« PETIT » BESTIAIRE D’EXERCICES DE MATHÉMATIQUES AVEC LEUR CORRIGÉ, À L’USAGE DE L’ORAL VOIRE DE L’ÉCRIT DE CERTAINS CONCOURS (AGRÉGATION EXTERNE, INTERNE & CAPES)

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« PETIT » BESTIAIRE D’EXERCICES DE MATHÉMATIQUES AVEC LEUR

CORRIGÉ, À L’USAGE DE L’ORAL VOIRE DE L’ÉCRIT DE CERTAINS CONCOURS (AGRÉGATION EXTERNE,

INTERNE & CAPES)

Version du 7 mars 2008

PATRICE LASSÈRE

UNIVERSITÉ PAUL SABATIER

Laboratoire de Mathématiques Émile Picard, UMR CNRS 5580, 31 062, TOULOUSE Cedex 4, FRANCE. lassere@picard.ups-tlse.fr

(2)

j MODE D’EMPLOI j

(3)

Table des matières

partie 1. ALGÈBRE LINÉAIRE ET MULTININÉAIRE 11

Chapitre 1. ALGÈBRE LINÉAIRE 13

Dans M_n(C), tout hyperplan rencontre GLn(C). . . 13

Dimension, bases et applications linéaires . . . 14

Matrices et réduction . . . 14

Une équation matricielle dans M2(C) . . . 15

Histoire de matrices nilpotentes . . . 15

Autour du commutant . . . 15

Étude A 7→ A³ dans M₃(R) . . . 16

Réduction des endomorphismes . . . 17

Encore deux démonstration de Cayley-Hamilton . . . 18

Étude de M₃(R) 3 B 7→ AB . . . 20

A⁵+ A³+ A = 3I_d dans M_d(C) . . . 20

Polynôme minimal et dimension du noyau . . . 20

Étude de ϕ : A ∈ M_n(R) 7−→ ϕ(A) = −A + tr(A)In. . . 21

Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes . . . 22

Rayon spectral et décomposition de Dunford . . . 22

Matrices nilpotentes . . . 23

Matrice, comatrice et rang . . . 23

Séries entières, algèbre linéaire . . . 24

Matrices semblables, polynômes . . . 24

Réduction des endomorphismes . . . 25

Groupes, réduction des endomorphismes . . . 26

Inégalité, matrices, déterminant . . . 26

Un théorème de Kronecker . . . 27

Le commutant dans M₂(K) . . . 29

Points isolés des solutions de l’équation X² = I_n dans M_n(R) . . . 30

Sur l’équation sin(A) = B . . . 31

Quelques propriétés topologiques de On(R) et Un(C) . . . 32

Dans M_n(R) : AB + A + B = 0 =⇒ AB = BA . . . 32

Dual de Mn(C), tout hyperplan de Mⁿ(C) rencontre GLⁿ(C) . . . 32

Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace . . . 34

Sur l’équation A^p = I_n dans Mn(Z). . . 36

Calcul de exp(A) où A = ((exp(2iπ(k + l)/5)))_k,l ∈ M₅(C). . . 36

Matrices entières inversibles . . . 37

i

(4)

Sur l’équation S = X² dans M_n(C) avec S symétrique et X antisymétrique. . . 37

Chapitre 2. ALGÈBRE BILINÉAIRE ET HERMITIENNE 39 Sur l’équation S = X² dans M_n(C) avec S symétrique et X antisymétrique. . . 39

Convexité, matrice symétrique, calcul d’intégrale . . . 40

Matrices symétriques . . . 40

Espaces euclidiens et projection orthogonale . . . 41

Une matrice symétrique non diagonalisable . . . 42

Produit scalaire, continuité, topologie . . . 43

Autour de la trace . . . 43

Bases orthormées . . . 43

Toute matrice carrée réelle est produit de deux matrices symétriques réelles . . . 44

Sur l’équation det(I_n− xA − yB) = det(I_n− xA) det(I_n− yB), ∀ x, y ∈ R. . . 46

partie 2. POLYNÔMES 49 Sur les polynômes de la forme P = QP⁰⁰ avec deg(Q) = 2 . . . 50

Trois exercices sur les polynômes . . . 50

Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables . . . 52

Polynomes et fractions rationelles, approximation . . . 53

Polynômes, nombres premiers . . . 54

Polynômes dans Z[X] . . . 55

Polynômes trigonométriques : un théorème de Fejèr-Riesz . . . 55

Autour du résultant de deux polynômes . . . 57

Le théorème de Gauss-Lucas . . . 58

Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche . . . 59

Une inégalité autour des polynômes . . . 60

Encore un calcul de ζ(2) . . . 60

Nombre de racines réelles du 2005-ième itéré de P (x) = x²− 1 . . . 61

Racines de P (z) et de 2zP⁰(z) − dP (z) . . . 62

Un polynôme de degré 6 et un peu de géométrie . . . 63

Sur les racines multiples du polynôme dérivé . . . 64

partie 3. GÉOMÉTRIE 65 Optimisation dans un triangle . . . 66

Sur la longueur de l’intersection entre une parabole et un disque . . . 66

Inégalités dans un triangle (1) . . . 68

Inégalités dans un triangle (2) . . . 69

Coniques : le théorème de Joachimsthal . . . 69

Heptadivision d’un triangle . . . 70

Disposition de n points sur une sphère . . . 73

Une suite associée à un polygône . . . 73

Sur la longueur de l’ellipse . . . 74

Même périmètre et même aire . . . 75

Deux inégalités . . . 76

ii

(5)

partie 4. COMBINATOIRE ET PROBABILITÉS 79

Combinatoire : les nombres de Bell . . . 80

Un peu de dénombrement autour d’une série entière . . . 81

Autour du « nombre de dérangements » . . . 82

Distance entre deux racines d’un polynôme . . . 85

Distribution de deux points sur un segment (1) . . . 85

« Probabilité » que deux entiers soient premiers entre-eux . . . 86

Nombre de matrices symétriques à coefficients dans {0, 1} et série entières . . . 89

Distribution aléatoire de deux points sur un segment . . . 89

Dénombrement et séries entières/génératrices . . . 90

Groupes et probabilités . . . 91

Dénombrement et algèbre linéaire . . . 91

Les dés sont pipés . . . 92

Avec un peu d’algèbre linéaire . . . 94

Probabilité d’obtenir un multiple de cinq en jetant n dés . . . 95

Combinatoire et matrices . . . 96

10²⁰⁰⁶ divise n! . . . 97

Dénombrement dans les groupes . . . 97

partie 5. ANALYSE 1 99 Chapitre 3. TOPOLOGIE 101 Une famille totale dans l²(N) . . . .101

