UNA NUOVA TEORIA PER LO STUDIO DEI PROCESSI DI EFFLUSSO DAGLI STRAMAZZI

(1)

IntroduzIone

L’analisi del processo di efflusso, cioè della fuoriuscita di un liquido, che avviene attraverso una luce aperta nella parete di un manufatto co- stituisce un esteso capitolo dell’idraulica deno- minato foronomia.

Lo studio dei suddetti processi riveste un rile- vante interesse applicativo che spazia dalla realizzazione di manufatti di misura della portata delle correnti a superficie libera al dimensionamento idraulico della savanella di una briglia (Ferro, 2006).

Come è noto, le luci si classificano in luci a stramazzo quando il contorno superiore della luce, se è presente, sovrasta il pelo libero a monte della luce stessa.

La Fig. 1 riporta l’esempio di una luce a stramazzo, in parete sottile e a spigolo vivo rivolto contro corrente, realizzata in un canale a sezione rettangolare e con una lunghezza della soglia sfiorante L pari alla larghezza del canale in cui lo stramazzo è inserito. Questo particolare tipo di stramazzo rettangolare viene de- nominato stramazzo Bazin. Il bordo a spigolo vivo assicura una contrazione completa della vena alla base mentre le pareti del canale im- pediscono la contrazione sui fianchi (CItrInI, noseda, 1975).

UNA NUOVA TEORIA PER LO STUDIO DEI PROCESSI DI EFFLUSSO DAGLI STRAMAZZI

(*) Professore Ordinario di «Sistemazioni Idraulico-Forestali», Dipartimento dei Sistemi Agro-Ambientali, Facoltà di Agraria, Università di Palermo, Viale delle Scienze, 90128 Palermo; vferro@unipa.it

Il processo di efflusso da uno stramazzo, di notevole interesse per le applicazioni pratiche, viene studiato applicando l’analisi dimensionale e la teoria dell’autosimilitudine incompleta.

La nuova scala teorica di efflusso dedotta per gli stramazzi, in parete sottile e grossa e di differente forma geometrica, viene verificata facendo ricorso sia alle misure disponibili in letteratura sia ad apposite sperimentazioni di laboratorio.

Parole chiave: briglie; savanella; analisi dimensionale; autosimilitudine.

Key words: check dams; weir; dimensional analysis; self-similarity.

Citazione - Ferro V., 2011 – Una nuova teoria per lo studio dei processi di efflusso dagli stramazzi.

L’Italia Forestale e Montana, 66 (2): 127-139. doi: 10.4129/ifm.2011.2.03

Tenendo conto che il carico sullo stramazzo (Fig. 1) è il dislivello h fra il pelo libero a monte ed il punto più basso del contorno della luce, che deve essere misurato ad una distanza sufficiente dalla soglia sfiorante (2-3 h) per- ché possa considerarsi nullo l’effetto di sbocco (rapido abbassamento della superficie libera e sensibile curvatura dei filetti liquidi a causa del richiamo operato dalla soglia sfiorante), la scala di efflusso dello stramazzo Bazin, cioè la relazione tra il carico h e la portata Q, ha la seguente espressione:

(1) h

g h L C

Q= _e 2

in cui il coefficiente di efflusso C_e assume il valore 0,415 se la velocità della corrente a monte dello stramazzo può ritenersi praticamente nulla.

Figura 1 – Efflusso da uno stramazzo Bazin.

