Errata-Corrige al volume

Errata-Corrige al volume

M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Edizione 2007, Pitagora editrice, Bologna 2007.

Malgrado le migliori intenzioni degli autori, il volume contiene imprecisioni ed errori. Qui di seguito sono elencati gli errori noti agli autori ad oggi e le correzioni da apportare al volume in oggetto.

Saremo grati a quanti vorranno comunicarci ulteriori errori, imprecisioni o anche critiche agli indirizzi

giaquinta@sns.it giuseppe.modica@unifi.it.

Pisa e Firenze, 1 novembre 2012

Mariano Giaquinta Giuseppe Modica

Pagina Errore Correzione

4

12









 x

1

x

2

.. . x

n



















 x

¹

x

²

.. . x

ⁿ











8

¹⁸

aventi avente

12

^7,9,10

X R

ⁿ

12

10

P

n

j=1

(3 volte) P

k

j=1

12

4

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) (x

¹

, x

²

, . . . , x

ⁿ

) 12

4

(y

1

, y

2

, . . . , y

n

) (y

¹

, y

²

, . . . , y

ⁿ

)

13

¹¹

x ∈ X x ∈ R

ⁿ

20

6

le cui la cui

21

9,10

ϕ (5 volte) ℓ

23

11

. Mostrare , mostrare

25

²⁰

z ∈ X di z ∈ X

27

⁶

e

^′₁

:= e

1

:=

28

¹²

e

i

, i = 1, . . . , n e

j

, j = 1, . . . , k 28

¹³

P

n

i=1

(2 volte) P

k

i=1

28

¹⁴

. . . , n . . . , k

28

¹⁴

(e

1

, e

2

, . . . , e

n

) (e

1

, e

2

, . . . , e

k

)

29

⁸

= n = n := dim X

29

19

Sia X `e uno Sia X uno

29

8

F := L(x)x F := L(x)x

32

7

n − dim ker L dim X − dim ker L

34

7

poiezione proiezione

34

6

dunqe dunque

34

3

di decompone si decompone

35

16

L(y) := y • w

L

. L(y) = y • w

L

∀y ∈ X.

35

11

. . . (x

n

|w) . . . , (x

m

|w)

39

¹¹

B = SAS

⁻¹

B = S

⁻¹

AS

40

¹⁵

E’ d’uso chiamare molteplicit` a di un autova-

lore la sua molteplicit` a algebrica.

40

¹⁵

autovalore . . . di A ∈ M

n,n

(K) autovalore di A ∈ M

n,n

(K)

42

⁶

A `e simile ogni matrice associata ad A `e simile

43

¹⁸

Segue dalla ... che Segue che

43

¹⁸

quindi P

n

k=1

dim V

λi

= n. quindi dalla Proposizione 5.3 che

P

n

k=1

dim V

λi

= n.

44

²

vettoriale . . . finita. vettoriale di dimensione n su K.

44

2

dimensione finita. dimensione n.

45

16

λ

i

, i = 1, . . . , n λ

i

, i = 1, . . . , k 45

2

h

e

¹_1,1

, e

²_1,1

, . . . , e

¹_1,2

, e

²_1,2

, . . . , e

¹_2,1

, e

²_2,1

, . . . i h

e

¹_1,1

| e

²1,1

| . . . | e

¹1,2

| e

²1,2

| . . . | e

¹2,1

| e

²2,1

| . . . i

47

⁹

x − y −y

49

¹²

se e solo se (x − P (x)|P (z)) = 0 se e solo se ∀x ∈ X (x − P (x)|P (z)) = 0

50

²

autoggiunto autoaggiunto

51

4

(ii) Proposizione (iii) Proposizione

53

20

(i) Essendo Essendo

54

¹²

alla restrizioni alle restrizioni

56

²⁰

+bxy +2bxy

59

¹⁹

Se λ

i

Se λ

j

59

¹⁹

a u

i

a u

j

60

15

autoaggiunto sullo autoaggiunto e semidefinito positivo sullo 62

⁸

e siano µ

1

, µ

2

, . . . , µ

n

e µ

1

, µ

2

, . . . , µ

n

64

⁸

|x

ǫ

− A

^†

y|

²

|x

ǫ

− A

^†

y|

67

2

complessa e complessa in z

0

e

68

2

λw λw ∀w ∈ C

69

⁶

w

1

a w

2

w

1

e w

2

71

²

Esercizio . . . z

²

, Esercizio (La funzione z → z

²

).

