Esercitazione 2 di Matematica Applicata Corso di Laurea In Ingegneria Biomedica
Caterina Fenu 6 Dicembre 2011
1. Risolvere i seguenti sistemi lineari con l’algortimo di Gauss (senza pivoting):
x1 + 2x3 = 3 2x2+ x4 = −3 2x1+ x3+ x4 = 2 x1 + 2x2+ 2x4 = −2
4x1+ 2x2+ x3+ 2x4 = 9 6x1+ 2x2+ x3 = 3 2x1+ x2+ 3x3+ x4 = 7 5x1+ 2x2+ 7x3 = 8
e utilizzare i calcoli effettuati per ricavare la fattorizzazione A = LU della matrice dei coefficienti, il suo determinante e la sua inversa.
Soluzione:
Primo sistema
Innanzitutto individuiamo la matrice dei coefficienti A e il vettore dei termini noti b.
Si ha:
A =
1 0 2 0 0 2 0 1 2 0 1 1 1 2 0 2
b =
3
−3 2
−2
Primo passo: L’elemento pivot `e a11= 1 e i moltiplicatori sono:
• m21= a21/a11= 0/1 = 0
• m31= a31/a11= 2/1 = 2
• m41= a41/a11= 1/1 = 1 quindi si ha:
0 2 1
1 0 2 0 0 2 0 1 2 0 1 1 1 2 0 2
3
−3 2
−2
→
1 0 2 0
0 2 0 1
0 0 −3 1 0 2 −2 2
3
−3
−4
−5 Secondo passo: L’elemento pivot `e a22 = 2 e i moltiplicatori sono:
• m32= a32/a22= 0/2 = 0
• m42= a42/a22= 2/2 = 1
quindi si ha:
0 1
1 0 2 0
0 2 0 1
0 0 −3 1 0 2 −2 2
3
−3
−4
−5
→
1 0 2 0
0 2 0 1
0 0 −3 1 0 0 −2 1
3
−3
−4
−2 Terzo passo: L’elementopivot `e a33 = −3 e i moltiplicatori sono:
• m43= a43/a33= −2−3 = 2/3 quindi si ha:
2/3
1 0 2 0
0 2 0 1
0 0 −3 1 0 2 −2 1
3
−3
−4
−2
→
1 0 2 0
0 2 0 1
0 0 −3 1 0 0 0 1/3
3
−3
−4 2/3
Abbiamo ottenuto un sistema triangolare superiore risolubile con il metodo di sosti- tuzione all’indietro:
x1+ 2x3 = 3 2x2+ x4 = −3
−3x3+ x4 = −4
1 3x4 = 23
Dall’ultima equazione si ricava x4 = 23 · 3 = 2 che sostituito nella penultima rende:
−3x3+ 2 = −4 → −3x3 = −6 → x3 = 2 e sotituito nella seconda rende:
2x2+ 2 = −3 → 2x3 = −5 → x2 = −5 2 .
Sostituendo il valore x3 = 2 nella prima otteniamo:
x1+ 2 · 2 = 3 → x1 = −1.
Quindi la soluzione `e
x =
−1
−52 2 2
Per ottenere la fattorizzazione LU della matrice A dobbiamo costruire la matrice triangolare inferiore L e la matrice triangolare superiore U . Quest’ultima `e la matrice triangolare che si ha nell’ultimo passo dell’algoritmo di Gauss, quindi, nel nostro caso:
U =
1 0 2 0
0 2 0 1
0 0 −3 1 0 0 0 1/3
La matrice L ha invece i seguenti elementi
lij =
0 se i < j 1 se i = j mij se i > j
dove mij sono i moltiplicatori di Gauss calcolati nei vari passi dell’eliminazione. Nel nostro caso, quindi:
L =
1 0 0 0
0 1 0 0
2 0 1 0
1 1 2/3 1
Per calcolare il detrminante della matrice dei coefficienti A sfruttiamo la fattoriz- zazione LU . Infatti se A = LU allora
det (A) = det (LU ) = det (L) det (U ) = det (U ) =
n
Y
i=1
uii
infatti sia L che U sono due matrici triangolari (una inferiore e l’altra superiore) il cui determinante `e il prodotto degli elementi sulla digonale. Ma gli elementi sulla diagonale di L sono tutti 1 e quindi nel prodotto non influiscono.