(2)

Nel caso in cui non sia trascurabile la velo- cità d’arrivo della corrente, Rehbock ha intro- dotto il carico efficace h_e:

h_e = h + 0,0011 (2) con h_e e hespressi in metri, e la seguente espressione del coefficiente di efflusso:

p (3)

504 h

0 402 0

C_e = , + , ^e

in cui si è indicato con p (Fig. 1) il petto dello stramazzo. La scala di efflusso assume pertanto la seguente espressione:

e (4)

e Lhe 2gh p

504 h

, 0 402 , 0

Q ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

Se la lunghezza della soglia sfiorante L è mi- nore della larghezza del canale in cui essa è inserita, si ottiene uno stramazzo Francis, con contrazione della vena libera sul fondo e sui fianchi, per il quale è stata sperimentalmente determinata la seguente scala di efflusso:

(L 0,2h)h 2gh (5) C

Q= _e −

con C_e = 0,415 per velocità d’arrivo della corrente trascurabile.

Nel caso di stramazzo triangolare Thomson (Fig. 2a), con angolo al centro di ampiezza a pari a 90°, la scala di efflusso assume la seguente espressione:

(6)

52

15 2

8 /

e g h

C Q =

con C_e = 0,61 per velocità d’arrivo della corrente trascurabile.

Se lo spessore della soglia (Fig. 2b) è sufficiente perché la vena si adagi su di essa, cioè è maggiore o eguale a 0,65 volte il carico h sullo stramazzo (Fig. 1), allora la vena stessa può essere assimilata ad una corrente a pelo libero. Se l’efflusso dallo stramazzo, come mostrato in Fig. 2b, non è rigurgitato da valle la corrente deve passare, in una sezione non individuabile, dallo stato critico. Trascurando le perdite di carico tra la sezione in cui si stabilisce il carico sullo stramazzo (e = h) e quella in cui si forma lo stato critico si deduce che k = 2 h/3 e quindi la scala di efflusso dello

Figura 2 – Efflusso da uno stramazzo Thomson (a) e da uno a larga soglia (b).

(a)

(b)

stramazzo a larga soglia assume la seguente espressione:

(7) h

g 2 h 3 L 3 k 2 g k L

Q= =

Pertanto la scala di efflusso di uno stramazzo a larga soglia è del tipo (1) con un coefficiente di efflusso C_e, dedotto per via teorica, pari a 0,385.

Quadrando ambo i membri della (1), con semplici passaggi si ottiene la seguente relazione:

(8)

3 2 2 e

2

h 2C g L

Q =

Dalla (8), esplicitata rispetto al carico h, si perviene alla seguente relazione:

(9)

/3 3 2

1/ 2

e L g

Q C

2 h 1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

/3 3 1 2/

Dividendo ambo i membri della (9) per l’al- tezza p del petto dello stramazzo ed indicando con k_s l’altezza idrica critica corrispondente ad una sezione rettangolare di larghezza L, si ha:

p (10) bk p k C

2 1 p

h s s

2 e

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ ^/³

1

(3)

avendo posto, appunto, k_s= Q ^2/3/ (L ^2/3g ^1/3) e b = (1/2 C ²) ^1/3

e

Pertanto nel piano di rappresentazione k_s/p, h/p la scala di efflusso dello stramazzo Bazin è rappresentata da una retta, passante per l’o- rigine del sistema di riferimento, avente un coefficiente angolare b = 1/(2 ⋅ 0,415²)^1/3 = 0,7.

Ovviamente la (10) è valida anche per il caso di stramazzo a larga soglia utilizzando un va- lore di b pari:

(11)

( )

5 , 1 3

3 2 2

1 C

2 b 1

/3 1

2 2 2

e

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟ =

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛ ¹^/³

Nel caso di stramazzo Francis, quadrando ambo i membri della (5), si ottiene la seguente relazione:

(

² ²

)

³ (12)

2 e

2 C 2g L 0,04h 0,4Lh h

Q = + −

Dalla (12), con semplici passaggi, si perviene alla seguente equazione:

( )

_⎟⎟ (13)

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + −

= L

4 h , L 0 04h , 0 h C 2 g L

Q² ² ²_e ³ ₂⁵ ⁴

La (13) può essere riscritta nella seguente forma:

( )

