5. Predimensionamento nel caso statico e nel caso sismico

5. Predimensionamento nel caso statico e nel caso sismico

5.1 Generalità

L’introduzione del D.M. 14/09/2005 ha prodotto molto dibattito nel mondo ingegneristico su quelli che sono i suoi effetti sulla progettazione e realizzazione delle opere di sostegno. Le differenze tra questa nuova normativa e le precedenti, sia in canpo statico che sismico, sono state già evidenziate nel precedente capitolo. Nelle prossime pagine si intende, invece, fare un esempio che porti alla luce queste differenze nel caso di una paratia realizzata in ambito portuale. È stata assegnata una sezione di calcolo AZ 50 per studiare l’interazione terreno-struttura e valutarne la sollecitazione tralasciando le verifiche strutturali. Per il caso statico è stato utilizzato il semplice programma di calcolo per le paratie ProSheet 2.2 messo in rete dall’Arcelor-Mittal mentre per il caso sismico è stato implementato un foglio di calcolo del programma Mathcad v.13 per il calcolo delle spinte pseudo-statiche.

La geometria dell’opera di sostegno è riportata in Figura 5.1. Il fondale di progetto è di 10,00 m, la quota banchina e quella del tirante sono rispettivamente di 2,00 m e di 0,50 m sopra il L.M.M. I carichi applicati, visibili in figura, sono i seguenti:

• un carico piazzale q 2 pari a 15 kN/m ² che risulta appropriato per la destinazione d’uso della banchina (transito mezzi più che piazzale di stoccaggio).

• un tiro bitta q 1 di 15 kN/m derivante dal posizionamento di una bitta da 300 kN ogni 20 m. La distanza tra una bitta e l’altra è abbastanza elevata: questa scelta è appropriata se si considera che l’opera in oggetto, a causa del suo sviluppo curvilineo, ha più la funzione di un’opera di difesa spondale che di una banchina per accosti vera e propria.

È stato considerato un profilo di progetto composto da 2 strati, adottando i parametri indicati nel Capitolo 2 con la stessa simbologia:

• primo strato di tout venaint dello spessore di 5,00 m tra quota +2,00 e -3,00 m:

1 20 3

m

⋅ kN

γ = ; φ ' ₁ = 38 ° ;

2 ' ₁

1

δ = ϕ

• secondo strato di limi torbosi-argillosi di spessore indefinito oltre quota -3,00 m:

2 18 , 5 3

m

⋅ kN

γ = ; φ ' ₂ = 25 ° ;

2 ' ₂

2

δ = ϕ

Le condizioni considerate sono quelle “a lungo termine” e i parametri sono espressi in termini di tensioni efficaci.

Figura 5.1: geometria dell’opera di sostegno e posizionamento carichi

5.2 Caso statico

ProSheet 2.2 è un programma per la progettazione delle paratie (a sbalzo, estremo fisso ed estremo libero) che determina tutte le forze richieste per dimensionare la struttura con la teoria di Blum e che in uscita fornisce la lunghezza di infissione, i diagrammi delle pressioni e quelli di sollecitazione. I coefficienti di spinta attiva K A e passiva K P , inseriti nel programma, sono calcolati con la (3.4) la prima e con i diagrammi NAVFAC (Figura 3.3) la seconda. Le seguenti figure sono i diagrammi di uscita del programma nei vari casi: la quota 0,00 m è posta su L.M.M.

