ERRATA CORRIGE dell’Esercizio 10 sugli estremi assoluti
Testo (corretto) dell’esercizio: Si consideri la funzione f (x, y) = 3x2+ 3y2+ 2 ∀ (x, y) ∈ R2. Calcolare i valori di minimo e di massimo assoluto di f sul quadrato
(1) Q =
{
(x, y)∈ R2 : |x| + |y| ≤
√2 2
}
A lezione `e stato proiettato il lucido con un testo sbagliato, nel quale il dominio era dato da (per evitare confusione, chiamiamolo diversamente)
(2) Q′ =
{
(x, y)∈ R2 : |x| ≤
√2
2 e |y| ≤
√2 2
}
Si noti che
• Q in (1) `e un quadrato (di fatto, un rombo) con vertici nei punti
(
√2
2 , 0), (0,
√2 2 ), (−
√2
2 , 0), (0,−
√2 2 );
• Q′ in (2) `e un quadrato con vertici nei punti
(
√2 2 ,
√2 2 ), (−
√2 2 ,
√2 2 ), (−
√2 2 ,−
√2 2 ), (
√2 2 ,−
√2 2 ).
Esercizio: risolvere ora l’esercizio: Si consideri la funzione
f (x, y) = 3x2+ 3y2+ 2 ∀ (x, y) ∈ R2.
Calcolare i valori di minimo e di massimo assoluto di f sul quadrato Q′ dato da (2).
Idea dello svolgimento:
1. con il metodo differenziale si vede che (0, 0) `e il punto di minimo assoluto;
2. con il metodo delle curve di livello (= circonferenze di centro (0, 0) e raggio
√k−2 3 ) si cercano i punti di massimo assoluto; si vede che il valore di massimo assoluto `e 5 (in corrispondenza alla circonferenza circoscritta al quadrato, cio`e passante per il punto (√22,√22)).
3. I punti di massimo assoluto sono i vertici di Q′.
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