Esame di Algebra Lineare e Geometria. Ing.Informatica e dell’Automazione Anno Accademico 2016–2017. 15 Giugno 2017
Cognome: Nome: Matricola: Immatricolato nel
ISTRUZIONI: Scrivi nome e cognome sul testo dell’esame (cio`e questo foglio) e su ogni foglio protocollo che consegnerai. Non devi consegnare la brutta copia. Durante l’esame puoi consultare appunti e libri.
Poni a uguale alla penultima cifra del tuo numero di matricola: a =
Le risposte alle domande filtro devono essere giustificate. Negli esercizi vanno riportati tutti gli svol- gimenti dei calcoli.
1. E vero che un sistema lineare quadrato (cioe’ di n equazioni in n incognite) ammette sempre una` soluzione unica?
2. Esiste una matrice 3 × 3 non diagonalizzabile che ammette gli autovalori −2 e a?
3. Esistono due matrici quadrate A e B tali che det(A) = 11 e det(AB) = 2017?
A. Al variare di k ∈ R considera la forma su R4 definita da
Bk(x, y) = 2x1y1+ kx1y2+ kx2y1+ (a + 1)x1y4+ (a + 1)x4y1 + 2x3y3− x3y4− x4y3 (i) Verifica che Bk e’ una forma bilineare simmetrica per ogni k ∈ R;
(ii) scrivi la matrice associata a Bk;
(iii) studia, al variare del parametro k, la degenericita’ della forma bilineare simmetrica Bk; (iv) studia, al variare del parametro k, il segno della forma bilineare simmetrica Bk.
B. Data l’applicazione lineare T : R2[t] → R2[t] definita da T (p(t)) = p(1)t2+ (1 + a)p(0)t + p(t) (i) Scrivi la matrice associata a T ;
(ii) stabilisci se T e’ iniettiva, se e’ suriettiva, se e’ biunivoca;
(iii) stabilisci se T e’ invertibile e in tal caso trova l’inversa.
(iv) Dato il polinomio q(t) = 2t2+ 3t + a, calcola il polinomio immagine T (q(t)) e il polinomio controim- magine T−1(q(t)).
C. Dati i seguenti sottospazi di M2,2(R):
W = Span 1 0 1 1
, a + 2 a + 1 1 a + 2
, 1 1 0 1
,
U = x y z w
: y + z = 0, (a + 2)x + w = 0
(i) Calcola dimensione e base di W e di U
(ii) Calcola dimensione e base di U + W e di U ∩ W
Scelta turno orale:
