EZEZZZjXERjXjXjjjjj =⋅++=⋅++=−⋅+−=−=− 1011010101010 rrr etteeeEe ()cos()Re[]Re[]Re[] =⋅=⋅=⋅=⋅ 11011 r

APPELLO DI ESAME --- 24 LUGLIO 2008

ESERCIZIO E.1.: Il bipolo tratteggiato in figura 1 opera in regime sinusoidale. Si desidera determinare i parametri Eeq e Zeq del circuito equivalente di tipo Thévenin ai morsetti A-B.

Si colleghi il bipolo all’impedenza di carico Z = R + jX e si determini: a) i valori di R e di X per cui è massima la potenza elettrica attiva assorbita dal carico Z; b) in queste condizioni si determinino i valori della potenza attiva e reattiva assorbite dal carico Z.

Sono noti: R1 = 10 ΩΩΩΩ; L = 10 mH; C = 10^-4 F = 100µµF; e(t) = 1·cos(10µµ ³·t)[V].

Si richiede, nella sostanza, di determinare il bipolo più semplice che risulti elettricamente equivalente al bipolo originario assegnato. Il bipolo in oggetto, dato che viene richiesto l’equivalente Thévenin, sarà costituito da un generatore reale di tensione, avente tensione a vuoto Eeq ed impedenza interna Z_eq, infatti il bipolo tratteggiato e quindi il bipolo ad esso equivalente operano in regime sinusoidale.

Quanto sopra detto viene mostrato nella figura 1a.

La tensione Eeq coincide proprio con la tensione fra i morsetti A e B della rete di figura 1 quando essa è posta a vuoto, ovvero quando il carico Z NON viene collegato. Dai dati forniti dalla traccia si evince che la sorgente indipendente di tensione e(t) presenta una pulsazione di valore ωωωω = 10³ rad/sec. Risultano, così, validate le seguenti posizioni, in termini di reattanze:

Ω

−

− =

=

⋅

⋅

= −

= −

Ω

=

⋅

⋅

=

=

−

−

−

10 10

1 10

100 10

1 1

10 10

10 10

1 6

3

3 3

X C

L X

C L

ω ω

Il fasore associato alla sinusoide tensione relativa alla sorgente indipendenti di tensione e(t) ammette la seguente scrittura complessa:

e t ( ) = ⋅ 1 cos( 10

³

t ) = Re[ 1 ⋅ e

^j103⋅t

] = Re[ 1 ⋅ e

^j0°

e

^j103⋅t

] = Re[ E e ⋅

^j103⋅t

] r

ovvero:

r

E

₁

= ⋅ 1 e

^j0°

= 1

Parimenti, le impedenze relative ai singoli dispositivi della rete vengono espresse, nel dominio dei fasori, con le seguenti scritture complesse:

Z jX j L j Z jX j

C j C j Z R

L

=

L

= =

C

=

C

= −

R

= = − = =

ω ¹⁰ ω ω

1 10

₁

10

Dato che le impedenze reattive induttiva e capacitiva ZL e ZC soddisfano la relazione ZC = −−−−ZL

si deve concludere che si è in presenza del fenomeno della risonanza serie. Per ispezione diretta della rete di figura 1, risulta, allora, particolarmente proficuo l’utilizzo, ai fini della determinazione della tensione equivalente E_eq, della regola del partitore resistivo; si ottiene infatti con immediatezza, la relazione che di seguito si esplicita:

r r r

E Z E

Z Z Z

jX E

R jX jX

j

j j

j j

eq C

R L C

C

L C

= ⋅

+ + = ⋅

+ + = − ⋅

+ − = − = −

1

10 1 10 10 10

10 10

Il fasore associato alla sinusoide tensione Eeq del generatore di Thévenin assume la forma polare:

r

E

_eq

= ⋅ 1 e

^{− jπ 2}

(figura - 1) R1

e(t)

^C

L

+ + + +

−

−−

−

B

Z

A

(figura - 1a)

