Prof.ssa G. Messina 1
Muovimi
pagina nella
I Prodotti
Notevoli
Prof.ssa G. Messina 2
Obiettivi
PrerequisitiDopo questa unità:
imparerai a riconoscere e ad applicare le
regole dei prodotti notevoli
I PRODOTTI NOTEVOLI
Prof.ssa G. Messina 3
Prerequisiti
Obiettivi
Materia: Matematica
Argomento: Prodotti notevoli Istituto: I.I.S. GastaldiAbba
Classe: Prima
Prof.ssa: G. Messina
Diritti:
E' necessario che tu
1) sappia operare con i monomi
2) sappia operare con i polinomi
Prof.ssa G. Messina 4
Alcuni particolari prodotti di polinomi si
usano così spesso che, invece di eseguirli
ogni volta, si impara direttamente la
formula che serve per calcolare il risultato.
Per questo si chiamano
PRODOTTI NOTEVOLI
Prof.ssa G. Messina 5
Vediamo come si calcolano il quadrato della loro somma o
della loro differenza.
In simboli, vogliamo determinare:
Indichiamo con A e B due monomi qualsiasi.
e
Non è difficile, basta applicare la definizione di potenza.
Invece:
Quadrato del binomio
Prof.ssa G. Messina 6
1) il quadrato del primo monomio
2) il quadrato del secondo monomio
3) il doppio prodotto del
primo monomio per il secondo
Il quadrato di un binomio è uguale a:
Prof.ssa G. Messina 7
xy
x 2
x
y 2
y
QUADRATO DI UN BINOMIO
x+y
(x+y)
2xy
y 2
x 2
Prof.ssa G. Messina 8
SOMMA PER DIFFERENZA
Quindi, vogliamo calcolare
usando di nuovo la regola del prodotto termine a termine.
Chiamiamo, come sempre, A e B i nostri due monomi.
Stavolta vogliamo calcolare il risultato del prodotto
e la loro differenza
fra la loro somma
Prof.ssa G. Messina 9
GENERALIZZAZIONE
Questa regola si applica quando leggiamo nei binomi che vogliamo moltiplicare due monomi uguali e due monomi opposti.
Esempi:
MONOMI OPPOSTI MONOMI
UGUALI
MONOMI UGUALI MONOMI
OPPOSTI
MONOMI
UGUALI MONOMI
OPPOSTI
MONOMI UGUALI
MONOMI OPPOSTI
Prof.ssa G. Messina 10
In questo caso, il prodotto è un binomio in cui compaiono:
• il quadrato del monomio che nei due fattori compare con lo
stesso segno
• il quadrato del monomio che nei due fattori compare con segni
diversi
MENO
MONOMI OPPOSTI MONOMI
UGUALI
MONOMI UGUALI MONOMI
OPPOSTI
MONOMI UGUALI
MONOMI OPPOSTI
Prof.ssa G. Messina 11
al quadrato del monomio che
compare con lo stesso segno
MENO
il quadrato del monomio che
compare con segni opposti
La somma di due monomi per la loro
differenza è uguale:
Prof.ssa G. Messina 12 Vediamo come si calcola il quadrato della loro somma.
In simboli, vogliamo determinare:
Indichiamo con A, B e C tre monomi qualsiasi.
Applichiamo, ancora una volta la definizione di potenza.
Come abbiamo già visto, A, B e C rappresentano monomi completi di segno, coefficiente e parte letterale, quindi:
QUADRATO DEL TRINOMIO
Prof.ssa G. Messina 13
Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei
quadrati dei singoli monomi più il doppio prodotto di
ogni monomio per tutti i monomi che lo seguono.
i tre quadrati saranno sempre positivi,
mentre i doppi prodotti saranno positivi o
negativi a seconda se i monomi che sto
moltiplicando sono concordi o discordi.
Questa regola può essere generalizzata, per
determinare il quadrato di polinomi che
contengono qualunque numero di monomi (e
naturalmente andrà bene anche per i binomi).
Quindi:
Prof.ssa G. Messina 14
z
(x+y+z)
2yz
xy xz
z
xy xz
yz
Prof.ssa G. Messina 15
CUBO
3. terza potenza di un numero
es.: Calcola il cubo di 3
Nel dizionario la parola cubo ha tre distinte definizioni:
1. solido a sei facce quadrate uguali
es.: Calcola il volume del cubo avente lo spigolo
lungo 15 cm
2. qualunque oggetto che ha la forma di cubo
es.: Del cubo di Rubik riesco a completare solo una faccia
Quest'ultima definizione della parola "cubo" è giustificata dal
fatto che il volume di un cubo si calcola elevando alla terza la
lunghezza di uno spigolo
Prof.ssa G. Messina 16 Vediamo come si calcola il cubo della loro somma.
In simboli, vogliamo determinare:
Indichiamo con A e B i soliti due monomi qualsiasi.
Calcolare il cubo di un binomio significa, allora, elevare alla terza potenza la somma di due monomi
Cubo del binomio
Prof.ssa G. Messina 17
Allora, il cubo del binomio è uguale:
clicca per veder comparire le scritte
al cubo del primo monomio
più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo monomio
più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo monomio
più il cubo del secondo monomio
Prof.ssa G. Messina 18
1) il cubo del primo monomio
4) il cubo del secondo monomio
2) il triplo prodotto del quadrato
del primo monomio per il secondo
3) il triplo prodotto del primo monomio
per il quadrato del secondo
Il cubo di un binomio è uguale a:
Prof.ssa G. Messina 19
CUBO DI UN BINOMIO
Costruzione geometrica cubo binomio
a b a+b
a 3
b 3 a 2 b
ab 2
Prof.ssa G. Messina 20
Nicolò Tartaglia
Nicolò Fontana, detto Tartaglia (Brescia 1499 Venezia 1557)
Prof.ssa G. Messina 21
Costruzione del triangolo di Tartaglia
clicca sulla scritta
Il triangolo di Tartaglia serve a calcolare i coefficienti dello
sviluppo della potenza nesima di un binomio
dove
n
può essere un numero naturale qualsiasiNaturalmente, per oppure
usiamo le formule già studiate, che comunque trovano conferma dalla
Potenza n-esima del binomio
Prof.ssa G. Messina 22
Completamento della formula
Resta da costruire la parte letterale dei monomi che compongono lo sviluppo della potenza.
A questo scopo, calcoliamo
usando i prodotti notevoli già studiati
e
Costruzione del triangolo di Tartaglia con Excel
Prof.ssa G. Messina 23
Che noia!
Vero!
Verissimo!
Però, se adesso confrontiamo i risultati degli sviluppi che abbiamo appena calcolato, riusciamo a individuare la regola che ci permetterà di ottenere la potenza di un
binomio, qualunque sia l'esponente... e che ci
permetterà di risparmiare un sacco di calcoli!!!
Costruzione del triangolo di Tartaglia in Excel
Prof.ssa G. Messina 24
è un polinomio Lo sviluppo di
in cui l'esponente di A parte da
e, via via,
fino ad arrivare a
l'esponente di B
fino ad arrivare a
mentre, contemporaneamente,
Prova a scriverla tu. Completa la frase seguente scegliendo fra le diverse opzioni OMOGENEO COMPLETO ORDINATO
1 n 0
1 n
0
cresce
decresce
cresce
decresce
1 0 n
da
e con i coefficienti che si leggono sulla nesima riga del triangolo di Tartaglia
Prof.ssa G. Messina 25
Esercizi sui prodotti notevoli
calcolo e riconoscimento di alcuni tipi di prodotti notevoli
espressioni con prodotti notevoli
