(1)Indice 1 Analisi di Fourier 3 1.1 Rappresentazione di un segnale sonoro

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Indice

1 Analisi di Fourier 3

1.1 Rappresentazione di un segnale sonoro . . . . 3

1.2 Filtraggio lineare tempo-invariante . . . . 4

1.3 Spazi di Hilbert e serie di Fourier . . . . 9

1.4 Lo spazio L² e la trasformata di Fourier . . . 11

1.5 Risposta in frequenza di un ﬁltro . . . 19

1.6 Il sistema ortonormale esponenziale . . . 19

2 Analisi Tempo-Frequenza 23 2.1 Teoria dei frame . . . 23

2.2 Atomi tempo-frequenza . . . 31

2.3 Trasformata di Fourier localizzata . . . 37

2.3.1 Frame di funzioni ﬁnestra . . . 40

2.3.2 Scelta di speciﬁche funzioni ﬁnestra . . . 42

2.4 Trasformata Wavelet . . . 46

2.4.1 Wavelet reali . . . 49

2.4.2 Wavelet analitiche . . . 50

2.4.3 Frame di wavelet . . . 52

2.5 Espansione di Gabor con ﬁnestre multiple e regressione di Gabor . . . 59

2.6 Conclusioni . . . 65

3 Sintesi granulare di un segnale audio 69 3.1 Modelli di sintesi audio: sintesi granulare . . . 70

3.1.1 Modalit`a di generazione e parametri signiﬁcativi . . . . 72

3.2 Sintesi granulare con schermi tempo-frequenza: Xenakis, Analogique A e B . . . 79

3.3 Sintesi mediante particelle: FOF . . . 88

3.4 Sintesi granulare in Csound . . . 90

3.4.1 Introduzione allo studio semplice . . . 91

3.4.2 Chitarra classica . . . 92

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3.4.3 Melodia e Percussioni: gli opcodes grain e granule . . . 95 3.4.4 Suoni dilatati: l’opcode sndwarp . . . 104 3.4.5 Sintesi FOG (FOF Granular) . . . 108 3.5 Conclusioni . . . 116

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Capitolo 1

Analisi di Fourier

In questo capitolo verranno richiamati i risultati principali dell’Analisi di Fourier classica ed evidenziate le enormi potenzialità che offre nell’ambito dell’analisi di un segnale, nello specifico di un segnale audio.

1.1 Rappresentazione di un segnale sonoro

Prima di richiamare e approfondire la matematica necessaria a questo lavoro

è utile specificare che cosa si intenderà indicare con le espressioni segnale audio e con analisi del segnale. Verrà trascurata la parametrizzazione classica di un suono attraverso frequenza, intensità, durata e timbro in quanto legata ad una connotazione percettiva, sebbene ovviamente si farà uso delle caratteristiche fisiche, in particolare frequenza ed ampiezza, che caratterizzano i fenomeni oscillatori. Un segnale audio verrà rappresentato come una funzione del tempo f : R → C le cui caratteristiche di regolarità verranno via via specificate.

Ciò che determina un evento sonoro quanto si voglia complesso è un insieme di fenomeni oscillatori più semplici che si compiono in un determinato intervallo temporale; l’obiettivo di un processo analitico è dunque quello di identificare un sistema di fenomeni oscillatori semplici mediante i quali scomporre un evento complesso conservandone la maggior quantità di informazioni possibile. Un ambiente matematico utile per essere certi di poter compiere una tale scomposizione mediante oggetti elementari è uno spazio di Hilbert, ed avendo osservato che un segnale sonoro verrà individuato mediante una funzione di variabile reale, si dovrà cercare uno spazio di funzioni che sia di Hilbert, ovvero L²(R).

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1.2 Filtraggio lineare tempo-invariante

Isolare o modiﬁcare le informazioni contenute in un segnale richiede un pro- cedimento di ﬁltraggio. Particolare importanza sin dai primi studi sulla pro- cessazione del segnale rivestono i cosiddetti filtri lineari tempo-invarianti.

Data una funzione f (t) e indicato con τu l’operatore lineare di traslazione τuf (t) = f (t − u), si deﬁnisce tempo-invariante un operatore lineare L : L²(R)→ L²(R) che veriﬁchi la condizione

τuL = Lτu,

dove non si indica per semplicit`a il simbolo di composizione tra operatori.

Si assume che tali operatori verifichino le condizioni di continuità necessarie per lavorare con oggetti matematici detti distribuzioni ; in questo concetto trova riflesso il fatto che, nella realtà, non è possibile calcolare il valore di una grandezza fisica in un punto, ma solo il suo valore medio in intorni abbastanza piccoli di un punto definendo il valore puntuale come limite di una successione di valori medi.

Definizione 1.2.1 Si dice spazio delle funzioni di prova lo spazio delle funzioni a supporto compatto infinitamente differenziabili C₀^∞(R).

Una successione φj di funzioni in C₀^∞(R) si dice convergente ad una funzione φ ∈ C0^∞(R) se:

• i supporti delle φ^j sono contenuti entro un fissato compatto K ⊆ R, per ogni j;

• indicato l’operatore di derivata con D, per ogni multiindice α la successione D^αφj converge uniformemente a D^αφ per j → ∞.