^L^g (14) Q L 4 h , L 0 04h , 0 1 C 2

h 1 ₂²

2 2 2

e 3

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

Elevando ambo i membri della (14) a ¹/₃ e dividendo per p si ottiene ancora una volta l’e- quazione (10) in cui il coefficiente angolare b ha la seguente espressione:

(15)

( )

2 ¹^/³ 2 2

e L

4 h , L 0 04h , 0 1 C 2

b 1 =

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

/3 1

2 2

L 4 h , L 0 04h , 0 1

7 , 0

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

/3 1

Vale la pena notare che quando la lunghezza L della soglia dello stramazzo Francis è molto

maggiore del carico h, il rapporto h/L → 0 e pertanto il coefficiente b fornito dalla (15) tende a diventare uguale al valore 0,7 caratte- ristico dello stramazzo Bazin.

Nel caso di stramazzo triangolare Thomson, quadrando e dividendo ambo i membri della (6) per L², con alcuni semplici passaggi si deduce:

2 (16)

2 5 2 e

2

L C h 225 128 g

L

Q ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

Estraendo la radice cubica di entrambi i membri della (16) si ottiene:

e (17)

/3 2

L C h 225 128 g

L

Q ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

/3 2

/3 3 2

/

1

/3

1 ¹/3

e quindi, dividendo ambo i membri per p, si ha:

e (18)

/3 1

s

p p p L C h 225 128 p

k ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ ²^/³ ²^/³

/3 3 2

/

2

/3 5

La (18) può essere riscritta nella seguente forma:

(19)

e /5

3

s

L p p C h 225 128 p

k ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ¹^/⁵ ²/5 ²/⁵

In definitiva la (19) conduce alla seguente espressione della scala di efflusso dello stramazzo Thomson:

(20)

s e

/5

1 p

k L

C p 225 128

1 p

h ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

/5

2 ²/5

/5 3

La (20) assume la seguente espressione ge- nerale:

(21)

m s

p b k p

h ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

in cui, per lo stramazzo Thomson, risulta m

= ³/₅ e

4 (22)

, 0

L

364 p

, 1

b ⎟⁻

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

(4)

L’equazione (21) è una generalizzazione della (10) ed è, ovviamente, applicabile al caso di stramazzo Bazin con m = 1 e b = 0,7, a quello di stramazzo a larga soglia con m = 1 e b = 1,5 ed a quello di stramazzo Francis con m = 1 e b fornito dalla (15).

L’analisi sin qui condotta, a partire dalle leggi di efflusso note, fatta eccezione per il caso dello stramazzo a larga soglia, per deri- vazione empirica, porta a concludere che la scala di efflusso degli stramazzi, sia in parete sottile sia in parete grossa, più comunemente utilizzati nelle applicazioni può essere espressa dall’unica equazione (21) i cui coefficienti, b e m, assumono un differente valore numerico in relazione alla geometria presa in esame.

Nel seguito della presente memoria sarà ini- zialmente dimostrato che la scala di efflusso (21) può essere derivata teoricamente appli- cando l’analisi dimensionale e la teoria dell’autosimilitudine incompleta.

Utilizzando, poi, i risultati di una apposita sperimentazione di laboratorio e quelli disponibili in letteratura saranno determinati i coef- ficienti b e m per i differenti tipi di stramazzi esaminati.

deduzIoneteorICadellasCaladIeFFlusso deglIstramazzI

Il processo di efflusso da una luce a stramazzo può essere espresso mediante il seguente legame funzionale:

(

Q, h, p, L, g, µ

)

=0 (23) F

in cui F è un simbolo funzionale e m è la visco- sità del liquido.

