algebra
Divisione di due polinomi
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premessa
Assegnati un polinomio dividendo ππ(π₯π₯) di grado n e un polinomio divisore ππ(π₯π₯) di grado m con n β₯ m, dividere ππ(π₯π₯) per ππ(π₯π₯) vuol dire trovare il polinomio quoziente ππ(π₯π₯), di grado m β n, e il polinomio resto π π (π₯π₯), di grado minore di m oppure di grado nullo, per i quali risulta:
ππ(π₯π₯) = ππ(π₯π₯) β ππ(π₯π₯) + π π (π₯π₯)
cioè: DIVIDENDO = DIVISORE
β
QUOZIENTE + RESTO Il polinomio quoziente e il polinomio resto sono unici.Se π π (π₯π₯) = 0 il polinomio ππ(π₯π₯) si dice divisibile per il polinomio ππ(π₯π₯) e la divisione si dice esatta
Vediamo in dettaglio, con i seguenti esempi, come si trovano i polinomi quoziente e resto esempi
1. Eseguiamo la seguente divisione:
οΏ½ππ β ππππ
ππ+ ππππ
ππ+ πποΏ½ βΆ (ππ + ππ
ππβ ππ)
(3π₯π₯5β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5) βΆ (π₯π₯2β π₯π₯ + 1) si ordinano, se necessario, i polinomi secondo le potenze decrescenti della π₯π₯
(3π₯π₯5+πππ₯π₯4+πππ₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5) si completano, se necessario, i polinomi dividendo e divisore con gli eventuali termini mancanti
si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il polinomio divisore a destra
si divide il primo termine (3π₯π₯5) del polinomio dividendo per il primo termine (π₯π₯2) del polinomio divisore e si scrive il risultato ππππππ nello spazio in basso a destra
si moltiplica il monomio trovato (3π₯π₯3) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
Tale operazione porta allβeliminazione del termine di grado massimo
si divide il primo termine (3π₯π₯4) del polinomio ridotto per il primo termine (π₯π₯2) del polinomio divisore e si scrive il risultato ππππππ nello spazio in basso a destra
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1 ππππππ
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1 ππππππ
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1 ππππππ
β3π₯π₯5+ 3π₯π₯4β 3π₯π₯3
β3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 3π₯π₯4β 3π₯π₯3
0
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1 ππππππ+ ππππππ
β3π₯π₯5+ 3π₯π₯4β 3π₯π₯3
β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 3π₯π₯4β 3π₯π₯3
β3π₯π₯5+3π₯π₯4β3π₯π₯3
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Divisione di due polinomi
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si moltiplica il monomio trovato (3π₯π₯2) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
PoichΓ© il grado del resto parziale ottenuto Γ¨ uguale a quello del polinomio divisore, si procede ulterior- mente con la divisione
si divide il primo termine (β6π₯π₯2) del polinomio ridotto per il primo termine (π₯π₯2) del polinomio divisore e si scrive il risultato βππ nello spazio in basso a destra
si moltiplica il monomio trovato (β6) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
PoichΓ© il grado del resto ottenuto Γ¨ inferiore a quello del polinomio divisore, la divisione finisce
Per definizione di divisione si ha:
DIVIDENDO = QUOZIENTE
β
DIVISORE + RESTOοΏ½ππππ
ππβ ππππ
ππ+ ππ + πποΏ½ = (ππππ
ππ+ ππππ
ππβ ππ) β (ππ
ππβ ππ + ππ) + (βππππ + ππππ)
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1 ππππππ+ ππππππ
β3π₯π₯5+ 3π₯π₯4β 3π₯π₯3
β3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 3π₯π₯4β 3 π₯π₯3
β3π₯π₯4+3π₯π₯3β3π₯π₯2
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1 ππππππ+ ππππππ
β3π₯π₯5+ 3π₯π₯4β 3π₯π₯3
β3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 3π₯π₯4β 3 π₯π₯3
β3π₯π₯4+3π₯π₯3β3π₯π₯2
0 0 β 6π₯π₯2+ π₯π₯ + 5
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1 ππππππ+ ππππππβ ππ
β3π₯π₯5+ 3π₯π₯4β 3π₯π₯3
β3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 3π₯π₯4β 3 π₯π₯3
β3π₯π₯4+3π₯π₯3β3π₯π₯2
β 6π₯π₯2+ π₯π₯ + 5
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1 ππππππ+ ππππππβ ππ
β3π₯π₯5+ 3π₯π₯4β 3π₯π₯3
β3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 3π₯π₯4β 3 π₯π₯3