E

eq

B

Z

Zeq A

+ + + +

−−−

− VAB=Eeq

Per il calcolo dell’impedenza equivalente Z_eq si deve fare riferimento alla rete immagine, valida nel dominio dei fasori, mostrata in figura 1b nella quale si evidenzia il collegato fra i morsetti A e B del generatore test VTX e l’annullamento della sorgente indipendente E. Per ispezione diretta si deduce che l’impedenza ZC è in parallelo con l’impedenza risultante costituita dalla serie di Z_R e Z_L. Quindi:

Z

_eq

= Z

_C

( Z

_R

+ Z

_L

)

Per dimostrare quanto affermato, si osserva che la applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo corrispondente al morsetto A consente di relazionare come segue:

r r r r r

I I I V

Z Z

V

TX R C TX

Z

R L

TX C

= + =

+ +

( )

ovvero, svolgendo i necessari passaggi algebrici, si perviene alla scrittura:

r r r

I V

Z Z Z V Z Z Z

Z Z Z

TX TX

R L C

TX C R L

C R L

= ⋅

+ +



  

  = ⋅ + +

⋅ +

1 1

( ) ( )

Ricordando la definizione d’impedenza equivalente Zeq di Thévenin si ottiene la relazione segue:

Z V

I

V

V Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

eq TX TX E

TX

TX R L C

C R L

C R L

R L C

R L C

= =

+ +

⋅ +

= ⋅ +

+ + = +

=

r r

r

r

r

0

( )

( )

( )

che conferma quanto precedentemente asserito. Procedendo con le dovute sostituzioni si ottiene:

Z Z Z Z

Z Z Z

jX R jX

R jX jX

j j

j j

j j

j j j j

eq C R L

R L C

C L

L C

= ⋅ +

+ + = ⋅ +

+ + = − ⋅ +

+ − =

= − ⋅ ⋅ +

= − ⋅ + = − + = −

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 1

10 10 10 10 10 10 10 10 1

10 10 1 10 10 10 10

L’impedenza equivalente Z_eq mostra una natura ohmico capacitiva ed è costituita, pertanto, da una resistenza equivalente Req di valore R_eq = 10 ΩΩΩΩ e da una reattanza capacitiva equivalente XCeq

di valore XCeq = −−−−10 ΩΩΩ. La conoscenza dell’impedenza equivalente ZΩ eq consente poi di definire quale deve essere la composizione dell’impedenza di carico Z affinché sia massima la potenza elettrica attiva assorbita dal carico Z stesso.

Il teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dal generatore al carico stabilisce che la condizione necessaria e sufficiente che deve essere soddisfatta, per garantire tale trasferimento, è che l’impedenza Z del carico sia coniugata dell’impedenza Z_eq della sorgente. Dovrà, pertanto, essere imposta la posizione seguente:

Z = Z

_eq^*

= ( R

_eq

+ jX

_eq

)

^*

= R

_eq

− jX

_eq

= 10 − − ( j 10 ) = 10 + j 10

il che implica le posizioni di seguito esplicitate:

Z = R + jX = 10 + j 10 ⇒ R = R

_eq

= 10 Ω X = − X

_eq

= 10 Ω

Affinché si verifichi il “massimo trasferimento” di potenza Attiva dal generatore al carico, la impedenza Z di quest’ultimo dovrà avere natura ohmico induttiva.

Al fine di determinare il valore della potenza attiva P e della potenza reattiva Q assorbite dal carico in condizioni di massimo trasferimento si prende in considerazione la figura 1d.

Il calcolo della corrente I_Z assorbita dal carico è definito dalla relazione seguente:

(figura - 1c) R1

VTX

1/jωωωCω jωωωωL

+ + + +

−

−

−

−

B A

I_TX

Zeq

IC

I_R

r

r

I E

Z Z

j

j j

j

Z

eq eq

= + = −

− + + = −

10 10 ( 10 10 ) 20

a cui corrisponde il fasore corrente:

r

I

_Z

= 1 e

^−j

⇒ I

_Z

= A = mA

20

^{π 2}

0 05 , 50

La determinazione delle due potenze richieste dalla traccia viene eseguita mediante il ricorso alle relazioni di seguito riportate

