Libellus de impletione loci

Libellus de impletione loci

Il manoscritto

Si dà qui l’edizione critica

del testo autografo, tradito dal codice San Pantaleo 117

, conservato nella Biblioteca Nazionale “Vittorio Emanuele”

di Roma.

Il manoscritto

è costituito da un solo fascicolo di 12 bifogli e comprende anche le due guardie antiche anteriori e la guardia antica posteriore, con numerazione I-II e 1-22, per un totale di 24 fogli.

La coperta pergamenacea originale (160x274 mm), oggi ripiegata e corri- spondente a c. 27, presenta l’antica segnatura E 34 e il titolo del manoscritto De fig[uris] locum impl[entibus], ripetuto identico in due posizioni differenti.

Alle due guardie anteriori antiche, numerate I-II, e alla posteriore antica, oggi c. 22, se ne aggiungono due moderne non numerate, una anteriore e una posteriore.

Il corpo del manoscritto consiste in 21 fogli cartacei, numerati 1-21 (misure 160x108 mm).

Le cc. 23-26 sono costituite da due fogli protocolli ripiegati, con note di F. Napoli e L. De Marchi, datate 1878 e 1883. I fogli sono numerati nel margine superiore destro (23-26) e nel margine inferiore al centro (I-IV).

La numerazione delle pagine, tuttora in uso, è quella moderna, I-II e 1-27, scritta a matita sul margine superiore destro dalla stessa mano che ha scritto a c. 1r “S. Pant. 117”.

Le carte presentano date diverse:

20v: 9 dicembre 1529;

21v: 21 settembre 1535;

21v: 23 settembre 1535;

21v: 24 settembre 1535.

77

Per l’elaborazione della presente edizione critica ci si è avvalsi del “Mauro-TeX”, un linguaggio di mark-up sviluppato nell’ambito del “Progetto Maurolico”, in vista dell’Edizione Nazionale dell’opera matematica di Maurolico.

78

Per una ricostruzione della storia dei manoscritti del Fondo San Pantaleo si veda: V.

JEMOLO, M. MORELLI, I manoscritti del Fondo S. Pantaleo della Biblioteca Nazionale Centrale Vittorio Emanuele II di Roma, in “Indici e cataloghi”, Ministero per i Beni Culturali e Ambientali, XXI, Istituto Poligrafico dello Stato, Libreria dello Stato, Roma 1977.

79

Si ringrazia Riccardo Bellè per aver fornito una descrizione dettagliata e accurata

del manoscritto. Si vedano anche: JEMOLO, MORELLI 1977, pp. 133-134; MOSCHEO

1988, pp. 241-244.

Il testo è citato diverse volte dall’autore nei suoi elenchi programmatici, sia inediti (la lettera a Bembo del ’36) sia pubblicati (la lettera a Bembo del

’40, quella a de Vega del ’56, le diverse redazioni dell’Index lucubrationum).

La sua esistenza, quindi, era nota agli uomini di scienza del tempo e agli studiosi successivi. Ciononostante il testo è tradito dall’unico testimone su descritto, portato da Alfonso Borelli nella Casa romana di San Pantaleo degli Scolopi, dove trascorse gli ultimi anni della sua vita

. A conferma, sulla c.1 si trova la nota di possesso del XVIII secolo (analoga a quella presente su altri manoscritti del Fondo San Pantaleo e su stampe della Biblioteca Nazionale): Biblioth[ecae] S[ancti] Pantal[eonis] Schol[arum] Piarum, sul margine superiore, e Bibl[iothecae] S[ancti] Pantaleonis Scholar[um] Piarum.

Ex lib(ris) Jo(hannis) Alph(onsi) Bor(elli), su quello inferiore.

Non è noto se Borelli avesse avuto modo di visionare il Libellus già durante la sua prima permanenza a Messina, tra il 1636 e il 1656

; pare, tuttavia, che ne sia entrato in possesso, insieme ad altri manoscritti mauroliciani, durante il secondo soggiorno messinese

. Allo stato attuale degli studi, non si rinviene alcuna citazione, diretta o indiretta, del De impletione e della sua materia nè nell’Euclides restitutus nè tantomeno in altri suoi scritti successivi.

Il primo a dare notizia del manoscritto San Pantaleo 117 fu Federico Napoli

, in una sua nota allegata al codice stesso, pubblicata, poi, da Macrì

. Napoli, in realtà, non identificava correttamente il manoscritto, dal momento che riteneva si trattasse dei “cinque libri dei solidi del compendio degli Elementi [di Euclide (XI-XV)], i quali vennero pubblicati durante la

80

MOSCHEO 1988, p. 137, n. 8. Per ulteriori informazioni su Borelli si veda anche:

U. BALDINI, “Borelli, Giovanni Alfonso”, Dizionario Biografico degli Italiani, vol. 12, 1971, sub vocem.

81

Borelli trascorse il periodo compreso tra il 1636 e il 1639 a Messina, non si sa per quale motivo e, almeno in apparenza, senza alcun impegno ufficiale di insegnamento o ricerca. Nel 1639, poi, divenne insegnante di matematica nella città siciliana e vi restò fino al 1656, quando decise di tornare a Pisa (MOSCHEO 1988, pp. 91-92).

82

MOSCHEO 1988, p. 136.

83

Federico Napoli (1819 – 1883), professore di matematica nel collegio Nazionale di Genova, durante un soggiorno a Parigi, ebbe modo di studiare la collezione di manoscritti di Maurolico presso la Biblioteca Nazionale e si rese conto che alcuni erano ancora inediti.

Interessato dalla cosa, alcuni anni più tardi, riuscì ad ottenere in prestito i manoscritti e li studiò, pubblicando: Nota intorno ad alcuni manoscritti di Maurolico della Biblioteca parigina, in “Rivista sicula di scienze, letteratura ed arti”, IV (1872), ff. 9-10, pp. 185-192;

Intorno alla vita ed ai lavori di Francesco Maurolico, in “Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche”, t. IX (1876), pp. 1-21; Scritti inediti di Francesco Maurolico in “Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche”, t. IX (1876), pp. 22-156. Su Federico Napoli si veda: P. NASTASI, “Napoli, Federico”, Dizionario Biografico degli Italiani, vol. 77, 2012, sub vocem.

84

MACRÌ 1901, pp. XXVIII-XXXII.

vita dell’autore, tra gli opuscoli matematici stampati a Venezia”

. Fu, poi, nel 1883, Luigi De Marchi

a emendare il suo errore:

Il Prof. Napoli erra [...] Se avesse avuto sott’occhio il volume degli Opuscula mathematica [...] avrebbe veduto che i libri dei corpi regolari ivi raccolti [...] sono tutt’altra cosa del trattatello: De quinque solidis, quae vulgo regularia dicuntur, quae videlicet eorum locum impleant (sic) et quae non, contra commentatorem Aristotelis Averroem, contenuto nel codice in discorso. Credo non errare, ritenendo essere questo trattato l’opera da lui citata nell’elenco contenuto nella lettera al cardinale Bembo con queste parole: De figuris planis, solidisque regularibus locum implentibus, libellus noster; quamquam de hoc negocio Joannem a Regiomonte accuratissime scripsisse certum sit; verum opus nondum, quod sciam, editum. [...]. Ed è ancora inedito

.

Successivamente notizie del manoscritto sono state fornite da Marshall Clagett, nella sua cronologia dei lavori di Maurolico

, da Viviana Jemolo e Mirella Morelli, nella loro descrizione dei manoscritti del Fondo San Pantaleo,

89

e, più tardi, da Rosario Moscheo, nel suo studio sul Messinese

.

Fino al “Progetto Maurolico”

non si conoscono tentativi di edizione o anche solo di studio del testo. È stato soltanto con lo sviluppo del “Progetto”

che Antonio Garibaldi ne ha realizzato una prima trascrizione, gentilmente messa a disposizione per gli studi che hanno dato alla luce la presente edizione critica.

85

MACRÌ 1901, p. XXX.

86

Luigi De Marchi (1857 – 1936), conseguita la laurea in matematica e fisica, nel 1881 divenne assistente alla Biblioteca Nazionale “Vittorio Emanuele” di Roma; due anni dopo fu alla direzione della Biblioteca governativa di Cremona, quindi della Alessandrina di Roma, della Nazionale di Brera a Milano e, infine, della Universitaria di Pavia dal 1886 al 1902. A questo periodo risalgono i suoi scritti relativi al modo di ordinare le biblioteche, di compilare i cataloghi e di coordinare internazionalmente le bibliografie; ma anche alcuni testi sui manoscritti di Maurolicio: Di tre manoscritti del Maurolicio che si trovano nella Biblioteca Vittorio Emanuele di Roma, in “Bibliotheca mathematica”, Stocholm 1885, n. 3, pp. 142 e seg. e n. 4, pp. 193 e seg.; Sull’ortografia del nome del matematico messinese Maurolicio, in “Bibliotheca mathematica”, Stocholm 1886, n. 2, pp. 90 e seg. Su Luigi De Marchi si veda: P. GARDELLINI, I. CARACI, “De Marchi, Luigi”, Dizionario Biografico degli Italiani, vol. 38, 1990, sub vocem.