La somme de deux sous espaces fermés est-elle fermée ? . . . .102

Deux sous-espaces fermés dont la somme ne l’est pas . . . .102

Complémentaire d’un hyperplan dans un espace vectoriel normé . . . .103

Normes, normes équivalentes . . . .105

Démonstration des inégalités faibles de Kolmogorov via les normes équivalentes, formule de Taylor . . . .106

L’ensemble P des nombres premiers est infini : preuve topologique . . . .107

Espace métrique et continuité . . . .108

Normes sur C⁰([0, 1]) . . . 109

Autour des suites décroissantes de fermés . . . 109

Continuité de l’opérateur de dérivation dans C^∞(R) et R[X] . . . .111

Deux normes non équivalentes en dimension finie . . . 112

Topologie dans M_n(R) et Mn(C) : propriétés de Dn etD_n⁰ . . . .112

Topologie dans M_n(R) : l’adhérence de Dn(R) . . . .114

Autour des sous-groupes de R . . . .115

Le théorème de Riesz dans un espace de Hilbert : c’est facile ! . . . .118

Connexité . . . 118

Un opérateur borné sans adjoint . . . .119

exp(A) ∈ C[A], ∀A ∈ Mⁿ(C) . . . .119

Topologie dans Mn(C) : commutant et bicommutant . . . .120

Topologie dans M_n(C) : autour des matrices nilpotentes . . . .122

Topologie dans M_n(C) : les classes de conjugaison . . . .123

iii

(6)

Espace de Banach . . . .125

Surjectivité universelle de l’ensemble de Cantor . . . 126

Sur les espaces de Baire . . . .129

Un espace de Baire A ⊂ R non dénombrable et de mesure nulle . . . 130

Baireries : sur les applications f : R² → R séparément continues . . . 130

Applications linéaires dans un espace vectoriel normé . . . .131

Sur la norme d’une forme linéaire . . . 133

Applications linéaires continues et compacité . . . .133

Trois preuves du théorème d’approximation de Weierstrass trigonométrique . . . .134

Chapitre 4. CONTINUITÉ 137 Les algèbres C⁰([0, 1], R) et C¹([0, 1], R) sont-elles isomorphes ? . . . 137

Automorphisme d’algèbre de C (R^d, R) . . . 137

Sous-algèbres de dimension finie de C⁰(R, R) . . . .138

Propriété des valeurs intermédiaires et monotonie impliquent la continuité . . . .138

Baireries . . . .139

L’équation fonctionnelle de Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) . . . .139

Les fonctions mid-convexes . . . .141

L’équation fonctionnelle f (px²+ y²) = f (x)f (y) dans C⁰(R). . . .142

Continuité et connexité : le théorème de Borsuk-Ulam. . . .144

Continuité et composition . . . .144

Autour des valeurs intermédiaires . . . .145

Le théorème des valeurs intermédiaires . . . .146

Sur les points de discontinuité d’une bĳection f : R → R^?+. . . .147

Sur la continuité de l’application réciproque . . . .148

Sur la continuité de l’application réciproque, suite . . . .148

Continuité, topologie . . . 149

Continuité . . . .149

Théorème du point fixe : quelques limites . . . .150

Propriétés topologiques de l’ensemble des points de discontinuité d’une application . 151 Une application discontinue sur Q . . . 154

Continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro. . . .155

Des petits « o » . . . .157

L’équation fonctionnelle f²(x) = Rx 0 (f²(t) + f⁰²(t)) dt + 2007. . . .157

Encore quelques équations fonctionnelles . . . .158

Une inéquation fonctionnelle . . . .159

Chapitre 5. DÉRIVABILITÉ 161 Existence d’un opérateur « à la dérivée de Dirac » sur C⁰(R, R) . . . .161

Deux fonctions f, g dérivables telles que f⁰g⁰ ne soit pas une dérivéee . . . .161

Dérivation . . . 162

Approche matricielle du théorème des accroissements finis . . . .163

Comportement asymptotique du « point intermédiaire » dans la formule de Taylor-Lagrange . . . .164

Trois preuves du théorème de Darboux. . . .164

Sur le point d’inflexion . . . .166

iv

(7)

Rolle sur R . . . .166

Dérivabilité et accroissements finis . . . .166

Dérivabilité et accroissements finis . . . .167

Toute application convexe et majorée sur R est constante . . . .167

Régularité et existence de développement limité en un point. . . .168

Parité, dérivabilité et développement limité . . . 169

Convexité et Accroisements Finis . . . 169

Zéros des dérivées d’une fonctions C^∞ à support compact . . . .170

Sur l’inégalité de Kolmogorov M₁ ≤ 2√ M₀M₁. . . .172

Une série et une fonction . . . .172

Un fameux théorème d’Émile Borel . . . 173

Pn k=1(−1)^k+1C_n^kkⁿ= (−1)ⁿ⁺¹n! . . . .175

Chapitre 6. INTÉGRATION 177 Irrationalité de e (1) . . . .177

Calcul de l’intégrale de Gauss R∞ 0 e^−t²dt (1) . . . .178

Calcul de l’intégrale de Cauchy R∞ 0 sin(t) t dt (1) . . . .179

Encore un calcul de l’intégrale de Cauchy R+∞ 0 sin(t) t dt (2) . . . .181

Toujours un calcul de l’intégrale de CauchyR+∞ 0 sin(t) t dt (3) . . . .182

Calcul de l’intégrale de Cauchy R∞ 0 sin(t) t dt (5), . . . .188

Étude de la suite (un= ⁿ₂ −Pn k=1 n² (n+k)²)n . . . .190

Autour du théorème des moments de Hausdorff . . . .191

Étude de Iα =R+∞ 0 sin(t) t^α dt, Jα =R+∞ 2 sin(t) t^α+sin(t)dt & Sα =P n≥1 (−1)ⁿ n^α+(−1)ⁿ, α ∈ R . 193 Une caractérisation de la fonction Gamma : le théorème de Bohr-Mollerup . . . .195

Sommes de Riemann et formule de Taylor . . . .196

Autour de l’inégalité de Jensen . . . .198

Limite en 0, ±∞ de Rb a |f (t)|^pdt1/p . . . 200

Étude de la suite (R∞ 0 n log (1 + n^−αf^α(t)) dt)_n. . . .201

Le lemme de Cantor . . . 202

Étude de x 7→Rx² x dt log(t) . . . .203

Optimisation et convexité . . . .204

L’inégalité de Hardy RT 0 x⁻¹Rx 0 f (u)du2 dx ≤ 4RT 0 f²(x)dx. . . .205

Une formule de Ramanujan et le d.s.e. de la fonction tangente . . . 207

Γ⁰(1) = −γ . . . .210

R R|f (t)|dt ≤√ 8 R R|tf (t)|²dt¹₄ R R|f (t)|²dt¹₄ . . . 212

Encore une petite inégalité . . . .212

Nature d’une intégrale impropre . . . .213

Une jolie intégrale.... . . .214

Minore ! . . . .214

Autour des sommes de Riemann . . . 215

v

(8)