5.2.1 D.M. 14/09/2005

È preso in esame lo stato limite ultimo; i parametri di resistenza di progetto sono quelli calcolati con la (4.3) e le azioni di progetto con la (4.4) considerando le combinazioni di carico indicate dalle (4.1) e (4.2). Le spinte rappresentano i carichi permanenti, sfavorevole quella attiva e favorevole quella passiva, mentre il tiro bitta (q ₁ ) e il carico piazzale (q ₂ ) sono i carichi variabili sfavorevoli, considerandoli alternativamente come principale o secondario una volta l’uno e una volta l’altro. Per quanto riguarda i coefficienti di combinazione ψ , da utilizzare per il carico variabile secondario, si ipotizza un valore relativo al tiro bitta di 0,6 assimilandolo al valore fornito dalla Normativa per l’azione del vento e relativo al carico piazzale di 0,7 assimilandolo a quello di un’autorimessa. Per ottenere le spinte di progetto sono stati moltiplicati i coefficienti di resistenza passiva e attiva, da inserire nel programma, per i coefficienti parziali delle azioni. Le combinazioni utilizzate sono state le seguenti:

• SLU A1+M1 prima: carico variabile principale tiro bitta (q 1 )

2 1 1 , 5 0 , 7 5

, 1 0

, 1 4

,

1 ⋅ P _A + ⋅ P _P + ⋅ q + ⋅ ⋅ q

• SLU A1+M1 seconda: carico variabile principale carico piazzale (q 2 )

2 1 1 , 5 6

, 0 5 , 1 0

, 1 4

,

1 ⋅ P _A + ⋅ P _P + ⋅ ⋅ q + ⋅ q

• SLU A2+M2 prima: carico variabile principale tiro bitta (q ₁ )

2 1 1 , 3 0 , 7 3

, 1 0

, 1 0

,

1 ⋅ P _A + ⋅ P _P + ⋅ q + ⋅ ⋅ q

• SLU A2+M2 seconda: carico variabile principale carico piazzale (q 2 )

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

5.2.1.1 SLU A1+M1 prima

Figura 5.2: diagramma delle pressioni della terra

Figura 5.3: diagramma delle pressioni totali

Figura 5.4: diagramma dello sforzo di taglio

Figura 5.5: diagramma delle pressioni della terra

Figura 5.6: diagramma delle pressioni totali

Figura 5.7: diagramma dello sforzo di taglio

5.2.1.3 SLU A2+M2 prima

Figura 5.8: diagramma delle pressioni della terra

Figura 5.9: diagramma delle pressioni totali

Figura 5.10: diagramma dello sforzo di taglio

Figura 5.11: diagramma delle pressioni della terra

Figura 5.12: diagramma delle pressioni totali

Figura 5.13: diagramma dello sforzo di taglio

5.2.2 D.M. 11/03/1988

I parametri di resistenza inseriti sono quelli caratteristici, le azioni sono quelle effettive e si pone un fattore di sicurezza sulla spinta passiva variabile di volta in volta tra 2, 1.5 e 1.25.

