Prodotti Notevoli e Scomposizione
Feo Maurizio
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Preambolo
Gli appunti che seguono non vogliono sostituire il testo, ma rappresentano solo una bozza per raccogliere in maniera organica e compatta le principali formule riguardanti i prodotti notevoli e la scomposizione dei polinomi.
Importante
Si ricordi che il riferimento fondamentale `e il libro di testo!
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Capitolo 1
Prodotti notevoli
1.1 Formule dei prodotti notevoli fondamentali
1.1.1 Prodotto di una somma per una differenza
(a + b) · (a − b) = a2− b2 (1.1) Si ricava dal prodotto di due binomi; infatti
(a + b) · (a − b) = a2 +ab −ab
| {z }
−b2= a2− b2 (i termini opposti si elidono)
1.1.2 Quadrato di un binomio
(a + b)2= a2+ 2ab + b2 (1.2) Si ricava dal prodotto di due binomi; infatti
(a+b)2= (a+b)·(a+b) = a2 +ab +ab
| {z }
+b2= a2+2ab+b2 (i termini simili si sommano)
(a − b)2= a2− 2ab + b2 (1.3) Si ricava dal prodotto di due binomi; infatti
(a−b)2= (a−b)·(a−b) = a2 −ab −ab
| {z }
+b2= a2−2ab+b2 (i termini simili si sommano algebricamente)
1.1.3 Cubo di un binomio
(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 (1.4) Si ricava dall’applicazione del quadrato del binomio e dal prodotto di un tri- nomio per un binomio; infatti
(a + b)3= (a + b) · (a + b) · (a + b) = (a + b)2· (a + b) =
6 CAPITOLO 1. PRODOTTI NOTEVOLI
= (a2+ 2ab + b2) · (a + b) = a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+ b3= (i termini simili si sommano)
= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3
(a − b)3= a3− 3a2b + 3ab2− b3 (1.5) Si ricava dall’applicazione del quadrato del binomio e dal prodotto di un tri- nomio per un binomio; infatti
(a − b)3= (a − b) · (a − b) · (a − b) = (a − b)2· (a − b) =
= (a2− 2ab + b2) · (a − b) = a3−2a2b+ab2−a2b+2ab2− b3= (i termini simili si sommano)
= a3− 3a2b + 3ab2− b3
1.1.4 Prodotti che conducono a somma e differenza di cubi
(a − b) · (a2+ ab + b2) = a3− b3 (1.6) Si ricava dal prodotto di un trinomio per un binomio; infatti
(a − b) · (a2+ ab + b2) = a3+a2b+ab2−a2b−ab2− b3= a3− b3 (i termini opposti si elidono)
(a + b) · (a2− ab + b2) = a3+ b3 (1.7) Si ricava dal prodotto di un trinomio per un binomio; infatti
(a + b) · (a2− ab + b2) = a3−a2b+ab2+a2b−ab2+ b3= a3+ b3 (i termini opposti si elidono)
Capitolo 2
Scomposizione
2.1 Consigli per la fattorizzazione di un poli- nomio
2.1.1 Raccoglimento a fattor comune (messa in evidenza)
La prima cosa da fare in una scomposizione `e verificare se i termini del polinomio hanno un fattore comune (il MCD dei termini) che pu`o quindi essere raccolto a fattor comune.
Esempi:
18x3+ 12x2y + 36xy2= 6x · (3x2+ 2xy + 6y2)
50a3b2c + 20a2b5− 30a3b3= 10a2b2· (5ac + 2b3− 3ab) (2.1)
2.1.2 Scomposizione con la regola di Ruffini
Si rimanda al testo.
2.1.3 Se il polinomio ha due termini...
• pu`o essere la differenza di due quadrati:
a2− b2= (a + b) · (a − b) (2.2)
Esempi:
4x2− 9 = (2x)2− (3)2= (2x + 3) · (2x − 3)
36a2− b2= (6a)2− (b)2= (6a + b) · (6a − b) (2.3)
8 CAPITOLO 2. SCOMPOSIZIONE
• oppure somma o differenza di due cubi
a3+ b3= (a + b) · (a2− ab + b2) (2.4)
a3− b3= (a − b) · (a2+ ab + b2) (2.5)
• oppure non sapete scomporlo.
