive.

Questo fatto è strettamente connesso al processo di annealing con il quale le varie granulometrie si sono formate e consente di ipotizzare una legge matematica che regola il fenomeno.

Come si vede dalla figura 29, alla retta di compensazione è associata la relativa equazione, definita dai due parametri della retta, pendenza e intercetta

dall’asse delle ordinate, riassunte per tutte le CSD nelle tabelle 12 e 13.

La pendenza è in stretto rapporto con l’annealing ed in particolare con la velocità di evoluzione del fenomeno. Si sono quindi considerati i valori delle pendenze per analizzarne la distribuzione che è riportata dal diagramma di figura 31. (I valori delle pendenze in realtà sono tutti negativi, ma il considerarli tutti positivi non altera la distribuzione).

Fig. 31 Distribuzione dei valori delle pendenze.

Ogni valore comprende le pendenze tra il valore stesso -0,5 e + 0,5. Il valore medio di pendenza è 8,42. Considerando che si sta analizzando la pendenza in un diagramma semilogaritmico, la distribuzione è abbastanza dispersa, il che potrebbe essere conferma di non omogenee condizioni di metamorfismo nell’area, come già sostenuto in letteratura (DI PISA et alii 1985) ove si ipotizzano granulometrie maggiori nel settore nord-occidentale rispetto a

quello sud-orientale in virtù di più severe condizioni termobariche durante il metamorfismo.

Dalla distribuzione spaziale dei valori di pendenza non emergono indicazioni nette: il maggior numero di valori alti si ha nel settore orientale (Vagli, Stazzema) ma anche nelle cave di alta quota (Tambura, Sagro). Il bacino di Carrara mostra valori dispersi, anche se comprende quasi tutti i valori più bassi. Le pendenze alte sono spesso associate a valori alti del numero di classi (7-10), ma esistono anche in casi di poche classi. Confrontando i valori di verso (V), verso secondo (VV) e contro (VVV) non si evidenziano disposizioni di pendenza prevalenti. Solo per il numero di classi il verso V (media 5,85) supera il verso secondo VV (media 5,15) ed il contro VVV (5,25 classi medie). Tra le tre CSD dello stesso campione, V, VV e VVV, la differenza tra il maggiore ed il minor numero di classi varia da 0 a 7 con un valore medio di 3,05.

E’ probabile che per analisi di questo tipo occorra un numero di valori molto maggiore dei 60 disponibili ed è comunque necessaria una maggior quantità di dati dei bacini sudorientali poco rappresentati nel campionario esaminato che riflette essenzialmente importanze commerciali..

La distribuzione dei valori delle intercette sul diagramma di figura 32 (campo di valori/numero di valori), evidenzia, anche con i pochi dati disponibili, un andamento di tipo gaussiano piuttosto “stretto”. Il valore medio delle intercette è 5,45 in buon accordo con il valore massimo del diagramma.

L’intercetta, in geometria analitica, indica sul piano cartesiano il valore di y per cui x=0, quindi nel caso di un diagramma di CSD rappresenterebbe il numero di cristalli di una ipotetica classe zero. Ma una simile classe sarebbe priva di significato petrologico.

Fig. 32 Distribuzione dei valori delle intercette.

Ma se invece si prende in considerazione una classe di valore piccolo, ma diverso da 0, l’intercetta può acquistare un significato. L’intercetta potrebbe in questo caso e per quanto detto a proposito della rettilineità di distribuzione della CSD, approssimare il numero di cristalli della classe considerata esistenti all’inizio dell’annealing e che hanno dato poi dato luogo durante il processo metamorfico alla CSD ricavata.

Per verificare questa ipotesi, con un programma di retrofitting, si è cercato di ricavare il numero di cristalli di partenza di alcune CSD, ricavando i valori che meglio approssimano con il processo di annealing la CSD stessa con l’unico vincolo dell’invarianza del volume. Un risultato di queste elaborazioni è riportato in figura 33, altri sei sono all’allegato 4.

Fig. 33 Diagramma di confronto csd-retrofitting.

La classe di partenza è stata scelta al di sotto del limite massimo della classe più piccola della CSD ed i valori ricavati “di partenza”, sono stati riportati al posto del valore della classe più piccola. Il diagramma così calcolato è riportato in figura e posto a confronto con quello della CSD.

I valori “di partenza” così calcolati vengono confrontati con le rispettive intercette nella tabella 14 che segue:

Tabella 14 campione AN - V AN - VV AN - VVV AR - V AR - VV AR - VVV calcolata 17,3287 16,9534 10,7315 17,3287 17,3286 17,3287 da CSD 3,1058 4,412 4,7848 5,9794 6,4322 6,8572

Il confronto lascia perplessi ma và spiegato. Anzitutto la classe di partenza è stata fissata con criteri arbitrari e legati al processo di elaborazione. Le CSD

in realtà nulla ci dicono circa le dimensioni dei cristalli ante annealing, che vanno determinate con modalità diverse. E’ quindi possibile ipotizzare i risultati della regressione come valori limite. La tabella 14 è riportata anche per evidenziare la convergenza dei valori di regressione calcolati, cioè come dallo stesso numero di elementi di partenza è possibile ricavare le diverse CSD ed è quindi indizio di una sostanziale omogeneità del calcare ante metamorfismo.