87

MACRÌ 1901, p. XXXII.

88

CLAGETT 1977.

89

JEMOLO, MORELLI 1977.

90

MOSCHEO 1988.

91

Per ulteriori informazioni sul “Progetto Maurolico” e per accedere all’edizione elettronica delle opere del matematico si veda il sito della F.M. OPERA MATHEMATICA:

http://maurolico-test.elabor.biz/MaurolicoTest/index.html.

Criteri editoriali

Si è deciso di preferire, fra le varie intitolazioni con cui Maurolico si riferisce a questo testo, quella attualmente in uso nella letteratura mauroliciana, scelta da Clagett e ripresa da Moscheo nei loro lavori sull’autore messinese

. Fu Maurolico stesso, peraltro, a definire il suo trattato come Libellus de impletione loci, quando, in chiusura al testo, scrisse:

Libellus de impletione loci quinque solidorum regularium per Franciscum Maurolycium compositus et exaratus hic finitur. Messanae in freto siculo.

Decembris 9

1529

Sulla vecchia coperta del manoscritto, tuttavia, si legge il titolo De figuris locum implentibus, utilizzato anche dal Messinese per indicare, per la prima volta, il trattato in uno dei suoi elenchi programmatici, ossia nella lettera a Bembo del 1536:

Scripsi quoque per me nonnulla videlicet de figuris locum implentibus, ubi Averrois error patebit, qui putavit, sicut cubos inter regularia quinque solida, ita et pyramides per se locum implere

.

Il De impletione compare anche negli elenchi programmatici successivi, con titoli o frasi descrittive lievemente differenti.

Nella lettera dedicatoria della Cosmographia, anch’essa indirizzata a Bembo (1540), Maurolico lo designò come

De figuris planis, solidisque regularibus locum implentibus libellus noster:

quamquam de hoc negocio Ioannem a Regiomonte accuratissime scripsisse certum sit: verum opus nondum, quod sciam, editum.

e ne illustrò anche brevemente il contenuto, scrivendo:

Demonstramus autem in libello e solidis regularibus cubos per se: pyra- mides vero cum octahedris compactas duntaxat implere locum, qua in re Averroem pueriliter errasse, manifestum erit

.

Nella lettera a Juan de Vega del 1556, poi, il Messinese non si riferì al trattato con un titolo preciso, bensì ne illustrò direttamente il contenuto e la finalità:

Demonstravimus etiam quae planae solidaeque figurae locum impleant: hoc est, quarum anguli sic compaginari possunt, ut ad amissum congruentes

92

CLAGETT 1974; MOSCHEO 1988.

93

Lettera a Bembo, Messina 1536, in F.M. OPERA MATHEMATICA, – opera.html?path=2.E.1.3, §7.

94

MAUROLICO Cosmographia, cc. 2v-3r.

nihil vacui relinquant; ubi Averroes pueriliter errasse convincetur, dum asserit duodecim pyramides, quemadmodum octo cubos, locum implere posse, suam in mathematicis inscitiam manifeste declarans

.

Infine nelle varie redazioni dell’Index lucubrationum il trattato era designato come Quae figurae tam planae, quam solidae locum impleant. Ubi Averroes geometriam ignorasse indicatur

.

Il testo critico rispecchia fedelmente quello del manoscritto, eccetto che per la punteggiatura, modificata dove necessario, ai fini di una migliore e più facile lettura. Si è provveduto, inoltre, a indicare ed emendare alcuni errori di scrittura e di calcolo.

Si è deciso di numerare i capitoli 67 e 68 (cc. 19r-19v), dal momento che la numerazione dell’autore si interrompe con il 66, prima della sezione dedicata alla tabella riassuntiva dei risultati ottenuti dalle combinazioni di poliedri, e riprende con il 69, dopo due brani non numerati, appunto, e separati dal precedente e tra di loro da due linee rette orizzontali.

Le figure sono fedeli riproduzioni degli originali, salvo qualche miglioria apportata senza, tuttavia, tradire in alcun modo le intenzioni dell’autore.

La traduzione mira a rendere al meglio il senso del discorso mauroliciano, pur cercando di rimanere quanto più possibile aderenti al testo latino. A tal fine si è optato per lasciare invariati i termini tecnici mauroliciani, quando possibile, traducendoli con i corrispondenti moderni soltanto quando necessario per una migliore comprensione. Si è deciso, a ogni modo, di realizzare un glossario che li raccolga e ne spieghi il significato.

Si è notato che, come nei suoi lavori sui libri “solidi” degli Elementi, anche nel De impletione Maurolico generalmente abbia mutuato il lessico da Zamberti, piuttosto che da Campano, citato, invece, per le proposizioni e le dimostrazioni degli Elementa. Se i nomi dei poliedri regolari, tuttavia, sono di Zamberti

, quelli dei poligoni regolari, invece, sono di Campano, che usa termini di derivazione greca come pentagonus ed hexagonus al posto di quinquangulus e sexangulus presenti in Zamberti.

95

Lettera a Juan de Vega, Messina 1556, in F.M. OPERA MATHEMATICA, – opera.html?path=2.E.1.12, § 106.

96

Il titolo presenta lievi variazioni tra le edizioni, come si legge in MAUROLICO Index lucub., F.M. OPERA MATHEMATICA, – opera.html?path=2.A.5.1.1, § 24.

97

Zamberti usa termini di derivazione greca come octahedrum, icosahedrum, dode-

cahedrum e pyramidem, mentre Campano predilige le locuzioni corrispondenti corpus

octo basium triangularium et aequilaterarum, corpus viginti basium triangularium atque

aequilaterarum, corpus duodecim basium pentagonarum aequilaterarum atque aequian-

gularum e corpus habens quatuor bases triangulas aequalium laterum designare. Salvo

poche eccezioni, tuttavia, Campano adotta queste perifrasi solo nell’enunciato e non nelle

dimostrazioni, in cui usa la terminologia greca.

ABBREVIAZIONI

Camp. Elem. = BUSARD H.L.L., Campanus of Novara and Euclid’s

Elements, voll. 2, Franz Steiner Verlag, Stuttgart 2005.

commentatorem Aristotelis Averroem ⁹⁸

1 Ioannes a Regio Monte, vir in mathematicis disciplinis praestantissimus et cum antiquorum quolibet conferendus, inter caetera ingenii sui egregia monumenta, scripsit de quinque solidis, quae vulgo regularia vocantur, ostendens quae ex eis locum impleant quaeve non, ubi arguit Averrois ignorantiam.

2 Quippe qui super librum De caelo et mundo tertium, vel corrupto exemplari deceptus vel Aristotelis mentem non intelligens, sibi persuasit quod sicut octo cubi ita et pyramides duodecim locum implerent. Nos autem hucusque non vidimus ipsum Ioannis libellum, quare credimus iniuria temporum cum quibusdam aliis illius praeclari viri operibus periisse.

3 Ego vero, tam profundae pariter et iucundae speculationis cupidus, annisus sum arithmeticis pariter et geometricis argumentis id idem ostendere quod Ioannes ostendit, ingeniosam sane materiam ac difficilem et a nullo, quod sciam, praeterquam ab Ioanne ipso tentatam. Aperiam primum propositi fundamenta, ut

in promptu sint termini, quibus utemur. Mox ad demonstrationes veniam.

2

4 Implere locum dupliciter consyderatur, in planis scilicet et solidis figuris. Planae figurae locum implent cum angulariter ad signum unum coniunctae nihil in medio vacui relinquunt. Solidae autem figurae locum implere dupliciter intelligi possunt: aut angulariter aut verticaliter.

5 Tunc enim angulariter solidae figurae locum implent cum illarum anguli ex duorum planorum concursu effecti ad unam rectam sic copulantur ut nihil in medio vacui supersit. Verticaliter autem locum eas implere dico cum ipsarum vertices, ubi tria vel plura plana conveniunt, ad unum punctum sic copulantur undique concurrentes ut nihil in medio loci non impletum remaneat.