2.1.4 Se il polinomio ha tre termini...
• pu`o essere il quadrato di un binomio
a2+ 2ab + b2= (a + b)2 (2.6)
a2− 2ab + b2= (a − b)2 (2.7)
• oppure il cosiddetto trinomio caratteristico: (siano s = x1+ x2la somma e p = x1· x2 il prodotto di due termini x1 e x2)
x2− sx + p = (x − x1) · (x − x2) (2.8)
Esempi:
Scomporre il trinomio x2− 7x + 10.
Si ha : s = −(−7)
p = +10 cio`e : x1+ x2= 7 x1· x2= 10.
Si ottiene cos`i : x1= 2; x2= 5.
P ertanto :
x2− 7x + 10 = (x − 2) · (x − 5)
(2.9)
2.1. CONSIGLI PER LA FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO 9
Scomporre il trinomio x2+ 5x + 6.
Si ha : s = −(+5)
p = +6 cio`e : x1+ x2= −5
x1· x2= 6.
Si ottiene cos`i : x1= −3; x2= −2.
P ertanto :
x2+ 5x + 6 = (x − (−3)) · (x − (−2)) = (x + 3) · (x + 2)
(2.10)
Scomporre il trinomio x2+ 6x − 7.
Si ha : s = −(+6)
p = −7 cio`e : x1+ x2= −6
x1· x2= 7.
Si ottiene cos`i : x1= −7; x2= 1.
P ertanto :
x2+ 6x − 7 = (x − (−7)) · (x − 1) = (x + 7) · (x − 1)
(2.11)
• oppure il trinomio ax2+ bx + c con coefficiente a diverso da 1:
(siano x1 ed x2 due valori tali che: x1+ x2= −b e x1· x2= a · c )
ax2+ bx + c = (ax − x1)(x −x2
a) (2.12)
Conviene dimostrare questa relazione. Da x1+ x2= −b
x1· x2= a · c (2.13)
si ottiene
b = −(x1+ x2) c = x1· x2
a
(2.14)
10 CAPITOLO 2. SCOMPOSIZIONE
ax2+ bx + c =
= ax2− (x1+ x2)x + x1x2
a =
= ax2− x1x − x2x + x1x2
a =
= (ax − x1)x −x2
a(ax − x1) =
= (ax − x1)(x −x2
a)
(2.15)
Esempi:
Scomporre il trinomio 2x2− 3x − 9.
Si ha : a = 2 b = −3 c = −9 cio`e :
x1+ x2= −(−3) = +3 x1· x2= 2(−9) = −18.
Si ottiene cos`i :
x1= +6; x2= −3 oppure x1= −3; x2= +6 P ertanto :
2x2− 3x − 9 = (2x − (−3)) · (x −6 2) =
= (2x + 3) · (x − 3)
(2.16)
Esiste un metodo alternativo di soluzione, che rende inutile applicare la formula. Si debbono solo ricavare correttamente x1 ed x2.
2.1. CONSIGLI PER LA FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO 11
Scomporre il trinomio 2x2− 3x − 9.
Si ha : a = 2 b = −3 c = −9 cio`e :
x1+ x2= −(−3) = +3 x1· x2= 2(−9) = −18.
Si ottiene cos`i :
x1= +6; x2= −3 oppure x1= −3; x2= +6 P ertanto :
2x2− 3x − 9 = 2x2− 6x + 3x − 9 =
= 2x(x − 3) + 3(x − 3) = (2x + 3) · (x − 3)
(2.17)
• oppure non sapete scomporlo.
2.1.5 Se il polinomio ha quattro termini...
• pu`o essere il cubo di un binomio
a3+ 3a2b + 3ab2+ b3= (a + b)3 (2.18)
a3− 3a2b + 3ab2− b3= (a − b)3 (2.19)
• o necessita di un doppio raccoglimento a fattor comune
ac + ad + bc + bd = (a + b) · (c + d) (2.20) infatti: ac + ad + bc + bd = a · (c + d) + b · (c + d) = (a + b) · (c + d)
• oppure non sapete scomporlo.
2.1.6 Se il polinomio ha sei termini...
• pu`o essere il quadrato di un trinomio
a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 (2.21)
• o necessita di un doppio raccoglimento a fattor comune
ac + ad + ae + bc + bd + be = (a + b) · (c + d + e) (2.22) infatti: ac + ad + ae + bc + bd + be = a · (c + d + e) + b · (c + d + e) =
12 CAPITOLO 2. SCOMPOSIZIONE
• oppure non sapete scomporlo.