73

⁷

R

1

0

(2 volte) R

b

a

76

6

un curva una curva

77

¹

(9.2) (9.3)

85

²⁰

le successione le successioni

80

7 x^2k+1

2k+1

dt+

^x_2k+1^2k+1

+

87

¹²

2

^−k

2

^−k+1

88

8

h

ⁿ



r t



n

89

8

assoutamente assolutamente

103

⁹

dal bordo di ∂B dal bordo ∂B di B

104

³

per ogni intero n per ogni intero n ≥ 1

105

⁵

B(z

0

, ρ) B(z

0

, r)

108

3

w

^−j

w

^−j−1

114

³

palti lati

109

^1,3

s

n

(w) dw s

n

(w)

_w¹

dw

112

16

antioriario antiorario

116

10

Se Siano

116

10

`e tale che tali che

119

⁴

Sono stime . Sono stime

120

13

P

∞ k=j

f^(k)

k!

(z − z

0

)

^j

P

∞

j=k f^(j)

j!

(z − z

0

)

^j

127

6

H(Ω)) H(Ω)

128

9

H(Ω \ {z

⁰

} se H(Ω \ {z

⁰

}) se

131

10

indentit` a identit` a

132

17

una aperto un aperto

135

13

h

m

(z) := g

m

(z) :=

140

16

|f(z| → |f(z)| →

141

1

dx R

−∞

∞ dx = R

−∞

∞

156

³

y

n

il secondo y

n

`e il secondo

163

11

p

j

(2 volte) m

j

171

¹

laprocedura la procedura

207

10

δ

hk

δ

h0

214

⁶

P

[n/2]

k=−[n/2]

P

[n/2]

k=0

214

9

P

n k=−n

P

[n/2]

k=0

242

¹

logaritmmo logaritmo

La Sezione 23.g `e segnata da vari errori ed imprecisioni. Qui di seguito riportiamo la sua sostituzione.

23.g. Un sistema di ODE: piccole oscillazioni

Siano dati N punti materiali x

1

, x

2

, . . . , x

N

in R

³

aventi masse rispettivamente m

1

, m

2

, . . . , m

N

non nulle. e si supponga che le suddette masse interagiscano fra loro con forze soddisfacenti la legge di Hooke. Indichiamo con x

i

(t) la legge oraria del moto dell’i-esimo punto. La forza di richiamo esercitata dalla massa in x

j

su x

i

`e dunque proporzionale al vettore x

j

− x

ⁱ

f

ij

:= k

ij

(x

j

− x

ⁱ

), j 6= i, k

^ij

≥ 0.

Si pone k

ij

= 0 se non c’`e alcuna forza di richiamo diretta tra i e j. Per il principio di azione e reazione, la forza esercitata da x

i

su x

j

`e uguale e opposta, f

ji

= −f

ij

e le costanti elastiche k

ij

, i 6= j, soddisfano la relazione di simmetria k

^ij

= k

ji

.

La forza totale agente sulla massa in x

i

`e la somma delle forze esercitate dagli altri punti, i.e.,

f

i

= X

j6=i

k

ij

(x

j

− x

ⁱ

) = X

j6=i

k

ij

x

j

−  X

j6=i

k

ij

 x

i

:=

n

X

j=1

k

ij

x

j

se si ha cura di porre k

ii

:= − P

j6=i

k

ij

. Le equazioni della dinamica danno quindi luogo ad un sistema di 3N equazioni accoppiate

m

i

x

^′′_i

= f

i

=

N

X

j=1

k

ij

x

j

, i = 1, . . . , N.