6 Ad completionem loci planis in figuris tres ad minus anguli concur- runt. In solidis quoque totidem angularia latera, cum videlicet angulariter locum implent: nam si verticaliter quatuor ad minus verticibus sive solidis

98

Il corsivo è mio; l’autore scrive il titolo in stampatello maiuscolo.

1

impleant correxi impeant A

2

ante ut del. mox A

cacuminibus opus est. Nec possunt verticaliter locum implere quatuor solida nisi et angulariter prius congruerint.

3

7 Sunt autem tam planae quam solidae locum implentes figurae infinitae.

Nam si planam utcunque figuram descripseris, a cuius lateribus singulis ad quodvis interius punctum rectas totidem protraxeris, iam omnia illa triangula, quorum anguli ad | illud interius punctum coëunt, locum totum [A:1v]

implent. Quod si lateralem erexeris columnam eamque planis ab axe medio ad angularia latera diviseris, iam omnia illa serratilia segmenta ad axem illum angulariter coniuncta locum angulariter implebunt.

8 Si tandem solidum utcunque polyhedrum fabricaris, a cuius verticibus sive solidis cacuminibus singulis ad quodvis interius punctum rectas totidem produxeris, apparebit intellectui solidum ipsum in tot pyramides distinctum quot habuerit bases, quarum pyramidum vertices in illud interius punctum ita conveniunt ut nihil non plenum relinquatur.

9 Quare, cum figurae tam planae quam solidae sint infinitae, erunt et infinitae utriusque generis figurae locum implentes. Sed nos non nisi de planis aequilateris et regularibus solidis verba faciemus, quae videlicet eorum locum impleant quaeque non ostendentes. De planis prius, tum quia priora sunt tum quia ex iis solidorum pendet argumentatio.

4

10 Quando itaque tres vel quotlibet planae figurae locum implent, necesse est angulos coëuntes simul sumptos aequivalere quatuor rectis; quandoqui- dem quidquid spatii signum quodlibet in plano circumdat, aequum est rectis quatuor, sicut ex 15

primi Elementorum

patet. Item quando angularia solidorum latera locum implendo concurrunt, necesse est concurrentes

an- gulos simul sumptos quatuor esse rectis aequales, quatuor inquam rectis, quorum quilibet ex duorum planorum orthogonali concursu efficitur.

11 Et hoc quoniam, sicut spatium in plano circum quodlibet punc- tum quatuor rectis completur

angulis, ita et vacuum rectam quamlibet circumgyrans quatuor quoque solidis constipatur angulis, quorum quilibet

3

ante concurrentes del. quatuo A

4

ante completur del. I A

i

Camp. Elem. I.15 Omnium duarum linearum se invicem secantium omnes anguli

contra se positi sunt equales. Unde manifestum est quotiens due linee recte se invicem

secant qui fiunt angulos 4 rectis esse equales.

ex duorum planorum recto concursu provenit, quando enim duo plana se invicem orthogonaliter secant, fiunt quatuor anguli solidi recti.

12 Quando vero solida verticaliter congruunt, necesse est coëuntes vertices sive solida cacumina simul sumpta aequalia esse octo solidis rectis verticibus, quarum quaelibet ex trium planorum ac rectorum angulorum concursu fit, qualis est vertex cubi. Et hoc quoniam, si tria plana se invicem orthogonaliter secent, fient octo anguli solidi cubici ad punctum unum, quod tribus planis est commune, coëuntes.

5

13 Ex planis figuris aequilateris tres tantummodo locum implere compe- riuntur

: videlicet triangulum, quadratum, hexagonum. Nam, ut ex

32

primi Elementorum

colligitur, angulus trianguli aequilateri aequalis est duabus tertiis unius recti, quare connexis angulariter ad punctum unum sex aequilateris triangulis, sex anguli ad punctum illud concurrentes quatuor rectos angulos consummabunt, totum ergo ad punctum illud circumstantem locum, qui quatuor rectis aequivalet, per praemissum, complebunt.

14 Quatuor autem quadrata | locum implere quis non videt aut intelligit, [A:2r]

nisi qui quatuor rectis angulis ad tale complementum opus esse ignorat? Sed angulus aequilateri hexagoni recto aequipollet et recti unius trienti, sicut per 32

primi patet; tres ergo hexagoni anguli ad signum unum coëuntes totum consummabunt spatium, quandoquidem quatuor conflabunt

rectos.

15 Angulus vero pentagoni aequalis recto et quintae unius recti, 32

primi docente; tres ergo anguli pentagoni perficient tres rectos et tres quintas unius, deficiunt ergo duabus quintis

unius recti quo minus locum totum impleant, quod, si quatuor eiusdem figurae anguli copulentur, superfluent.

Nam quatuor rectos superabunt.

16 Uniuscuiusque autem reliquarum figurarum aequilaterarum angulus maior est angulo hexagoni; sed tres hexagoni anguli aequant quatuor rectos, ergo tres anguli uniuscuiusque reliquarum figurarum aequilaterarum quatuor rectos excedent. Quare caeterae aequilaterae figurae non sunt ad implendum locum idoneae.

5

ante comperiuntur del. q A

6

post ex del. signum quoddam A

7

conflabunt ex consummabunt A

8

quintis post corr. A

ii

Camp. Elem. I.32 Omnis trianguli angulus extrinsecus duobus intrinsecis sibi

oppositis est equalis. Omnes autem tres angulos eius duobus rectis equos esse necesse est.

6

17 Quod autem de planiis figuris aequilateris circa loci completionem conclusum est, idem de columnis quarum bases sunt ipsae aequilaterae figurae, affirmari potest quo ad angularem loci consummationem. Sicut igitur sex

triangula aequilatera locum consummando ad punctum unum concurrunt ita et sex triangulas aequilateras bases habentes columnae ad rectam unam angulariter copulatae locum undique complebunt. 18 Et sicut quatuor quadrata ad punctum unum congruunt sic et quatuor quadratae columnae compaginatae nihil medii relinquunt. Et sicut tria hexagona tres angulos ad signum unum applicantia complent aream sic et ternae hexagonas bases sortitae columnae ad rectam unam solidos angulos, nullo remanente

vacuo, connectent. 19 Et sicut tres anguli pentagoni deficiunt, quatuor supersunt ad loci complementum ita et tres anguli solidi pentagonae columnae coniuncti vacuum relinquunt, quatuor vero superfluunt.

Reliquae autem lateratae columnae, sicut nec earum bases, non sunt ad implendum locum idoneae. Atque haec omnia ex elementorum doctrina sunt manifestissima.

Nunc ad regularia

solida veniemus.

7

20 Solida aequilateris et aequiangulis basibus conclusa

quinque tantum esse, ac pyramidem quatuor octahedron octo triangulis, cubum sex quadratis, icosahedron viginti triangulis, dodecahedron bissenis pentagonis aequilateris et aequiangulis concludi nemo ignorat.

Sed illud etiam attendendum est: sicut cubo octahedron

sic dodecahe- dro icosahedron esse reciprocum in basium et verticum numero. 21 Nam cubus bases habet sex quot vertices octahedrum; et vicissim octahedron bases habet octo, quot cubus vertices. Item dodecahedron bases habet duodecim, quot vertices icosahedrum; | et vicissim icosahedrum basibus clau- [A:2v]

ditur viginti, quot dodecahedri cacumina. Pyramis vero solitaria remanet, utpote quae sibi ipsi reciproca sit, nam quatuor habet bases, quot ipsamet vertices. 22 Attendendum est et hoc: quod haec solida, praeter pyramidem, hoc commune sortita sunt, quod sphaera circumscribente quodlibet illorum, solidum ipsum habet tot diametros, quot verticum paria, diametros inquam bina opposita cacumina connectentes et per sphaerae centrum euntes.

9

ante sex del. signum quoddam A

10

remanente A

rem¯ anente A

11

regularia conieci regulata A

12

conclusa correxi conclussa ex conslussa A

13

ante octahedron del. icosahedrum, A

23 Item quodlibet eorundem solidorum, praeter pyramidem, hoc habet, quod recta connectens duo centra oppositarum basium transit per centrum ipsius solidi atque ideo, per 14

XI

Elementorum

, bases ipsae oppositae sunt aequidistantes. Item si sphaera circumscribat quodlibet horum quin- que solidorum, ipsum autem solidum sphaeram intra se claudat: sphaerae circumscribentis et circumscriptae idem erit centrum.

Quae omnia ex libris solidorum Euclidis facile depromuntur. Atque ideo nos propositum nostrum repetemus.