5.2.2.1 F _S = 2

Figura 5.14: diagramma delle pressioni della terra

Figura 5.15: diagramma delle pressioni totali

Figura 5.16: diagramma dello sforzo di taglio

Figura 5.17: diagramma delle pressioni della terra

Figura 5.18: diagramma delle pressioni totali

Figura 5.19: diagramma dello sforzo di taglio

5.2.2.3 F S = 1,25

Figura 5.20: diagramma delle pressioni della terra

Figura 5.21: diagramma delle pressioni totali

Figura 5.22: diagramma dello sforzo di taglio

5.3 Caso sismico

Essendo il nostro un caso di terrapieno con strati di differenti caratteristiche meccaniche, procediamo andando a determinare il poligono delle forze. Estendendo quindi il metodo dell'equilibrio limite di Coulomb al caso in cui siano presenti forze d'inerzia orizzontali e verticali, otteniamo il valore della spinta del muro in condizioni dinamiche. Poiché, come detto, i due strati hanno caratteristiche meccaniche diverse, la superficie di rottura non è unica ma cambia direzione nel passaggio dall’uno all'altro. Il numero di incognite risulta eccessivo e, di conseguenza, non risulta possibile determinare la spinta sull'opera di sostegno. Il problema si risolve ipotizzando (Figura 5.1) una prima superficie di scorrimento AB nello strato inferiore e considerando l'equilibrio del cuneo ABCD soggetto alle forze P 1 , P 2 , e H, inclinate del rispettivo angolo di attrito acciao-terreno, al peso proprio W t e alla reazione del terreno R agente solo su AB e inclinata di φ ’ rispetto alla perpendicolare. Conoscendo l’entità di alcune e la direzione di altre è possibile chiudere il poligono delle forze e determinare la spinta incognita P ₂ . Le spinte che si ottengono con i parametri sismici rappresentano la componente statica+dinamica. Come evidenziato a pag. 54 del Capitolo 3, la componente statica P _A viene applicata ad 1/3 dalla base della paratia mentre quella dinamica Δ P AE ad 1/2. La componente statica+dinamica della spinta passiva P PE viene applicata ad 0 , 4 ⋅ d senza separare le componenti, con d lunghezza del tratto di paratia infisso.

5.3.1 D.M. 14/09/2005

Come si è già evidenziato nel Capitolo 4, la Normativa impone l’utilizzo dei parametri di progetto del terreno, specificatamente un coefficiente parziale alla tangente dell’angolo di resistenza al taglio γ _m = 1 , 25 , e di coefficienti parziali unitari sulle azioni. I parametri del terreno e i dati iniziali sono i seguenti:

10 3

m kN

w = ⋅

γ peso di volume dell’acqua

°

β = 0 inclinazione rispetto alla verticale dell’intradosso della paratia

°

= 0

i inclinazione rispetto all’orizzontale del piano campagna

15 2

m

q = ⋅ kN sovraccarico piazzale

Il primo strato è quello di tout venaint, con cui vengono sostituiti i primi 5 m di materiale di riporto e limi torbosi a tergo della paratia, che è caratterizzato dai seguenti parametri:

1 10 3

' m

⋅ kN

γ = peso di volume

°

= 38 ' _1k

φ angolo di resistenza al taglio caratteristico

°

= 32 ' _1d

φ angolo di resistenza al taglio di progetto

°

=

= 16

2 ' ₁

1

δ _d φ angolo di attrito acciaio-terreno di progetto

Il secondo strato è lo strato di limi torbosi-argillosi che si estende fino alla profondità di 25 m ed ha i seguenti parametri:

1 8 , 5 3

' m

⋅ kN

γ = peso di volume

°

= 25 ' _1k

φ angolo di resistenza al taglio caratteristico

°

= 20 ' _1d

φ angolo di resistenza al taglio di progetto

°

=

= 10

2 ' ₁

1

δ _d φ angolo di attrito acciaio-terreno di progetto

I valori caratteristici sismici della zona di Livorno, secondo la “Classificazione sismica del territorio toscano (Giugno 2006)”, sono i seguenti:

g

a = 25 0 , ⋅ accelerazione di picco zona 3S 25

,

= 1

S fattore di suolo per terreni classificati C

= 2

r coefficiente che tiene conto di eventuali spostamenti dell’opera (5.1)

(5.2)

156 ,

= 0

= ⋅ r

k _h g coefficiente di intensità sismica orizzontale 078

, 0 5

,

0 ⋅ =

= _h

v k

k coefficiente si intensità sismica verticale

°

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= + 8

arctan 1

v h

k ϑ k

Il peso del terreno è funzione dell’inclinazione ω della superficie di scorrimento rispetto alla verticale; si fissa iterativamente una lunghezza della paratia, partendo da una di tentativo, e un valore di ω fino a massimizzare il valore della spinta attiva ricercata P 2

che si ottiene per i seguenti valori dei parametri suddetti:

m L = 25 , 10 ⋅

° ω = 50

La veridicità dell’angolo di inclinazione della ipotizzata superficie di scorrimento AB è verificata anche analiticamente dalla formula di Wong (3.12), che fornisce il valore dell’angolo di inclinazione della superficie di scorrimento rispetto, però, all’orizzontale.

