ESERCIZI di RIEPILOGO

ESERCIZI di RIEPILOGO

1. Data la curva '(t) = (1 + cos t, 1 sin t, cos(2t)), t 2 [0, ⇡], stabilire se risulta semplice e regolare.

Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto P (1, 0, 1).

2. Determinare versore tangente, versore normale orientato, curvatura orientata e circonferenza osculatrice della curva piana di equazione cartesiana y = sin ² x nel punto P ( ^⇡ ₂ , 1). Stabilire per quali x 2 [0, ⇡] risulta ˜k(x) = 0.

3. Calcolare Z p

1 xz ds essendo la curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del cilindro x ² + z ² = 1 con il piano x + y + z = 1.

4. Data la funzione f (x, y) = ( _x

y

x

+y

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) 6= (0, 0 stabilire se nell’origine (i) risulta continua e derivabile parzialmente;

(ii) ammette derivata direzionale nella direzione ⌫ = ( ^{p 1}

2 , ^{p 1}

2 );

(iii) risulta di↵erenziabile.

5. Data la funzione f (x, y) = y ² (x + 1) 2x, determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo della funzione nel suo dominio. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme D = {(x, y) 2 R ² | p

1 + y ²  x  2}.

6. Determinare le coordinate del baricentro del corpo piano D = {(x, y) 2 R ² | 0  y  p

3x, x ² + y ²  2x} di densit`a di massa costante.

7. Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (x, y, 0) attraverso la superficie S di equazione carte- siana z = ^x ₉

+ ^y ₄

con x ² + y ²  4, orientata in modo tale che N(0, 0, 0) · k < 0.

8. Calcolare ZZZ

E

ze ^x

^+y

dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R ³ | 0  x ² + y ²  z  1}.

9. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = ( ¹ _z , 2y + p z, ₂ p ^y

z x

z

), dire dove risulta conservativo e determinarne un potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva '(t) = (t ² , t, t + 1) con t 2 [0, 1].

10. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy

( y ⁰ = ² _x y ^y _x

log x

y(1) = 2 specificandone il dominio.

11. Determinare la soluzione del problema di Cauchy 8 >

<

> :

y ⁰⁰ + y = _{cos x} ¹ + cos x y(0) = 1

y ⁰ (0) = 0

.

12. Determinare l’integrale generale dell’equazione di↵erenziale y ⁰⁰⁰⁰ + 2y ⁰⁰ + y = e ^x .

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