Compito di Fisica Matematica, 23/1/2012
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 9 cfu risolva almeno sei dei seguenti quesiti, quello di 6 cfu almeno quattro:
(1) Ottenere le singolarit`a ed i residui della funzione f (z) = (ze−1)(zα(z+π)22+1), α∈ R. Si calcoli poi la somma dei residui cos`ı ottenuti. Cosa si pu`o dire del residuo del punto all’infinito?
(2) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = (x + 5) χ[−π,π](x), in cui χ[−π,π](x)
`e la funzione caratteristica dell’intervallo [−π, π], e verificare che essa definisce una distribuzione temperata.
(3) Calcolare l’integrale
I =
∫ ∞
−∞
cos(x) dx x2+ 1
(4) Data la f (z) = cos(z)z2+1 ottenere le parti singolari in corrispondenza dei suoi punti singolari.
(5) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) = {
e2x, x∈ [−π5,π5];
0, altrove,
(6) Calcolare la derivata debole del segnale φ(t) = u(t− 1) sin2(t)et.
(7) Data la f (x) = N (x2+ 5) χ[−π,π](x), verificare in che condizioni questa `e una densit`a di probabilit`a. Ottenere la funzione cumulativa e la probabilit`a che il risultato della prova aleatoria assuma valori in [1, 3].
(8) Ottenere la funzione caratteristica della f (x) dell’esercizio precedente. Dedurre poi, ad- operando la funzione caratteristica, i momenti di ordine 1,2 e 3. Verificare questi risultati ad- operando la definizione di momento in termini della densit`a di probabilit`a.
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