Autour d’Hölder . . . .216

Calcul de l’intégrale de Cauchy R+∞ 0 sin(t) t dt (8) . . . 216

Chapitre 7. SUITES ET SÉRIES 219 Convergence de P na⁻³_n , où |an− am| > 1, ∀ m 6= n ∈ N . . . .219

Convergence d’une série par sommation par paquets . . . .220

Divergence de la série P p∈P 1 p . . . 221

Si (x_j)_j ⊂ R+ etP jx_j = A alors P jx²_j ∈ ]0, A²[ . . . .222

Formule de Wallis et applications . . . 223

Série non commutativement convergente . . . 225

Suites numériques, calculs d’équivalents . . . .226

Irrationalité de e (2) . . . .227

Irrationalité de e (3) . . . .228

Irrationalité de π² et donc de π . . . 229

Suites, équivalents . . . .230

Divergence de la série harmonique, preuve record ? . . . .231

Divergence de la série harmonique (suite) . . . .231

Suites et sous-suites . . . 232

Divergence de la série P n≥1 sin²(n) n . . . 232

Le critère de condensation de Cauchy . . . .233

Suites, continuité . . . .234

Sur le nombre d’éléments d’une suite récurrente . . . .234

Un exercice sur les séries numériques . . . .235

Calcul de P∞ n=0 1 F (2ⁿ) . . . .235

Divergence de la série P n≥2 cos(log(log(n))) log(n) . . . 236

Calcul d’une somme de série . . . 236

À propos du produit de Cauchy . . . .237

e =P 1/k!, une preuve élémentaire . . . .238

Divergence « douce » de P k 1/k log(k) log(log(k)) par le TAF . . . .239

. . . 240

Chapitre 8. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS, SÉRIES ENTIÈRES ET DE FOURIER 241 Étude d’une série de fonctions . . . 241

Limite d’une suite via les séries entières . . . .242

Séries entières et convergence uniforme . . . .243

Convergence uniforme et convergence continue . . . 244

Étude des séries de fonctions P n≥0 tⁿf (t) et P n≥0(−1)ⁿtⁿf (t) . . . .246

approximation, convergence uniforme . . . 249

Une caractérisation de la fonction sinus . . . 249

Approximations uniforme de la valeur absolue sur [−1, 1] . . . .253

f (x) =P∞ m=0e^−mcos(m²x) n’est pas développable en série entière . . . 254

Développement en série de Fourier de f (x) = _{4−2 cos(x)}^1+cos(x) , série entière . . . .255

Inégalité de Bernstein via les séries de Fourier . . . .258

vi

(9)

Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier

(1) . . . 260

Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (2) . . . 262

Une fonction continue dont la série de Fourier diverge à l’origine . . . 265

Séries de Fourier, dérivation . . . .268

Séries entières, déterminant, systèmes linéaires . . . 269

Étude de f (x) =P∞ n=1sin(nx) exp (−n^a) . . . .270

Séries entières, comportement au bord . . . 272

Séries de Fourier : histoires d’unicité . . . 273

SON et SCV . . . .274

Fonction 2π-périodique continue à coefficients de Fourier positifs . . . 275

R1 0(R1 0 f (x, y)dx)²dy +R1 0(R1 0 f (x, y)dy)²dx ≤ (R1 0 R1 0 f (x, y)dxdy)²+R1 0 R1 0 f (x, y)²dxdy 276 Calcul de Rπ 0 cos(cos(x))ch(sin(x)) cos(nx)dx, n ∈ N, via Fourier . . . .277

Preuve du théorème des moments de Hausdorff par les séries de Fourier . . . 278

Pn k=0C_2n+2^2k+1= 2²ⁿ⁺¹(2n + 1)(2n + 2) via les séries entières . . . .278

Chapitre 9. CALCUL DIFFÉRENTIEL 281 Calcul différentiel, extréma, fonctions harmoniques . . . .281

Calcul différentiel, espaces vectoriels normés, polynômes . . . .283

Extrémas en dimension plus grande que 2 : attention aux idées reçues ! . . . .286

Théorème de d’Alembert-Gauss, topologie, calcul différentiel . . . 288

Théorème de d’Alembert-Gauss, calcul différentiel, optimisation . . . .290

Inversion locale et globale . . . .291

Déterminant et calcul différentiel . . . 292

Matrices et calcul différentiel . . . 293

Extrémas et convexité . . . .294

Chapitre 10. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 297 Étude de y⁰ = y(y − 1) . . . .297

Étude de y⁰ = y²sin²(y) . . . .298

Étude de xy⁰ = x + y² . . . .298

Étude de y⁰ = exp(−xy) . . . 299

Domaine de définition des solutions maximales de X⁰(t) = X²(t) à valeurs dans Mn(C). . . .300

Résolution de l’équation f (x) = 1 −Rx 0 (t + x)f (x − t)dt. . . .301

L’équation fonctionnelle de d’Alembert 2f (x)f (y) = f (x + y) + f (x − y) . . . 302

partie 6. ANALYSE 2 305 Chapitre 11. FONCTIONS HOLOMORPHES 307 Baireries dans O(Ω) . . . .307

Calcul de ζ(2) par la méthode des résidus . . . .309

Le théorème de Rolle version holomorphe . . . .309

Une preuve « presque holomorphe » du théorème de Cayley-Hamilton . . . .310

vii

(10)

Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes . . . .312

Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l’origine. 312 Sur O(Ω), les topologies de la convergence compacte et L¹_loc coïncident . . . 316

Une fonction entière universelle . . . 317

L’équation f²+ g² = 1 dans O(C) . . . 318

Comportement au voisinage d’un point singulier essentiel isolé et non isolé . . . 319

Chapitre 12. ANALYSE FONCTIONNELLE 321 L²([0, 1]) est maigre dans L¹([0, 1]) . . . .321

Une bĳection linéaire continue dont l’application réciproque est discontinue . . . .322

Étude d’un opérateur sur L²([0, 1]) . . . .324

Un espace vectoriel topologique non localement convexe . . . .327

Densité de vect{ x 7→ _(x−a¹ n), n ≥ 1} dansC⁰([0, 1]) . . . .328

Normes équivalentes et formes linéaires continues . . . .329

L’inclusion F (L¹(R)) ⊂ C0(R) est stricte . . . 329

Image de L²(R) \ L¹(R) par la tranformée de Fourier . . . .330

Forme faible du théorème de Müntz . . . .331

Sous-espaces de C ([0, 1]) fermés dans L²([0, 1]) . . . .333

Opérateur de dérivation . . . .337

Aux limites du théorème de Banach-Steinhaus . . . 337

(k1E− T k < 1, T ∈ L (E)) ⇒ (T inversible) ? . . . .338

Encore une preuve de (l^∞(N))⁰ 6= l¹(N) . . . .338

Quelques exemples de suites faiblement convergente dans L²(R) . . . .339

Deux convexes disjoints non séparables par un hyperplan . . . .340

Une forme bilinéaire discontinue mais séparément continue . . . .341

Pourquoi la topologie produit ? . . . .342

Séparabilité de L^p(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ . . . .344