Poiché la relazione funzionale (23) rappre- senta un fenomeno fisico che non dipende dalle unità di misura utilizzate per le sei grandezze che in essa figurano, lo stesso legame può essere espresso facendo ricorso al P-Teorema, o teorema di Riabucinski-Buckigham, dell’a- nalisi dimensionale (BarenBlatt, 1979, 1987) che stabilisce: Se un processo fisico è rappresen- tato matematicamente da un legame funzionale in cui figurano n grandezze dimensionali, scelte tra esse k grandezze dimensionalmente indipen-

denti, lo stesso processo può essere rappresen- tato da un legame funzionale in cui compaiono n-k raggruppamenti adimensionali.

L’applicazione del P-teorema consente di esprimere la (23) facendo ricorso a tre raggruppamenti adimensionali P1, P2 e P3:

( 2 3) (24)

1= Π ,Π

Π φ

in cui si é indicato con f un simbolo funzio- nale.

In particolare, utilizzando come grandezze dimensionalmente indipendenti p, g e m, il rag- gruppamento P1 è individuato dalla seguente relazione:

(25)

h g p^α ^βµ^γ

= Π1

in cui a, b e g sono costanti numeriche. So- stituendo nell’eq. (25) le unità di misura di ciascuna variabile si perviene alla seguente relazione:

m (26) m s kg s m

m^α ^β ²^β ^γ ^γ ²^γ

1= − −

Π

Poiché il raggruppamento P1 è adimensionale, i valori numerici delle costanti a, b e g sono deducibili risolvendo il seguente sistema di tre equazioni che deriva dalla (26):

0 = a + b – 2g +1 (27a) 0 = -2 b + g (27b) 0 = g (27c) La terna a = -1, b = 0 e g = 0, soluzione del sistema di equazioni (27), permette di stabilire che il raggruppamento P1 è pari al rapporto h/p.Ripetendo la procedura per i raggruppamenti P2 e P3 si ottengono le seguenti espres- sioni:

(28a)

5 2

2 gp

= Q Π

(28b)

Lp

3= Π

Tenuto conto che dalle (28) si ottiene:

p (29) k L p p g

Q _s

3 /3 1

2 = =

Π

Π ²^/³

/3 2

/3

1 ⁵/3

/3 2

(5)

il legame funzionale (29) può anche essere espresso dalla seguente relazione:

⎟⎟ (30)

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ p f k p

h _s

in cui si è indicato con f un simbolo funzionale.

La determinazione dell’esatta forma funzionale della (30) deriva dall’applicazione della teoria della autosimilitudine incompleta (Ba-

renBlatt, 1979, 1987), (Ferro, 1997).

Un fenomeno fisico è definito autosimile in un dato raggruppamento adimensionale Pn

quando la relazione funzionale che lo rappre- senta P1 = f (P2 , P3 ,..., Pn) è indipendente da Pn. Le soluzioni auto-simili di un problema devono essere ricercate in corrispondenza delle condizioni al contorno; in altri termini il com- portamento della funzione f deve essere studiato per per Pn→0 o per P → ∞.

Quando la funzione f tende ad un limite finito e diverso da zero, il fenomeno fisico, che non è influenzato dal raggruppamento Pn, è espresso dal legame funzionale P1 = f1 (P2 , P3 ,..., Pn-1) e la condizione di auto-similitudine è denominata completa in un dato raggruppamento adimensionale Pn.

Quando la funzione f ha un limite uguale a zero o ad infinito, il fenomeno fisico è espresso dalla seguente relazione funzionale:

( 2 3 ⁿ¹) (31)

n 1

1=Π Π ,Π ,...,Π −

Π ^εφ

in cui si è indicato con e una costante nume- rica. La condizione rappresentata dal legame funzionale (31) è denominata auto-similitu- dine incompleta nel raggruppamento Pn (Ba-

renBlatt, 1979, 1987).

Poiché quando k_s/p → 0 anche h/p → 0 e quando k_s/p → ∞ anche h/p → ∞, allora si re- alizza una condizione di auto-similitudine incompleta e il legame funzionale (30) assume la seguente forma matematica (Ferro, 1997):

(32)

m s

p b k p

h ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

con b e m costanti numeriche da determinare sperimentalmente (Ferro, 2000) e quindi coin- cidente con la relazione (21) di origine empirica.