Si dice distribuzione un funzionale lineare continuo, secondo la definizione appena enunciata, sullo spazio delle funzioni di prova.

Data una distribuzione d, il valore che assume su una funzione φ si indica con hd, φi.

Per una trattazione approfondita della topologia dello spazio C₀^∞(R) e in generale della teoria delle distribuzioni si rimanda a [23].

Data quindi una successione φj di funzioni in C₀^∞(R) che convergono ad una φ in C₀^∞(R) una distribuzione d deve veriﬁcare

hd, φji → hd, φi

quando j → ∞. Vale inoltre la seguente caratterizzazione.

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Proposizione 1.2.2 Un funzionale lineare T su C₀^∞(R) `e una distribuzione se e soltanto se per ogni compatto K contenuto in R esistono due costanti C ed m tali che

|T (φ)| ≤ C X

|α|≤m

sup

K |D^αφ|

per ogni φ∈ C0^∞(R) e tale che il supporto di φ sia contenuto in K.

Una larga classe di distribuzioni si ottiene prendendo d tra le funzioni localmente sommabili; per indicare una tale distribuzione si user`a la notazione d(t) e si scriver`a anche

hd, φi = Z +∞

−∞

d(t)φ(t)dt. (1.1)

Due distribuzioni d1, d2 sono uguali se si ha

hd¹, φi = hd², φi ∀φ ∈ C0^∞(R);

se le due distribuzioni sono originate da funzioni la stessa condizione si pu`o scrivere Z +∞

−∞

d1(t)φ(t)dt = Z +∞

−∞

d2(t)φ(t)dt ∀φ ∈ C0^∞(R), (1.2) il che equivale a scrivere d1(t) = d2(t) quasi ovunque in R.

L’oggetto matematico che ha dato avvio allo studio della teoria delle distribuzioni è la cosiddetta δ di Dirac, definita appunto dal fisico P. Dirac alla fine degli anni ’20 come una funzione (anche se il termine in senso matematico è usato impropriamente) tale che δ(x) = 0 se x 6= 0 e che verifica

hδ, φi = φ(0) ∀φ ∈ C⁰(R). (1.3) Tale definizione è utile perché permette di isolare il valore in un punto di una funzione continua. Un modo per ottenere costruttivamente, tramite un processo di integrazione, la δ di Dirac è vederla come limite, in senso opportuno, della successione di funzioni definita da

fǫ(t) = 1 ǫf

t ǫ

, dove f `e una funzione continua e tale che

Z +∞

−∞

f (t)dt = 1,

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ovvero per ogni funzione continua deﬁnire hδ, φi = lim

ǫ→0⁺

Z +∞

−∞

fǫ(x)φ(x)dx, (1.4)

essendo appunto il risultato del limite a destra di (1.4) uguale a φ(0).

Si deﬁnisce ora l’azione di un operatore lineare L su una distribuzione d come

hLd, φi = hd, L^∗φi, (1.5)

dove L^∗ indica l’operatore aggiunto di L, il quale veriﬁca hLf, φi = hf, L^∗φi per f e φ negli opportuni domini.

Si deﬁnisce anche l’azione dell’operatore di traslazione su una distribuzione nel modo seguente:

hτud, φi = hd, τ−uφi ∀φ ∈ C0^∞(R). (1.6) Si consideri ad esempio la distribuzione δu, detta δ di Dirac traslata, deﬁnita da

hδ^u, φi = hδ, τ^−uφi = φ(u) ∀φ ∈ C0^∞(R);

il suo nome è giustificato dal fatto che essa è ottenuta applicando l’operatore di traslazione alla δ di Dirac, infatti

hτ^uδ, φi = hδ, τ^−uφi = (τ^−uφ)(0) = φ(u) =hδ^u, φi.

Ciò che caratterizza i filtri lineari tempo-invarianti è la risposta, essen- zialmente una descrizione dell’informazione che il filtro seleziona; prima di introdurre tale definizione è utile descrivere l’operatore di convoluzione ed elencare le principali proprietà di cui è dotato.

Definizione 1.2.3 (convoluzione) Siano f, h funzioni; si definisce prodotto di convoluzione tra f e φ la funzione

f ⋆ φ(t) = Z +∞

−∞

f (t− u)φ(u)du, t∈ R, laddove l’integrale sia definito e converga.

Valgono le seguenti propriet`a di commutativit`a

f ⋆ g(t) = g ⋆ f (t) (1.7)

e di diﬀerenziabilit`a d

dt(f ⋆ g)(t) = df

dt ⋆ g(t) = f ⋆ dg

dt(t). (1.8)

Si vuole ora estendere la deﬁnizione di prodotto di convoluzione alle distribuzioni.

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Definizione 1.2.4 Se f `e una funzione, si indica con ˇf la funzione f (t) = f (ˇ −t).

Se d `e una distribuzione si indica con ˇd la distribuzione h ˇd, φi = hd, ˇφi.

Questo `e in accordo con il fatto che se d `e una distribuzione ottenuta da una funzione si ha, tramite l’ovvio cambiamento di variabile u = −t,

h ˇd, φi = Z +∞

−∞

d(t)φ(t)dt =ˇ Z +∞

−∞

d(u) ˇφ(u)du.