β3π₯π₯4+3π₯π₯3β3π₯π₯2
β 6π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 + 6π₯π₯2β6π₯π₯+6
3π₯π₯5+ 0π₯π₯4+ 0π₯π₯3β 3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 π₯π₯2β π₯π₯ + 1 ππππππ+ ππππππβ ππ
β3π₯π₯5+ 3π₯π₯4β 3π₯π₯3
β3π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 3π₯π₯4β 3 π₯π₯3
β3π₯π₯4+3π₯π₯3β3π₯π₯2
β 6π₯π₯2+ π₯π₯ + 5 + 6π₯π₯2β6π₯π₯+6
β5π₯π₯ + 11 0
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2. Eseguiamo la seguente divisione:
(ππππ + ππππ
ππβ ππππ
ππβ ππ) βΆ (ππ
ππβ ππππ + ππ)
(2π₯π₯3β 7π₯π₯2+ 8π₯π₯ β 3) βΆ (π₯π₯2β 2π₯π₯ + 1) si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della π₯π₯. Si completano, se necessario, i due polinomi
si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il polinomio divisore a destra
si divide il primo termine (2π₯π₯3) del polinomio dividendo per il primo termine (π₯π₯2) del polinomio divisore e si scrive il risultato ππππ nello spazio in basso a destra
si moltiplica il monomio trovato (2π₯π₯) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
Tale operazione porta allβeliminazione del termine di grado massimo
si divide il primo termine (β3π₯π₯2) del polinomio dividendo ridotto per il primo termine (π₯π₯2) del polinomio divisore e si scrive il risultato βππ nello spazio in basso a destra
si moltiplica il monomio trovato (β3) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
Si osserva che, in questo caso, il polinomio resto Γ¨ zero
Per definizione di divisione si ha:
DIVIDENDO = QUOZIENTE
β
DIVISORE(ππππ
ππβ ππππ
ππ+ ππππ β ππ) = (ππππ β ππ) β (ππ
ππβ ππππ + ππ)
2π₯π₯3β 7π₯π₯2+ 8π₯π₯ β 3 x2β 2π₯π₯ + 1
2π₯π₯3β 7π₯π₯2+ 8π₯π₯ β 3 x2β 2π₯π₯ + 1 ππππ
2π₯π₯3β 7π₯π₯2+ 8π₯π₯ β 3 x2β 2π₯π₯ + 1 ππππ
β2π₯π₯3 +4π₯π₯2 β2π₯π₯
2π₯π₯3β 7π₯π₯2+ 8π₯π₯ β 3 x2β 2π₯π₯ + 1 ππππ
β2π₯π₯3 +4π₯π₯2 β2π₯π₯ 0 β3π₯π₯2+ 6π₯π₯ β 3
2π₯π₯3β 7π₯π₯2+ 8π₯π₯ β 3 x2β 2π₯π₯ + 1
β2π₯π₯3 +4π₯π₯2 β2π₯π₯
β3π₯π₯2+ 6π₯π₯ β 3 ππππβ ππ
2π₯π₯3β 7π₯π₯2+ 8π₯π₯ β 3 x2β 2π₯π₯ + 1
β2π₯π₯3 +4π₯π₯2 β2π₯π₯
β3π₯π₯2+ 6π₯π₯ β 3 ππππ β ππ +3π₯π₯2β6π₯π₯+3
2π₯π₯3β 7π₯π₯2+ 8π₯π₯ β 3 x2β 2π₯π₯ + 1
β2π₯π₯3 +4π₯π₯2 β2π₯π₯
β3π₯π₯2+ 6π₯π₯ β 3 ππππ β ππ +3π₯π₯2β 6π₯π₯ +3
0
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3. Eseguiamo la seguente divisione:
(ππππ + ππππ
ππβ ππππ
ππβ ππ) βΆ (ππ
ππ+ ππ)
(2π₯π₯3β 3π₯π₯2+ 2π₯π₯ β 3) βΆ (π₯π₯2+ 0π₯π₯ + 1) si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della π₯π₯. Si completano, se necessario, i due polinomi
si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il polinomio divisore a destra
si divide il primo termine (2π₯π₯3) del polinomio dividendo per il primo termine (π₯π₯2) del polinomio divisore e si scrive il risultato ππππ nello spazio in basso a destra
si moltiplica il monomio trovato (2π₯π₯) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
Tale operazione porta allβeliminazione del termine di grado massimo
si divide il primo termine (β3π₯π₯2) del polinomio dividendo ridotto per il primo termine (π₯π₯2) del polinomio divisore e si scrive il risultato βππ nello spazio in basso a destra
si moltiplica il monomio trovato (β3) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
Si osserva che, in questo caso, il polinomio resto Γ¨ zero
Per definizione di divisione si ha:
DIVIDENDO = QUOZIENTE
β
DIVISORE(ππππ
ππβ ππππ
ππ+ ππππ β ππ) = (ππππ β ππ) β (ππ
ππ+ ππ)
2π₯π₯3β 3π₯π₯2+ 2π₯π₯ β 3 x2+ 0π₯π₯ + 1
2π₯π₯3β 3π₯π₯2+ 2π₯π₯ β 3 x2+ 0π₯π₯ + 1 ππππ
2π₯π₯3β 3π₯π₯2+ 2π₯π₯ β 3 x2+ 0π₯π₯ + 1 ππππ
β2π₯π₯3 β0π₯π₯2 β2π₯π₯
ππππ
β2π₯π₯3 β 0π₯π₯2 β2π₯π₯ 0 β3π₯π₯2+ 0π₯π₯ β 3
x2+ 0π₯π₯ + 1 2π₯π₯3 β 3π₯π₯2+ 2π₯π₯ β 3
β2π₯π₯3 β 0π₯π₯2 β2π₯π₯
β3π₯π₯2+ 0π₯π₯ β 3 ππππβ ππ x2+ 0π₯π₯ + 1 2π₯π₯3 β 3π₯π₯2 + 2π₯π₯ β 3
β2π₯π₯3 +0π₯π₯2 β2π₯π₯
β3π₯π₯2+ 0π₯π₯ β 3 ππππ β ππ +3π₯π₯2β0π₯π₯+3
x2+ 0π₯π₯ + 1 2π₯π₯3 β 3π₯π₯2 + 2π₯π₯ β 3
β2π₯π₯3 +4π₯π₯2 β2π₯π₯
β3π₯π₯2+ 0π₯π₯ β 3 ππππ β ππ +3π₯π₯2β 0π₯π₯ +3
0
x2+ 0π₯π₯ + 1 2π₯π₯3β 3π₯π₯2+ 2π₯π₯ β 3