( )

P RI W mW

Q XI

VAR mVAR

Z

Z I I

= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

− − −

− − −

1 2

1

2 10 50 10 5 2500 10 12 5 10 12 5 2

1

2 10 50 10 125 10 12 5 10 12 5

2 3 2 6 3

2 2 6 4 3

, ,

, ,

Come verifica della correttezza dei risultati conseguiti si attivi la relazione costituente la definizione di potenza apparente A di un bipolo in regime sinusoidale, ottenendo così la scrittura seguente:

A

_Z

= 1 ⋅ V

_Z

⋅ I

_Z

= ⋅ Z I ⋅

_Z

⋅ I

_Z

= ⋅ Z ⋅ I

_Z

= ⋅ + j ⋅ − j 2

1 2

1 2

1

2 10 10 0 05

2 2

r r r r r

* *

( ) ( ) ( , )

dalla quale, svolgendo i necessari calcoli, si perviene alla scrittura seguente:

( )

A j j j j

j j j

Z

= + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + =

= + ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅

− −

− − − −

(5 ) ( ) (5 )

( ) ( , , ) , ,

5 5 10 25 10 5

125 125 10 12 5 12 5 10 12 5 10 12 5 10

2 2 4 2

4 3 3 3

Ricordando la relazione costitutiva, in campo complesso, della Potenza Apparente A di un bipolo, ovvero nel caso in esame:

A

Z

= P

Z

+ j·Q

Z, si ottiene:

P

Z

= 12,5·10

^-3

Watt = 12,5 mWatt e Q

Z

= 12,5·10

^-3

VAR

I

= 12,5 m VAR

I

ESERCIZIO E.2.: Nel circuito di figura 2 l’interruttore S si trova nella posizione A da molto tempo. All’istante t_O = 0 s l’interruttore commuta in posizione B. Si calcoli la corrente nello induttore iL(t) e la tensione vL(t) per t > 0 e se ne traccino i grafici. Sono assegnati: L = 1 mH;

R = 10 ΩΩΩΩ; ES = 20 V ed IS = 1 A.

Si tratta di determinare le caratteristiche del transitorio tramite il quale l’elemento reattivo conservativo induttanza L evolve da uno stato di equilibrio ad un altro, in conseguenza delle modificazioni della struttura della rete di appartenenza, ottenute per commutazione di appositi interruttori. In tale ambito si ricorda che la corrente che circola nell’induttanza è una variabile di stato ovvero definisce una funzione temporalmente continua.

L’andamento temporale della corrente

i

L

(t)

ai morsetti dell’induttanza per ogni

t ≥≥≥≥ t

O viene espresso dall’integrale particolare dell’equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti associata alla rete di figura 2, a partire da t ≥≥≥≥ tO, e che di seguito si riporta:

(figura - 1d)

E

eq

B

Z

Z_eq A

+ + + +

−

−

−

−

I_Z

(figura - 2) R

+ ++ +

−

−−

− E_S

R i_L(t)

L v_L(t)

R t_O = 0

S B

A

I_S

i

_L

t i

_L

i

_L

i

_L

t

_o

e

t to

( ) = ( ) ∞ − [ ( ) ∞ − ( )] ⋅

⁻

− τ

Pertanto, l’andamento temporale di i_L(t) è noto allorché sono calcolati i tre parametri: iL(t_O), i_L(∞∞∞) ∞ e ττττ. Data la continuità della variabile di stato iL(t) e posto t_O = 0, resta ovvia la posizione seguente:

i

_L

( 0 − = ) i

_L

( 0 + = ) i

_L

( ) 0

ovvero nell’istante in cui l’interruttore passa dalla posizione A alla posizione B la corrente iL(t) che circola nell’induttanza NON può cambiare il suo valore. Il calcolo della i_L(0−−−−) va, pertanto, svolto considerando la rete di figura 2a, nella quale la induttanza è modellata da un corto circuito, in quanto già completamente caricata; questo infatti costituisce l’interpretazione fisica dell’accezione l’interruttore S è nella posizione A da molto tempo. La rete di figura 2a evidenzia, per ispezione diretta, che essendo nulla la tensione vL(0-) sarà pure nulla la corrente IR che percorre la resistenza R che, appunto, è sottoposta alla tensione vL(0-); infatti, la legge di Ohm impone: IR= vL(0-)/R=0.