Definizione 1.2.5 (convoluzione con una distribuzione) Se d `e una distribuzione e f una funzione si definisce il prodotto di convoluzione tra d e f come

d ⋆ f (t) =hτ^td, fˇ i = h ˇd, τ−tfi = hd, (τ^−tf )ˇi.

Si verifica facilmente che quando d è una distribuzione ottenuta da una funzione tale definizione equivale a quella del prodotto di convoluzione tra funzioni.

Dalla Deﬁnizione 1.2.5 si ottiene in particolare il valore del prodotto di convoluzione tra la delta di Dirac traslata δu e una funzione f , ovvero

δu⋆ f (t) = hτ^uδ, (τ−tf )^ˇi = hδ, τ^−u(τ−tf )^ˇi

= τ−u(τ−tf )^ˇ(0) = (τ−tf )^ˇ(u) = f (t− u).

Sia ora L un operatore lineare, che interpreteremo come ﬁltro, e sia L^∗ il suo operatore aggiunto. Applicando una delta di Dirac traslata al ﬁltro si ottiene

hLδu, φi = hδu, L^∗φi = hδ, τ−uL^∗φi

= [τ−uL^∗φ] (0) = (L^∗φ)(u).

Definizione 1.2.6 (risposta) Se L `e un filtro lineare la sua risposta si indica con h e si definisce

h = Lδ;

h `e una distribuzione e soddisfa

hh, φi = hLδ, φi = hδ, L^∗φi = L^∗φ(0).

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Dalla deﬁnizione di ﬁltro lineare tempo-invariante, ovvero τ_uL = Lτ_u, si ha pertanto che

hLδu, φi = hLτuδ, φi = hτuLδ, φi = hτuh, φi.

Osservazione 1.2.7 Se L `e un operatore tempo-invariante, allora anche L^∗

`e tempo-invariante. Infatti

τuL^∗φ(t) = hδt, τuL^∗φi = hLτ−uδu, φi (1.9)

= hτ−uLδt, φi = hδt, L^∗τuφi = L^∗τuφ(t).

Con le prossime considerazioni si vuole ottenere la descrizione dell’azione di un filtro a partire dalla sua risposta. Dati un filtro L e la sua risposta h = Lδ si ha, per la Definizione 1.2.5,

h ⋆ f (t) = hh, (τ−tf )^ˇi = hLδ, (τ−tf )^ˇi

= hδ, L^∗(τ−tf )^ˇi = L^∗(τ−tf )^ˇ(0) = L^∗f (t),

essendo (τ−tf )^ˇ (x) = (τ−tf )(−x) = f(t − x). Se ne deduce che, dato un filtro L, l’applicazione di L^∗ ad un segnale f equivale ad un prodotto di convoluzione della risposta del filtro h con il segnale stesso. Nel corso di questo capitolo si capirà perché la teoria di Fourier risulti particolarmente appropriata quando si abbia a che fare con filtraggi di segnali, in special modo fenomeni oscillatori.

Esempio 1.2.8 Un sistema di amplificazione (di un fattore λ) e ritardo (di un tempo u) `e deﬁnito da

Lf (t) = λf (t− u) = λτuf (t).

La risposta di questo ﬁltro `e data da

hh, fi = hLδ, fi = hδ, L^∗fi = hδ, λτ^−ufi per deﬁnizione di L^∗; da qui si ottiene

hh, fi = λhδ, τ−ufi = λhτuδ, fi = λf(u), ovvero h = λδ_u.

(9)

1.3 Spazi di Hilbert e serie di Fourier

In questo paragrafo verranno richiamate le deﬁnizioni ed i risultati utili a comprendere la struttura di uno spazio di Hilbert, senza dimostrare i risultati citati, per i quali si rimanda a [22].

Definizione 1.3.1 Sia X uno spazio vettoriale su R o su C. Una norma su X `e una funzione k · k : X → [0, ∞[ dotata delle seguenti propriet`a:

(i) kxk = 0 ⇐⇒ x = 0;

(ii) kλxk = |λ|kxk per ogni x ∈ X e per ogni λ ∈ R (o λ ∈ C);

(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk per ogni x, y ∈ X.

La coppia (X,k · k) `e detta spazio normato; se lo spazio metrico ottenuto con la distanza indotta dalla norma d(x, y) =kx − yk risulta completo, (X, k · k)

`e detto spazio di Banach. Esempi immediati di spazi di Banach sono R^N e C^N stessi con la comune norma euclidea kxk =qP_N

i=1|xⁱ|².

In alcuni spazi la norma è indotta da un prodotto scalare, e questo arric- chisce tali spazi di proprietà simili a quelle di R^N. Diamo la definizione di prodotto scalare relativa a spazi complessi, nel caso particolare di spazi reali si deve omettere l’operazione di complesso coniugato.

Definizione 1.3.2 Sia H uno spazio vettoriale complesso. Un prodotto scalare `e una applicazione h·, ·i : H × H → C dotata delle seguenti propriet`a:

(i) hx, xi `e reale non negativo, e hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0;

(ii) hx, yi = hy, xi per ogni x, y ∈ H;

(iii) x→ hx, yi `e lineare per ogni fissato y ∈ H.