Il peso totale del terreno W _t [kN/m] è dato dalla somma dei due contributi evidenziati in figura, dove h ₁ e h ₂ sono rispettivamente l’altezza della parte sopra e sotto falda del primo strato.

( )

[ γ ₁ γ ₁ γ _{1 2} ] ( _{1 1 2} ) tan α

1 = + ⋅ h + ⋅ h ⋅ L − h − h ⋅

W _w

( ) α

γ tan

2

1

2 1 1 2

2

= ⋅ ⋅ L − h − h ⋅

W

2 3

1

3723 , 089

m W kN

W

W

= + = ⋅

Il peso della paratia W p adottata, essendo il peso unitario pari a 2 , 529 ₂ m

⋅ kN è:

m L kN

W _p = 2 , 529 ⋅ = 63 , 478 ⋅

La spinta attiva P 1AE sul tratto di paratia DF si determina considerando l’equilibrio del cuneo DEF e calcolando il coefficiente di spinta attiva sismico K AE secondo la teoria di Mononobe-Okabe (3.10) si ha:

375 ,

= 0 K AE

(5.4) (5.3)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

( ) ( ) ( )

[ ] ^{( )}

m K kN

k h

h q h

h h

P _AE = ⋅ + _w ⋅ + 2 ⋅ + _w ⋅ ⋅ + 2 ⋅ ⋅ + ⋅ 1 + _v ⋅ _AE = 113 , 243 ⋅ 2

1

2 1 2

1 1

2 1 1

1 γ γ γ γ

Figura 5.1: forze agenti sul cuneo di spinta considerando il D.M. 14/09/2005

Ipotizzando una superficie di scorrimento ABG si determina la spinta H, agente sulla parete BC, dall’equilibrio del cuneo BCG. Essendo inesistente in questo caso, per ovvi motivi, l’attrito acciaio-terreno e considerando le formule utilizzate nel precedente calcolo, si ha:

399 ,

= 0 K AE

( ) ( ) ( )

[ ] ^{( )}

m K kN

k h

h q h

h h

H = ⋅ + _w ⋅ + 2 ⋅ + _w ⋅ ⋅ + 2 ⋅ ⋅ + ⋅ 1 + _v ⋅ _AE = 120 , 374 ⋅ 2

1

2 1 2

1 1

2 1

1 γ γ γ

γ

Conoscendo la direzione della reazione del terreno R E sulla parete AB, la direzione della spinta P 2 e determinando le forze d’inerzia come segue (trascurando il peso della paratia per il calcolo delle forze d’inerzia verticali):

( )

m W kN

W

k _h ⋅ _t + _p = 591 , 651 ⋅ ;

m W kN

k _v ⋅ _t = 290 , 866 ⋅

(5.11)

(5.13)

(5.14)

(5.12)

P 2 esercitata dal secondo strato sulla paratia (Figura 5.2):

m P _{2 AE} = 2014 , 130 ⋅ kN

Figura 5.2: Poligono delle forze nel caso sismico e statico

Per quanto riguarda la spinta passiva valgono tutte le considerazioni fatte a riguardo nel Capitolo 3. Utilizzando il metodo proposto da Lancellotta (2007), attraverso la (3.14) si ottiene un valore di ψ pari a 12,39° e di conseguenza un coefficiente di spinta passiva K PE , calcolato con la (3.13), e una spinta passiva P PE pari a:

22 ,

= 2 K PE

( )

m K kN

k d

P _PE = ⋅ ⋅ ⋅ 1 + _v ⋅ _PE = 1741 , 805 ⋅ 2

1 ₂

γ 2

(5.15)

(5.16)

(5.17)

con d lunghezza del tratto di paratia infisso pari a 13,10 m, essendo la lunghezza totale di 25,10 m, la profondità al piede della banchina di 10 m ed il tratto fuori acqua di 2 m.