Séparabilité de l^p(N), 1 ≤ p ≤ ∞ . . . 345

Encore une application du théorème du graphe fermé . . . .345

Une permutation qui conserve les séries convergentes . . . .346

Topologie de la convergence simple : points adhérents et suites . . . 348

partie 7. EXERCICES EN COURS... 349

Histoire dans un corps . . . 350

Le lemme de Riemann-Lebesgue et l’inclusion L¹([0, 1]) ⊂ c₀. . . .350

Trois problèmes d’optimisation autour d’une droite et une parabole . . . .351

Convergence faible dans C⁰(X) . . . .352

Inégalité de Bernstein (2) . . . .354

. . . 354

Une caractérisation de la convexité . . . .355

Probabilités, géométrie . . . .355

Séries de fourier et séries trigonométriques . . . 356

Sur la topologie de la convergence simple . . . .357

Un bien utile lemme de factorisation . . . 359

viii

(11)

Exemple d’une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier . . . .360

Nombre de points à coordonnées entières dans un disque, comportement au bord d’une série entière . . . .361

Optimisation dans un triangle . . . .363

optimisation, combinatoire . . . .363

Étude des espaces vect{f^(k), k ∈ N} et vect{x 7→ f (x + a), a ∈ R} . . . .364

inf nR1 0 |f⁰(x) − f (x)|dx, f ∈C¹([0, 1], R), f (0) = 0, f (1) = 1 o = e⁻¹. . . 366

Études de quelques équations fonctionnelles . . . .367

Quelques applications de l’inégalité de Jensen . . . .368

Combinatoire : les nombres de Bell . . . .370

Probabilités et formule de Taylor . . . .371

Une suite dans C[X1, X₂, . . . , X_n] qui « s’annule » sur C . . . .371

Autour de la série harmonique . . . 372

n(n²+ 1)/2 est valeur propre de toute matrice magique A ∈ M_n(R). . . .372

Une base de deux Banach X et Y n’en est pas forcément une pour X ∩ Y . . . .372

Encore un peu de dénombrement . . . .372

La courbe d’équation y = x⁴+ 9x³+ αx²+ 9x + 4 admet-elle 4 points alignés ? . . . . .373

Un théorème d’Erdös sur les fonctions multiplicatives monotones . . . .374

Autour d’une ellipse . . . 374

Autour du théorème de Gauss-Lucas . . . .375

Différentiabilité de M_n(R) 3 M 7→ (tr(M ), tr(M²), . . . , tr(Mⁿ)) et applications . . . 376

Une inégalité... . . 377

Autour des cordes universelles des fonctions continues . . . .378

Accélération de la convergence vers la contante d’Euler . . . .379

A la recherche des points isolés de { A ∈ M_n(C) : P (A) = 0 }, P ∈ C[x] . . . .380

Supplémentaires universels d’un espace de dimension finie . . . .382

Partie entière de P10⁹ k=1k^−2/3 . . . 382

Le saviez vous ? . . . .383

Analyse sur une ligne brisée . . . .384

La formule de Stirling via la loi de Poisson . . . .386

Preuve probabiliste du théorème d’approximation de Bernstein . . . .387

Équicontinuité . . . .389

L’équation det(A + X) = det(X), X ∈ Mn(R). . . .389

Isométries rationnellles . . . .390

Une fonction continue nulle part dérivable . . . .391

Restes et sommes partielles de deux séries . . . .391

Géométrie . . . 393

L’inégalité Arithmético-Géométrique version améliorée via Taylor-Lagrange . . . 394

Générer des permutation avec des urnes . . . .395

Irrationalité de √ 2 . . . .396

∀ F fermé dans R, ∃ f ∈ C^∞(R) : F = f⁻¹(0). . . .397

dist(a, ker(T )) où T est une forme linéaire continue. . . .398

∀ F fermé dans R, ∃ f ∈ C^∞(R) : F = f⁻¹(0). (part. 3) . . . .399

e est transcendant . . . 400

ix

(12)

. . . 400

. . . 401

Bibliographie 403

Index 405

x

(13)

Première partie

ALGÈBRE LINÉAIRE ET

MULTININÉAIRE

(14)

(15)

CHAPITRE 1

ALGÈBRE LINÉAIRE

Exercice 1 (Dans M_n(C), tout hyperplan rencontre GLn(C). ) [10]-(2006).

Soit n ≥ 2.

Ê Montrer que si un hyperplan H de Mn(C) contient toutes les matrices nilpo- tentes, alors il contient une matrice inversible.

Ë Montrer que dans Mn(C), tout hyperplan rencontre GLn(C).

Ê H est un hyperplan de Mn(C) : il existe donc une forme linéaire non nulle ϕ sur Mn(C) telle que H = ker(ϕ). Tous les éléments Ei,j = ((δ_i,j^k,l))_k,l de la base canonique de M_n(C) sont, si i 6= j des matrices nilpotentes donc, vu les hypothèses, dans H . Dans ce cas, la matrice

A = E_n,1+

n−1

X

k=1

E_k,k+1=







0 1 0 . . . 0 ... . .. ... ... ...

... . .. ... 0

0 . .. 1

1 0 . . . 0







appartient àH comme combinaison linéaire d’éléments de H mais visiblement A ∈ GLn(C) d’où le résultat.

Ë Soit H = ker(ϕ), (ϕ ∈ Mn(C)^?\ {0}) un hyperplan de M_n(C).

ê Si H contient toutes les matrices nilpotente, il n’y a rien à démontrer vu la question précédente.

ê Sinon, considérons une matrice nilpotente N 6∈ H i.e. ϕ(N) 6= 0 et posons t := ϕ(I_n)

ϕ(N ) ∈ C.

Si ϕ(I_n) = 0 alors I_n ∈H ∩ GLn(C) et le tour est joué. Sinon, puisque ϕ(In− tN ) = 0 i.e.

I_n− tN ∈ H , et comme N est nilpotente (Nⁿ= 0) on peut écrire

I_n = I_n− tⁿNⁿ = (I_n− tN )

n−1

X

k=0

t^kN^k

!

=

n−1

X

k=0

t^kN^k

!

(I_n− tN ).

Autrement dit I_n− tN est inversible. CQFD. o

13

(16)

14/408 Petit Bestiaire d’Exercices pour l’Oral de l’Agrégation Interne Patrice Lassère

Exercice 2 (Dimension, bases et applications linéaires ) Soient E₁, E₂ deux sous-espaces de R¹⁰ vérifiant

E₁ ⊂ E₂, dim_RE₁ = 3, dim_RE₂ = 6.