In uno spazio H dotato di prodotto scalare h·, ·i vale una propriet`a fondamentale nota come Disuguaglianza di Schwarz,

|hx, yi| ≤ hx, xi^1/2hy, yi^1/2 ∀x, y ∈ H. (1.10) Uno spazio H, munito di un prodotto scalare, si dice spazio pre-hilbertiano.

La norma indotta dal prodotto scalare si deﬁnisce kxk =p

hx, xi.

Definizione 1.3.3 Uno spazio pre-hilbertiano si dice spazio di Hilbert se risulta completo rispetto alla norma indotta.

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La norma euclidea su C^N ad esempio `e indotta dal prodotto scalare

hx, yi = XN

i=1

xⁱyⁱ ∀x, y ∈ C^N,

pertanto C^N dotato di tale prodotto scalare `e uno spazio di Hilbert su C.

In uno spazio pre-hilbertiano è possibile definire la nozione di ortogona- lità.

Definizione 1.3.4 Sia H uno spazio pre-hilbertiano. Due elementi x, y ∈ H si dicono ortogonali, e si scrive x⊥y, se hx, yi = 0.

In uno spazio vettoriale si può decomporre un elemento in modo unico come combinazione lineare degli elementi di una fissata base. Si vuole indagare l’esistenza di proprietà analoghe in uno spazio di Hilbert senza prendere necessariamente in considerazione gli elementi di una base dello spazio visto come spazio vettoriale, ma individuando insiemi più maneggevoli di elementi che svolgano ruoli simili.

Definizione 1.3.5 Una famiglia{eα}α∈Adi elementi di uno spazio di Hilbert H si dice sistema ortonormale se si ha

heα, e_βi = δαβ =

1 se α = β

0 se α 6= β ∀α, β ∈ A.

Un esempio immediato di sistemi ortonormali sono le basi canoniche degli spazi euclidei R^N e C^N; si incontreranno in seguito altri esempi più signi- ficativi. C’è inoltre da notare che ipotizzando che lo spazio di Hilbert H sia separabile si ottiene che ogni sistema ortonormale è composto da al più un’infinità numerabile di elementi.

Definizione 1.3.6 Sia H uno spazio di Hilbert separabile, sia {en}n∈N un sistema ortonormale in H. Se x∈ H, i numeri hx, eⁿi^H si dicono coeﬃcienti di Fourier di x relativi al sistema {en}. La serie

X∞ n=0

hx, eniH e_n (1.11)

si chiama serie di Fourier di x relativa al sistema {eⁿ}.

(11)

1.4 Lo spazio L² e la trasformata di Fourier

Si ha che per un qualsiasi sistema ortonormale la serie di Fourier di un ge- nerico x ∈ H converge, anche se non necessariamente ad x, come `e chiaro considerando sistemi ortonormali formati da un solo elemento e ∈ H con kek = 1.

Se le combinazioni lineari di un sistema ortonormale di uno spazio di Hilbert H sono dense in H tale sistema si dice completo. Il risultato seguente, la cui dimostrazione si basa sul Lemma di Zorn, ci assicura che la scomposizione di un elemento rispetto ad un opportuno sistema `e sempre attuabile in uno spazio di Hilbert.

Proposizione 1.3.7 Ogni spazio di Hilbert H 6= {0} ammette un sistema ortonormale completo.

Vediamo ora le propriet`a che caratterizzano un sistema ortonormale comple- to.

Proposizione 1.3.8 Sia H uno spazio di Hilbert separabile, e sia {en}n∈N

un sistema ortonormale in H. I seguenti fatti sono equivalenti:

(i) {en} `e completo;

(ii) vale l’ uguaglianza di Bessel kxk² =

X∞ n=0

|hx, eⁿi|² ∀x ∈ H; (1.12) (iii) vale l’ identit`a di Parseval

hx, yi = X∞ n=0

hx, enihy, eni ∀x, y ∈ H; (1.13) (iv) per ogni x∈ H la serie di Fourier di x converge in H ed ha somma x.

Si descrive ora lo spazio in cui verranno rappresentati i segnali audio.

Definizione 1.4.1 Si definisce L^p(R) lo spazio delle funzioni reali a valori complessi misurabili e tali che l’integrale su R di |f|^p sia finito, quozientato secondo la relazione di equivalenza ∼ che identifica funzioni che coincidano su tutto R escluso un insieme di misura nulla (quasi ovunque coincidenti):

L^p(R) =

f : R→ C con f misurabile e Z +∞

−∞ |f(t)|^pdt <∞

/ ∼ .

(12)

Lo spazio L^p(R) `e uno spazio vettoriale e uno spazio di Banach munito della norma

kfkp =

Z +∞

−∞ |f(t)|^pdt

¹_p .

In L¹(R) si deﬁnisce un operatore fondamentale nell’analisi del segnale, la trasformata di Fourier.

Definizione 1.4.2 Sia f ∈ L¹(R). La trasformata di Fourier di f `e la funzione ˆf cos`ı definita:

f(ω) =ˆ Z +∞

−∞

f (t)e^−iωtdt, ω∈ R. (1.14) L’operatore f → ˆf si indica con F .