InstallazIonIsperImentalI

Per il caso dello stramazzo Bazin e dello stra- mazzo a larga soglia è stata condotta una appo- sita sperimentazione in una canaletta a fondo orizzontale installata nel laboratorio del Di- partimento di Ingegneria Idraulica ed Appli- cazioni Ambientali dell’Università di Palermo.

La canaletta, a sezione quadrata di lato pari a 0,4 m, è lunga 5,6 m. La prima parte della canaletta, di lunghezza pari a 3,6 m, ha le pareti ed il fondo in legno (Fig. 3) mentre la seconda parte è stata interamente realizzata in perspex.

Figura 3 – Pianta e sezione longitudinale della canaletta installata nel laboratorio del Dipartimento di Inge- gneria Idraulica ed Applicazioni Ambientali dell’Università di Palermo.

(6)

L’alimentazione d’aria, necessaria per mante- nere costante la curvatura della vena effluente ed evitare fenomeni di depressione, è stata ottenuta mediante due grossi fori praticati sulle pareti di perspex.

Le prove sono state condotte utilizzando stramazzi Bazin aventi nove differenti valori dell’altezza del petto, variabili tra 0,18 e 0,3 m, e cinque differenti stramazzi a larga soglia con 0,162 < p < 0,282 m.

Per gli stramazzi a larga soglia, tutti di spessore pari a 8 cm, l’angolo di monte è stato ar- rotondato, utilizzando un raggio di curvatura pari a ¹/10 del massimo valore del carico misurato, al fine di evitare fenomeni di separazione della corrente.

Il livello idrico a monte degli stramazzi è stato misurato utilizzando tre piezometri (Fig. 3). La portata, variabile tra 4 e 50 l s^-1, è stata misurata mediante uno stramazzo triangolare in parete sottile posto immediatamente a monte della condotta di alimentazione.

Per il caso degli stramazzi a pianta obliqua e a zig-zag sono state utilizzate le misure effet- tuate da gentIlInI (1940) per il caso di luci a spigolo vivo.

La Fig. 4 riporta le forme date in pianta ai 14 stramazzi esaminati da gentIlInI [1940]. Gli stramazzi, realizzati con una lastra di ottone alta 10 cm e dello spessore di 2 mm sovrap- posta, nel modo indicato in Fig. 4, ad una tra- versa di legno alta 24 cm, sono stati inseriti sul fondo orizzontale dell’esistente canale a pareti di vetro dell’Istituto di Idraulica del Regio Po- litecnico di Milano (Fig. 5). Le misure speri- mentali delle coppie carico h – portata Q sono state riportate dall’A., per ciascuna configurazione geometrica sperimentata, in apposite tabelle.

Per il caso degli stramazzi in parete sottile a pianta obliqua sono disponibili anche le mi- sure recentemente effettuate da BorgheI et al.

(2003).

Le prove sono state effettuate in un canale in calcestruzzo avente una sezione rettangolare, alta 0,8 m e larga 0,52 m, ed una lunghezza di 6,6 m.

Gli stramazzi sono stati realizzati mediante delle lastre di plexiglass caratterizzate da 5

Figura 4 – Stramazzi utilizzati nella sperimentazione di gen-

tIlInI (1940).

differenti valori del petto p, variabili tra 0,46 m e 0,511 m, disposti all’interno del canale con 8 diversi valori dell’angolo b (0, 30°, 40°, 45°, 50°, 54°, 61° e 66°) che la soglia formava con la direzione trasversale alla corrente. Il livello idrico è stato misurato, ad una distanza a monte dello stramazzo pari a 1 m, mediante una apposita presa piezometrica. Le portate utilizzate nella sperimentazione variavano tra 8,8 e 36,48 l s^-1. Le misure sperimentali delle coppie carico h – portata Q sono state ripor- tate dagli A., per ciascuna configurazione geometrica sperimentata, in apposite tabelle.