8

24 Ex quinque solidis regularibus cubi quotlibet invicem congruentes quantumlibet angulariter et verticaliter locum implent. Item sena octahedra cum octo pyramidibus intermistis, et angulariter et verticaliter, locum implere probantur. Item pyramis, octahedron, cum duobus cubis locum implere possunt angulariter.

25 Reliquorum vero corporum nullum, neque solum neque sociatum neque angulariter neque verticaliter, locale spatium implere possibile est.

Quod nos quam brevissime poterimus ostendemus, assumptis etiam arithmeticis syllogismis ubi necessitas

coget.

9

26 Quod itaque cubi quotlibet locum impleant patet, quoniam, sicut in sexto capite ostensum est, columnae quadratae ita congruunt ut locum impleant. Immo non solum angulariter, verum etiam verticaliter conveniunt, propter angulos rectos undique quadrifariam congruentes.

Quod, quamvis sit intellectu facillimum, potest et hoc modo monstrari:

capiatur cubus, cuius latera singula bifariam secentur, et per ipsa sectionum signa agantur tria plana singula binis oppositis basibus cubi parallela eritque cubus in octo cubos invicem aequales

dissectus, assumptis ut opus fuerit, iis quae in XI

Elementorum demonstratur. Illi ergo octo cubi cum compaginent ipsum cubum dissectum iam locum totum implere probantur.

27 Sic poteris cubum quemlibet in cubos secare tot quot sunt unitates in quolibet numero cubico. Unde construens quantamlibet congeriem ex cubis invicem congruentibus.

14

ante necessitas del. q A

15

aequales correxi aequaleis A

iii

Camp. Elem. XI.14 Si linea una super duas superficies assignatas orthogonaliter

insistat, ille due superficies, si etiam in infinitum in quamcumque partem protrahantur,

nunquam concurrent.

Hoc idem patet ex quarto capite praedicto; vero ostensum est quod soliditatis spatium puncto cuilibet | circumpositum aequale est octo solidis [A:3r]

angulis, quorum quilibet ex tribus planis angulis rectis compaginatur, sed talis est angulus vel vertex cubi; ergo et octo cubici vertices ad punctum unum compositi totum locale spatium complent.

10

28 Hucusque bene ac citra reprehensionem ratiocinatur Averroes, mox statim caecutiens delyrat et mathematicas disciplinas se minime calluisse tam turpiter quam aperte demonstrat. Ait enim duodecim angulos solidos pyramidis implere locum atque hoc ideo fieri, quoniam scilicet 36 plani anguli ex quibus illi duodecim solidi constituuntur aequivalent rectis quatuor et viginti, quandoquidem singuli illi octantem

habet recti; cumque 8 cubici anguli ex viginti quatuor planis constent rectis, sequitur (ut ille opinatur) [ut] sicut

octo cubici anguli locum verticaliter adimplent sic duodecim solidi pyramidis anguli concurrendo idem faciant.

29 Satius quidem erat hic tacuisse Averroem quam has ineptias effu- disse. Miserum hominem ac geometricae profunditatis nescium, qui solidos vertices ex planis metitur angulis. Utinam tam brevis esset parata nobis via mensurandi solidos angulos; verum ea tam occulta est ac difficilis ut a nullo unquam quamlibet perspicaci ac consummato mathematico tentata sit.

30 Nam, sicut anguli rectilinei ad centrum constituti assumptarum circumferentiarum rationem sequuntur, ita et solidi anguli ad sphaerale centrum locati proportionales sunt sphaericae superficiei portionibus quas plana concludunt angulos ipsos constituentia. Unde cubicus angulus ad sphaerae centrum positus modo praedicto assumet de sphaerica superficie partem octavam, quanta vero sphaericae superficiei pars, hoc

eodem modo, debeatur solido angulo pyramidis, quanta item angulo aut octahedri aut dodecahedri aut icosahedri contingat neque notum est neque via datur qua cognosci possit. Sicut nec sphaeralium triangulorum superficies metiendi via patet. Sed haec alibi latius fortasse tractabuntur. 31 Non

enim his obscuritatibus, sed aliis et manifestioribus argumentis aperienda est illius barbari dementia: nam si duodecim pyramides, ut ille autumat, verticaliter coniunctae nihil in medio vacui relinquunt, hoc necessario sequetur ut ipsae pyramides propter aequalia et invicem congruentia latera, solidum quoddam

16

octantem correxi octancem A

17

ante sicut del. oct A

18

ante hoc del. signum quoddam A

19

ante Non del. Alii A

compaginent duodecim aequilateris ac

triangulis basibus conclusum; nam tot sunt connexarum pyramidum exterae bases, caeteris intrinsecus invicem compactis. Acquisivimus ergo sextum regulare solidum Averrois industria,

erigamus Auctori

trophaeum. | Heu miserum atque caecum, qui non vidit [A:3v]

tale corpus nusquam reperiri.

32 Sed ne videar alios carpendi potius quam inveniendi veri cupidus, non latius vagabor, sed inceptum sequar, ut ex geometrico arithmeticoque syllogismo, excluso errore, veritas elucescat.

Veritas autem haec est: quod solae pyramides locum implere nequeunt;

id tamen facere possunt octahedris intermistae, sicut mox ostendemus.

11

33 Quod itaque sena octahedra cum octo intermistis pyramidibus lo- cum angulariter et verticaliter impleant non potest neque clarius neque commodius ostendi quam hoc modo.

Capiatur octahedrum, cuius latera singula bifariam secentur, et per sec- tionum signa extendantur plana quatuor ipsius octahedri oppositis singula basibus aequidistantia. 34 Quo fiet ut ipsum octahedrum in quatuordecim solida dissectum videatur, in sex scilicet octahedra inter se aequalia et in octo pyramides invicem aequales

quorum quatuordecim solidorum verti- ces quatuordecim in ipsius octahedri secti centro concurrunt, nullo inani spatio relicto. Singulae autem secti octahedri bases in quatuor triangula aequilatera

et invicem aequalia distinctae

videbuntur. 35 Quorum qui- dem quaternorum triangulorum medium basis est pyramidis, reliqua tria sunt trium octahedrorum bases; reliquae autem tres pyramidis ipsius bases congruunt intrinsecus tribus ipsorum trium octahedrorum basibus.

Quae quidem dissectio apertius intelligetur, fabricatis quemadmodum opus est solidis ipsis. 36 Nam, si huiusmodi sectiones

plana descriptio- ne ostendere conabor, confundetur lectoris animus linearum multitudine.

Quod, si libeat maiorem horum solidorum multitudinem ad implendum spatium quantumlibet compaginare, secetur iterum unaquaeque illorum sex octahedrorum in sena octahedra et octonas pyramides. Item secetur unaquaeque illarum octo pyramidum in unum octahedrum et pyramides quaternas, ductis per bifarias sectiones laterum planis quatuor ad singulas bases parallelis.

20

ante ac del. tri A

21

Auctori correxi Auctroi A

22

aequales correxi aequaleis A

23

ante aequilatera del. i A

24

ante distinctae del. secte A

25

ante sectiones del. descriptiones d A

37 Quibus divisionibus mente vel opere peractis, ex sectione sex oc- tahedrorum fient 36 octahedra et pyramides 48. Item ex sectione octo pyramidum exibunt octahedra 8 et 32 pyramides; aggregatisque octahedris cum octahedris ac pyramidibus cum pyramidibus, fient octahedra 44 ac pyramides 80. Quare illud octahedrum, quod in sex octahedra et pyrami- des octo erat distinctum, nunc in 44 octahedra et 80 pyramides dissectum apparebit.

38 Secetur item et tertio si lubet, unumquodque horum 44 octahedrorum in sena octahedra et octonas pyramides, unde procreabuntur 264 octahedra et pyramides 352. Item unaquaeque illarum 80 pyramidum secetur in unum octahedron et pyramides quaternas: itaque fient 80 octa|hedra et pyramides [A:4r]

320. Iungantur ergo octahedra octahedris et pyramidibus pyramides et colligentur octahedra 344 et pyramides 672.

39 Fiat et quarta dissectio, unde ex octahedris 344 pullulabunt octa- hedra 2064 et pyramides 2752. Ex illis vero 672 pyramidibus producentur octahedra 672 ac pyramides 2688; factisque cumulis, consurgent octahedra 2736, pyramides autem 5440. 40 Nec cedeat

audire quintam anatomiam:

nam simili ductu ex octahedris 2736 nascentur octahedra 16416 pyramides

autem 21888

ex pyramidibus vero 5440 elicentur octahedra 5440 pyramides autem 21760 et, facta utrorumque congerie, concrescent octahedra quidem 21856 pyramides vero 43648

. Itaque potest in infinitum procedi. Vides igi- tur tantam solidorum duplicis generis multitudinem inter se compaginatam totum complere spatium, nullo medio inani relicto.