Déterminer la dimension du sous espace E de L (R¹⁰) définit par E = T ∈ L (R¹⁰) : T (E₁) ⊂ E₁ & T (E₂) ⊂ E₂ .

Compétons une base {e₁, e₂, e₃} de E₁ pour obtenir une base {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆} de E₂; enfin, complétons la encore une fois pour obtenir une base B = {e1, . . . , e₁₀} de R¹⁰. Avec ce choix, la matrice d’un endomorphisme T ∈E sera de la forme

mat(T,B) =







? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

0 0 0 ? ? ? ? ? ? ?

0 0 0 0 0 0 ? ? ? ?







et par conséquent dim_RE = 9 + 18 + 40 = 67. o

Exercice 3 (Matrices et réduction) [10]

Soient A = 1 a 0 1

, B = b c 0 b

, C ∈ M₂(R). À quelle condition la matrice

A C 0 B

est-elle diagonalisable ?

Le résultat suivant est essentiel : soit M ∈ M_n(K) une matrice donc le polynôme caractéris- tique est scindé et s’écrit χ_M = (X − λ₁)^α¹. . . (X − λ_d)^α^d où les λ_i sont les valeurs propres deux à deux distinctes de M de multiplicités α_i ∈ N^?. Alors M est diagonalisable si, et seulement si, M annule (X − λ₁) . . . (X − λ_d).

Ici χ_M = (X − 1)²(X − b)². Distinguons deux cas :

ê Si b = 1. M est diagonalisable si, et seulement si, M = I4 soit a = c = 0 et C = 0.

ê Si b 6= 1. Dans ce cas, M est diagonalisable si, et seulement si, (M −I4)(M −bI4) = 0.

Un calcul direct montre que cette dernière condition équivaut à a = c = 0. En résumé, M est diagonalisable si, et seulement si

( a = c = 0 ) et ( b 6= 1 ou C = 0) .

o

version du 7 mars 2008

(17)

Patrice Lassère Petit Bestiaire d’Exercices pour l’Oral de l’Agrégation Interne 15/408

Exercice 4 (Une équation matricielle dans M₂(C) ) Montrer que l’équation

X^r =0 1 0 0

n’a pas de solutions dans M2(C) pour tout entier r ≥ 2.

Supposons qu’il existe r ≥ 2 et A ∈ M₂(C) tels que A^r =

0 1

0 0

. Alors A^2r =

0 0

, et le polynôme caractéristique χ_A(x) = ax²+ bx + c de A divise donc x^2r; ceci implique c = b = 0, soit χ_A(x) = x² et (Cayley-Hamilton) A² =

0 0

. Ainsi (comme r ≥ 2)

0 1

0 0

= A^r = A²A^r−2 =

0 0

ce qui est absurde : cette équation est bien sans solutions. o

Exercice 5 (Histoire de matrices nilpotentes ) [10]-(2003/04).

Soit A et B dans M_n(K) telles que ABAB = 0. A-t-on BABA = 0 ?

La réponse est oui si n 6 2, non si n > 2.

ê Si n = 1 : c’est clair. Si n = 2, on a (BA)³ = B(AB)²A = 0 donc BA est nilpotente ; comme elle est de taille 2, son indice est inférieur à 2 i.e. (BA)² = 0.

ê Pour n = 3, BA est nilpotente d’indice au plus 3 et AB d’indice de nilpotence au plus 2.

On va chercher A, B pour que AB soit d’indice 2 et BA soit d’indice 3 et plus précisément telles que, par exemple,

BA = N =

0 1 0

0 0 1

0 0 0

.

Comme Ker(A) doit être une droite (A n’est pas inversible et de rang supérieur à celui de N , donc de rang 2) incluse dans le noyau de N = BA, Ker(A) est engendré par (1, 0, 0).

De même Im(B) doit être un plan qui doit contenir l’image de N i.e. le plan engendré par (1, 0, 0) et (0, 1, 0).

On est donc amené à chercher sous les formes A =

0 a a⁰

0 b b⁰

0 c c⁰

et B =

d e f d⁰ e⁰ f⁰

0 0 0

. Un peu de calcul montre que A =

₀ ₁ ₀

0 0 1

0 0 0

et B =

₁ ₀ ₀

0 1 0

0 0 0

conviennent.

ê Pour n > 3 il suffit de border les matrices précédentes par des zéros. q

Exercice 6 (Autour du commutant ) [10]-(1998).

Déterminer la structure de l’ensemble E des endomorphismes ϕ ∈ L (Mn(R)) vérifiant

ϕ(^tB) =^tϕ(B), ∀ B ∈ M_n(R).

(18)

Si on désigne par T l’endomorphisme M 7→ ^tM de M_n(R), E n’est rien d’autre que le commutant de T et c’est donc une sous-algèbre de L (Mn(R)). Soit Sn (resp. An) l’espace vectoriel des matrices symétriques (resp. antisymétrique). Puisque M_n(R) = Sn⊕An, un endomorphisme ϕ vérifiant ϕ ◦ T = T ◦ ϕ doit laisser stable les deux sous-espaces propres de T que sont Sn et An. Mais inversement, un endomorphisme laissant stable Sn et An

satisfait (avec les notations évidentes) à

tϕ(B) =^tϕ(S + A) =^tϕ(S) +^tϕ(A) = ϕ(S) − ϕ(A) = ϕ(S − A) = ϕ ^t(S + A) = ϕ(^tB) ce qui montre que ϕ ∈E . L’algèbre E est donc constituée des endomorphisme de Mn(R) qui laissent stable les sous-espaces Sn et An. Il existe donc un isomorphisme évident

E −→ L (Sn) ×L (An) qui à ϕ associe le couple ϕ_/_S_n, ϕ_/_A_n. Il en résulte que

dim(E ) = n(n + 1) 2

2

+ n(n − 1) 2

2

= n²(n²+ 1)

2 .

q i Remarque : on retrouve dans la dernière formule le résultat connu mais plus délicate à établir, à savoir que la dimension du commutant est toujours une somme de carrés p²₁+

· · · + p²_k∈ {d, d + 1, . . . , d²) (ici d = n²) telle que p₁+ · · · + p_k= d.

Exercice 7 (Étude A 7→ A³ dans M₃(R) ) [10].

Déterminer l’image de l’application ϕ de M₃(R) dans M3(R) définie par ϕ(A) = A³.

Nous allons vérifier que cette image est constituée de toutes les matrices A ∈ M₃(R) sauf celles admettant 0 comme valeur propre multiple et qui ne sont pas diagonalisables.

