1)Studiare la funzione

1)Studiare la funzione

y = |4 − x| − 3/x

Il dominio ` e R − {0}, in quanto la variabile x `e il denominatore di una frazione. La funzione ` e continua nel suo dominio. E’ inoltre derivabile in tutto il suo dominio, tranne eventualmente nel punto x = 4, in cui si annulla l’argomento del modulo. Occorrer` a quindi studiare esplicitamente il comportamento della derivata nel punto x = 4. Essendo un punto particolare, conviene anche calcolare il valore di

y(4) = −3/4

La funzione non presenta simmetrie, e non ha intersezioni con l’asse y in quanto il punto x = 0 non appartiene al dominio. Svolgendo il modulo, la funzione assume la seguente forma:

 y = −x + 4 − 3/x (x < 4) y = x − 4 − 3/x (x ≥ 4)

Nota: in almeno uno dei due casi ` e necessario usare anche il segno di uguaglianza.

Per calcolare le intersezioni della funzione con l’asse x, studiamone il segno, ponendo

|4 − x| − 3/x > 0

Portando la variabile x a denominatore comune e distinguendo i due casi a seconda del segno dell’argomento del modulo, la disequazione diventa







−x ² + 4x − 3 x > 0 x < 4

∨







x ² − 4x − 3 x > 0 x ≥ 4

Il primo sistema si trasforma in







x ² − 4x + 3 x < 0 x < 4

→

( (x − 1)(x − 3) x < 0 x < 4

→

→  x < 0 ∨ 1 < x < 3

x < 4 → x < 0 ∨ 1 < x < 3

Nota: la parentesi graffa ha il significato di operatore logico ’et ’ (e), mentre il simbolo ∨ ha funzione di operatore ’vel ’ (oppure).

Nel secondo sistema il denominatore x ` e sempre positivo e pu` o essere eliminato.

Risolvendo l’equazione associata alla disequazione, x ² − 4x − 3 = 0, si ottiene x ₁ = 2 − √

7 x ₂ = 2 + √

7

1

Si ha x ₁ < 4 e x ₂ > 4. La soluzione del secondo sistema ` e quindi x > 2 + √ 7. Nei punti

x = 1 x = 3 x = 2 + √ 7

la funzione si annulla, ed il grafico interseca l’asse x. Il valore 2 + √

7 ` e compreso tra 4 e 5.

Studiamo la funzione in prossimit` a del punto x = 0, in quanto non appartenente al dominio:

lim

x→0

y = lim

x→0

4 − x − 3/x = +∞

lim

x→0

y = lim

x→0

4 − x − 3/x = −∞

La funzione ha quindi la retta x = 0 come asintoto verticale.

x→−∞ lim y = lim

x→−∞ 4 − x − 3/x = +∞

x→+∞ lim y = lim

x→+∞ x − 4 − 3/x = +∞

Non sono presenti asintoti orizzontali. L’immagine della funzione ` e tutto R in quanto continua nell’intervallo (0, +∞) e ivi non limitata n` e superiormente n` e inferiormente.

Verifica della presenza di eventuali asintoti obliqui a −∞:

m = lim

x→−∞ y/x = lim

x→−∞ 4/x − 1 − 3/x ² = −1 q = lim

x→−∞ y − (−1)x = lim

x→−∞ 4 − 3/x = 4 La funzione ha l’asintoto obliquo y = −x + 4 a sinistra.

Verifica della presenza di eventuali asintoti obliqui a +∞:

m = lim

x→+∞ y/x = lim

x→+∞ 1 − 4/x − 3/x ² = 1 q = lim

x→+∞ y − 1x = lim

x→+∞ −4 − 3/x = −4 La funzione ha l’asintoto obliquo y = x − 4 a destra.

Studio della derivata prima e seconda:

 y ⁰ = −1 + 3/x ² (x < 4) y ⁰ = 1 + 3/x ² (x > 4)

y ⁰⁰ = −6/x ³ (x 6= 4)

2

Note: contrariamente all’espressione della funzione y, per la y ⁰ e y ⁰⁰ la disuguaglianza deve essere stretta in entrambi i casi. Per la funzione in oggetto, la y ⁰⁰ non dipende dal segno dell’argomento del modulo, e non sono stati espressi separatamente i due casi, ma ` e bastato sottolineare x 6= 4.

Si verifica che

lim

x→4

y ⁰ = lim

x→4

−1 + 3/x ² = −13/16 lim

x→4

y ⁰ = lim

x→4

1 + 3/x ² = 19/16

La funzione non ` e quindi derivabile in x = 4, e presenta un punto angoloso in quanto continua, e derivabile a destra e sinistra con valori diversi.

Per x > 4 la y ⁰ ` e positiva, e quindi y ` e crescente.

Nota: l’esistenza del limite della derivata, insieme alla continuit` a, ci garantisce l’esistenza della derivata (nel nostro caso separatamente a destra e sinistra). In generale non ` e vero il viceversa, in quanto esistono funzioni derivabili ma in cui per alcuni punti non esiste il limite della derivata. Per tali funzioni occorre calcolare il limite non della derivata, ma direttamente del rapporto incrementale.

Per x < 4, risolviamo

−1 + 3/x ² > 0 → x ² < 3 ∧ x 6= 0 → − √

3 < x < √

3 < 4 ∧ x 6= 0 Nota: il simbolo ∧ ` e l’operatore logico ’et ’ (e).

La funzione ` e quindi decrescente in (−∞, − √

3), crescente in (− √

3, 0), ancora cre- scente in (0, √

3), decrescente in ( √

3, 4), crescente in (4, +∞). In x = − √

3 e in x = 4 si hanno dei minimi relativi, mentre in x = √

3 si ha un massimo relativo.

Si ha y(− √

3) = 4 + 2 √

3 (valore compreso tra 7 e 8), mentre y( √

3) = 4 − 2 √ 3 (valore compreso tra 0 e 1). Il valore √

3 ` e inoltre compreso tra 1 e 2.

La derivata seconda ` e positiva per x < 0, negativa per x > 0, purch` e sia ovviamente x 6= 4 in cui non esiste nemmeno la derivata prima.

La concavit` a ` e quindi verso l’alto in (−∞, 0), verso il basso nei due intervalli (0, 4) ed (4, +∞) (preso ciascun intervallo singolarmente).

Il grafico della funzione ` e visualizzabile a questo link (usare la rotella del mouse per effettuare lo zoom).

3