12

41 Illud autem est animadversione dignum quod unaquaeque dictarum pyramidum est quarta pars uniuscuiusque dictorum octahedrorum, quod sic patet.

Cum octahedrum dividatur in sex octahedra et octo pyramides, unum ex his sex octahedris erit octava pars octahedri divisi, quando huius latus dimidium est lateris illius et solidorum ratio est ipsa laterum triplicata per 36

undecimi

.

26

Nec cedeat conieci post corr. A

27

ante pyramides del. ex A

28

21888 correxi 23888 A

29

43648 correxi 45648 A

iv

Camp. Elem. XI.36 Si duo solida equidistantium superficierum fuerint similia,

proportio erit utriusque ad alterum tamquam cuiuslibet sui lateris ad suum relativum

latus alterius proportio triplicata.

42 Erit ergo divisum octahedrum aequale octahedris octo, quorum quodlibet aequale sit uni ex illis sex. Sed idem octahedrum divisum aequum fuit sex ipsis octahedris et octo

pyramidibus. Demptis igitur utrinque sex octahedris, supererunt, per communem animi conceptum, octahedra duo aequalia octo pyramidibus. Ergo et unum octahedrum aequale erit quatuor pyramidibus: unde pyramis quadrans erit ipsius octahedri.

43 Hoc idem potest et hoc modo demonstrari. Cum pyramis secetur in octahedrum et quatuor pyramides et una ex quatuor pyramidibus sit sectae pyramidis pars octava, superius dicta ratione, erit ipsa pyramis secta aequalis octo pyramidibus quarum quaelibet aequa sit uni ex illis quatuor. 44 Sed eadem secta pyramis aequalis fuit uni octahedro et quatuor ipsis pyramidibus.

Demptis igitur utrinque quatuor pyramidibus, supererunt, per communem conceptum, pyramides

quatuor simul sumptae uni octahedro aequales.

Unde pyramis erit octahedri quadrans; sicut ante demonstraveramus.

13

45 Quod autem pyramis, octahedrum et duo cubi angulariter locum impleant facillime patet.

Nam, si una basium pyramidis congruat uni basium octahedri sintque

bases ipsae invicem aequales, unaquaeque trium reliquarum basium | pyra- [A:4v]

midis unum facit planum cum basi octahedri sibi contermina; quod verum esse patet ex divisione pyramidis in unum octahedrum et quatuor pyramides, quemadmodum in praemissis traditum est.

46 Capiantur itaque duae bases, una octahedri et altera pyramidis, ad unam rectam conterminae et unum planum componentes sive in rectum compactae et totum hoc planum ex duobus triangulis compositum congruat sive superponatur illi plano, quod componitur ex duabus quadratis basibus duorum cuborum ad unam communem basim coniunctorum, ita inquam congruat ut latus commune quadratarum basium couniatur lateri communi triangularum basium. Sic enim horum quatuor solidorum angularia quatuor latera ad dictum commune latus copulabuntur.

47 Demonstravimus itaque quod cubi quotlibet

per se, octahedra vero cum intermistis pyramidibus verticaliter locum implent quodque pyramis, octahedron ac duo cubi angulariter conveniunt. Superest nunc ostendere quod reliquorum corporum nullum neque

solum neque sociatum aliquo pacto locum implere potest.

30

ante octo del. quatt A

31

ante pyramides del. signum quoddam A

32

ante quotlibet del. Superest A

33

ante neque del. lo A

14

48 Sed placet prius ea quae hucusque explicata sunt lineari figuratione

demonstrare. Sit itaque cubus cuius tria quadrata abcd, abf e, bcgf aspectui pateant: latera autem singula ab, bc, cd, da, ae, ef , f g, gc, bf secentur bifariam in punctis h, k, l, m, n, o, p, q, r; deinde per puncta n, r, q producatur planum nrq basi ac et suae oppositae eg parallelum.

49 Per puncta o, h, l agatur planum ohl basi bg et suae oppositae ad parallelum, tandem per puncta m, k, p extendatur planum mkp basi af et suae oppositae dg parallelum. Horum itaque trium planorum quodlibet duos reliqua orthogonaliter secabit, itaque totum cubum ag in octo cubos distinguet. Quare tales cubi sic sunt invicem coniuncti ut nihil in medio vacui relinquant.

50 Coëunt autem ad punctum illud quod tribus planis nrq, ohl, mkp commune est, in quo quidem puncto se invicem secant tres rectae, quae sunt ipsorum trium planorum communes sectiones. Vis et caeteras rectas producam, ut

totius cubi ag et cuborum partium bases singulae graphidis

artificio aspectui referantur parebo, sed assumam litteras graecas ad signam

| da puncta, quoniam latinae deficiunt. 51 Complebo igitur tres reliquas [A:5r]

cubi maioris bases, productis rectis dζ, eζ, gζ. Item complebo planum nrq, ductis rectis nh, gh, secta bifariam dζ in puncto h. Complebo etiam planum ohl, ductis lφ, oφ, secta bifariam gζ in puncto φ. Complebo denique planum mkp, ductis mυ, pυ, secta

eζ bifariam in puncto υ.

52 Et quoniam rectae nr, ho in signo t, rectae autem qη, lφ

in signo θ secantur, ideo ipsorum planorum nrq, ohl

communis sectio erit recta tθ.

34

ante figuratione del. den A

35

ante ut del. signum quoddam A

36

graphidis correxi graphides A

37

ante secta del. ad A

38

ante lφ del. in signo lθ A

39

ohl correxi ol A

Similiter quoniam rectae

mν, nη

in signo ξ, rectae autem qr, pk in signo k secantur, ideo ipsorum planorum nq, mp communis sectio erit recta ξκ.

Et tandem quia rectae mk, hl in signo s, rectae autem pv, oφ in signo χ

secantur, ideo ipsorum planorum mp, ol communis sectio erit recta sχ

.

53 Et quoniam harum trium rectarum tθ, χx, sχ quae sunt communes trium dictorum planorum sectiones, duae quaelibet in signo bifariae sectionis, quod sit ψ, se secant necesse est omnnes tres simul in eodem signo ψ se vicissim secent.

Vides itaque cubum ag distinctum in cubos octo qui sunt aψ, bψ, cψ, dψ, eψ, f ψ, gψ, ζψ, omnes ad punctum ψ angulariter et verticali- ter compaginatos. Sed certe non opus erat rem

tam manifestam tantum morari.

15

54 Iam et qualiter sex octahedra cum octo intermistis pyramidibus locum impleant pictura

demonstremus.

Sit ergo octahedron, cuius triangulae

bases quatuor abc, cdb, dce, eac aspectui pateant, caeteris quatuor retrorsum occultis. Latera autem singula ab, bc, ca, cd, db, de, ec

ea bifariam secentur in signis f , g, h, k, l, m, n, o quae connectantur ductis rectis f g, gh, hf , kl, lg, km, mn, nk, no, oh, hn,

40

ante rectae del. ipsorum planorum nq A

41

ante nη del. aliquot litteras A

42

χ signo posito in marg. A

φ A

43

post sχ del. signum quoddam A

44

ante rem del. signum quoddam A

45

ante pictura del. dem A

46

ante triangulae del. tres A

47

ec supra lineam A

<gk > 55 Sic singulae quatuor bases octahedri distinctae sunt in quatuor triangula aequilatera invicem aequalia. Sed hae duodecim rectae sunt communes sectiones quatuor planorum et basium ipsius octahedri, planorum inquam octahedrum ipsum in 6 octahedra et pyramides 8 distinguentium.

56 Nam per signa f , h, n producitur

planum f hn basi bcd et suae oppositae parallelum. Item per signa g, h, o procedit planum gho basi dce pa|rallelum; per signa etiam l, k, n, o agitur planum lkn basi abc parallelum;

[A:5v]

per signa denique f , g, k, m extenditur planum f gk basi ace parallelum.

Haec igitur quatuor

plana distinguunt sex octahedra et octo pyramides.

57 Octahedrorum bases sunt primi quidem af ho, secundi bf gl, tertii dlkm, quarti emno

. Nam horum uniuscuiusque duae tantum bases appa- rent, binis scilicet retrorsum existentibus, quaternis autem introrsum ad

bases pyramidum coniunctis. Quinti octahedri quatuor bases sunt cghnmk, quatuor reliquis introrsum lateribus. Sextum autem octahedrum est huic oppositum retrorsum.