Soit B ∈ M₃(R) et cherchons A ∈ M3(R) vérifiant ϕ(A) = A³. On distingue plusieurs cas pour B

ê B est diagonalisable sur R.

Il existe alors une base {u, v, w} de R³, des réels α, β, γ tels que Bu = αu, Bv = βv, Bw = γw.

λ, µ, ν ∈ R désignant les racines cubiques des valeurs propres α, β, γ, définissons la matrice A ∈ M₃(R) par

Au = λu, Av = µv, Aw = νw.

A est bien réelle et vérifie A³ = B et B admet bien un antécédent par ϕ.

ê B possède une valeur propre non réelle.

Les valeurs propres de B sont donc un réel α et deux complexes non réels conjugués ω etω.

Il existe un vecteur réel non nul u et un vecteur complexe z non nul tels que Bu = αu, Bz = ωz, et par suite, Bz = ωz.

(19)

Notons λ le réel racine cubique de α et soit θ une racine cubique de ω. La matrice A définie dans la base (u, z, z) de C³ par

Au = λu, Az = θz, Az = θz

vérifie A³ = B. En outre A envoie u sur λu, z sur θz et z sur θz. A est donc réelle et et B admet bien un antécédent par ϕ.

ê B possède une valeur propre réelle non nulle λ d’ordre 2 et n’est pas diagonalisable.

Les valeurs propres de B sont λ, λ, µ où µ est un autre réel. Posons α = λ^1/3, β = µ^1/3, on a donc

R³ = ker(B − λI₃)²⊕ ker(B − µI₃)

La dimension de ker(B − λI₃) n’est pas deux sinon B serait diagonalisable, elle vaut donc 1. Puisque dim ker(B − λI₃)² = 2, dim ker(B − λI₃) = 1, considérons u ∈ ker(B − λI₃)² \ ker(B − λI₃), v = (B − λI₃)u et w un vecteur non nul de ker(B − µI₃). on a ainsi construit une base (u, v, w) de R³ qui vérifie

Bu = λu + v, Bv = λv, Bw = µw.

Une matrice A ∈ M3(R³) vérifiant pour un certain réel c

Au = αu + cv, Av = αv, Aw = βw vérifiera

A³u = λu + 3α²cv, A³v = λv, A³w = µw de sorte que si c = 1

3α² : A³ = B.

ê B possède une valeur propre non nulle λ d’ordre 3 et n’est pas diagonalisable

Dans ce cas B = λ(I₃ + N ) où N est une matrice nilpotente non nulle. Posons α = λ^1/3 et cherchons A sous la forme A = α(I₃ + M ) avec M nilpotente. On a M³ = 0 donc A³ = λ(I₃+ 3M + 3M²) et tout se ramène à l’équation 3M + 3M² = N qui est vérifiée par M = 1

9(3N − N²). Une fois de plus B admet un antécédent.

ê B admet 0 comme valeur propre d’ordre 2 ou 3 et n’est pas diagonalisable.

Si l’équation A³ = B admet une solution, A admet aussi comme vaelur propre d’ordre 2 ou 3. Si 0 est valeur propre d’ordre 3 alors A est nilpotente, A³ = 0, ce qui est absurde puisque B n’est pas diagonalisable. Supposons donc que O soit valeur propre d’ordre 2 de A et notons α l’autre valeur propre (réelle). R³ = ker(A²) ⊕ ker(A − αI₃) mais A³ = B implique Bx = 0, ∀ x ∈ ker(A²) soit R³ = ker(B) ⊕ ker(B − α³I₃) : B est alors diagonalisable ce qui est exclut : tous les cas sont épuisés et la conclusion annoncée s’impose. q

Exercice 8 (Réduction des endomorphismes ) [45],

Pour n ∈ N^?, A ∈ M_n(C) on définit la matrice B ∈ M2n(C) par B =A A

0 A

Montrer que B est diagonalisable si, et seulement si A = 0.

(20)

Si A = 0 alors B = 0 est diagonalisable. Réciproquement, vu la forme de A la polynôme caractéristique de B vérifie

χ_B = (χ_A)² et on a

∀ k ∈ N, B^k=A^k kA^k 0 A^k

qui implique

(♦) P (B) =P (A) AP⁰(A)

0 P (A)

, ∀ P ∈ C[X].

En particulier, le polynôme minimal de B vérifie µ_B(A) = 0 et

(8) µ_A divise µ_B.

Supposons B diagonalisable, µB ne possède que des racines simples et comme A et B ont même ensemble valeurs propres avec (8) nous avons µA= µ_B qui avec (♦) implique

Aµ⁰_A(A) = 0.

µA divise donc Xµ⁰_A, les deux polynômes µA et Xµ⁰_A étant de même degré d dµ_A= Xµ⁰_A

soit µ_A = X^d. Mais µ_A = µ_B n’a que des racines simples, donc d = 1, µ_A(X) = X et

finalement A = 0. q

Exercice 9 (Encore deux démonstration de Cayley-Hamilton ) Quelques démontrations du Théorème de Cayley-Hamilton

∀ A ∈ M_n(C) : P_A(A) = 0.

Ê Preuve 1 : Si A ∈ Mn(C) est diagonalisable, il existe G ∈ GLn(C) telle que

A = G







λ₁ 0 . . . 0 0 λ₂ . . . 0 ... ... . .. ...

0 . . . 0 λ_n





 G⁻¹

si bien que

(21)

P_A(A) = G







P_A(λ₁) 0 . . . 0 0 P_A(λ₂) . . . 0 ... ... . .. ... 0 . . . 0 P_A(λ_n)







G⁻¹ = 0.

L’application continue

M ∈ M_n(C) 7→ PM(M ) ∈ M_n(C)

est donc nulle surDn(C), partie dense de Mn(C) (c.f. exercice 69) : elle est donc identiquement ^verifier

nulle. q

Ë Preuve 2 : On cherche à montrer que PA(A)x = 0 pour tout vecteur x. Soit donc x un vecteur non nul de Cⁿ (si x = 0 il n’y a rien à démontrer), notons Ex le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace stable par A de Cⁿ contenant x. Ex est de dimension 1 ≤ d ≤ n, et admet pour base {x, Ax, . . . , A^d−1x}.

Il existe donc a_n−1, . . . , a₁, a₀ dans C tels que

(F) A^dx = a_d−1A^d−1x + · · · + a₁Ax + a₀x.

Complétons alors la famille libre {x, Ax, . . . , A^d−1x} pour obtenir une base de Cⁿde la forme {x, Ax, . . . , A^d−1x, e_d+1, . . . , e_n}

Dans cette base la matrice A est de la forme

C_P ?