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo B consente di relazionare come di seguito riportato:

i

_L

( 0 − + ) I

_R

+ I

_S

= 0 ⇒ i

_L

( 0 − = − ) I

_R

− I

_S

= − − = − 0 1 1 A

Si perviene, così, alla definizione delle condizioni seguenti, valide all’istante t = 0⁻⁻⁻⁻:

i

_L

( 0 − = ) i

_L

( 0 + = ) i

_L

( ) 0 = − 1 A v

_L

( 0 − = ) 0 V

All’istante t=tO =0 secondi l’interruttore S si porta nella posizione B e vi rimane definitivamente.

Dopo molto tempo, certamente dopo un tempo superiore al tempo di assestamento, che attesta la fine del transitorio, l’induttanza, attesa la stabilità della rete, conseguirà un nuovo stato di regime che sarà caratterizzato da una nuova corrente ai suoi morsetti, imposta dalla modificata struttura della nuova rete di appartenenza, mostrata in figura2b. La rete valida per tutte le considerazioni che afferiscono all’istante t →→→→ ∞∞∞∞ è mostrata in figura 2b nella quale l’induttanza viene modellata dal bipolo corto circuito; per ispezione diretta si evince di nuovo che vL(∞∞∞) = 0 V, il che comporta il ∞ reiterarsi della condizione I_R=v_L(∞∞∞∞)/R=0A. Il corto circuito realizzato dall’induttanza L consente di calcolare, con facilità, la corrente I_G erogata dal generatore indipendente di tensione E_S; infatti con l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia che interessa il generatore di tensione E_S, la resistenza R, l’interruttore S e la induttanza L, si perviene alla relazione seguente:

E

_S

− v

_L

( ) ∞ = RI

_G , da cui si ricava:

I E v

R

E

R A

G

=

S

−

L

∞

S

= = =

( ) 20

10 2

Si applichi ora la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo B onde esplicitare la scrittura seguente:

I

_G

= i

_L

_{( )} ∞ + I

_R

+ I

_S

⇒ i

_L

_{( ) ∞ =} I

_G

₋ I

_S

_{= (} E

_S

R _{) −} I

_S

_{= 2 − = 1 1} A

Resta così da determinare la costante di tempo ττττ = L/RTH in cui R_TH rappresenta la resistenza equivalente Thévenin sentita dall’induttanza L. Il circuito da considerare è quello mostrato nella figura 2c. Dall’ispezione diretta del circuito, si evince immediatamente che entrambe le resistenze R collegate al generatore test sono sottoposte alla medesima tensione VTX; esse sono, per tanto,

(figura 2a: rete valida a t = 0-) R

+ ++ +

−

−−

− ES R

i_L(0-) v_L(0-)

R t_O = 0-

S B

A

I_S I_R

(figura 2b: rete valida a t = ∞∞∞)∞ R

+ ++ +

−

−−

− E_S R

i_L(∞∞∞∞) v_L(∞∞∞∞)

R t = ∞∞∞∞

S B

A

I_S I_R

IG

connesse in parallelo, ovvero: RTH = (R//R) = R/2 = 10/2 = 5 ΩΩΩΩ.

Al fine di verificare la correttezza del risultato ottenuto per la resistenza R_TH, come mostrato nella figura 2c, si osservi che: l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αα consente di αα scrivere quanto di seguito riportato:

I

_TX

= I

_R

+ I

_R

1 2

( ) 1

Parimenti per la legge di Ohm, valgono le seguenti ovvie posizioni:

I

_R

V

_TX

R I

_R

V

_TX

R

1

=

2

=

Atteso quanto premesso, è corretto esplicitare ciò che, in ossequio alla (1), di seguito si riporta:

I

_TX

= ( V

_TX

R ) + ( V

_TX

R )