Perci`o nel nostro caso:
4
Y
i=1
uii= 1 · 2 · (−3) · 1 3 = −2
In generale, il calcolo dell’inversa si traduce nel calcolo di n sistemi lineari Ax = ei
dove
ei =0 · · · 0 1 0 · · · 0T
`e l’i-esimo vettore della base canonica di Rn, cio`e un vettore con tutti zeri tranne un 1 in posizione i. La soluzione di ogni sistema ci fornisce una colonna della matrice inversa di A. Avendo a disposizione la fattorizzazione LU abbiamo:
Ax = ei → (LU )x = ei → L(U x) = ei posto U x = y si ha
Ly = ei U x = y
Con questa scrittura si intende che va risolto prima il sistema Ly = ei e la sua soluzione y diventa il termine noto del sistema U x = y la cui soluzione, come gi`a detto, fornisce la i-esima colonna della matrice inversa di A. Il calcolo dell’inversa richiede quindi la risoluzione di 2n sistemi lineari (nel nostro caso 8).
Prima colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = e1 →
y1 = 1
y2 = 0
2y1 +y3 = 0
y1 +y2 +23y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
1 0
−2
1 3
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
x1 +2x3 = 1
2x2 +x4 = 0
−3x3 +x4 = −2
1
3x4 = 13 la cui soluzione `e
x =
−1
−12 1 1
Seconda colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = e2 →
y1 = 0
y2 = 1
2y1 +y3 = 0
y1 +y2 +23y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
0 1 0
−1
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
x1 +2x3 = 0
2x2 +x4 = 1
−3x3 +x4 = 0
1
3x4 = −1 la cui soluzione `e
x =
2 2
−1
−3
Terza colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = e3 →
y1 = 0
y2 = 0
2y1 +y3 = 1
y1 +y2 +23y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
0 0 1
−23
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
x1 +2x3 = 0
2x2 +x4 = 0
−3x3 +x4 = 1
1
3x4 = −23
la cui soluzione `e
x =
2 1
−1
−2
Quarta colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = e4 →
y1 = 0
y2 = 0
2y1 +y3 = 0
y1 +y2 +23y3 +y4 = 1 la cui soluzione `e
y =
0 0 0 1
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
x1 +2x3 = 0
2x2 +x4 = 0
−3x3 +x4 = 0
1
3x4 = 1 la cui soluzione `e
x =
−2
−32 1 3
Quindi l’inversa della matrice A ´e data da
A−1 =
−1 2 2 −2
−12 2 1 −32
1 −1 −1 1
1 −3 −2 3
Soluzione:
Secondo sistema
Innanzitutto individuiamo la matrice dei coefficienti A e il vettore dei termini noti b.