Per calcolare la componente statica della spinta attiva P 2A è necessario chiudere il poligono delle forze calcolando tutte le componenti statiche delle spinte precedentemente calcolate. Utilizzando la teoria di Coulomb per il calcolo di K A (3.4) e delle spinte (3.6) si ottengono i seguenti valori:

278 ,

= 0

K A ;

m P _{1 AE} = 77 , 862 ⋅ kN

307 ,

= 0

K A ;

m H = 86 , 009 ⋅ kN

m P _{2 A} = 1350 , 580 ⋅ kN

La spinta passiva in campo statico si calcola considerando un valore del coefficiente K P ottenuto dai diagrammi NAVFAC (pag. 46), da cui per φ = 20 ° e un rapporto

5 ,

= 0 φ

δ si ha:

586 ,

= 2 K P

quindi una spinta passiva calcolata con la (3.7) pari a:

m P _P = 1886 , 080 ⋅ kN

che fornisce un contributo stabilizzante; il fatto che in campo statico si ottenga un valore maggiore che in campo sismico, conferma quest’ultima come la condizione più gravosa.

Le componenti dinamiche delle spinte attive calcolate risultano:

m P kN

P

P _A = _AE − _A = ⋅

Δ _{1 1 1} 35 , 381

m P kN

P

P _A = _AE − _A = ⋅

Δ _{2 2 2} 663 , 550

La lunghezza della paratia è calcolata, come affermato in precedenza, con il metodo dell’estremo libero: risolvendo la seguente equazione di equilibrio si ha che il valore della profondità d, determinato dalla lunghezza di tentativo della paratia L, è tale da garantire l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto di ancoraggio.

(5.19)

(5.22) (5.21) (5.20)

(5.18)

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

( ) ( ) ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ +

⋅

⋅ Δ

⎥⎦ −

⎢⎣ ⎤

⎡ + ⋅ +

⋅

⋅

− + +

⋅

⋅

⋅ cos 2

3 cos 2

6 , 0

cos ₂ d L ₁ L ₂ P _{2 2} L ₁ L ₂ d P _{2 2} L ₁ ²

P _PE δ _A δ _A δ

( ) ( ) 0

2 cos 1 3

cos ₁ 2 _{1 1 1 1}

1 =

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ⋅ + −

⋅

⋅ Δ

⎥⎦ −

⎢⎣ ⎤

⎡ ⋅ + −

⋅

⋅

− P _A δ a L a P _A δ L a a

con a = 5 1 , ⋅ m , L ₁ = 5 3 , ⋅ m e L ₂ = 7 ⋅ m definiti come in Figura 5.1.

Dall’equilibrio alla traslazione si ricava il valore del tiro orizzontale assorbito dagli ancoraggi:

( ₁ + Δ ₁ ) ( − ₂ + Δ ₂ ) = 0

−

+ _{PE A A A A}

h P P P P P

F

m F _h = 376 , 836 ⋅ kN

In questi calcoli il tiro bitta (15 kN/m) è trascurato in quanto relativamente piccolo rispetto alle forze in gioco. Se applicato alla stessa quota del tirante, assume importanza solo nel calcolo dell'equilibrio alla traslazione, aumentandone lo sforzo di trazione (seppur di poco). Se invece applicato a circa un metro sopra il livello del mare influenza anche l'equilibrio dei momenti intorno al punto di applicazione del tirante. Variando i dati e aggiungendo anche questo contributo, il risultato rimane pressoché identico, essendo il braccio del tiro bitta di soli 0,5 m. Considerando un’inclinazione degli ancoraggi di 30° si ha uno sforzo effettivo che gli ancoraggi devono assorbire pari a:

m F kN

F = ^h + = 452 , 453 ⋅ 30

cos 15

Il tirante inclinato dà origine anche ad una componente verticale diretta verso il basso pari a:

m F kN

F _v = ⋅ sin 30 = 226 , 227 ⋅

5.3.2 D.M. 16/01/1996

La Normativa preesistente, come indicato nel paragrafo 4.3.1, utilizza i parametri di resistenza caratteristici del terreno e applica un coefficiente di sicurezza alla spinta passiva F S (in assenza di indicazioni in merito al valore, di solito è compreso tra 1,5 e 2). La zona di Livorno è caratterizzata da un grado di sismicità S = 9 a cui corrisponde (5.27)

(5.28)

(5.31) (5.29)

(5.30)

un coefficiente sismico C = 0 , 07 (coefficiente di intensità sismica in direzione orizzontale).