0 B

où B ∈ M_n−d(C) et CP est la matrice compagnon du polynôme P (X) = X^d− a_d−1X^d−1−

· · · − a₁X − a₀ i.e. :

C_P =







0 0 . . . 0 a₀ 1 0 . . . 0 a₁ 0 1 . . . 0 a₂ ... . .. ... ... ... 0 . . . 0 1 a_n−1





 .

on a donc P_A(X) = P_C_P(X)P_B(X), mais alors P_A(A)x = P_C_P(A)P_B(A)x

= P_B(A)P_C_P(A)x

= P_B(A)(A^dx − a_d−1A^d−1x − · · · − a₁Ax − a₀x) = 0 vu (F)

dans la seconde inégalité les deux endomorphismes P_C_P(A) et P_B(A) commutent légitime- ment comme polynômes en A. Ainsi P_A(A)x = 0, ∀x ∈ Cⁿ i.e. P_A≡ 0. q i Remarques : ê on notera l’extrême simplicité de cette dernière preuve (niveau pre- mière année).

(22)

ê Pour une autre démonstration moins classique voir l’exercice 94 et pour un joli bestiaire

ref

de preuves de Cayley-Hamilton consulter /httpblabla?????????

Exercice 10 (Étude de M₃(R) 3 B 7→ AB) ^[10]

Pour A ∈ M₃(R), considérons l’endomorphisme

ϕ_A : B ∈ M₃(R) 7→ ϕA(B) = AB ∈ M₃(R).

Si le déterminant de A est 32 et son polynôme minimal (t − 4)(t − 2), quelle est la trace de ϕ_A?

π_A(t) = (t − 4)(t − 2) est scindé à racines simples : A est diagonalisable et admet comme valeurs propres 4 et 2 de multiplicités respectives α et β ; le déterminant est donc det(A) = 32 = 2^α4^β soit α = 1 et β = 2 (le polynôme caractéristique de A est PA(t) =

−(t − 4)²(t − 2)...). Soit {v1, v2, v3} une base de vecteurs propres de A avec ker(A − 4I3) = vect{v1, v₂}, ker(A − 2I₃) = vect{v₃} et considérons les neuf matrices E_i,j ∈ M₃(R) 1 ≤ i, j ≤ 3 définies comme suit : la ième colonne de la matrice E_i,j est v_j les deux autres colonnes sont constituées de zéros. Les vecteurs v₁, v₂, v₃ formant une base de R³, les neuf matrices E_i,j sont linéairement indépendantes dans M₃(R) : c’est donc une base de M3(R).

Par ailleurs ce sont des vecteurs propres de ϕ_A car un calcul élémentaire nous montre que ϕ_A(E_i,j) = AE_i,j = λ_jE_i,j avec λ₁ = λ₂ = 4 et λ₃ = 2. Ainsi M₃(R) possède une base de vecteurs propres : ϕ_A est donc diagonalisable et sa trace est trace(A) = 6.4 + 3.2 = 30. q

Exercice 11 (A⁵+ A³+ A = 3I_d dans M_d(C)) ^[10]

Soit A ∈ Md(C) une matrice à valeurs propres réelles vérifiant A⁵+ A³+ A = 3Id, Montrer que A = Id.

Le polynôme p(t) = t⁵ + t³ + t − 3 est annulé par A donc π_A divise p. Les valeurs propres de A sont réelles et son polynôme minimal ne possède que des racines réelles, mais p⁰(t) = 5t⁴+ 3t²+ 1 > 0 sur R donc p ne possède qu’une racine réelle (il est de degré impair donc en possède au moins une mais il ne peut en avoir deux car sinon, par Rolle, p⁰ en aurait une...) et il n’est pas difficile de voir que p(1) = 0 cette racine est donc 1, en outre p⁰(1) 6= 0 ce n’est donc pas une racine multiple et par conséquent p(t) = (t − 1)q(t) où q est sans racines réelles. π_A divise donc le polynôme irréductible t − 1 i.e. π_A(t) = t − 1 et A + I_d.q

Exercice 12 (Polynôme minimal et dimension du noyau) [10]

Si le polynôme minimal d’un endormorphisme ϕ sur un espace vectoriel de dimen- sion 7 est π_ϕ(t) = t², quelles sont les valeurs possibles de dim (ker(ϕ)) ?

(23)

π_ϕ(t) = t², 0 est donc valeur propre de ϕ : dim (ker(ϕ)) ≥ 1, de l’autre côté puisque π_ϕ(t) 6= t, ϕ n’est pas l’endomorphisme nul i.e. dim (ker(ϕ)) ≤ 6 et enfin dim (ker(ϕ²)) ≤ 7.

Soit ψ, la restriction de ϕ à ker(ϕ²), par le théorème du rang : dim ker(ϕ²) = dim (ker(ψ)) + dim (im(ψ))

≤ dim (ker(ϕ)) + dim (ker(ϕ)) = 2 dim (ker(ϕ)) l’inégalité résultant des inclusions faciles à vérifier :

ker(ψ) ⊂ ker(ϕ) & im(ψ) ⊂ ker(ϕ).

Ainsi, nous avons

7 = dim ker(ϕ²) ≤ 2 dim (ker(ϕ)) & dim (ker(ϕ)) ∈ {1, . . . , 6}

soit

dim (ker(ϕ)) ∈ {4, 5, 6}

et les trois exemples ci-dessous montrent que les valeurs 4, 5, 6 sont toujours possibles ({e₁, . . . , e₇} désigne une quelconque base de notre espace) :

dim (ker(ϕ)) = 6, définir ϕ par ϕ(e7) = e₆ et ϕ(e_j) = 0 pour j < 7.

dim (ker(ϕ)) = 5, définir ϕ par ϕ(e7) = e₅, ϕ(e₆) = e₄ et ϕ(e_j) = 0 pour j < 6.

dim (ker(ϕ)) = 4, définir ϕ par ϕ(e7) = e₄, ϕ(e₆) = e₃, ϕ(e₅) = e₂ et ϕ(e_j) = 0 pour j < 5.

q

Exercice 13 (Étude de ϕ : A ∈ M_n(R) 7−→ ϕ(A) = −A + tr(A)In.) [10]

Étudier la diagonalisabilité de

ϕ : A ∈ Mn(R) 7−→ ϕ(A) = −A + tr(A)Iⁿ.

ϕ est bien entendu élément de L (Mn(R)). Soit λ une valeur propre de ϕ : il existe une matrice A non nulle telle que

ϕ(A) = −A + tr(A)I_n= λA si bien que

(1 + λ)A = tr(A)I_n (F)

ê Si la trace de A est nulle, λ est forcément (A est non nulle) égal à −1 et réciproquement, λ = −1 implique A de trace nulle : λ = −1 est bien valeur propre de ϕ et son sous-espace propre associé E−1 est le sous-espace constitué des matrices de trace nulle, classiquement de dimension n²− 1 (considérer la forme linéaire A 7→ tr(A) et appliquer le théorème du rang) ê Si la trace de A est non nulle, λ est différent de −1 et (F) nous donne

(24)

A = (1 + λ)⁻¹tr(A)I_n =⇒ tr(A) = ntr(A)

(1 + λ) =⇒ λ = n − 1 & A ∈ vect(I_n) i.e. λ = n − 1 est aussi valeur propre, et le sous-espace propre associé est la droite vectorielle engendrée par In donc de dimension 1.

