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Determinare se esiste il valore del seguente limite:

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizio 1

Determinare per quali valori del parametro reale Ξ» il numero z = 4(Ξ» βˆ’ i) βˆ’1 + (1 βˆ’ iΞ» 2 ) 2

risulti reale Esercizio 2

Determinare se esiste il valore del seguente limite:

x lim β†’0

ln (1 + x βˆ’ x 2 ) βˆ’ x x 2

Esercizio 3

Calcolare le primitive di: ∫

dx 1 βˆ’ √

4x 2 + 12 Esercizio 4

Determinare, se esistono, i massimi ed i minimi (sia locali che globali) di:

f (x) = |x βˆ’ 1|

ln |x βˆ’ 1|

nel suo insieme di definizione.

Calcolare, inoltre, se esistono, i punti di flesso di f (x).

Si giustifichino i risultati anche da un punto di vista teorico.

Esercizio 5

Determinare per quali valori di α ∈ R risulti convergente la serie

+ βˆ‘ ∞

k=0

k

(k 2 + 3) (sin Ξ±) k

Esercizio 6

Determinare la parte reale di:

z = (1 + i) βˆ’5

2

(2)

Esercizio 7

Determinare se esiste il valore del seguente limite:

lim

x β†’3

βˆ’

(2x + 1) 3 (x βˆ’ 5) 4 (x βˆ’ 3) 3 √

9 βˆ’ x

Esercizio 8

Calcolare le primitive di:

∫ dx

√ βˆ’x 2 + x + 2

Esercizio 9

Determinare, se esistono, i massimi ed i minimi (sia locali che globali) di:

f (x) = arctan 1 βˆ’ log x 1 + log x

nel suo insieme di definizione.

Calcolare, inoltre, se esistono, i punti angolosi di f (x).

Esercizio 10

Determinare il carattere della serie al variare di α ∈ R

+ βˆ‘ ∞

k=1

Ξ± k k 2 k

Esercizio 11

Determinare per quale valore del parametro reale Ξ» il numero

√ 1 + Ξ» 2 1 βˆ’ Ξ»i abbia argomento principale Ο€/4

Esercizio 12

Determinare, se esiste, il valore del seguente limite:

x β†’+∞ lim

x log x (log x) x

3

(3)

Esercizio 13

Calcolare le primitive di: ∫

dx x 3 βˆ’ 2x 2 + x Esercizio 14

Determinare il carattere della serie al variare di α ∈ R

+ ∞

βˆ‘

n=1

n Ξ± |Ξ±| n

Esercizio 15

Scrivere un’equazione di secondo grado che abbia per radici i due numeri:

z 1 = βˆ’ √

3(1 + i), z 2 = ( βˆ’1 + i) √ 3

Esercizio 16

Determinare se esiste il valore del seguente limite:

x β†’+∞ lim (x 2 + 3x + 2) e βˆ’

√ log x

Esercizio 17

Calcolare le primitive di:

∫ dx

√ 2x βˆ’ 1 βˆ’ (2x βˆ’ 1)

14

Esercizio 18

Determinare per quali valori di α ∈ R risulti convergente la serie:

+ βˆ‘ ∞

k=0

(

sin (Ξ± 2 ) ) k

√ 1 + k

4

(4)

Esercizio 19

Sia f : [0, + ∞) β†’ R di classe C 2 ([0, + ∞)) tale che f(0) = 0 e f β€² monotona crescente.

Dimostrare che se βˆƒ ΞΎ > 0 : f β€² (ΞΎ) = 0 e f (x) β‰₯ 0, βˆ€x > 0

β‡’ f(x) = 0, βˆ€x ∈ [0, ΞΎ)

Esercizio 20

Determinare al variare di α ∈ R il carattere della serie:

+ ∞

βˆ‘

k=1

(

1 + Ξ± k

) k

2

Esercizio 21

Sia f : [0, + ∞) β†’ R di classe C 2 ([0, + ∞)) tale che f(0) = 0 e f β€² monotona crescente.

Posto g(x) = f (x) x , dimostrare che g ha un minimo in x = 0

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