Exercices de cours du chapitre II

Exercices de cours du chapitre II

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Exercice 1I-1 : Machine d’Atwood

La machine d’Atwood schématisée par la figure ci-contre est constituée de deux masses supposées ponctuelles m

₁

et m

₂

reliées entre elles par un fil parfait (fil sans masse et inextensible) .

Le fil passe dans une poulie de rayon R, montée sur un pivot parfait d’axe

) , ( O z G

_o

, on note I le moment d’inertie de la poulie par rapport à l’axe de rotation. Nous supposons que le contact entre le fil et la poulie à lieu sans glissement.

La masse m

₁

est rappelée vers sa position d’équilibre par un ressort de raideur K. Une force F cos ω t est appliquée verticalement à la masse m

₂

les deux masses sont supposées guidées en translation. On choisira comme origine des déplacements la position à vide du ressort.

Le champ de pesanteur est défini par g G = − g y G _o ^{F cos} ω ^t

x G

_o

y G

_o

O

g G

(m₂) (m₁)

A – Recherche des équations du mouvement

• Justifier votre choix de paramétrage.

• Exprimer les équations de Lagrange.

• En déduire la position initiale du système B – Tensions dans le fil

On veut déterminer les tensions dans les deux brins du fil

• Justifier votre choix de paramétrage.

• Exprimer les équations de Lagrange.

a. Utiliser un bilan d’effort pour exprimer le travail virtuel des liaisons.

b. Utiliser les multiplicateurs de Lagrange, et analyser les expressions.

• En déduire les tensions dans le fils et retrouver l’équation du mouvement en θ

Annexe

Retrouver en les identifiant ces équations à partir du Principe Fondamental de la Dynamique.

Corrigé de l’exercice II-1 : Machine d’Atwood

Avant de vous lancer dans l'exercice il est utile de se rappeler la forme des équations de Lagrange, en connaissant l'origine des différents termes.

i i i

i i

L q D

Ep q

Ec q

Ec dt

d ⎟⎟ ⎠ = +

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂



∑ _⎟ ^⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

i

i i i

q q Ec q

Ec dt

A d δ

δ 

∑

∑ _⎟ ^{⎟ +}

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

=

i i i i

i i

i

q L q

q D Ep

T δ δ

δ

Recherche des équations du mouvement

Pour obtenir les équations du mouvement il faut que Le travail virtuel des efforts de liaison soit nul. Le paramétrage doit respecter toutes les liaisons (on traitre le problème réel).

Î δ T

_L

= 0 Liaisons supposées parfaites Paramétrage

M

^vt

de Poulie / Ro : liaison pivot ( O , z G

_o

)

Î un paramètre z G

_o

ψ /

M

^vt

de m

₁

/ Ro : translation Î un paramètre y ₁

M

^vt

de m

₂

/ Ro : translation Î un paramètre y ₂

Liaison par fil et non glissement du fil sur la poulie Î 2 équations ¹

2

y R

y R

ψ ψ

⎧ = −

⎨ = +

⎩









Gx_o yG_o

O

m₂ m₁

gG

y1

y2

ψ

cos F

ω

t

Exercices de cours du chapitre II

4 Nous conserverons le paramètre z G

_o

ψ / pour décrire les mouvements du système.

Énergies cinétique et potentielle du système

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 Ec ( / Σ R _o ) = I ψ  + m ( − R ψ  ) + m R ( ψ  ) = + ( I m R + m R ) ψ 

1 1 2 2 2 1

( ) ( )

E p Σ = m gy + m gy + cte = gR ψ m − m + cte ( ) ( _{1 1} ) ^{2 2} ( ₁ ) ²

2 2

p o o

k k

E k = y − y = R ψ ψ − y 1o représente la position à vide de l’extrémité du ressort

Le choix de l’origine Î ψ _{1 o} = 0

Travail virtuel des efforts

Le choix du paramétrage respecte les liaisons qui sont supposées parfaites δ T

_L

= 0

Le travail de l’effort appliqué à m

2

Î δ T _D = − F cos ω δ t . y ₂ = − FR cos ω δψ t

Équations de Lagrange : l _ψ ⇒ + ( I m R ₁ ² + m R ₂ ² ) ψ  + gR m ( ₂ − m ₁ ) + kR ² ψ = − FR cos ω t

C’est l’équation du mouvement du système.

Pour F = 0 Î la position d’équilibre statique est _eq g ( _{1 2} )

m m

ψ = kR −

À t= 0 Î la position initiale est _o g ( _{1 2} ) F

m m

kR kR

ψ = − −

Tensions dans le fil

Paramétrage Nous ne tenons pas compte des deux équations de liaison ¹ 2

y R

y R

ψ ψ

⎧ = −

⎨ = +

⎩

 





Nous conserverons les 3 paramètres : ψ , y y ₁ , ₂ . Le problème traité est un problème virtuel les deux liaisons par fil ne sont pas respectées.

Énergies cinétique et potentielle du système

2 2 2

1 1 2 2

2 Ec ( / Σ R _o ) = I ψ  + m y  + m y 

2

1 1 2 2 1

p 2

E = m gy + m gy + k y + Cte

Travail virtuel de l’effort F : δ T _D = − F cos ω δ t . y ₂

Travail virtuel des liaisons : δ T _L = δ T _{L 1} + δ T _{L 2}

Analyse physique :

remplaçons les brins de fil par les tensions T

1

et T

2

1 1 ( 1 )

T T T y R δ = δ + δψ

2 2 ( 2 )

T T T y R δ = δ − δψ

Multiplicateurs :

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

( )

( )

L L

T L y R

T L y R

δ λ δ λ δ δψ

δ λ δ λ δ δψ

= = +

= = −

y 2

δ x G

_o

y G

_o

O

(m₂) (m₁)

δψ

y 1

δ

T 2

T 1

T 2

T 1

Les multiplicateurs peuvent dans cette écriture s’identifier aux tensions.

Équations de Lagrange

Nous avons 3 équations pour 5 inconnues : ψ , y y T T ₁ , ₂ , , _{1 2}

1 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

( )

cos

y y

l I R T T

l m y m g ky T

l m y m g T F t

ψ ψ

ω

⎧ ⇒ = −

⎪⎪ ⇒ + + =

⎨ ⎪ ⇒ + = −

⎪⎩







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5 Plus les deux équations de liaison : ¹

2

0 0 y R y R ψ ψ

+ =

⎧ ⎨ − =

⎩

 



 …. Nous pouvons résoudre.

Par élimination de y y T T ₁ , ₂ , , _{1 2} nous retrouvons l’équation du mouvement en ψ

Par le PFD :

l _ψ représente l’équation de moment pour la poulie 1

l y représente l’équation de résultante pour m1 2

l y représente l’équation de résultante pour m2

Pour que la solution soit acceptable il faudra vérifier : T et T 1 2 > 0

On peut noter que pour I = 0 (poulie de masse négligeable) les tensions dans es fils sont identiques.