Risulterà nel seguito del capitolo più chiaro che se si interpreta f (t) come un segnale audio, ˆf (ω) fornisce il contenuto in termini di componenti frequen- ziali del segnale, ovvero “quante” oscillazioni di frequenza ω sono contenute in f (t). Si noti inoltre che ˆf (ω) è una funzione a valori complessi, e questo motiva la scelta di prendere anche f (t) a valori complessi. Si deve ora approfondire quale sia l’utilità di questo operatore al fine di scomporre un segnale audio come somma di segnali elementari. A tale proposito è evidente che si devono individuare le condizioni affinché dalla trasformata di un segnale si riesca a risalire al segnale stesso.

Teorema 1.4.3 (Antitrasformata di Fourier) Se f ∈ L¹(R) e ˆf ∈ L¹(R) si ha

f (t) = 1 2π

Z +∞

−∞

f (ω)eˆ ^iωtdω. (1.15)

La trasformata di Fourier ˆf (ω) di un segnale f (t) è una funzione continua di ω e, se ˆf ∈ L¹(R), f è continua. Dunque con le formule finora fornite si riesce a ricostruire solo funzioni continue.

Esempio 1.4.4 Sia f = χ[−1,1]: allora per ogni ω ∈ R si ha f (ω) =ˆ

Z 1

−1

e^−iωtdtx =

−e^−iωt iω

1

−1

= (1.16)

i

ω(e^−iω − e^iω) = 2sin ω ω .

Tale funzione non appartiene ad L¹(R) , dunque non sono veriﬁcate le ipotesi del Teorema 1.4.3 e non sarebbe possibile ricostruire un segnale essenziale come una funzione indicatrice mediante l’antitrasformata.

(13)

Uno spazio utile al superamento dei limiti sulla continuità del segnale è L²(R), detto anche spazio delle funzioni ad energia finita essendo gli elementi che vi appartengono caratterizzati dalla proprietà

Z +∞

−∞ |f(t)|²dt < +∞.

L²(R), dotato del prodotto scalare hf, gi =

Z +∞

−∞

f (t)g(t)dt ∀f, g ∈ L²(R) (1.17)

`e uno spazio di Hilbert; la relativa norma indotta `e

kfk² =

sZ +∞

−∞ |f(t)|²dt.

Si deve ora indagare la possibilità di estendere a questo spazio più idoneo alla rappresentazione dei segnali la trasformata di Fourier, definita finora solo in L¹(R). Per fare questo è necessario dimostrare che si può definire un operatore ˆf ∈ L²(R) in modo che coincida con la trasformata di Fourier su L¹(R) ∩ L²(R).

Il primo passo `e descrivere il comportamento della trasformata rispetto ad un prodotto di convoluzione tra due funzioni.

Teorema 1.4.5 Se f, h ∈ L¹(R) , allora posto g(t) = h ⋆ f (t) si ha g ∈ L¹(R) e

ˆ

g(ω) = ˆh(ω) ˆf(ω).

Dimostrazione. Si ha per deﬁnizione di trasformata di Fourier ˆ

g(ω) = Z +∞

−∞

e^−iωt

Z +∞

−∞

f (t− u)h(u)du

dt.

Poiché |f(t − u)||h(u)| è integrabile in R², si può applicare il Teorema di Fubini, e con il cambiamento di variabile (t, u)→ (v = t − u, u) si ha

ˆ g(ω) =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

e^−iω(u+v)f (v)h(u)dudv =

=

Z +∞

−∞

e^−iωvf (v)dv

Z +∞

−∞

e^−iωuh(u)du

,

(14)

che è la tesi. 2 Insieme al teorema precedente è utile richiamare altre proprietà della trasformata di Fourier, per la maggior parte risultati di cambiamenti di variabile nell’integrale di Fourier.

Propriet`a Funzione Trasformata di Fourier

Convoluzione f1(t) ⋆ f2(t) fˆ1(ω) ˆf2(ω); (1.18)

Inversa f (ω)ˆ 2πf (−t); (1.19)

Complessa coniugata f (t) f (ˆ−ω); (1.20)

Prodotto f1(t)f2(t) 1

2πfˆ1(ω) ⋆ ˆf2(ω); (1.21) Traslazione f (t− u) e^−iuωf (ω);ˆ (1.22) Modulazione e^iξtf (t) f (ωˆ − ξ); (1.23) Scalatura f (t/s) |s| ˆf (sω); (1.24) Derivata temporale f^(p)(t) (iω)^pf(ω)ˆ (1.25) Derivata frequenziale fˆ^(p)(ω) (−i)^ptc^pf(t). (1.26) Si vuole ora analizzare il comportamento dell’operatore F rispetto alle distribuzioni. Sia L = F e siano f, g due funzioni in L²(R); indicato conh·, ·i² il prodotto scalare in L²(R) introdotto in (1.17) si ha

hLf, gi2 =

Z +∞

−∞

f(ω)g(ω)dω =ˆ 1 2π

Z +∞

−∞

f (ω)ˆˆˆ g(ω)dω

= 1

2π Z +∞

−∞

f (−ω)ˆg(ω)dω = 1 2π

Z +∞

−∞

f (ω)ˆg(−ω)dω, ovvero

F^∗g(ω) = 1

2πg(ˆ −ω) = 1 2πˇˆg(ω).