Per gli stramazzi con conformazione in pian- ta a W (Fig. 6) è stata condotta anche una ap- posita sperimentazione in una canaletta a fondo orizzontale sita nel laboratorio di Idraulica del Dipartimento dei Sistemi Agro-Ambienta- li dell’Università di Palermo.

(7)

La canaletta, con fondo e sponde in vetro, è lunga 4,90 m ed ha una sezione rettangolare di larghezza L pari a 30,4 cm e altezza di 24 cm. A valle della canaletta è presente un sistema di ricircolo che consente la stazionarietà del moto. Nel circuito di ricircolo è allocato un misuratore elettromagnetico di portata caratterizzato da un errore massimo di misura pari allo 0,2% della portata misurata. Sono stati utilizzati tre stramazzi in parete sottile a profilo W caratterizzati da un numero n di lati pari a 4, da uno spessore di 2 mm ed un petto p di 10 cm. I tre stramazzi erano caratterizzati da tre differenti valori dell’angolo a (Fig. 6) pari a 30°, 45° e 135°. Quest’ultimo valore di obliquità è stato ottenuto utilizzando lo stra-

Figura 5 – Vista del canale sperimentale di gentIlInI (1940).

Figura 6 – Stramazzi con conformazione in pianta a W uti- lizzati nella sperimentazione.

(8)

mazzo caratterizzato da a = 45° ribaltato di 180° rispetto alla normale alla direzione della corrente.

Per ciascuna prova sperimentale oltre alla portata Q è stato misurato il carico h sullo stra- mazzo ad una distanza a monte dello stesso di 40 cm, sufficiente affinché fosse trascurabile l’effetto della chiamata di sbocco. Per la mi- sura di h è stato utilizzato un idrometro dotato di nonio con precisione di lettura del decimo di millimetro. Le misure effettuate sono carat- terizzate da valori del carico h compresi fra 1,22 e 5,35 cm e da valori di portata variabili fra 1,4 e 8,8 l s^-1.

Per gli stramazzi parabolici sono disponibili le misure recentemente effettuate da IgathI-

nathane et al. (2007).

La sperimentazione è stata condotta in un canale a sezione rettangolare, largo 0,3 m e profondo 0,63 m, avente una lunghezza totale di 10 m. I profili delle parabole utilizzati per la realizzazione degli stramazzi rispondevano alla seguente equazione (Fig. 7):

(33)

2 2

tan2 H y x

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

θ

in cui si è indicato con x la distanza oriz- zontale, con y quella verticale, con H l’altezza totale del profilo parabolico e con q l’angolo di apertura riportato in Fig. 7.

La sperimentazione è stata condotta per quattro differenti valori dell’angolo q (30°,

Figura 7 – Schema del profilo dello stramazzo parabolico utilizzati nella sperimentazione di IgathInathane et al.

(2007).

45°, 60° e 90°) e per tre corrispondenti valori del petto p (0,139, 0,124, 0,124 e 0,186 m).

Le misure effettuate sono caratterizzate da valori del carico h compresi fra 3,6 cm e 19,3 cm e da valori di portata variabili fra 0,65 e 9,8 l s^-1.

Le misure sperimentali delle coppie carico h – portata Q sono state riportate dagli AA., per ciascuna configurazione geometrica sperimentata, in apposite tabelle.

rIsultatIdelleverIFIChesperImentalI

Per il caso di stramazzo Bazin la scala di ef- flusso teorica è stata calibrata utilizzando le misure appositamente condotte in questa indagine, pervenendo alla seguente equazione (Fig. 8):

(34)

0229 , 1 s

p

3641 k

, p 1

h ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Il valore dell’esponente m determinato mediante le misure è praticamente unitario come previsto dalla (10) mentre il valore di b = 1,3641, e quindi più elevato del valore 0,7 corrispondente a C_e = 0,415, determinerebbe un coefficiente d’efflusso pari a 0,46 che tiene conto della non trascurabilità della velocità di arrivo della corrente dato che le misure sono state effettuate in un canale di laboratorio.