, ovvero:

I V

R R V

TX

=

TX

⋅  +

TX

R

  

  =

1 1 2

V

_TX

= RI = R ⋅ ( 1 + β ) I

_TX

Ricordando la definizione di Resistenza equivalente RTH di Thévenin si perviene alla scrittura:

R V

I

V

V R

R V V

R R R

TH TX

TX Es I S

TX TX

TX TX

= =

⋅ = ⋅

⋅ = = = =

=

= 0 0

2 2 2

10

2 5

( ) ( ) Ω

Ciò premesso, consegue che la costante di tempo ττττ è fornita dalla relazione di seguito riportata:

τ = ( L R

_TH

) = ( 1 10 ⋅

⁻³

5 ) = ( 1000 5 10 ) ⋅

⁻⁶

= 200 10 ⋅

⁻⁶

s = 200 µ s

Si è ora in grado di determinare compiutamente la funzione temporale i_L(t) per ogni t ≥≥≥≥ tO; infatti, considerato, come indicato dalla traccia, che t_O = 0 si ottiene:

i t i i i t e i i i e

e e A

L L L L o

to t

L L L

t

t t

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]

[ ( )]

^{( )}

[ ]

= ∞ − ∞ − ⋅ = ∞ − ∞ − ⋅ =

= − − − ⋅ = − ⋅

− −

− ⋅ − − ⋅

τ

0

τ

1 1 1

^{200 10 6}

1 2

⁵⁰⁰⁰

Più sinteticamente si riporta la relazione conclusiva:

i

_L

( ) t = − ⋅ 1 2 e

^−5000⋅t

[ ] A

Per quanto attiene alla tensione vL(t), per t >>>> 0, la relazione costitutiva dell’induttanza L esplicita la seguente posizione:

v t L di t

dt R i i e v e

L L

TH L L

t

L

( ) ( )

t

[ ( ) ( )] ( )

^/

= = ⋅ ∞ − 0 ⋅

^{− τ}

= 0

⁺

⋅

^{− τ}

ovvero, operando le necessarie sostituzioni e semplificazioni:

v

_L

( ) t = R

_TH

⋅ [ ( ) i

_L

∞ − i

_L

( )] 0 ⋅ e

^{−t τ}

= ⋅ 5 1 [ − − ( 1 )] ⋅ e

^−5000⋅t

= 10 ⋅ e

^−5000⋅t

Più sinteticamente si riporta la relazione conclusiva:

v

_L

( ) t = 10 ⋅ e

^−5000⋅t

[ ] V

OSSERVAZIONE Come verifica del risultato ottenuto in relazione all’andamento temporale della tensione vL(t) ai morsetti dell’induttanza, per ogni t ≥≥≥≥ 0, si calcoli il valore della tensione vL(0+) all’istante t = 0+. In tale ambito, la rete da esaminare è quella mostrata in figura 2d nella quale la induttanza viene rappresentata percorsa da una corrente definita da: iL(0+) = i_L(0-) = i_L(0) = −−−−1 A.

(figura 2c: rete valida per il calcolo di RTH) R

+ ++ +

−

−− V_TX −

R I_TX

R t > 0

S B

A

I_R2 I_R1

α α

α α

Per ispezione diretta della rete si evince che la tensione v_L(0+) ai morsetti dell’induttanza L fornisce anche la tensione ai morsetti della resistenza R in parallelo all’induttanza stessa; la legge di Ohm si

traduce, quindi, nella scrittura seguente:

I

_R

( 0

⁺

) = V

_L

( 0

⁺

) R

Parimenti, l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia costituita dal generatore di tensione E_S, dall’interruttore S, dall’induttanza L, consente di relazionare come sotto riportato:

E

_S

− v

_L

( 0

⁺

) = R I ⋅

_G

( 0 + )

, da cui si ha:

I E v

G S

R

L

( ) ( )

0 0

+ = −

⁺

Si applichi, ora, la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αα facendo memoria che la corrente αα iL(t) nell’induttanza L è una variabile di stato, cioè che: iL(0+) = iL(0-) = iL(0). Atteso quanto premesso si ottiene la seguente relazione:

I

_G

( 0

⁺

) = i

_L

( 0

⁺

) + I

_R

( 0 + + ) I

_S , ovvero:

E v

R i v

R I

S L

L L

S

− +

= + +

( ) +

( ) ( )

0 0 0

Procedendo con i dovuti passaggi algebrici e le necessarie semplificazioni si ottengono le scritture di seguito esplicitate:

E

R I i v

R

v R

v R

E

R I i

S S L L L L S

S L

− − = +

+ + _⇒

⋅ +

= − −

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 0 0

2 0

0

v

E

R I i

R

R E

R I i

L

S S L

S

S L

( )

( )

( ) 0

0

2 2 0

+ =

 −

  

  −







 









 



= ⋅  −

  

  −



  

 

Ricordando, poi, le relazioni in precedenza ottenute, sia per la corrente iL(∞∞∞∞) sia per laresistenza equivalente di Thévenin RTH, e precisamente: iL(∞∞) = [(E∞∞ S/R) −−−− IS], RTH = R/2, si conclude come segue:

v R E

R I i R i i V

L S

S L TH L L

( 0 ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

2 0 0 5 1 1 10

+

= ⋅  −

  

  −



  

  = ⋅ ∞ − = ⋅ + =

I grafici che riportano l’andamento temporale della tensione v_L(t) e della corrente iL(t) ai morsetti dell’induttanza sono mostrati alla fine della trattazione, rispettivamente in figura 2f ed in figura 2e.

Tali grafici evidenziano, altresì, l’interpretazione geometrica della costante di tempo ττττ nonché le condizioni di regime con l’interruttore S sia nella posizione A, sia nella posizione B.

ESERCIZIO E.3.: Del doppio bipolo in figura 3, nell’ipotesi di operazionale ideale, si desidera determinare i parametri G.

Si chiede, sostanzialmente, di trovare, se esiste, il doppio bipolo equivalente a quello assegnato, modellato mediante i parametri G, precipui della formulazione controllata in tensione.

Nell’ambito della G−−−−rappresentazione le grandezze indipendenti sono rispettivamente le tensioni V₁ e V₂, alla porta d’ingresso ed alla porta d’uscita, mentre le grandezze dipendenti di conseguenza

(figura 2d: rete valida per t = 0+) R

+++ +

−−−

− E_S

R i_L(0+)

v_L(0+)

R L

t = 0+

S B

A

I_S I_R(0+)

I_G(0+)

sono le due correnti I₁ e I₂, rispettivamente, alla porta d’ingresso ed alla porta di uscita.

Quanto detto, in relazione alla rappresentazione a parametri G, trova adeguata rappresentazione circuitale come mostrato in figura 3a, in cui sono evidenziate le due sorgenti indipendenti esterne di tensione.

Il corrispondente modello matematico del doppio bipolo equivalente a “parametri G” ammette la seguente rappresentazione analitica:

Q I G V G V

I G V G V

G

:

^{1 11 1 12 2}

2 21 1 22 2

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

 



Attesa l’idealità dell’operazionale, asserita dalla traccia, constatata la presenza della resistenza R_C che collega l’uscita dell’operazionale con l’ingresso invertente dello stesso e che, per tanto, realizza il fenomeno della “reazione negativa”, attivando così il principio di traslazione del potenziale, si possono formulare le seguenti posizioni:

V

_D

= ( V

⁺

− V

⁻

) = 0 V ⇒ V

⁺

= V

⁻

I

⁺

= I

⁻

= 0 ma I

₁

= I

⁺

⇒ I

₁

= 0 A

La condizione ottenuta I₁ = 0 A, qualunque siano i valori delle sorgenti indipendenti di tensione V1

e V2, si traduce nelle seguenti implicazioni:

⇒ è zero il valore della tensione VA ai morsetti della resistenza R_A; infatti per la legge di Ohm si ha:

V

A

= R

A

·I

1

= 0 V

;

⇒ la tensione V⁺ al morsetto di ingresso non invertente dell’operazionale coincide con la tensione V₁ fornita dal generatore indipendente di tensione V1; infatti per la legge dell’irrotazionalità delle tensioni si ha:

V

1

−−−− V

A

−−−− V

⁺

= 0

, da cui risulta:

V

1

= 0 + V

⁺ =

V

⁺.