La Tabella 5.1 che segue è stata realizzata considerando i parametri sopra indicati in luogo delle elaborazioni riportate nel paragrafo precedente e variando di volta in volta il coefficiente di sicurezza. L’equilibrio risulta raggiunto per un angolo della supeficie AB di scorrimento di ω = 40 ° , confermato anche dalla formula di Wong (3.12), e per lunghezze di infissione ricavate per successive iterazioni riportate in tabella. I valori delle spinte sono tutti espressi in [kN/m] e la lunghezza totale della palancola in [m]. I valori relativi al primo strato rimangono inalterati anche variando il coefficiente F _S per cui vengono riportati di seguito:

m

P _{1 AE} = 71 , 37 ⋅ kN ;

m P _{1 A} = 60 , 81 ⋅ kN

m

H = 76 , 75 ⋅ kN ;

m H _S = 66 , 61 ⋅ kN

F s L W t W p Forze

d’inerzia P 2AE P 2A P PE P P F

2 26,85 2985,97 67,90 213,77 1572,46 1376,27 1435,10 1666,00 250,09 1,5 22,90 2194,03 57,91 157,64 1159,04 1014,74 1030,91 1196,78 239,68 1,25 21,15 1878,74 53,49 135,26 994,22 870,60 871,51 1012,01 233,30

Tabella 5.1: dati relativi all’utilizzo del D.M. 16/01/96

(5.35) (5.33)

(5.34)

(5.32)

5.4 Commenti

I risultati del confronto, effettuato in termini di lunghezza totale della paratia L e quindi anche in termini di profondità di infissione d, sono riportati nelle Tabelle 5.2 e 5.3.

D.M. 14/09/2005

Combinazioni di carico D.M. 11/03/1988 SLU

A1M1 prima

SLU A1M1 seconda

SLU A2M2 prima

SLU A2M2 seconda

F S =2 F S =1.5 F S =1.25

L

(m) 17,34 17,50 19,85 20,08 21,42 19,32 18,31

d

(m) 5,34 5,50 7,85 8,08 9,42 7,32 6,31

Tabella 5.2: caso statico, confronto tra i valori di lunghezza ottenuti

D.M. 14/09/2005 D.M. 16/01/1996

SLU combinazione sismica F S =2 F S =1.5 F S =1.25 L

(m) 25,10 26,85 22,90 21,15

d

(m) 13,10 14,85 10,90 9,15

Tabella 5.3: caso sismico, confronto tra i valori di lunghezza ottenuti

Dal confronto delle due normative emerge il fatto che l’impatto del D.M.

14/09/2005, e quindi dell’O.P.C.M. 3274 che è stata completamente recepita, su questo

tipo di opera di sostegno non costituisce fonte di preoccupazione. Dopo l’uscita di tale

Ordinanza si è prodotta molta letteratura tecnica in cui gli esperti indicano come le

condizioni più gravose che si determinano in campo sismico, fanno sì che i muri di

sostegno “tradizionali” risultino drasticamente sottodimensionati. Nel caso di paratie

ancorate in testa, come quella oggetto del presente studio, con la nuova normativa si

ottengono lunghezze di infissione massime, sia nel caso statico che sismico, come se

nella preesistente normativa si ponesse un coefficiente di sicurezza alla spinta passiva

F _S compreso tra 1,5 e 2; tale valore è proprio quello che la prassi suggeriva di adottare

in mancanza di riferimenti normativi precisi, così come ricordato nel paragrafo 4.3.1.