58 Pyramidum vero bases sunt primae quidem f gh, alterius gkl, tertiae kmn, quartae hno; nam singularum singulae extant bases, reliquis intror- sus ad octahedrorum bases compactis. Reliquae quatuor pyramides sunt retrorsum apud alias quatuor bases octahedri ad.

59 Neque exspectes hic ut has quatuor bases quae sunt a parte posteriori, aliis adhuc lineis productis, depingam sicut in sectione cubi fecimus; multo enim perplexior haec figura est quam illa adeo ut, si a tergo hic lineae

48

gk supplevi

49

ante producitur del.

A

50

quatuor: quatur A

51

ante emno del. enmo A

52

ante ad del. ad A

oportunae protraherentur, non solum ipsae non expressae apparerent, verum etiam hucusque

descriptas conturbarent.

60 Haec itaque sex octahedra atque octo pyramides ita sibi invicem compaginantur ut nihil in medio vacui remaneat et coëunt verticaliter ad centrum octahedri ad in quo quidem centro se invicem secant quatuor rectae f m, lo et ea quae signum h cum puncto opposito nec non ea quae signum k cum puncto opposito connectit. Quae quidem quatuor lineae sunt quatuor communes sectiones quatuor planorum f hnm, lgho, lkno, f gkm octahedrum totum in 6 octahedra et 8 pyramides distinguentium.

Et hoc erat nobis pictura demonstrandum.

16

61 Lubet etiam hic lineamentis referre divisionem pyramidis in unum octahedron et quatuor pyramides.

Sit itaque pyramis abcd cuius latera sex singula bifariam secentur in signis ef ghkl quae signa connectantur ductis bis

sex rectis ef , f g, ge, f h, hg, gl, lh, hk, kl, le, ek, kf , quae quidem duodecim rectae configurabunt octahedrum habens quatuor bases in medio quatuor basium pyramidis singu- larum, reliquas quatuor abscindentes de pyramide abcd quatuor pyramides, quae sunt aegl begf , cf gh, dhkl.

Haec est descriptio 2

| 15

Elementorum

ubi Campanus dat prae- [A:6r]

ceptum quo pacto pyramidi octohaedrum inscribendum sit. Hoc igitur in theoremate nihil ulterius morabor.

53

ante hucusque del. signum quoddam A

54

bis supra lineam A

v

Camp. Elem. XV.2 Intra datum corpus habens quatuor bases triangulas atque

equilateras corpus octo basium triangularium equalium laterum distinguere.

17

62 Restat nunc angularem congruentiam pyramidis, octahedri et duorum cuborum depingere, ne quid non depictum remaneat.

Sit itaque octahedrum abcdef cuius basium uni, utpote basi dce, con- gruat una basium pyramidis, quae sit dceg, ita videlicet ut basis dce sit communis octahedri et pyramidis, ex qua coniunctione hoc sequitur ut una- quaeque trium reliquarum basium pyramidis, quae sunt cdg, deg, ecg, cum unaquaeque basium octahedri sibi contermina unum componant planum, ut scilicet bcd

basis octahedri cum cdg basi pyramidis sit unum planum.

Itemque f de basis octahedri cum deg basi pyramidis unum sit planum nec non aec basis octahedri cum ecg basi pyramidis unum sit planum.

63 Quod quidem demonstratur immo apertissime patet ex praecedenti capite: nam quod in praecedenti descriptione facit una pyramidum

aegl, begf , cf gh, dhkl cum octahedro eh idem in praesenti facit pyramis cdge cum octahedro ad exempli gratia, sicut in praecedenti figura unusquisque trium rhomborum af , ah, ak in uno iacet plano, quandoquidem sunt in tribus basibus pyramidis abcd, sic in praesenti quilibet trium rhomborum ag, bg, f g unum est planum.

64 Coniungantur itaque duo cubi hk, kl ad communem basim mn, quo fiet ut quaelibet quatuor basium cubi hk erecta super basim mn sit in rectum coniuncta basi cubi kl sibi conterminae, exempli gratia, ut hm basis

directe coniuncta basi ml unum cum ea faciens planum, quod manifeste patet ex congruentia cuborum in 14

capite.

65 Sit ergo unus ex tribus rhombis ag, bg, f g, utpote rhombus ag, superponatur plano hml ita ut totus rhombus ag iaceat in plano hml, congruentibus etiam rectis ce, mo in unum. Iam haec quatuor solida videlicet

55

ante bcd del. tam A

56

ante pyramidum del. aliquot litteras A

57

ante basis del. sit A

pyramis cdge octahedrum ad cubi duo hk, kl angulariter locum implebunt:

nam quatuor ipsorum angularia latera ad unam rectam ce vel mo

quae in unam coëunt ita concurrunt ut nihil vacui supersit.

Et hoc erat nobis lineari descriptione patefaciendum.

18

66 Ex regularibus itaque solidis haec quae diximus et eo tantum, quo diximus modo locum implent.

Superest nunc ostendere quod neque haec, quae diximus aliter quam

diximus, neque caetera solida quoquo modo locum impleant. | [A:6v]

Sufficit autem nobis ostendere quod angulariter locum implere nequeunt:

nam si non angulariter neque verticaliter locum complebunt.

67 Ostendemus autem quod angulariter locum replere nequeunt per angulos inclinationum ipsarum basium, hoc est per magnitudines angulorum quos duo plana faciunt. Magnitudo autem talis anguli est angulus ille planus, quem comprehendunt duae rectae, quae ab

uno puncto communis sectionis planorum ad ipsam sectionem perpendiculares in ipsis planis descriptae prodeunt. Huiusmodi ergo angulus comparandus est ad angulos planos locum implentes: si nulli

eorum fuissent aequales, angulus ille inclinationis planorum non poterit locum implere.

Videbimus igitur huiusmodi angulos inclinationum in solidis singulis, postmodum eos angulis planis locum implentibus conferemus.

19

68 Si ab angulis ad centrum rectae concurrant in hexagono, pentago- no, quadrato, triangulo, in hexagono quidem sex triangula, in pentagono quinque, in quadrato quatuor. In triangulo, tres triangula loci planitiem implebunt. Sed in sex triangulis locum implentibus unumquodque ipsorum est aequilaterum, in caeteris vero unumquodque triangulum est isosceles.

69 Nam latus quod angulum ad centrum exeuntem subtendit maius est utrolibet reliquorum et potentialiter ad utrumlibet illorum duplum est, ubi quatuor triangula locum implent, triplum vero, ubi tria, illud enim ex penultima primi

, hoc ex patet apertissime.

58

ante mo del. signum quoddam A

59

ante ab del. du A

60

ante nulli del. signum quoddam A

vi

Camp. Elem. I.46 In omni triangulo rectangulo quadratum quod a latere recto

angulo opposito in semetipsum ducto describitur equum est duobus quadratis que ex

duobus reliquis lateribus conscribuntur.

70 Quando itaque sex anguli locum implent aequales , unus ex illis angulis est angulus trianguli aequilateri et linea subtendens angulum est aequalis utrilibet angulum continenti. Quando autem quatuor anguli ae- quales locum implent, quilibet illorum est angulus quadrati et latus illum subtendens est duplum potentialiter utrilibet reliquorum. Quando vero tres anguli aequales locum implent, quilibet illorum est angulus hexagoni aequilateri et aequianguli et latus illum angulum subtendens triplum est potentialiter utrilibet reliquorum brachiorum. At quando quinque anguli aequales locum implent, unus ex illis angulis nullius figurae aequilaterae an- gulus est, latus autem illum subtendens non habet ad

utrumlibet laterum angulum comprehendentium proportionem rationalem vel longitudine vel sal|tem tantum potentia.

[A:7r]

71 Atque ideo investigabimus proportionem hanc prope verum, quatenus proposito nostro conveniet. Haeque est huiusmodi ratio alia, quam

quae lateris pentagoni ad circuli, intra quem describitur semidiametrum.

Suppono itaque circuli semidiametrum esse particularum 1000000, hunc numerum divido secundum extremam

mediamque rationem, quoad fieri potest prope verum, per doctrinam 11

2

Elementorum

, eritque maius numeri segmentum maius quam partes 618033, minus vero quam partes 618034. Tantum autem esse oportet latus decagoni ipsi circulo inscripti, per 3

14

. 72 Quadratum autem partium 618033 est 381964789089;

quadratum vero partium 618034 est 381966025156; quadratum ergo lateris decagoni est maius illo minus vero hoc numero. Mox iungo utrumque horum quadratorum per se cum quadrato semidiametri, sic enim per 10

13

habebo quadratum lateris pentagoni maius quidem quam 1381964789089

, minus vero quam 1381966025156.