Si ha:
A =
4 2 1 2 6 2 1 0 2 1 3 1 5 2 7 0
b =
9 3 7 8
Primo passo: L’elemento pivot `e a11= 4 e i moltiplicatori sono:
• m21= a21/a11= 6/4 = 3/2
• m31= a31/a11= 2/4 = 1/2
• m41= a41/a11= 5/4 quindi si ha:
3 21 25 4
4 2 1 2 6 2 1 0 2 1 3 1 5 2 7 0
9 3 7 8
→
4 2 1 2
0 −1 −1/2 −3
0 0 5/2 0
0 −1/2 23/4 −5/2
9
−21/2 5/2
−13/4 Secondo passo: L’elemento pivot `e a22 = −1 e i moltiplicatori sono:
• m32= a32/a22= −10 = 0
• m42= a42/a22= −1/2−1 = 1/2 quindi si ha:
0
1 2
4 2 1 2
0 −1 −1/2 −3
0 0 5/2 0
0 −1/2 23/4 −5/2
9
−21/2 5/2
−13/4
→
4 2 1 2
0 −1 −1/2 −3
0 0 5/2 0
0 0 6 −1
9
−21/2 5/2
2 Terzo passo: L’elementopivot `e a33 = 52 e i moltiplicatori sono:
• m43= a43/a33= 5/26 = 12/5 quindi si ha:
2/3
4 2 1 2
0 −1 −1/2 −3
0 0 5/2 0
0 0 6 −1
9
−21/2 5/2
2
→
4 2 1 2
0 −1 −1/2 −3
0 0 5/2 0
0 0 0 −1
9
−21/2 5/2
−4
Abbiamo ottenuto un sistema triangolare superiore risolubile con il metodo di sosti- tuzione all’indietro:
4x1 +2x2 +x3 +x4 = 9
−x2 −12x3 −3x4 = −212
5
2x3 = 52
−x4 = −4
Dall’ultima equazione si ricava x4 = 4 e dalla penultima x3 = 1 che sostituiti nella seconda rendono:
−x2− 1
2 − 12 = −21
2 → −x2 = −21
2 + 12 +1
2 → x2 = −2 e sostituiti nella prima rendono:
4x1− 4 + 1 + 8 = 9 → 4x1 = 4 → x1 = 1 .
Quindi la soluzione `e
x =
1
−2 1 4
Per ottenere la fattorizzazione LU della matrice A dobbiamo costruire la matrice triangolare inferiore L e la matrice triangolare superiore U . Quest’ultima `e la matrice triangolare che si ha nell’ultimo passo dell’algoritmo di Gauss, quindi, nel nostro caso:
U =
4 2 1 2
0 −1 −1/2 −3
0 0 5/2 0
0 0 0 −1
La matrice L ha invece i seguenti elementi
lij =
0 se i < j 1 se i = j mij se i > j
dove mij sono i moltiplicatori di Gauss calcolati nei vari passi dell’eliminazione. Nel nostro caso, quindi:
L =
1 0 0 0
3/2 1 0 0
1/2 0 1 0
5/4 1/2 12/5 1
Per calcolare il determinante della matrice dei coefficienti A sfruttiamo la fattoriz- zazione LU . Infatti se A = LU allora
det (A) = det (LU ) = det (L) det (U ) = det (U ) =
n
Y
i=1
uii
infatti sia L che U sono due matrici triangolari (una inferiore e l’altra superiore) il cui determinante `e il prodotto degli elementi sulla digonale. Ma gli elementi sulla diagonale di L sono tutti 1 e quindi nel prodotto non influiscono.
Perci`o nel nostro caso:
4
Y
i=1
uii= 4 · (−1) · (5
2) · (−1) = 10
In generale, il calcolo dell’inversa si traduce nel calcolo di n sistemi lineari Ax = ei
dove
ei =0 · · · 0 1 0 · · · 0T
`e l’i-esimo vettore della base canonica di Rn, cio`e un vettore con tutti zeri tranne un 1 in posizione i. La soluzione di ogni sistema ci fornisce una colonna della matrice inversa di A. Avendo a disposizione la fattorizzazione LU abbiamo:
Ax = ei → (LU )x = ei → L(U x) = ei posto U x = y si ha
Ly = ei U x = y
Con questa scrittura si intende che va risolto prima il sistema Ly = ei e la sua soluzione y diventa il termine noto del sistema U x = y la cui soluzione, come gi`a detto, fornisce la i-esima colonna della matrice inversa di A. Il calcolo dell’inversa richiede quindi la risoluzione di 2n sistemi lineari (nel nostro caso 8).
