4, e dunque sin(n3

Analisi 1, Cenni sulle soluzioni di alcuni degli esercizi sui limiti

(ATTENZIONE: in un compito non basta scrivere come nel seguito, vanno giustificati tutti i passaggi!)

Vicenza, dicembre 2010.

Limiti di successione e di funzione 2.

limn

nⁿ

eⁿ² = lim

n e^{n log n−n2} = 0.

3.

limn

n^a− cos n 3n²− n²sin(n³) + sin(√

n) = lim

n

n^a

n²(3 − sin(n³)) = lim

n

n^a−2 (3 − sin(n³)).

Poich`e 2 ≤ 3 − sin(n<sup>3</sup>) ≤ 4, e dunque 1/4 ≤ 1/(3 − sin(n<sup>3</sup>)) ≤ 1/2, per a = 1 il limite `e 0 e per a = 3 `e +∞.

4. (non svolto)

limn

n^√n+ (√ n)ⁿ

2^n+√n = +∞.

5.

limn

 1 + 1

√n

(^{n1/3sin n+(−1)n})

= lim

n e(^{n1/3sin n+(−1)n})^log“1+√1_n^”, dove per le asintoticit`a

limn n^1/3 sin n + (−1)ⁿ
log

 1 + 1

√n



= lim

n n^1/3 sin n + (−1)ⁿ
1

√n =

limn

 sin n

n^1/2−1/3 +(−1)ⁿ n^1/2



= 0.

Quindi, risulta e⁰ = 1.

6. (non svolto: cambiamento di variabile y = π − x e razionalizzazione..) lim

x→π⁻

√1 + sin x −√

1 − sin x

1 − cos²x = +∞.

7. (non svolto: razionalizzare..)

x→−∞lim

√3x²− x −√

3x²+ x + 1

=

√3 3 . 8.

x→+∞lim

1 + 3 sin x − x sin(2x)

x²− 1 = lim

x→+∞

−x sin(2x) x² = 0.

9. (non svolto: raccogliere e poi razionalizzare a esponente..)

x→+∞lim

 2

√x²−1− 2^x+1

= −∞

10.

x→−∞lim hp

cosh²x + 2 cosh x − cosh x + 1 i

= lim

y→+∞

hpy²+ 2y − y + 1 i

= 2, usando la sostituzione y = cosh x. Poi basta razionalizzare.

11. Al variare di a > 0 si ottiene

x→+∞lim

a^x arctan(2x) 3^x+ 4 cos x + 1 = π

2 lim

x→+∞

a 3

x

poich`e a denominatore si ha, per la scala degli infiniti, Den. = 3^x+ o(3^x), mentre a numeratore arctan(2x) tende a π/2. Quindi il limite vale:

0, quando a < 3; π/2 quando a = 3; +∞ quando a > 3.

12. Sostituendo y = −x si ha

x→−∞lim

4e^−x− cosh²x

cos x + |x|^−3x+ e x² = lim

y→+∞

4e^y− cosh²y

cos y + y^3y+ e y² = lim

y→+∞

e^2y/4 y^3y = 0

poich`e a numeratore, cosh y = e^y/2 + o(e^y) e dunque cosh²y = e^2y/4 + o(e^2y); mentre a denominatore si ha, per la scala degli infiniti, Den = y^3y+ o(y^3y).