Se d `e una distribuzione si ha

h ˆd, φi = hd, F^∗φi = 1

2πhd,ˇˆφi. (1.27)

Nel caso particolare in cui d sia una funzione la (1.27) diventa Z +∞

−∞

d(t)φ(t)dt =ˆ 1 2π

Z +∞

−∞

d(t) ˆφ(−t)dt. (1.28) Come immediata conseguenza di queste considerazioni si ottengono due risultati noti rispettivamente come formula di Parseval e formula di Plancherel.

(15)

Teorema 1.4.6 Se f, h ∈ L¹(R) ∩ L²(R) allora Z +∞

−∞

f (t)h(t)dt = 1 2π

Z +∞

−∞

f (ω)ˆh(ω)dω.ˆ (1.29)

Per h = f segue

Z +∞

−∞ |f(t)|²dt = 1 2π

Z +∞

−∞ | ˆf (ω)|²dω. (1.30) Dimostrazione. La tesi discende ovviamente dalla (1.28) sostituendo ˆd = f

e φ = h. 2

Quanto finora esposto dimostra che la trasformata di Fourier è un’isome- tria rispetto alla norma di L²(R); la si vuole però estendere anche a funzioni di L²(R) che non appartengano a L¹(R). Si può dimostrare che l’insieme delle funzioni semplici è denso in L^p(R) per 1 ≤ p ≤ ∞ ed è incluso in L¹(R)∩ L²(R). Pertanto, a maggior ragione, si ottiene la densità di L¹(R)∩ L²(R) in L²(R).

A questo punto la densit`a permette, data f ∈ L²(R) con f /∈ L¹(R), di trovare una famiglia {fⁿ}^n∈N di funzioni in L¹(R)∩ L²(R) tali che

n→∞lim kf − fⁿk² = 0.

Poiché{fⁿ}^n∈N converge, è una successione di Cauchy, il che ci dice che presi p e m sufficientemente grandi si hakf^p−f^mk² arbitrariamente piccolo. In più si ha che fn ∈ L¹(R) per ogni n ∈ N, pertanto è ben definita la successione delle trasformate di Fourier{ ˆf_n}n∈N. Per la formula di Plancherel anche tale successione è di Cauchy in quanto

k ˆfm− ˆfpk² =√

2πkf^m− f^pk².

Poich´e uno spazio di Hilbert `e completo si ha che la successione { ˆfn}n∈N

converge in L²(R) ad un elemento ˆf che per definizione si dice essere la trasformata di Fourier di f . Tale definizione rispetta il teorema di convoluzione, le formule di Parseval e Plancherel e le proprietà (1.18)-(1.26) sopra elencate.

Esempio 1.4.7 Una Gaussiana f (t) = e^−at² con a > 0 `e una funzione appartenente a C^∞con un rapido decadimento asintotico. La sua trasformata di Fourier `e anch’essa una Gaussiana:

f(ω) =ˆ √ πe^−ω

2

4a . (1.31)

(16)

Se consideriamo lo spazio di Schwartz S(R), ovvero l’insieme delle funzioni rapidamente decrescenti φ∈ C^∞ tali che

sup

t∈R

t^pD^qφ(t) = 0

per ogni coppia di interi positivi p, q, allora l’operatore F è un isomorfismo di S(R) in sé, come si deduce dalle proprietà (1.25) e (1.26). Nei seguenti esempi l’operatore F è applicato a specifiche distribuzioni.

Esempio 1.4.8 La trasformata di Fourier di una δ di Dirac traslata δu = τuδ si ottiene calcolando e^−iωt in t = u; infatti

hˆδu, φi = 1

2πhδuˇˆφi = 1

2πφ(ˆ −u) = 1 2π

Z +∞

−∞

e^−iutφ(t)dt,

pertanto ˆδu `e la funzione localmente sommabile δˆu(ω) = 1

2πe^−iuω.

Simmetricamente si può pertanto affermare che la trasformata di Fourier di un’onda sinusoidale di frequenza ξ0, ovvero f = eîξ⁰, è la distribuzione 2πδ−ξ0. Questo risultato è utile per calcolare la trasformata di Fourier di una somma di δ di Dirac traslate, detta pettine di Dirac, utilizzata per il campionamento uniforme di segnali audio. Un pettine di Dirac cT si definisce come cT =P+∞

n=−∞δnT, ovvero hc^T, φi =

X∞ n=−∞

φ(nT ), (1.32)

dove T `e una costante che determina l’intervallo di campionamento. La sua trasformata di Fourier `e la distribuzione

h ˆcT, φi = 1

2πhc^T,ˇˆφi

= 1

2π X∞ n=−∞

φ(ˆ −nT ) = 1 2π

X∞ n=−∞

φ(nT )ˆ

= 1

2π X∞ n=−∞

Z +∞

−∞

e^{−inT t}φ(t)dt,

Il prossimo risultato dimostra che anche ˆc_T è in realtà un pettine di Dirac, e sarà inoltre utile per la parte finale di questo capitolo.

(17)

Teorema 1.4.9 (Formula di Poisson) Vale l’uguaglianza

ˆ cT = 1

T X∞ n=−∞

δ^2π

Tn, ovvero

X∞ n=−∞

φ(nT ) =ˆ 2π T

X+∞

n=−∞

φ

2π T n

. (1.33)

Dimostrazione. Sia φ una funzione test φ∈ C0^∞(R) con supporto contenuto in ]−^2π_T M,^2π_T M[. Sia poi{ξⁿ}^n∈Zuna partizione dell’unit`a con ξn∈ C^∞per ogni n, subordinata al ricoprimento

2π

T (n− 1),2π

T (n + 1)

n∈Z

.