Prima colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = e1 →
y1 = 1
3
2y1 +y2 = 0
1
2y1 +y3 = 0
5
4y1 +12y2 +125y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
1
−3/2
−1/2 7/10
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
4x1 +2x2 +x3 +2x4 = 1
−x2 −12x3 −3x4 = −32
5
2x3 = −12
−x4 = 107 la cui soluzione `e
x =
−65
37
−1015
−107
Seconda colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = e2 →
y1 = 0
3
2y1 +y2 = 1
1
2y1 +y3 = 0
5
4y1 +12y2 +125y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
0 1 0
−1/2
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
4x1 +2x2 +x3 +2x4 = 0
−x2 −12x3 −3x4 = 1
5
2x3 = 0
−x4 = −12
la cui soluzione `e
x =
1
−52 0
1 2
Terza colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = e3 →
y1 = 0
3
2y1 +y2 = 0
1
2y1 +y3 = 1
5
4y1 +12y2 +125y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
0 0 1
−125
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
4x1 +2x2 +x3 +2x4 = 0
−x2 −12x3 −3x4 = 0
5
2x3 = 1
−x4 = −125 la cui soluzione `e
x =
12
−5375 2 125
5
Quasrta colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = e4 →
y1 = 0
3
2y1 +y2 = 0
1
2y1 +y3 = 0
5
4y1 +12y2 +125y3 +y4 = 1 la cui soluzione `e
y =
0 0 0 1
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
4x1 +2x2 +x3 +2x4 = 0
−x2 −12x3 −3x4 = 0
5
2x3 = 0
−x4 = 1 la cui soluzione `e
x =
−1 3 0
−1
Quindi l’inversa della matrice A ´e data da
A−1=
−6/5 1 12/5 −1
37/10 −5/2 −37/5 3
−1/5 0 2/5 0
−7/10 1/2 12/5 −1
2. Risolvere i seguenti sistemi lineari con l’algortimo di Gauss con pivoting di colonna
6x1 + 6x2+ 2x4 = 5 3x1 + x2+ 12x3 = 8 6x1+ 2x2+ 7x3 = 10 3x1+ 2x2+ x3 = 7
3x1+ 2x2+ x3 = 7 6x1+ 2x2+ x3 = 10 3x1+ 3x3+ x4 = 4 6x1+ 2x2+ 7x3 = 10
e utilizzare i calcoli effettuati per ricavare la fattorizzazione P A = LU della matrice dei coefficienti, il suo determinante e la sua inversa.
Soluzione:
Primo sistema
Innanzitutto individuiamo la matrice dei coefficienti A e il vettore dei termini noti b.
Si ha:
A =
6 6 0 2
3 1 1/2 0
6 2 7 0
3 2 1 0
b =
5 8 10
7
Primo passo: Bisogna controllare che nella prima colonna non compaia nessun elemento che sia maggiore dell’elementopivot a11 = 6in modulo. Questo non accade e quindi non effettueremo nessuno scambio. I moltiplicatori sono:
• m21= a21/a11= 3/6 = 1/2
• m31= a31/a11= 6/6 = 1
• m41= a41/a11= 3/6 = 1/2 quindi si ha:
1 2
1
1 2
6 6 0 2
3 1 1/2 0
6 2 7 0
3 2 1 0
5 8 10
7
→
6 6 0 2
0 −2 1/2 −1
0 −4 7 −2
0 −1 1 −1
5 11/2
5 9/2
Secondo passo: L’elemento pivot `e a22 = −2, ma nella seconda colonna `e pre- sente un elemento che in modulo `e maggiore di −2 (l’elemento a32 = −4). Quindi effettuiamo lo scambio tra la seconda e la terza riga. Quindi si ha:
6 6 0 2
0 −2 1/2 −1
0 −4 7 −2
0 −1 1 −1
5 11/2
5 9/2
→
6 6 0 2
0 −4 7 −2
0 −2 1/2 −1
0 −1 1 −1
5 5 11/2
9/2 I moltiplicatori sono:
• m32= a32/a22= −2−4 = 1/2
• m42= a42/a22= −1−4 = 1/4 quindi si ha:
