Determinare l’antipolo della retta r
Determiniamo inizialmente il baricentro fissando arbitrariamente un sistema di riferimento x e y.
Dalle formule del baricentro
A y S A
xG = Sy , G = x scomponendo il sistema in due rettangoli R1 ed R2 si ha:
( ) ( )
( ) ( )
a a a
a a a a A
A S S A
y S
a a a
a a a
a A
A S S A
x S
x x x
G
y y y
G
4 3 2
2 2 2 2
4 5 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2 1
+ =
⋅ +
⋅ + =
= +
=
+ =
⋅ +
⋅ + =
= +
=
Fissato quindi un sistema ortogonale baricentrico Ox0y0 , calcoliamo i momenti d’inerzia e centrifugo rispetto a tale sistema.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )1 ( )2 2 2 4
4 2
2 2 3
2 3
2 1
4 2
2 2 3
2 3 2
1
4 3 4
4 2 3 4 4 2 3
12 37 4
2 3 12 2 4
2 3 12
2
12 13 2 4
12 2 2 4
12 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
a a a a a
a a
I I
I
a a
a a a a
a a I a
I I
a a a a
a a a
a I a
I I
y x y x y x
y y y
x x x
−
=
−
⋅
+
−
⋅
= +
=
=
⋅
⋅ +
+
⋅
⋅ +
= +
=
=
⋅
⋅ +
+
⋅
⋅ +
= +
=
Determiniamo ora i momenti principali d’inerzia e le direzioni principali.
Dalla matrice d’inerzia il calcolo dei relativi autovalori ( momenti principali d’inerzia ).
4 2
4 4 1
4 2
, 1 8
4 2
4 4
4 4
4
4 4
6 5 3 10 36
45 0 75
50 75
18
16 0 9 12
37 12
0 13 12
37 4
3 4
3 12
13
0 0
0 0 0
0 0 0
a I
a a I
a a a
a a
a a
a
a a
I I
I I I
M
y x y
y x
y x x
=
=
=
=
± =
=
⇒
= +
−
=
−
−
−
⇒
=
−
−
− =
−
−
⇒ −
=
−
λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
Per i relativi autospazi ( direzioni principali ) si ha : MX =λX
0 0 0
4 0
4 0
4
0 4 0
4 0
4
0 4 0 0
0 4 4
4 4
4 1
0 0 0
0 4 4
4 4
3 3
10 12
37 4
3
3 10 4
3 12
13 3
10 12
37 4
3
4 3 12
13
3 10 12
37 4
3 4
3 12
13
x y y
a y
a x
a
x a y
a x a y
a x y
x a a
a a
a y per
x y
x a a
a a
=
→
= +
= +
→
=
⋅
=
→
=
⋅
λ λ
0 0
0 4 0
4 0
4
0 4 0
4 0 4
0 4 0
0 0 4 4
4 4
4 2
0 0 0
0 4 4
4 4
3 1 6
5 12
37 4
3
6 5 4
3 12
13 6
5 12
37 4
3
4 3 12
13
6 5 12
37 4
3 4
3 12
13
x y
y a y
a x
a
x a y a x a y
a x y
x a a
a a
a y per
x y
x a a
a a
−
=
→
= +
= +
→
=
⋅
=
→
=
⋅
λ λ
Determiniamo ora l’equazione della retta r rispetto al sistema baricentrico Ox0y0
Come si evince dal sistema dato , la retta r è inclinata rispetto agli assi x0 e y0 di un rapporto 1:2 e incidente l’asse y0 nell’ordinata a
8
7 , da cui l’equazione : y x a 8 7 2 1
0
0 =− + .
Determiniamo ora i punti di intersezione (nel sistema Ox0y0) della retta r con gli assi principali y
e
x .
−
→
−
=
+
−
=
→
=
+
−
=
a a B x
y
a x y
a a A x
y
a x y
3 , 7 4 21
3 1
8 7 2 1
4 , 3 3 4
8 7 2 1
0 0
0 0
0 0
0 0
Le coordinate dei punti A e B rispetto al sistema principale Oxy diventano :
−
→
=
−
+
=
→
=
+
=
a B
a a
a GB
a A
a a a
GA
12 , 4753 12 0
4753 3
7 4
21
0 4 , 10 4
10 4
3 4
2 2
2 2
l’equazione della retta r nel sistema Oxy : y x a y 7,267x 5,745a 12
4753 3
3 ,
475 − → = −
=
da cui nella forma antipolare : 1,265 0,174 1 0
= + +
− y
x a a
Ricordando le formule dell’antipolo :
2 2
, x
y r
c r b c
R a , con
A I A r
r I y
y x
x2 = , 2 =
4
4 5
10a a
Ricordiamo inoltre che poiché la retta r è , per il sistema di masse , una retta inviluppante l’antipolo determinato rappresenta uno dei vertici del nocciolo d’inerzia.
Allo stesso modo la ricerca dei momenti principali d’inerzia e le relative direzioni principali si possono determinare tramite il circolo di Mohr.
Dalle coordinate dei punti :
( )
(
00,, 0 00 0)
2 1
y x y
y x x
I I D
I I D
−
=
= si ha :
=
−
=
4 4 2
4 4
1
4 , 3 12 37
4 , 3 12 13
a a D
a a
D
Le coordinate del centro :
=
⇒
+
= ,0
12 0 25
2 ,
4
0
0 I C a
C Ix y
Il raggio
( )
2 2 44 5 2
4 0 0 0
0 I I R a
I
R x − y + xy ⇒ =
=
Da cui :
( )
2 43 4 10
2 0 0 0 0
0
0 I I I I a
I Ix y x y xy
x + + − + =
=
( )
2 46 4 5
2 0 0 0 0
0
0 I I I I a
I Ix y x y xy
y + − − + =
=
il valore dell’angolo di rotazione ϕ è dato da :
43 . 3 18
1
6 5 12
37 4 3
1 4
4 4 1
1
0 0
0 =− °
−
=
−
−
=
= − − − tg−
a a
a I tg
I tg I
y y y
ϕ x
Le equazioni degli assi x e y rispetto al generico sistema Oxy sono :
x y
y
x y x
3 1 3
−
=
→
=
→
Per il calcolo quindi dell’antipolo si procede poi come sopra ( pag. 5 , 6 ) .