Queste considerazioni appena accennate sono meritevoli di ripresa e approfondimento perché i problemi che pongono sono interessanti.

La terza caratteristica delle CSD è costituita dalle anomalie della classe di minori dimensioni.

Nella ricostruzione stereologica secondo Schwartz-Saltykov, le probabilità che una sfera di diametro i contribuisca a dare in sezione cerchi della classe i/j è data fino a 10 classi dalla tabella 15.

Tabella 15

N° classi

Frazione di contributo alla classe di cerchi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1,0000 2 0,1340 0,8660 3 0,0572 0,1975 0,7454 4 0,0318 0,1022 0,2046 0,6614 5 0,0202 0,0633 0,1165 0,2000 0,6000 6 0,0140 0,0432 0,0768 0,1207 0,1926 0,5528 7 0,0103 0,0314 0,0548 0,0829 0,1208 0,1848 0,5151 8 0,0078 0,0239 0,0412 0,0610 0,0854 0,1192 0,1773 0,4841 9 0,0062 0,0188 0,0322 0,0470 0,0643 0,0861 0,1168 0,1704 0,4581 10 0,0050 0,0152 0,0259 0,0374 0,0505 0,0660 0,0859 0,1141 0,1641 0,4359

Come si vede, il maggior contributo ad ogni classe è dato dalla classe stessa. Per maggiore chiarezza, nel diagramma di figura 34 sono riportate le probabilità che una sfera di diametro Djdia luogo ad una sezione di diametro di calcolate per 10 classi di dimensioni ed espresse in funzione del rapporto i/j.

Fig. 34 Probabilità di presentazione di una sezione.

Si esamini ora ad esempio la CSD di figura 29 del campione AK-VV. Il numero di cerchi per unità di area (mmq) e per le varie classi è in tabella 16.

Tabella 16

classi dimens. mm 0,576 0,494 0,412 0,329 0,247 0,165 0,082

n° cristalli 0,249 0,768 4,092 16,414 49,259 105,662 52,831

Già la classe di dimensioni minori contiene la metà dei cerchi della classe immediatamente superiore, ma di questi, quali sono dovuti a sezioni decentrate di sfere delle classi superiori? Lo si ricava moltiplicando i valori di tabella 15 per 7 classi (riga 7) per i numeri di cristalli delle rispettive classi di tabella 16, esclusa l’ultima, sommando poi il tutto. Dal calcolo risulta che su 52,831 cerchi 27,085 sono il contributo delle classi dimensionali superiori e quindi solo 25,746 sono da attribuire a sezioni di cristalli della classe stessa

Il calcolo può essere fatto anche considerando il valore del contributo della classe dimensionale a se stessa, cioè moltiplicando tra loro l’ultimo valore della riga 7 di tabella 15 per il numero di cristalli della classe più piccola di tabella 16. Il valore che si ottiene è 27,212, diverso da 25,746 ricavato al paragrafo precedente. La diversità è dovuta al fatto che per le CSD si assumono i valori che meglio approssimano la relazione . A_α = V_α del cap. 6.4. Nel nostro caso il rapporto V_α/ A_α non è 1 ma 0,9708.

In conclusione, la classe di dimensioni minori contiene pochi cristalli della propria taglia ed è anche possibile che non ne contenga alcuno. Si tratta di cristalli residuali che per qualche motivo non hanno partecipato al completamento dell’annealing. Possono essere sia cristalli di partenza (ante

annealing) che cristalli residui di fasi precoci di annealing che non hanno

partecipato alle fasi successive. Il numero ridotto non è chiaramente dovuto a difficoltà di risoluzione e può anche essere considerato un tracciante del processo di annealing.

Considerando che le CSD sono rappresentate con scala delle ordinate logaritmica, se il numero di cristalli della classe più piccola è a diagramma inferiore a quello della classe immediatamente superiore, è certo che contiene pochi cristalli della propria classe ed è anche possibile che la classe sia vuota, cioè del tutto priva di cristalli delle dimensioni della classe stessa.

Ma se la classe minore della CSD è poco o per nulla significativa perché

vuota o scarsamente popolata, dalle tabelle 12 e 13 si deduce facilmente che: la granulometria dei marmi intesa come diametro di sfere di volume

eguale a quello dei cristalli, che risulta dalla ricostruzione stereologica è

In particolare, il limite inferiore dei grani si colloca nell’intervallo 120-150µ mentre il limite superiore arriva a 500 µ, cioè a mezzo mm.