1 21 4
6 6 0 2
0 −4 7 −2
0 −2 1/2 −1
0 −1 1 −1
5 5 11/2
9/2
→
6 6 0 2
0 −4 7 −2
0 0 −3 0
0 0 −3/4 −1/2
5 5 3 13/4
Terzo passo: L’elementopivot `e a33 = −3che `e maggiore degli elementi che seguono nella terza colonna. I moltiplicatori sono:
• m43= a43/a33= −3/4−3 = −1/4 quindi si ha:
1 4
6 6 0 2
0 −4 7 −2
0 0 −3 0
0 0 −3/4 −1/2
5 5 3 13/4
→
6 6 0 2
0 −4 7 −2
0 0 −3 0
0 0 0 −1/2
5 5 3 5/2
Abbiamo ottenuto un sistema triangolare superiore risolubile con il metodo di sosti- tuzione all’indietro:
6x1 +6x2 +2x4 = 5
−4x2 +7x3 −2x4 = 5
−3x3 = 3
−12x4 = 52
Dall’ultima equazione si ricava x4 = 52 · (−2) = −5 e dalla penultima x3 = −33 = −1 che sostituiti nella seconda rendono:
−4x2− 7 + 10 = 5 → −4x2 = 2 → x2 = −1 2. E sostituendo nella prima otteniamo:
6x1− 3 − 10 = 5 → 6x1 = 18 → x1 = 3.
Quindi la soluzione `e
x =
3
−12
−1
−5
Per ottenere la fattorizzazione P A = LU dobbiamo costruire la matrice triango- lare inferiore L, la matrice triangolare superiore U e la matrice di permutazione P . Quest’ultima `e la matrice che si ottiene applicando alla matrice identit`a gli scambi ef- fettuati durante l’algoritmo di Gauss, quindi, nel nostro caso, scambiando la seconda e la terza riga (scambio effettuato al secondo passo):
I4 =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
→
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
= P
La matrice U `e la matrice triangolare superiore che si ottiene nell’ultimo passo dell’algoritmo di Gauss:
U =
6 6 0 2
0 −4 7 −2
0 0 −3 0
0 0 0 −1/2
La matrice L si costruisce una colonna per volta tenendo conto delle operazioni effettuate su A in ordine, cio`e se si `e effettuato uno scambio si scambiano le righe gi`a scritte altrimenti si aggiunge una colonna con la regola usuale:
lij =
0 se i < j 1 se i = j mij se i > j
dove mij sono i moltiplicatori di Gauss calcolati nei vari passi dell’eliminazione. Nel nostro caso abbiamo, nell’ordine:
m21= 1/2 m31= 1 m41= 1/2
↓
scambio seconda e terza riga
↓
m32= 1/2 m42 = 1/4
↓ m43= −1/4.
Quindi:
L =
1
1 2
1
1 2
→
1 1
1 21 2
→
1 0 1 1
1 2
1 1 2 2
1 4
→
1 0 0 1 1 0
1 2
1
2 1
1 2
1 4
1 4
→
1 0 0 0 1 1 0 0
1 2
1
2 1 0
1 2
1 4
1
4 1
Per calcolare il detrminante della matrice dei coefficienti A sfruttiamo la fattoriz- zazione. Infatti se P A = LU allora
det (P A) = det (LU ) = det (L) det (U ) = det (U ) =
n
Y
i=1
uii
da cui:
det (A) = Qn
i=1uii
det (P ) = (−1)#scambi
infatti sia L che U sono due matrici triangolari (una inferiore e l’altra superiore) il cui determinante `e il prodotto degli elementi sulla digonale. Ma gli elementi sulla diagonale di L sono tutti 1 e quindi nel prodotto non influiscono. P `e una matrice di
permutazione che `e prodotto di matrici di scambio ognuna delle quali ha determinante uguale a −1.
Perci`o nel nostro caso:
4
Y
i=1
uii= 6 · (−4) · (−3) · −1
2 = −36 e
(−1)1 = −1 da cui: det (A) = −36 · (−1) = 36.
