Interazione elettrone-nucleo
Si consideri un nucleo positivo di massa M ed un elettrone di massa m << M che incide sul protone con parametro di impatto b e velocit`a iniziale v0 (nella realt`a viene fissato l’impulso del fascio incidente, ma qu`ı affrontiamo il problema in maniera classica considerando l’elettrone come una sfera rigida carica).
L’interazione `e descritta da un potenziale del tipo U (r) = −k/r.
1. Determinare l’angolo di uscita α dell’elettrone, definito come l’angolo rispetto alla direzione di ingresso, in funzione del parametro di impatto b.
2. Dato un flusso costante φ(b, t) di elettroni, inteso come numero di eventi per unit`a di area e per unit`a di tempo, si determini la sezione d’urto in funzione dell’angolo di uscita.
Soluzione 1
L’energia di legame ha la stessa struttura di una interazione gravitazionale. Considerando il nucleo fermo, avendo massa molto maggiore di quella dell’elettrone, la traiettoria seguita sar`a una conica descritta, in coordinate polari, da:
r(θ) = d
1 − cos θ (1)
L’energia ed il momento angolare si conservano e, date le condizioni iniziali, valgono:
L = mv0b E = 1
2mv20 > 0 (2)
Essendo E > 0 la traiettoria `e una iperbole ed il valore minimo assunto da θ, corrispondente al coefficiente angolare dell’asintoto dell’iperbole, `e:
cos θm= 1
(3)
Inoltre l’eccentricit`a pu`o essere legata alla energia ed al momento angolare dalla relazione:
2− 1 = 2EL2
mk2 = m2b2v04
k2 (4)
avendo sostituito le espressioni (2) nell’ultimo passaggio.
Ne risulta che l’angolo minimo pu`o essere definito in funzione dei parametri iniziali, e quindi del parametro di impatto, come:
tan θm= mbv20 k ≡ 2b
λ (5)
avendo definito
λ = k E
1
Il parametro λ indica la direzione di massimo avvicinamento, nel caso di forze repulsive, se la carica incidente `e diretta verso il nucleo. Infatti nel caso di forze repulsive l’energia potenziale ha segno positivo:
U (r) = k r
ed al punto di massimo avvicinamento la componente cinetica si annulla.
L’angolo α di uscita `e legato a θm da:
α = π − 2θm Per cui:
tan α = tan(π − 2θm) = 2 tan θm
tan2θm− 1 (6)
Sostituendo, si trova la relazione fra parametro di impatto e angolo di uscita:
tan α = 4bλ
4b2− λ2 (7)
Soluzione 2
Sia adesso dato un flusso di elettroni incidenti:
φe= dN
dS dt = cost (8)
Tutti gli elettroni incidenti compresi in un anello di raggio b e spessore db avranno lo stesso angolo di uscita, per cui prendiamo, come elemento di superficie, proprio una tale corona circo- lare. Risulta:
dS = 2πb db
Il numero di elettroni uscenti in un angolo solido dΩ `e dato da:
dN
dΩ dt = dN
2πd cos α dt = dN
2πbdb dt · bdb
d cos α = φe
dσ
dΩ (9)
da cui la sezione d’urto dipende dalla derivata del parametro di impatto rispetto all’angolo di uscita:
dσ
dΩ = bdb
d cos α = bdb
sin αdα (10)
Notare che, pi`u correttamente, nell’ultimo passaggio avremmo dovuto mettere un segno −, indicando che se l’angolo aumenta, il coseno dell’angolo diminuisce, almeno nell’intervallo di definizione α = [0, π]. Normalemente si considera il modulo della sezione d’urto.
Per ricavare la derivata del parametro di impatto, `e necessario invertire la funzione (7).
Svolgendo i calcoli, risulta:
b = λ(1 + cos α)
2 sin α (11)
Per trovare la sezione d’urto conviene scrivere:
bdb d cos α = 1
2 db2
d cos α = λ2 8
d dx
(1 + x)2 1 − x2
(12) Derivando:
dσ
dΩ = λ2
4(1 − cos α)2 = λ2
16 sin4(α/2) (13)
Notare che questa relazione `e stata derivata per un potenziale attrattivo, tuttavia le formule scritte possono riferirsi anche ad un potenziale repulsivo: anche in questo caso la traiettoria `e iperbolica, con la differenza che il polo centrale si trova nel fuoco esterno al ramo di iperbole, ma l’angolo di uscita e la sua relazione con il parametro di impatto rimangono invariati. In effetti, quella scritta `e la sezione d’urto usata da Rutherford per descrivere l’interazione di particelle α (carica = +2e, massa = 4u) con una sottile lamina d’oro (carica = +79e, massa = 197u).
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