Tuttavia, l’accoppiamento `e tale che la j-esima componente della forza dipende solo dalle coordinate j-esime dei punti materiali. Il sistema si divide dunque in 3 sistemi di N equazioni del secondo ordine, uno per coordinata

m

i

(x

¹_i

)

^′′

(t) =

N

X

j=1

k

ij

x

¹_j

(t), ∀i = 1, . . . , N,

m

i

(x

²_i

)

^′′

(t) =

N

X

j=1

k

ij

x

²_j

(t), ∀i = 1, . . . , N,

m

i

(x

³_i

)

^′′

(t) =

N

X

j=1

k

ij

x

³_j

(t), i = 1, . . . , N.

Siano M := diag (m

1

, m

2

, . . . , m

N

), K := (k

ij

) ∈ M

N,N

(R) la matrice simmetrica delle costanti elastiche (dove si `e posto per ogni i, k

ii

:= − P

j6=i

k

ij

) e sia X(t) = X

j

(t) ∈ R

^N

il vettore colonna delle j-esime coordinate dei moti dei punti x

1

, . . . , x

N

X(t) = X

j

(t) := (x

^j₁

(t), . . . , x

^j_N

(t))

^T

, x

i

(t) =: (x

¹_i

(t), x

²_i

(t), x

³_i

(t)).

Allora X(t) verifica il sistema di N equazioni

X

^′′

(t) = M

⁻¹

KX(t).

e quindi la mappa a valori matrici N ×3 data da t 7→ X(t) := [X

1

(t)|X

2

(t)|X

3

(t)] verifica il sistema X

^′′

(t) = M

⁻¹

KX(t) ∀t ∈ R.

La matrice M

⁻¹

K non `e in generale simmetrica (pur essendolo le matrici M e K). Tuttavia si osserva quanto segue.

◦ La mappa bilineare (x, y) 7→ (x|y) = Mx • y := P

N

i=1

m

i

x

i

y

i

`e un prodotto scalare su R

^N

, la

cui matrice di Gram `e M.

◦ Le colonne di M

^−1/2

,

M

^−1/2

=











1/ √ m

1

0 . . . 0

0 1/ √ m

2

. . . 0 .. . .. . . .. .. .

−0 0 . . . 1/√m

N











formano una base di R

^N

ortonormale per il prodotto scalare ( | ).

◦ La mappa x → M

⁻¹

Kx `e autoaggiunta per il prodotto scalare ( | ). Infatti ∀x, y ∈ R

^N

(M

⁻¹

Kx|y) = Kx • y = x • Ky = x • MM

⁻¹

Ky = Mx • M

⁻¹

Ky = (x|M

⁻¹

Ky).

Equivalentemente, la matrice M

^1/2

(M

⁻¹

K)M

^−1/2

= M

^−1/2

KM

^−1/2

`e simmetrica; infatti, (M

^−1/2

KM

^−1/2

)

ij

= k

ij

√ m

i

1 √ m

j

In particolare, M

⁻¹

K ha N autovalori reali λ

1

, λ

2

, . . . , λ

N

se contati con la loro molteplicit` a.

◦ Gli autovalori della matrice M

⁻¹

K sono tutti non positivi. Infatti si osserva che la matrice M

⁻¹

K `e una Q-matrice: per i 6= j

(M

⁻¹

K)

ⁱ_j

=

N

X

h=1

1 m

i

δ

ih

K

^h_j

== 1 m

i

k

ij

≥ 0

e

N

X

j=1

(M

⁻¹

K)

ⁱ_j

= 1 m

i

N

X

j=1

k

ij

= 0.

Pertanto, cfr. Lemma 23.19, tutti gli autovalori di M

⁻¹

K sono contenuti in un cerchio chiuso B(−q, q) con q ≤ 0, in particolare sono non positivi.

◦ Poich´e M

⁻¹

K `e autoaggiunta con autovalori λ

1

, λ

2

, . . . , λ

N

tutti non positivi, i numeri −λ

1

, . . . , −λ

N

sono i valori singolari della matrice M

⁻¹

K. Si possono pertanto calcolare concretamente con l’algoritmo di decomposizione secondo i valori singolari.

◦ 0 `e un autovalore di M

⁻¹

K e (1, 1, . . . , 1)

^T

`e un suo autovettore. Infatti

(M

⁻¹

K(1, 1, . . . , 1)

^T

)

ⁱ

=

N

X

j=1

(M

⁻¹

K)

ⁱ_j

= 0.