In generale, il calcolo dell’inversa si traduce nel calcolo di n sistemi lineari Ax = ei
dove
ei =0 · · · 0 1 0 · · · 0T
`e l’i-esimo vettore della base canonica di Rn, cio`e un vettore con tutti zeri tranne un 1 in posizione i. La soluzione di ogni sistema ci fornisce una colonna della matrice inversa di A. Avendo a disposizione la fattorizzazione P A = LU abbiamo:
P Ax = P ei → (LU )x = P ei → L(U x) = P ei posto U x = y si ha
Ly = P ei U x = y
dove P ei sono i vettori ei che subiscono gli stessi scambi effettuati nell’ordine durante l’algoritmo di Gauss. Con questa scrittura si intende che va risolto prima il sistema Ly = P ei e la sua soluzione y diventa il termine noto del sistema U x = y la cui soluzione, come gi`a detto, fornisce la i-esima colonna della matrice inversa di A. Il calcolo dell’inversa richiede quindi la risoluzione di 2n sistemi lineari (nel nostro caso 8). Nel nostro caso quindi dobbiamo scambiare la seconda e le terza colonna:
e1 =
1 0 0 0
→ P e1 =
1 0 0 0
e2 =
0 1 0 0
→ P e2 =
0 0 1 0
e3 =
0 0 1 0
→ P e3 =
0 1 0 0
e4 =
0 0 0 1
→ P e4 =
0 0 0 1
Prima colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = P e1 →
y1 = 1
y1 +y2 = 0
1
2y1 +12y2 +y3 = 0
1
2y1 +14y2 +14y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
1
−1 0
−14
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
6x1 +6x2 +2x4 = 1
−4x2 +7x3 −2x4 = −1
−3x3 = 0
−12x4 = −14 la cui soluzione `e
x =
0 0 0
1 2
Seconda colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = P e2 →
y1 = 0
y1 +y2 = 0
1
2y1 +12y2 +y3 = 1
1
2y1 +14y2 +14y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
0 0 1
−14
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
6x1 +6x2 +2x4 = 0
−4x2 +7x3 −2x4 = 0
−3x3 = 1
−12x4 = −14 la cui soluzione `e
x =
2
−356
−13
1 2
Terza colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = P e3 →
y1 = 0
y1 +y2 = 1
1
2y1 +12y2 +y3 = 0
1
2y1 +14y2 +14y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
0 1
−12
−18
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
6x1 +6x2 +2x4 = 0
−4x2 +7x3 −2x4 = 1
−3x3 = −12
−12x4 = −18
la cui soluzione `e
x =
0
−121
1 61 4
Quarta colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = P e4 →
y1 = 0
y1 +y2 = 0
1
2y1 +12y2 +y3 = 0
1
2y1 +14y2 +14y3 +y4 = 1 la cui soluzione `e
y =
0 0 0 1
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
6x1 +6x2 +2x4 = 0
−4x2 +7x3 −2x4 = 0
−3x3 = 0
−12x4 = 1 la cui soluzione `e
x =
−13 1 0
−2
Quindi l’inversa della matrice A ´e data da
A−1 =
0 23 0 −13 0 −56 −121 1 0 −13 16 0
1 2
1 2
1
4 −2
Secondo sistema
Innanzitutto individuiamo la matrice dei coefficienti A e il vettore dei termini noti b.
Si ha:
A =
3 2 1 0 6 2 1 0 3 0 3 1 6 2 7 0
b =
7 10
4 10
Primo passo: L’elemento maggiore in modulo nella prima colonna `e 6 quindi scambiamo la prima e la seconda riga.