Figura 8 – Scala di efflusso sperimentale per uno stramazzo Bazin.

(9)

Anche per il caso dello stramazzo a larga soglia l’equazione (32) è stata calibrata utilizzando le misure appositamente condotte in questa indagine, pervenendo alla seguente equazione (Fig. 9a):

(35)

9182 , 0 s

p

1962 k

, p 1

h ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

L’esponente m della scala d’efflusso risulta, anche in questo caso, poco diverso dal valore unitario mentre il coefficiente b conduce ad un valore del coefficiente di efflusso pari a 0,54 congruente con il tipo di sperimentazione effettuata.

Imponendo nella calibrazione della scala di efflusso (32) un valore di m=1, senza sen- sibili variazioni sulla qualità dell’adattamento (Fig. 9b) si ottiene, invece, un valore di b pari a 1,3094, a cui corrisponde C_e = 0,471, e quindi più vicino al valore b = 1,5 relativo al caso di velocità d’arrivo nulla.

Per il caso degli stramazzi a pianta obliqua e a zig-zag in parete sottile, sperimentati da gentIlInI (1940), le configurazioni oblique sono state esaminate separatamente da quelle a zig-zag con differente angolo di inclinazione a dei lati della spezzata (Fig. 4).

La Fig. 10, a titolo di esempio per le configurazioni a = 30° e 60°, mostra il confronto tra le misure di gentIlInI (1940) e la scala di efflusso teorica (32) evidenziando un ottimo

adattamento della legge teorica alle misure disponibili.

Con riferimento alle misure relative agli stramazzi a zig-zag è stato, inoltre, riconosciuta la possibilità di adottare, senza sensibili variazioni sulla qualità dell’adattamento, un valore dell’esponente unico e pari a 1,06. In questa ipotesi il coefficiente b varia con l’angolo a con la seguente relazione (Fig. 11):

(sen ) ⁰^,⁴⁰⁶³ (36) 5472

, 1

b= α ⁻

Sostituendo la (36) nella scala di efflusso te- orica (32) con b = 1,06 si ottiene:

( )⁰^,⁴⁰⁶³ ^s ¹^,⁰⁶ (37) p sen k

5472 , p 1

h ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= α ⁻ ⎛

Per il caso degli stramazzi in parete sottile a pianta obliqua la scala di efflusso teorica è stata calibrata utilizzando le misure recentemente effettuate da BorgheI et al. (2003).

L’analisi ha evidenziato che l’esponente m può essere assunto unitario (Fig. 12) mentre il coefficiente b varia con l’angolo b, che la soglia forma con la normale alla parete del canale, con la seguente relazione (Fig. 13):

(sen )² (38) 4776

, sen 0 3559 , 0 4644 ,

b⁼1 ⁻ β⁺ β

Per gli stramazzi con conformazione in pianta a W la scala di efflusso teorica (32) è stata ca- librata utilizzando le misure appositamente condotte in questa indagine. L’analisi ha evi-

Figura 9 – Scala di efflusso sperimentale per uno stramazzo a larga soglia.

(10)

denziato, per il caso di stramazzo a pianta W in parete sottile, la possibilità di adottare un valore unico dell’esponente m e pari a 1 men- tre il coefficiente b varia con l’angolo a con la seguente relazione (Fig. 14):

b = 1,5530 (sen a)^{– 0,3443}

Anche per il caso di stramazzo a pianta W in parete grossa, utilizzando un valore unico dell’esponente m e pari a 1, è stata ottenuta la seguente relazione tra il coefficiente b e l’an- golo a (Fig. 15):

b = 1,4206 (sen a)^{– 0,5605}

Per il caso degli stramazzi parabolici la lar- ghezza della soglia, necessaria per il calcolo del tirante idrico k_s, è stata posta pari alla massima larghezza L della soglia parabolica (Fig. 7).