Allora φ =P

|n|≤Mφξn. Pertanto hˆcT, φi = 1

2π X∞ l=−∞

ψ(lT ) =ˆ 1 2π

X

|n|≤M

X∞ l=−∞

Z +∞

−∞

e^{−ilT s}φ(s)ds

= 1

2π X

|n|≤M

X∞ l=−∞

Z ^2π_T(n+1)

2π T(n−1)

e^{−ilT s}φ(s)ξn(s)ds

= 1

2π X

|n|≤M

N →+∞lim X

|l−n|≤N

Z ^2π_T(n+1)

2π T(n−1)

e^{−ilT s}φ(s)ξn(s)ds

= 1

2π X

|n|≤M

N →+∞lim X

|m|≤N

Z ^2π_T(n+1)

2π T(n−1)

e^{−imT s}e^{−inT s}φ(s)ξ_n(s)ds.

Mediante il cambiamento di variabile ω + ^2π_T n = s si ottiene quindi hˆc^T, φi =

1 2π

X

|n|≤M

N →+∞lim X

|m|≤N

Z ^2π_T

−^2π_T

e^{−imT ω}e^{−inT ω}φ

ω + 2π T n

ξn

ω + 2π T n

dω.

La somma della progressione geometrica di ragione e^{−iT ω} `e X

|m|≤N

e^{−imT ω} = sin[(N + 1/2)T ω]

sin[T ω/2] . (1.34)

(18)

Pertanto

hˆc^T, φi = 1 2π

X

|n|≤M N →∞lim

Z ^2π_T

−^2π_T

sin[(N + 1/2)T ω]

T ω/2 · (1.35)

· T ω/2

sin[T ω/2]e^{−inT ω}φ

ω + 2π T n

ξn

ω + 2π T n

dω.

Sia ora {ψⁿ}^n∈Z una famiglia di funzioni tali che per ogni n si ha ψn ∈ L²(R) e la trasformata di Fourier ˆψn veriﬁca

ψˆn(ω) =

( T ω/2

sin[T ω/2]e^{−inT ω}φ ω + ^2π_T n

ξn ω + ^2π_T n

se |ω| ≤ ^2π_T

0 se |ω| > ^2π_T .

Poich`e, come si ricava da (1.16), la trasformata di Fourier della funzione indicatrice χ[−a,a]`e uguale a 2 sin(aω)/ω, la formula di Parseval (1.29) implica

hˆcT, φi = 1 2πT

X

|n|≤M

N →+∞lim Z ^2π_T

−^2π_T

2 sin[(N + 1/2)T ω]

ω ψˆ_n(ω)dω (1.36)

= 1

2πT X

|n|≤M

−^2π_T

ˆ

χ[−(N +1/2)T,(N +1/2)T ](ω) ˆψn(ω)dω

= 1

T X

|n|≤M

−^2π_T

χ[−(N +1/2)/T,(N +1/2)/T ](t)ψn(t)dt

= 1

T X

|n|≤M

N →+∞lim

Z (N +1/2)/T

−(N +1/2)/T

ψ_n(t)dt.

Quando N tende a +∞ l’integrale converge a ˆψn(0) pertanto hˆcT, φi = 1

T X

|n|≤M

ψˆn(0) = 1 T

X

|n|≤M

φ

2π T n

ξn

2π T n

.

Poich´e il supporto di ξn `e contenuto in _2π

T (n − 1),^2π_T (n + 1)

, nel punto t = ^2π_T n tutte le ξh con h 6= n sono nulle; pertanto ξn 2π

T n

= 1 e X∞

n=−∞

φ(nT ) = 2πˆ hˆcT, φi = 2π T

X

|n|≤M

φ

2π t n

che date le ipotesi sul supporto di φ equivale alla tesi. 2

(19)

1.5 Risposta in frequenza di un filtro

Le funzioni esponenziali complesse del tipo e^iωt sono autovettori degli operatori di convoluzione; in particolare, dato un ﬁltro lineare tempo-invariante L con la sua risposta h si ha

Le^iωt = Z +∞

−∞

h(u)e^iω(t−u)du, da cui

Le^iωt = e^iωt Z +∞

−∞

h(u)e^−iωudu.

Da questa uguaglianza si vede che l’autovalore relativo `e la trasformata di Fourier di h alla frequenza ω,

ˆh(ω) =Z +∞

−∞

h(u)e^−iωudu.

Tale autovalore si dice risposta in frequenza del ﬁltro e si calcola quindi con la trasformata di Fourier della risposta.

Questo risultato rende evidente l’interesse che riveste la possibilit`a di decomporre qualsiasi segnale in combinazione lineare di sinusoidi complesse; la semplicit`a di queste funzioni le rende infatti uno strumento estremamente adatto sia ai procesi di analisi che di sintesi di un segnale. Si deve quindi cercare un sistema ortonormale completo per L²(R) composto di sole funzioni di questo tipo.