ê En conclusion, ϕ admet deux valeurs propres −1 et n − 1, les sous-espaces propres associés sont de dimensions respectives n²− 1 et 1 donc de somme n² = dimMn(R) et ϕ est diagonalisable (et son polynôme caractéristique P_ϕ(x) = (−1)ⁿ²(x + 1)ⁿ²⁻¹(x + 1 − n)...).q

Exercice 14 (Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes)

([10], 1999/2000).

Soient A, B, C ∈ M2(R). Montrer qu’il existe (a, b, c) ∈ R³ \ {(0, 0, 0)} tel que aA + bB + cC possède une valeur propre double.

Dans l’espace vectoriel M₂(R) de dimension 4 il n’y a qu’une alternative : ou bien la famille {A, B, C} est liée et il n’y a rien à démontrer, ou bien elle est libre et dans ce cas l’ensemble

vect{A, B, C} = {aA + bB + cC, (a, b, c) ∈ R³}

sous-espace vectoriel de dimension 3 est alors tenu, pour des raisons évidentes de dimension, de rencontrer le sous-espace

a b 0 a

, (a, b) ∈ R²

de dimension 2 constitué de matrices à valeurs propres doubles.Le résultat suit. q

Exercice 15 (Rayon spectral et décomposition de Dunford) [38]

En utilisant la décomposition de Dunford, montrer que pour toute matrice A ∈ M_n(C) on a :

ρ(A) = lim

k→∞kA^kk^k¹

Par Dunford A = D+N avec D diagonalisable de mêmes valeurs propres que A, N nilpotente et N D = DN . donc pour k ≥ n on aura N^k= 0 et

A^k = (D + N )^k =

k

X

l=0

C_n^lD^k−lN^l=

n

X

l=0

C_n^lD^k−lN^l = D^k−n

n

X

l=0

C_n^lD^n−lN^l. Soit, en posant α = sup_0≤l≤n{kDk^n−lkN k^l}

kA^kk ≤ kDk^k−n

n

X

l=0

C_k^lkDk^n−lkN k^l≤ αkDk^k−n

n

X

l=0

C_k^l

!

or, pour 0 ≤ l ≤ n et k ≥ n

(25)

C_k^l ≤ k(k − 1) . . . (k − l + 1) ≤ k^l ≤ kⁿ si bien que

kA^kk ≤ α(n + 1)kⁿkD^k−nk et

(F) ρ(A) ≤ kA^kk¹^k ≤ (α(n + 1))¹^k kⁿ^kkD^k−nk¹^k, en remarquant enfin que lim

k→∞(α(n + 1))^k¹ kⁿ^k = 1 et lim

k→∞kD^k−nk¹^k = lim

k→∞

kD^k−nk^k−n¹ ^k−n_k

= lim

k→∞kD^k−nk^k−n¹ = ρ(D) = ρ(A) avec (F), il vient finalement ρ(A) = lim

k→∞kA^kk^k¹. q

Exercice 16 (Matrices nilpotentes)

Existe-t-il une matrice A ∈ M_n(R) nilpotente à coefficients > 0 ?

Si une telle matrice existe la matrice A^kest encore à coefficients > 0 pour tout entier k ∈ N ; mais A nilpotente implique (Cayley-Hamilton par exemple) Aⁿ = 0, contradiction. q

Exercice 17 (Matrice, comatrice et rang)

Soit A ∈ M_d(C), étudier le rang de la comatrice de A en fonction du rang de A.

L’identité suivante est toujours vérifiée dans Md(C)

t(com(A))A = A^t(com(A)) = det(A)I_d. et on a aussitôt :

rang(A) = d ⇐⇒ rang(^t(com(A))) = d, dans le cas contraire le déterminant de A est nul et notre formule devient

t(com(A))A = A^t(com(A)) = 0 soit, identifiant canoniquement matrice et endomorphisme

im(^t(com(A))) ⊂ ker(A)

& im(A) ⊂ ker(^t(com(A))) et par suite

∀ A ∈ M_d(C) rang^t(com(A)) + rang(A) ≤ d (8)

Si rang(A) = d − 1 la matrice A admet un mineur d’ordre d − 1 non nul et donc la comatrice de A admet un coefficient non nul, son rang est donc supérieur ou égal à 1 et

(26)

égal à 1, vu (8). De même det(A) = 0 et rang^t(com(A)) ≥ 1 exigent rang^t(com(A)) = 1 et rang(A) = d − 1.

Si rang(A) ≤ d−2 tous les mineurs d’ordre d−1 de A sont nuls et par suite la comatrice de A est la matrice nulle, donc de rang nul et réciproquement. Résumons nous







rang(A) = d ⇐⇒ rang^t(com(A)) = d,

rang(A) = d − 1 ⇐⇒ rang^t(com(A)) = 1 pour d ≥ 2, rang(A) ≤ d − 2 ⇐⇒ rang^t(com(A)) = 0.

q

Exercice 18 (Séries entières, algèbre linéaire )

Pour A ∈ M_d(C), quel est le rayon de convergence de la série entière fA(z) :=

P

k≥0tr(A^k)z^k?

Exprimer f_A en fonction du polynôme caractéristique et de ses dérivées.

Notons λ1, . . . , λ_d les valeurs propres de A comptées avec leur multiplicités. A est diagonalisable dans C et pour tout entier k

tr(A^k) =

d

X

j=0

λ^k_j

par conséquent, si les λ_j ne sont pas tous non nuls (i.e. A n’est pas nilpotente) le rayon de convergence de notre série entière est supérieur ou égal (et en fait égal) à

ρ := inf

λj6=0, 1≤j≤d |λj|⁻¹. Pour |z| < ρ

f (z) =X

k≥0

tr(A^k)z^k=X

k≥0

λ^k₁z^k+ · · · +X

k≥0

λ^k_dz^k

= 1

1 − λ₁z + · · · + 1 1 − λ_dz

= χ⁰_A(z⁻¹)

zχ_A(z⁻¹) (F)

Enfin, si A est nilpotente f ≡ d puisque tr(A^k) = 0 , ∀k ∈ N^? et tr(A⁰ = I_d) = d. Dans ce dernier cas, il faut remarquer que la formule (F) subsiste encore puisque χA(z) = (−1)^dz^d. q

Exercice 19 (Matrices semblables, polynômes)

Montrer que deux matrices réelles A, B ∈ M_n(R) semblables dans Mn(C) sont encore semblables dans M_n(R).