Inoltre, se si elimina dalla CSD la classe più piccola perché non significativa in termini di contenuto di cristalli della propria dimensione, le rette di compensazione dei diagrammi sarebbero, oltre che più aderenti ai valori, senz’altro piu inclinate. Trattandosi al solito di un diagramma con ordinate in scala logaritmica, i valori di intercetta da CSD di tabella 14 subirebbero un deciso innalzamento ed i valori calcolati sarebbero meno lontani.

7.2 Legge dell’annealing per i marmi apuani.

Si è visto al capitolo precedente come le distribuzioni rettilinee delle CSD, trattandosi di un diagramma semilogaritmico, esprimono costanza di rapporto tra i numeri di cristalli per unità di volume di due classi di dimensione successive. A partire da questa considerazione, il prof. Pietro Armienti ha dato alla legge che regola il processo di annealing nel marmo apuano una forma matematica ( ARMIENTI, P. 2010b) che si riporta di seguito:

Sia N0,0 il numero di partenza di una popolazione di cristalli della stessa

taglia L0 nell’unità di volume.

Si supponga che una parte f dei cristalli di taglia L0 si aggreghino con un

processo di annealing a formare la taglia superiore L1 formata da N1,0 cristalli di

taglia L1

N1,0 =K01 f * N0,0

N1,0 è posta in relazione al numero di cristalli che si aggregano mediante

risultante e ponendo la condizione che il volume del sistema non cambi durante l’annealing. Φ L13 N1,0 = Φ L03 f N0,0 Da cui si ricava: N1,0 = L03 f N0,0/ L13 e anche K01 f * N0,0= L03 f N0,0/ L13 E semplificando : K01 =(L0/ L1)3 ;

Φ è un fattore legato alla forma dei cristalli. (1 per il cubo, 4/3 π per la sfera). In generale è:

K0i = (L0/ Li)3 ;

Invece, per la contribuzione di una classe i alla classe j (j>i) si ha: Kij= K0j/ K0i = (Li/ Lj)3

Indicando con N11 il numero di cristalli che rimangono nella classe 1 dopo la

contribuzione alla formazione delle classi di taglia maggiore, N11=N10-K12 f N10-K13 f N10

Non si considerano ordini di contribuzione maggiori dato che risulterebbero dal prodotto di fattori molto più piccoli di 1.

Il numero di cristalli di taglia L0 che rimangono è:

N0,1 = N0,0 -fN0,0 = (1- f) N0,0

Per la successiva classe di taglia L2, N2,0 è ottenuto dall’aggregazione di cristalli

provenienti sia dalla classe 1 che dalla classe 0. N2,0 =K02 f N0,1 + K12 f N11

meno il contributo alle classi che seguono: N22= N20-K23* f*N20-K24 f3 N20

E per la generica classe i: i,i 1 1 , 1 -j 0, j j,0

K

f

N

N

N

∑

+

=

K

f

N

=

N

−

f

(

K

N

+

K

N

)

La figura 35 che segue, mette a confronto una distribuzione calcolata con la formula di cui sopra, con la CSD ricavata con il processo di unfolding.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 c alc olata arv

Fig. 35 Confronto tra le CSD calcolata e ricavata con unfolding. La concordanza è buona, con la sola eccezione della classe di taglia minore, ma il perché di questa anomalia è stato chiarito. La formula (1) rappresenta quindi con buona approssimazione la legge dell’annealing per i marmi apuani.

8 - CONCLUSIONI.

Quando si è iniziata a sviluppare l’idea, più di un anno fa, i risultati ora ottenuti erano impensabili e tali sono rimasti a lungo per le difficoltà ed i problemi presentati dall’utilizzo dello scanner.

L’abbandono dello scanner per la fotocamera ha segnato la svolta. Da questo momento il lavoro è stato impegnativo, produttivo ed appagante.

Sono state dimostrate le potenzialità di sviluppo dell’idea di partenza ed i risultati che è possibile ottenere, anche in campi diversi da quello geologico. Strada facendo si sono intraviste possibilità di altri studi e altre ricerche interessanti. Questa Tesi non è una conclusione ma un punto fatto “in itinere” e le molte strade davanti che è possibile percorrere sono di due tipi.

Le vie di ulteriori sviluppi puntano soprattutto sull’applicazione pratica di quanto finora ottenuto, cercando di mettere in relazione le CSD con le caratteristiche meccaniche dei marmi e proseguendo la linea di ricerca di partenza, avendo come obiettivo realizzazioni che servano all’Industria

Le vie di consolidamento invece portano a ripercorrere l’itinerario già fatto, migliorando passo dopo passo metodologie e strumenti ed esplorando le molte vie, anche interessanti, non percorse per la necessità prevalente di verificare se l’idea aveva uno sbocco utile. Obiettivo è aumentare potenzialità e affidabilità e applicabilità della metodologia.

Le due strade non si escludono affatto e possono essere percorse contemporaneamente..

Per quanto fatto, per i risultati ottenuti e per il “piacere” che questa ricerca mi ha procurato, chiudo con un ringraziamento al Professor Pietro Armienti che mi è stato non solo Maestro ma anche Compagno di avventura.

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