◦ Si pu`o dimostrare che se i punti sono tra loro connessi, o, come si dice, se la matrice K `e irriducibile, allora 0 `e un autovalore di molteplicit` a 1, e tutti gli altri autovalori sono strettamente negativi

λ

N

≤ λ

N −1

≤ · · · ≤ λ

2

< λ

1

= 0.

Pertanto dal teorema spettrale, esiste una base u

1

, u

2

, . . . , u

N

di R

^N

ortonormale per il pro- dotto scalare ( | ) formata da autovettori di M

⁻¹

K. Se λ

s

denota l’autovalore relativo a u

s

e S := [u

1

| · · · |u

^N

] `e la matrice che ha in colonna s le coordinate di u

s

, allora

M

⁻¹

K = S diag (λ

1

, λ

2

, . . . , λ

N

) S

⁻¹

e quindi la mappa a valori matrici N × 3 definita da

t 7→ Y(t) := S

⁻¹

X(t) verifica

Y

^′′

(t) = S

⁻¹

X

^′′

(t) = diag (λ

1

, λ

2

, . . . , λ

N

)Y(t)

Per ogni s = 1, . . . , N , indichiamo con y

^s

(t) ∈ R

³

il punto avente come coordinate la riga s-esima della matrice Y. Allora

(y

^s

)

^′′

(t) = λ

s

y

^s

(t) i.e., le coordinate di y

^s

sono tutte soluzioni dell’equazione

y

^′′

(t) = λ

s

y(t)

i.e., si muovono o di moto rettilineo uniforme se λ

s

= 0 o con moto armonico semplice di periodo

√ −λ

s

se λ

s

< 0.

Pertanto, per ogni s = 1, . . . n

◦ se λ

s

= 0, la curva t 7→ y

^s

(t) `e un moto rettilineo uniforme. In particolare, se si prende come autovettore di norma 1 relativo all’autovalore nullo il vettore u

1

:=

_M¹

(1, · · · , 1)

^T

con M :=

P

N

i=1

m

i

, allora il punto

y

¹

(t) = 1 M

N

X

i=1

m

i

x

i

(t), i.e., il baricentro del sistema, si muove di moto rettilineo uniforme.

◦ se λ

^s

< 0, allora

y

^s

(t) = cos(ω

s

t)y(0) + sin(ω

s

)t ω

s

(y

^s

)

^′

(0) dove ω

s

:= √

−λ

^s

. La traiettoria descritta da y

^s

(t) `e un ellisse centrata in 0 nel piano generato da y

^s

(0) e (y

^s

)

^′

(0). I numeri

ν

s

:=

√ −λ

s

2π , λ

s

< 0, si chiamano frequenze proprie del sistema.

Infine, ciascun punto x

i

descrive un moto che `e una combinazione lineare dei moti dei punti y

i

essendo X(t) = SY(t).

23.19 Lemma. Sia A una matrice N × N a coefficienti complessi. Per ogni i = 1, . . . N siano x

i

:= A

ⁱ_i

e r

i

:= P

j6=i

|A

ⁱj

| e indichiamo con B

i

la palla chiusa di centro x

i

e raggio r

i

, B

i

:= {z ∈ C | |z − x

ⁱ

| ≤ r

ⁱ

}. Allora gli autovalori di A appartengono a S

i=1,...,N

B

i

.

Dimostrazione. Sia λ ∈ C un autovalore di A e sia z = (z

¹

, z

²

, . . . , z

^N

) ∈ C

^N

un autovettore non nullo relativo all’autovalore λ, Az = λz. Sia h = h(λ) l’indice tale che |z

^h

| = max

i

|z

ⁱ

|. Allora

|λ − x

^h

| |z

^h

| = |(Az)

^h

− A

^hh

z

^h

| = | X

j6=h

A

^h_j

z

^j

|

≤  X

j6=h

|A

^hj

| 

max

i

|z

ⁱ

| ≤ r

^h

|z

^h

|.

Pertanto |λ − x

h

| ≤ r

h

, i.e., λ ∈ B

h

. ⊓ ⊔