3 2 1 0 6 2 1 0 3 0 3 1 6 2 7 0
7 10
4 10
→
6 2 1 0 3 2 1 0 3 0 3 1 6 2 7 0
10
7 4 10 I moltiplicatori sono:
• m21= a21/a11= 3/6 = 1/2
• m31= a31/a11= 3/6 = 1/2
• m41= a41/a11= 6/6 = 1 quindi si ha:
1 21 2
1
6 2 1 0 3 2 1 0 3 0 3 1 6 2 7 0
10
7 4 10
→
6 2 1 0
0 1 1/2 0 0 −1 5/2 1
0 0 6 0
10
2
−1 0
Secondo passo: L’elemento pivot `e a22 = 1 che `e maggiore degli elementi che seguono nella seconda colonna. I moltiplicatori sono:
• m32= a32/a22= −11 = −1
• m42= a42/a22= 01 = 0
−1 0
6 2 1 0
0 1 1/2 0 0 −1 5/2 1
0 0 6 0
10
2
−1 0
→
6 2 1 0
0 1 1/2 0
0 0 3 1
0 0 6 0
10
2 1 0
Terzo passo: L’elemento pivot `e a33 = 3, ma 6 `e maggiore di 3 quindi scambiamo la terza e la quarta riga:
6 2 1 0
0 1 1/2 0
0 0 3 1
0 0 6 0
10
2 1 0
→
6 2 1 0
0 1 1/2 0
0 0 6 0
0 0 3 1
10
2 0 1 I moltiplicatori sono:
• m43= a43/a33= 3/6 = 1/2 quindi si ha:
1 2
6 2 1 0
0 1 1/2 0
0 0 6 0
0 0 3 1
10
2 0 1
→
6 2 1 0
0 1 1/2 0
0 0 6 0
0 0 0 1
10
2 0 1
Abbiamo ottenuto un sistema triangolare superiore risolubile con il metodo di sosti- tuzione all’indietro:
6x1 +2x2 +x3 = 10 x2 +12x3 = 2
6x3 = 0
x4 = 1
Dall’ultima equazione si ricava x4 = 1 e dalla penultima x3 = 0 che sostituito nella seconda rende:
x2 = 2.
E sostituendo nella prima otteniamo:
6x1+ 4 = 10 → 6x1 = 6 → x1 = 1.
Quindi la soluzione `e
x =
1 2 0 1
Per ottenere la fattorizzazione P A = LU dobbiamo costruire la matrice triango- lare inferiore L, la matrice triangolare superiore U e la matrice di permutazione P . Quest’ultima `e la matrice che si ottiene applicando alla matrice identit`a gli scambi
effettuati durante l’algoritmo di Gauss, quindi, nel nostro caso, scambiando la pri- ma e la seconda riga (scambio effettuato al primo passo) e poi la terza e la quarta (scambio effettuato al terzo passo):
I4 =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
→
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
→
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
= P
La matrice U `e la matrice triangolare superiore che si ottiene nell’ultimo passo dell’algoritmo di Gauss:
U =
6 2 1 0
0 1 1/2 0
0 0 6 0
0 0 0 1
La matrice L si costruisce una colonna per volta tenendo conto delle operazioni effettuate su A in ordine, cio`e se si `e effettuato uno scambio si scambiano le righe gi`a scritte altrimenti si aggiunge una colonna con la regola usuale:
lij =
0 se i < j 1 se i = j mij se i > j
dove mij sono i moltiplicatori di Gauss calcolati nei vari passi dell’eliminazione. Nel nostro caso abbiamo, nell’ordine:
scambio prima e seconda riga
↓
m21= 1/2 m31= 1/2 m41 = 1
↓
m32= −1 m42 = 0
↓
scambio terza e quarta riga
↓ m43= 1/2.
Quindi:
L =
1
1 21 2
1
→
1 0
1
2 1
1
2 −1
1 0
→
1 0
1
2 1
1 0
1
2 −1
→
1 0 0
1
2 1 0
1 0 1
1
2 −1 12
→
1 0 0 0
1
2 1 0 0
1 0 1 0
1
2 −1 12 1
Per calcolare il determinante della matrice dei coefficienti A sfruttiamo la fattoriz- zazione. Infatti se P A = LU allora
det (P A) = det (LU ) = det (L) det (U ) = det (U ) =
n
Y
i=1
uii
da cui:
det (A) = Qn
i=1uii
det (P ) = (−1)#scambi
infatti sia L che U sono due matrici triangolari (una inferiore e l’altra superiore) il cui determinante `e il prodotto degli elementi sulla digonale. Ma gli elementi sulla diagonale di L sono tutti 1 e quindi nel prodotto non influiscono. P `e una matrice di permutazione che `e prodotto di matrici di scambio ognuna delle quali ha determinante uguale a −1.