73 Quando igitur quinque anguli aequales locum implent, latus subten- dens unum ex illis ad utrumlibet reliquorum laterum rationem maiorem, quam 1381964789089 ad 1000000000000, minorem vero quam 1381966025156

61

ante aequales del. signum quoddam A

62

habet ad bis A

63

quam supra lineam A

64

ante extremam del. rationem A

65

ante 1381964789089 del. 3 A

vii

Camp. Elem. II.11 Datam lineam sic secare, ut quod sub tota et una portione rectangulum continetur equum sit ei quod fit ex reliqua sectione quadratum.

viii

Camp. Elem. XIV.3 Diviso latere exagoni secundum proportionem habentem medium duoque extrema maior eius portio erit latus decagoni circumscripti a circulo ipsum exagonum circumscribente.

ix

Camp. Elem. XIII.10 Omne latus pentagoni equilateri tanto potentius est latere

exagoni equilateri, quantum potest latus decagoni equilateri, si sint in eodem circulo

ambo inscripti.

ad 1000000000000: hunc nos angulum vocabimus quatuor quintarum angu- lum, eo quod habeat quatuor quintas unius recti.

20

74 Ex tali ergo proportione lateris scilicet angulum subtendentis ad utrumlibet laterum angulum ipsum continentium videbimus an angulus quispiam ex concursu duorum planorum factus sit aequalis angulo trianguli aequilateri vel angulo quadrati vel angulo hexagoni vel angulo quatuor quintarum. Nam si fuerit aequalis angulo trianguli tunc sexcuplicatus, si angulo quadrati tunc quadruplicatus, si angulo hexagoni tunc triplicatus, si angulo quatuor quintarum tunc quincuplicatus angulariter locum implebit.

75 Quod si nulli dictorum angulorum aequalis extiterit, angulum tamen trianguli aequilateri excesserit, tunc per nullum multiplicatus numerum locum implere poterit.

Nos itaque demonstrabimus angulum solidum inclinationis duorum pla- norum in unoquoque regularium solidorum, dempto cubo, nulli dictorum quatuor angulorum aequalem esse, angulum tum trianguli aequilateri su- perare atque nullum quatuor dictorum solidum angulariter locum implere.

| [A:7v]

21

76 Primum itaque videamus angulum ex concursu planorum in pyramide.

Sit pyramis abc sectoque bifariam uno laterum, quod sit bd, in signo e connectantur ae, ec quae quoniam perpendiculares ad lineam bd: erit aec angulus ex concursu basium abd, bdc. Quoniam igitur ab, ad, be potentialiter est quadrupla, ideo ab vel ac (sunt enim aequales) ad ae vel ec potentialiter sesquitertiam esse conveniet. Conferemus mox hunc angulum angulis

planis locum implentibus, ut clarum sit pyramide nullo modo locum implere.

Sed prius volo reliquorum solidorum angulos vestigare quam illud facia- mus.

66

ante angulis del. aliquot litteras A

22

77 Mox ut pateat angulus cubi sumo bases duas cubi contiguas ab, bc ipsum bd commune latus habentes: eritque angulus adc quem quaerimus rectus, quandoquidem angulus est quadrati, et ideo ac linea ipsum angulum subtendens ad ad vel dc potentialiter dupla est. Quamvis autem de cubo, eiusque angulo ac loci impletione in 14

locuti sumus, hic tantum repetitum oportuit hoc videlicet ut clarum sit ipsum cubum cum nullo ex quatuor reliquis locum implere praeterquam cum iis, quae diximus, octahedro scilicet et pyramide.

23

78 Nunc et octahedri perpendamus angulum.

Sintque duae ipsius bases abc, bcd commune latus bc habentes, quod in e signo bifariam secetur, et connectantur ae, ed quae quoniam ipsi bc rectae sunt: erit aed

angulus duorum planorum in octahedro. Cum itaque

67

aed correxi aec A

da ad ab potentialiter dupla sit per 15

13

Elementorum

ab vero ad ae sesquitertiam, sicut in 21

patuit, sequitur ut da ad ae potentialiter dupla sit ac duas tertias

superpartiens, hoc est sicut 8 ad 3.

Et quamvis de octahedro quemadmodum locum impleat supra ostenderi- mus, superest quod aliter locum non impleat ostendere.

24

79 Age nunc scrutemur et

dodecahedri

angulum.

Sed in hoc solido et item in icosahedro linea quae angulum subtendit non habet ad utrumlibet anguli brachium proportionem

rationalem vel

longitudine | vel saltem potentia; sciscitabimur igitur hoc per calculum [A:8r]

numeralem ut quatenus erit necessarium, vero appropinquemus.

80 Sumo itaque geminas dodecahedri bases contiguas abcde et cdf gh latus cd commune habentes, mox protraho rectas be, f h ad quas perpendiculares

duco a puncto d, dk quidem ad be, dl autem ad f h. Et quoniam tam be quam f h ipsi cd parallelus est, ideo per 29

primi

ipsae dk, df ad

68

ante tertias del. di A

69

post et del. icosahed A

70

dodecahedri supra lineam A

71

ante proportionem del. rationem A

72

ante perpendiculares del. signum quoddam A

x

Camp. Elem. XIII.15 Corpus octo basium triangularium et equilaterarum a spera proposita circumscriptibile componere.

xi

Camp. Elem. I.29 Si duabus lineis equidistantibus linea supervenerit, duo anguli coalterni equales erunt angulusque extrinsecus angulo intrinseco sibi opposito equalis.

Itemque duo anguli intrinseci ex alterutra parte constituti duobus rectis angulis equales.

ipsam cd rectae sunt, angulus ergo kdl erit is quem duo dodecahedri plana comprehendunt.

81 Supponatur itaque be vel f h partium 1000000 quo numero prope verum secto secundum mediam extremamque rationem erit maius segmentum maius quidem 618033, minus vero quam 618034. Tanta autem erit ed si 11

13

bene inspicias, latus scilicet ipsius dodecahedri. Connexaque bd aequali ipsi be, cuius quadratum quod est 1000000000000. Subtrahatur a quadratis ipsarum be, ed et supererit quadratum ed, quod est maius quam partes 381964789089, minus vero quam 381966025156 tantum est autem id quod ex duplo ipsius be in ek fit, si 13

secundi

credimus. Secetur igitur illud in duplum ipsius be, hoc est in 2000000, et ex divisione subsilient maius quidem quam 190982

, minus vero quam 190983

et tanta erit ek et a fortiori ipsa ek maior erit quam 190982

, minor vero quam 190983

. Quare quadratum ek si recte numeres, maius est quam 36474273289, minus vero quam 36474512019. 82 Utcunque horum numerorum subtraho ab utroque numero quadratum ed claudente, minorem scilicet horum a maiori illorum et maiorem horum a minori illorum: sic enim supererit quadratum ipsius kd maius quidem quam 345490277070 minus vero quam 345491751867.

Sed quadratum kl est partium 1000000000000 quoniam scilicet kl ipsi ef aequalis est propter aequidistantiam linearum ek, lf et ipsa ef ipsi eb aequalis est, quae supposita fuit partium 100000.

Habes igitur prope verum magnitudinem anguli kdl qua mox conferendo utemur. |

[A:8v]

xii

Camp. Elem. XIII.11 Si duobus propinquis angulis pentagoni equilateri intra circulum descripti a terminis suorum laterum due recte linee subtendantur, utraque alteram secundum proportionem habentem medium duoque extrema.

xiii

Camp. Elem. II.13 Omnis oxigonii tanto ea que acutum respicit angulum ambobus

lateribus angulum acutum continentibus minus potest, quantum est quod bis continetur

sub uno eorum cui perpendicularis intra superstat eaque sui parte que perpendiculari

anguloque acuto interiacet.

25 ⁷³

83

Restat angulus icosahedri, quem nunc sciscitabimur, ne quid remaneat intentatum.

Ex quinque itaque basibus icosahedri ad verticem unum concurrentiam sumantur duae quae commune latus habeant, ut puta abc bcd habentes commune latus bc. Quo

bifariam diviso in signo e connectantur ae ed quae, quoniam ipsi bc rectae sunt, erit aed angulus ex concursu planorum in ipso icosahedro.