⇒ i parametri

G

11 e

G

12 hanno entrambe valore zero; infatti riconsiderando il modello matematico della rappresentazione a parametri G del doppio bipolo in oggetto si evince che:

I

₁

= ∀ 0 ( , V V

_{1 2}

≠ 0 ) ⇒ I

₁

= G V

_{11 1}

+ G V

_{12 2}

= 0 ⇒ G

₁₁

= G

₁₂

= 0

Per ispezione diretta della rete di figura 3a si evince, con immediatezza, che la tensione V₁ fornita ai morsetti di ingresso del doppio bipolo dal generatore indipendente di tensione V1 è applicata anche, per il già citato principio di traslazione del potenziale, ai morsetti della resistenza R_B e che, per la legge del partitore resistivo di tensione, detta V_O la tensione in uscita all’operazionale risultano giustificate le posizioni di seguito esplicitate:

R_C

(figura - 3) R_B

R_A

I₂

V₂ V₁

I1

+ + + +

−

−

−

−

R_D

R_C

(figura - 3a) RB

R_A

++ ++

−

−

−

−

RD

I2

V₂

+ + + +

− − −

−

V1

I₁

+ + + +

− −

− −

V⁻⁻⁻⁻ I⁻⁻⁻⁻ I⁺⁺⁺⁺

V_O V_D

V⁺⁺⁺⁺ V_A

V

⁺

= V

⁻

= V

₁

V R

R R V V R R

R V R

R V

B

B C

O O B C

B

C B

1

=

1

1

1

+ ⋅ ⇒ = +

⋅ =  +

  

  ⋅

Si è così in sostanza ricavata la relazione costitutiva afferente alla configurazione non invertente dell’amplificatore operazionale in termini di guadagno totale di tensione.

Ciò premesso, si osservi che è ora possibile esprimere la relaziona che lega la corrente I2 erogata dal generatore indipendente di tensione V₂ con la tensione V₂ stessa e con la tensione V₁ fornita dalla sorgente indipendente V1; infatti la legge di Ohm applicata alla resistenza RD consente di esplicitare la scrittura seguente:

V V R I I V V

R

V R

V R

V R

V R

R

O D O

R

D D

O

D D D

C B

2

− =

2

⇒

2

=

2

−

2 2 1

1

= − = − ⋅  +

  

 

Pertanto, la relazione esprimente il legame della corrente I₂ con le sorgenti indipendenti di tensione V1 e V2 assume la seguente forma conclusiva

I R

R

R V

R V

D

C

B D

2 1 2

1 1 1

= − ⋅  +

  

  ⋅ + ⋅

Il modello a parametri G di pertinenza del doppio bipolo di figura 3, è riconducibile alla forma:

Q I

I R

R

R R V

R V

G

D

C

D B D

:

1

2 1 2

0

1 1

=

= −  +

  

  ⋅ + ⋅



 



, ovvero:

Q

I V V

I R

R

R R V

R V

G

D

C

D B D

:

1 1 2

2 1 2

0 0

1 1

= ⋅ + ⋅

= −  +

  

  ⋅ + ⋅



 



a cui corrisponde la matrice G seguente:

G G G

G G

R

R

R R R

D

C

D B D

= 

  

  = − −





 





 

11 12

21 22

0 0

1 1

La matrice della rappresentazione G è singolare, infatti il suo determinante è nullo; pertanto, essa È NON INVERTIBILE e da ciò discende che NON ESISTE la matrice della rappresentazione a parametri R.

Grafici delle curve caratteristiche del transitorio i

L

(t) e v

L

(t) – esercizio E2

(figura 2e - Evoluzione temporale della corrente iL(t) circolante nell’induttanza L)

(figura 2f - Evoluzione temporale della tensione v_L(t) ai morsetti dell’induttanza L)