Perci`o nel nostro caso:
4
Y
i=1
uii= 6 · 1 · 6 · 1 = 36 e
(−1)2 = 1 da cui: det (A) = 36.
In generale, il calcolo dell’inversa si traduce nel calcolo di n sistemi lineari Ax = ei
dove
ei =0 · · · 0 1 0 · · · 0T
`e l’i-esimo vettore della base canonica di Rn, cio`e un vettore con tutti zeri tranne un 1 in posizione i. La soluzione di ogni sistema ci fornisce una colonna della matrice inversa di A. Avendo a disposizione la fattorizzazione P A = LU abbiamo:
P Ax = P ei → (LU )x = P ei → L(U x) = P ei posto U x = y si ha
Ly = P ei U x = y
dove P ei sono i vettori ei che subiscono gli stessi scambi effettuati nell’ordine durante l’algoritmo di Gauss. Con questa scrittura si intende che va risolto prima il sistema Ly = P ei e la sua soluzione y diventa il termine noto del sistema U x = y la cui soluzione, come gi`a detto, fornisce la i-esima colonna della matrice inversa di A. Il calcolo dell’inversa richiede quindi la risoluzione di 2n sistemi lineari (nel nostro caso 8). Nel nostro caso quindi dobbiamo scambiare la prima e la seconda riga e la terza e la quarta riga:
e1 =
1 0 0 0
→ P e1 =
0 1 0 0
e2 =
0 1 0 0
→ P e2 =
1 0 0 0
e3 =
0 0 1 0
→ P e3 =
0 0 0 1
e4 =
0 0 0 1
→ P e4 =
0 0 1 0
Prima colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = P e1 →
y1 = 0
1
2y1 +y2 = 1
y1 +y3 = 0
1
2y1 −y2 +12y3 +y4 = 0
la cui soluzione `e
y =
0 1 0 1
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
6x1 +2x2 +x3 = 0 x2 +12x3 = 1 6x3 = 0 x4 = 1 la cui soluzione `e
x =
−13 1 0 1
Seconda colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = P e2 →
y1 = 1
1
2y1 +y2 = 0
y1 +y3 = 0
1
2y1 −y2 +12y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
1
−12
−1
−12
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
6x1 +2x2 +x3 = 1 x2 +12x3 = −12
6x3 = −1
x4 = −12 la cui soluzione `e
x =
1
−3125
−16
−12
Terza colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = P e3 →
y1 = 0
1
2y1 +y2 = 0
y1 +y3 = 0
1
2y1 −y2 +12y3 +y4 = 1 la cui soluzione `e
y =
0 0 0 1
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
6x1 +2x2 +x3 = 0 x2 +12x3 = 0 6x3 = 0 x4 = 1 la cui soluzione `e
x =
0 0 0 1
Quarta colonna di A−1: Si ottiene risolvendo il sistema
Ly = P e4 →
y1 = 0
1
2y1 +y2 = 0
y1 +y3 = 1
1
2y1 −y2 +12y3 +y4 = 0 la cui soluzione `e
y =
0 0 1
−12
Questa soluzione diventa il termine noto del sistema
U x = y →
6x1 +2x2 +x3 = 0 x2 +12x3 = 0
6x3 = 1
x4 = −12
la cui soluzione `e
x =
0
−121
1
−612
Quindi l’inversa della matrice A ´e data da
A−1 =
−13 13 0 0 1 −125 0 −121 0 −16 0 16 1 −12 1 −12