Esempio 1.5.1 Un filtro passa-basso ideale ha una risposta in frequenza ˆh = χ[−ωT,ωT] che seleziona basse frequenze comprese in [−ω^T, ωT]. La sua risposta pu`o essere calcolata tramite l’integrale (1.15):

h(t) = 1 2π

Z ωT

−ωT

e^iωtdω = sin ω_Tt πt .

1.6 Il sistema ortonormale esponenziale

Dunque si vuole trovare un sistema ortonormale completo in L²(R) composto da funzioni del tipo eîkt. In realtà questo è possibile, per motivi legati alla convergenza dell’integrale di una funzione esponenziale complessa, nello spazio di funzioni ad energia finita definite in [−π, π], ovvero L²(−π, π). La proprietà di separabilità di L²(−π, π) assicura, in virtù delle considerazioni esposte in seguito alla Definizione 1.3.5, che ci si può limitare ad un’indagi- ne sulle famiglie al più numerabili. Dalla definizione di prodotto scalare in

(20)

L²(R) (1.17) si ottiene, con un cambiamento degli estremi di integrazione, quella di prodotto scalare in L²(−π, π),

hf, gi = Z π

−π

f (t)g(t)dt ∀f, g ∈ L²([−π, π]) (1.37) Si dimostrerà che una famiglia che soddisfa le condizioni di ortonormalità e completezza è l’insieme

e^ikt

√2π

k∈Z

. (1.38)

Per continuare a lavorare con gli operatori finora definiti si considererà una f ∈ L²(−π, π) come una funzione di L²(R) nulla al di fuori di [−π, π] e coincidente con f in [−π, π]. La serie di Fourier (1.11) per una tale f relativa al sistema (1.38) è

X+∞

k=−∞

f, e^ikt

√2π

e^ikt

√2π. (1.39)

In virt`u della deﬁnizione di prodotto scalare di L²(−π, π) (1.37) e dell’uguaglianza

e^ikt= cos(kt) + i sin(kt),

che per le note propriet`a delle funzioni trigonometriche determina e^ikt = cos(kt)− i sin(kt) = e^−ikt,

si ha che il prodotto scalare nella (1.39) `e dato da Z π

−π

f (t)e^−ikt

√2πdt = 1

√2π f(k),ˆ

ovvero la trasformata di Fourier di f calcolata in k a parte un fattore molti- plicativo. Questo determina due considerazioni: in primo luogo che la serie di Fourier relativa al sistema (1.38) è periodica con periodo 2π, il che rende più naturale la riduzione effettuata allo spazio L²(−π, π); in secondo luogo si comprende il motivo della significativa utilità applicativa della trasformata di Fourier: dato che combinazioni opportune degli elementi del sistema (1.38) danno origine a sinusoidi semplici, ovvero in termini di segnali oggetti riconoscibili e riproducibili con estrema facilità, con la trasformata di Fou- rier si riesce a decomporre un segnale periodico come somma di sinusoidi di frequenze determinate.

In queste considerazioni sono riassunte le potenzialit`a degli strumenti dell’a- nalisi di Fourier classica, ma anche i limiti che essa presenta, limiti dei quali

(21)

1.6 Il sistema ortonormale esponenziale

ci si occuper`a nel prossimo capitolo.

Quanto all’ortonormalit`a del sistema (1.38), essa si ottiene facilmente utilizzando la deﬁnizione di prodotto scalare in L²(−π, π) (1.37).

Si vuole ora dimostrare che tale sistema `e completo in L²(−π, π).

Teorema 1.6.1 La famiglia di funzioni

e^ikt

√2π

k∈Z

`e un sistema ortonormale completo per L²(−π, π).

Dimostrazione. Si deve dimostrare che le combinazioni lineari di funzioni del tipo (1.38) sono dense in L²(−π, π).

Inizialmente si prova che ogni funzione diﬀerenziabile con continuit`a φ(t) avente supporto contenuto in [−π, π] soddisfa

φ(t) = X∞ k=−∞

φ(s), e^iks

√2π

e^ikt

√2π,

con convergenza puntuale per ogni t∈ [−π, π]. Seguendo i passi (1.34)-(1.36) nella dimostrazione della Formula di Poisson (1.33) si ha l’uguaglianza tra distribuzioni

S_N(t) = XN k=−N

φ(s), e^iks

√2π

e^ikt

√2π = XN k=−N

1 2πe^ikt

Z π

−π

φ(s)e^−iksds

= 1

2π Z +π

−π

φ(s) XN k=−N

e^ik(t−s)ds = 1

2πhτ^−tφ, ˆχ[−(N +1/2),(N +1/2)]i (applicando la formula di Parseval (1.29))

= 1

(2π)²h dτ−tφ, ˆˆχ[−(N +1/2),(N +1/2)]i = 1

2πh dτ−tφ, ˇχ[−(N +1/2),(N +1/2)]i

= 1

2π

Z (N +1/2)

−(N +1/2)

τd−tφ(s)ds.

Pertanto

N →+∞lim SN(t) = 1 2π

Z +∞

−∞

τd−tφ(s)ds = τ−tφ(0) = φ(t).

Poiché φ è differenziabile con continuità, si ottiene che S_N(t) converge uniformemente a φ(t) su [−π, π].