La Fig. 16, che mostra il confronto tra le mi-

Figura 10 – Scale di efflusso per gli stramazzi in parete sottile a pianta obliqua o zig-zag di gentIlInI (1940).

Figura 11 – Relazione tra il coefficiente b e l’obliquità a per gli stramazzi a pianta zig-zag di gentIlInI (1940).

(11)

Figura 12 – Scala di efflusso per gli stramazzi in parete sottile a pianta obliqua di BorgheI et al. (2003).

Figura 13 – Relazione tra il coefficiente b e l’obliquità b per

gli stramazzi di BorgheI et al. (2003). Figura 14 – Relazione, per gli stramazzi in parete sottile a pianta W, tra il coefficiente b e l’obliquità a.

(12)

sure di IgathInathane et al. (2007) e la scala di efflusso teorica (32) in cui è stato utilizzato un valore unico dell’esponente m pari a 0,79, evidenzia un ottimo adattamento della legge teorica alle misure disponibili.

L’analisi ha evidenziato che il coefficiente b della (32) varia con il rapporto H/p (Fig. 7), con la seguente relazione (Fig. 17):

3471 , 0

p

8473 H

, 1

b ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

In conclusione le verifiche sperimentali condotte con stramazzi di differente forma geometrica, sia in parete sottile che in parete grossa, hanno confermato l’applicabilità della scala di efflusso (32) dedotta teoricamente mediante l’analisi dimensionale e la teoria dell’autosimilitudine incompleta.

Figura 15 – Relazione, per gli stramazzi in parete grossa a pianta W, tra il coefficiente b e l’obliquità a.

Figura 16 – Scala di efflusso per gli stramazzi parabolici di IgathInathane et al. (2007).

(13)

ha consentito poi di dedurre, per via teorica, la scala di efflusso di uno stramazzo.

La nuova scala teorica di efflusso dedotta per gli stramazzi, in parete sottile e grossa e di differente forma geometrica, è stata, infine, verificata facendo ricorso sia alle misure disponibili in letteratura sia ad apposite sperimentazioni di laboratorio.

SUMMARY

A new solution of the stage-discharge relationship for sharp-crested and broad weir

In this paper, the outflow process of a weir is studied using the dimensional analysis and the incomplete self- similarity theory.

The new stage-discharge relationship is theoretically deduced and its testing is carried out using measure- ments both available in literature and obtained by labo- ratory runs carried out in this investigation.

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per gli stramazzi parabolici di IgathInathane et al. (2007).

ConsIderazIonIConClusIve

Lo studio del processo di efflusso di una corrente attraverso una luce aperta nella pa- rete di un manufatto è un problema classico di idraulica che riveste un notevole interesse applicativo.

La sua conoscenza, ed una sua rigorosa im- postazione analitica, si rivela utile sia al fine della progettazione di manufatti di misura, che devono avere una scala di efflusso nota, sia per le applicazioni in campo sistematorio connesse al dimensionamento idraulico della savanella di una briglia a corpo pieno o alla luce praticata nel corpo di una briglia aperta.

Nella memoria, con riferimento agli stramazzi di corrente applicazione idraulica (Bazin, Francis, Thomson, in parete grossa), una analisi preliminare delle leggi di efflusso note, che tranne che per il caso dello stramazzo a larga soglia hanno derivazione em- pirica, ha portato a concludere che la scala di efflusso può essere espressa da una unica equazione di forma potenziale ed i coefficienti che in essa figurano assumono un differente valore numerico in relazione alla geometria dello stramazzo preso in esame.

L’applicazione dell’analisi dimensionale e della teoria della autosimilitudine incompleta