84 Supponatur itaque ad partium 1000000, quo numero secundum me- diam extremamque rationem prope verum diviso, erit maius segmentum maius quidem quam partes 618033, minus vero quam partes 618034 tanta autem erit ab, si non mentitur 11

13

, quoniam scilicet ad subtendit angulum pentagoni abd et ab est ipsius pentagoni latus. Unde et ipsius ab quadratum maius quidem erit quam 381964789089, minus vero quam 381966025156, quorum numerorum si quarta pars utriusque per se decerpa- tur, ipsa et quadratum be maius scilicet quam 95491197272

, minus vero

73

ante 25 del. 25. Restat angulus icosahedri, quem nunc sciscitabimur, ne quid rema- neat intentatum. Sit ergo pentagonum abcde ex quinque basibus quinque triangulorum icosahedri ad verticem f coniunctorum compactum; ex quibus triangulis capiantur duo contigui qui sint.

A

74

ante Quo del. Supponatur A

xiv

Camp. Elem. XIII.11 Si duobus propinquis angulis pentagoni equilateri intra circulum

descripti a terminis suorum laterum due recte linee subtendantur, utraque alteram

secundum proportionem habentem medium duoque extrema.

quam 95491506289, quod quidem quadratum si subtrahatur de quadrato ab, supererit quadratum ae. 85 Sed horum numerorum maior abscindatur

ab illorum minori, de

maiori vero illorum horum minor abscindatur, ut sit citra omnem ambiguitatem supersit quadratum ae maius quidem par- tibus 286473591816

, minus vero quam partibus 286474518867 cumque ab supposita sit partium 1000000 nota fiet anguli aed colligantia.

26

86 Si fuerint duo rectilinea triangula, quorum utrumque isosceles, cuius

ba- sis ad utrumlibet aequalium brachiorum maiorem habebit rationem, eiusdem angulus basi oppositus maior erit.

Sunt duo rectilinea triangula abc, def sintque ab, bc latera invicem aequalia, item de, ef latera invicem aequalia sitque in uno illorum, verbi gratia, in triangulo def basis df ratio ad utrumlibet laterum de

, ef maior quam ratio ac ad utrumlibet laterum ab, bc. Aio quod maior erit angulus e angulo b. Nam, si latera ab, bc fuissent aequalia lateribus de, ef , tunc, cum per hypotesin maiorem habeat df ad ed quam ac ad ab rationem, quare

, per 10

quinti

, maior est df quam ac, unde per 25

primi

e angulus angulo b maior erit.

87 Quod, si latera ab, bc lateribus de, ef non fuissent aequalia, sint utralibet maiora, ut puta ipsa ab, bc, ponanturque gb, bh ipsis de, ef aequalia

75

abscindatur conieci abiiciatur A

76

ante de del. A

77

ante cuius del. sit quorum uno A

78

ante de del. df A

79

ante quare del. erit conversis A

xv

Camp. Elem. V.10 Si fuerit unius ad quantitatem unam aliquam proportio maior, quantitatem maiorem esse. Si vero unius j ad eam proportio maior, minorem esse necesse est.

xvi

Camp. Elem. I.25 Omnium duorum triangulorum quorum duo latera unius duobus

lateribus alterius fuerint equalia, basis vero unius basi alterius maior fuerit, erit quoque

angulus trianguli maioris alkaide equis lateribus contentus angulo alterius se respiciente

maior.

et connectatur gh eritque triangulum gbh triangulo abc simile, per 2

et 6

sexti

, quare sicut ac ad ab sic gh ad gb. Sed df ad de maior quam

ac ad ab, ergo, per 12

quinti

, | df quoque ad de maior quam gh ad gb [A:9r]

quarum, per 10

quinti, df maior quam gh unde iterum, per 25

primi, e angulus b angulo maior est quod est propositum.

Quod quidem lemma praemisimus, quoniam necessarium fore duximus, iis, quae sequuntur.

27

88 Quinque pyramides deficiunt ab angulari completione loci, sex autem superfluunt.

Sit angulus inclinationis duorum planorum in pyramide angulus aec sumptus

ex 21

capite eritque ut ibidem patuit ac ad ae

potentialiter sesquitertia. Sed latus subtendens angulum quatuor quintarum ad utrum- libet suorum brachiorum rationem habet maiorem quam 138 ad 100 et habet vero ratio maior quam sesquitertia, ergo a fortiori latus subtendens angulum quatuor quintarum ad utrumlibet suorum brachiorum maior quam sesquitertia, maior ergo quam ac ad ae semper potentialiter intelligendo.

89 Unde sequitur ut et in longitudine quoque latus subtendens angu- lum quatuor quintarum ad utrumlibet suorum brachiorum maiorem habeat rationem, quam ac ad ae maior, ergo erit angulus quatuor quintarum, per

80

ante sumptus del. secti ae, ec, bca A

81

ante ae del. e A

xvii

Camp. Elem. VI.2 Si linea recta duo trianguli latera secans reliquo fuerit equidistans, eam illa duo latera proportionaliter secare. Si vero proportionaliter secet, eam reliquo lateri equidistare necesse est.

xviii

Camp. Elem. VI.6 Omnes duo trianguli quorum unus angulus unius uni angulo alterius equalis lateraque illos duos equos angulos continentia proportionalia, sunt inter se invicem equianguli.

xix

Camp. Elem. V.12 Si fuerit proportio primi ad secundum sicut tertii ad quartum,

tertii vero ad quartum maior quam quinti ad sextum, erit proportio primi ad secundum

maior quam quinti ad sextum.

precedens caput, angulo aec sed angulus quatuor quintarum quinques sump- tus totum complet gyrum, ergo angulus aec deficit ab integra completione, et haec est prima propositi pars.

90 Latus autem subtendens angulum trianguli aequilateri aequale est utrilibet suorum brachiorum ac vero maius ae ergo, per precedens, angulus e maior angulo trianguli aequilateri, sed angulus trianguli aequilateri sexies

sumptus totum implet locum, ergo angulus aec sexies sumptus superfluit sumptaque rectos quatuor, quibus praecise opus est ad gyri complementum.

Quibus etiam argumentis in caeteris utemur solidis.

28

91 Quatuor cubi locum totum angulariter implent.

Hoc patuit in 14

capite patebit et hic; nam per 22

caput angulus cubi aequalis est angulo quadrati, sed quatuor anguli quadrati, per 5

vel 19

, locum implent, ergo et quatuor anguli planorum cubi angulariter locum implebunt.

Quod erat ostendendum.

29

92 Tria octahedra deficiunt ab impletione loci, supersunt vero quatuor.

Sit angulus ex

planis octahedri aed ex 23

capite sumptus eritque, ut ibi patet, ad ad ae sicut octo ad tria potentialiter. Sed latus subtendens angulum hexagoni potentialiter triplum est ad utrumlibet brachiorum, tripla autem ratio maior quam octonarii ad ternarium; ergo latus subtendens angulum hexagoni maius est ad suum brachium quam ad ad ae. Quare per 26

praeceptum maior est angulus hexagoni angulo e. Sed angulus hexagoni triplicatus totum implet lo|cum, ergo angulus aed triplicatus deficit [A:9v]

a complemento loci. Quadruplicatus autem superfluit, quoniam obtusus.

82

ante sexies del. signum quoddam A

83

ante ex del. aliquot litteras A

30

93 Tria dodecahedra deficiunt a loci completione, quatuor autem superfluunt.

Sit angulus dodecahedri kdl ex 24

capite sumptus eritque, ut ibi patet, kl ad kd minor quam 100 ad 34. Sed haec minor quam tripla, ergo a fortiori kl ad kd minor quam tripla; sed, per 19

, latus subtendens angulum hexagoni potentia triplum est ad suum brachium, ergo kl ad kd minorem habet rationem quam latus hexagoni subtendens ad brachium. Quare, per 26

praeceptum, angulus kdl minor est angulo hexagoni. Sed angulus hexagoni triplicatus implet locum, per 5

vel 19

, ergo angulus kdl triplicatus deficiet a loci complemento, quadruplicatus superfluit, quoniam rectum praeterit.

31

94 Tria icosahedra superant loci complementum.

Esto angulus icosahedri aed ex

25

capite sumptus eritque, ut ibi patet, ad ad ae maior quam 100 ad 29 potentialiter, sed haec ratio maior quam tripla et tripla ratio, per 19

, est quam habet latus angulum hexagoni subtendens ad suum brachium potentialiter.

Ergo ad ad ae maiorem habet rationem potentialiter quam latus angulum hexagoni subtendens ad suum brachium; quare, per 26

caput, angulus aed maior est angulo hexagoni. Sed angulus hexagoni triplicatus locum implet, per 5

vel 19

caput, ergo angulus aed triplicatus excedet loci complementum.

Et hoc erat demonstrandum.

84

post ex del. A