Operazioni nel sistema di numerazione binario
Le operazioni che si eseguono sui numeri sono ovviamente le quattro operazioni fondamentali:
• somma
• prodotto
• sottrazione
• divisione
La somma
L’algoritmo della operazione di somma non cambia qualunque sia la base considerata.
Naturalmente, le regole da imparare nel caso di una base b sono relative alle sole b2 posssibili combinazioni delle cifre da 0 a b-1. Così le 100 regole della base 10 si riducono a 4 soltanto nella base 2:
0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1
1+1 = 0 con riporto 1
E' nell'ultima regola che si vede la semplificazione portata dalla base 2:
a parità di significato (valore) un numero scritto in base 2 è molto più lungo dell'equivalente scritto in base 10, ma le regole per poi eseguire la somma sono di gran lunga più semplici. Nel caso dell'elaboratore questo è essenziale; infatti, la velocità gli permette di non preoccuparsi eccessivamente della lunghezza dei numeri, mentre le regole relative alla somma delle coppie di cifre sono legate alla circuiteria elettronica che le deve eseguire, e un conto è complicare tale circuiteria per realizzare 100 regole e un altro è doverne realizzare solo 4.
Per la somma di due numeri positivi di lunghezza K possono essere necessari K+1 bit. Se sono disponibili solo K cifre si genera un errore di overflow (o trabocco).
Esempio:
A =110112=2710 B = 001102=610
110112+001102 = 100001 2 2710 + 610 = 3310
Questa semplice verifica è lasciata come esercizio.
Il prodotto
Analogo all'operazione di somma è il prodotto. Anche in questo caso l'operazione si riduce a conoscere il prodotto di ciascuna coppia di cifre. Nel caso della base 2 tutto si riduce a ricordare l'esiguo numero di 2*2 regole, che sono:
0*0 = 0 0*1 = 0 1*0 = 0 1*1 = 1
In definitiva si hanno le regole seguenti:
o il prodotto per zero dà sempre come risultato zero;
o il prodotto per 1 dà sempre come risultato il numero stesso.
Esempio:
A =10112=1110 B = 11012=1310
10112*11012 = 10001111 2 1310 * 1110 = 14310
Il risultato della moltiplicazione tra i 2 numeri binari è stato calcolato in tal modo:
1011*
1101=
--- 1011 + 00000 + 101100 + 1011000 --- 10001111 La sottrazione
Nella sottrazione, il ruolo del riporto è assunto dal "prendere in prestito" quando si debba sottrarre 1 da 0 e valgono le seguenti regole:
0-0 = 0 1-1 = 0 1-0 = 1
0-1 = 1 con prestito di 1 Esempio:
Si suppone che si generi un numero positivo da tale sottrazione A =11002=1210
B =00112=310 11002 - 00112= 1001 1210 - 310 = 910
Questa semplice verifica è lasciata come esercizio.
La divisione
La classica domanda "quante volte il dividendo sta in una certa parte del divisore", può solo avere due risposte: 0, cioè non ci sta, oppure 1, cioè ci sta, perché è più piccolo.
Esempio:
A =100101102=15010
B =11002=1210 100101102:11002 15010:1210
Procedimento dell'operazione:
si cerca la prima parte del dividendo che sia maggiore del divisore. Tale prima parte è nel nostro caso 10010, e dobbiamo scrivere 1 al quoziente, calcolando il resto come differenza 10010-1100. Si ottiene 110.
A questo punto "si abbassa" la cifra successiva del dividendo, cioè 1, ottenendo 1101. Il divisore 1100 "sta" nel 1101, ovviamente una volta e con resto 1.
Il quoziente diviene 11 e abbassando la cifra successiva 1 si ha 11. Questa volta il divisore "non sta" in questa parte del dividendo e quindi si aggiunge uno 0 al quoziente, abbassando la cifra successiva. Questo è l'ultimo 0, che dà 110 nel dividendo. Di nuovo il 1100 non sta nel 110 e perciò si aggiunge un altro 0 al quoziente.
Non essendoci più cifre da calare ciò significa che l'operazione è finita:
qiundi il quoziente è 11002=1210, il resto è 1102=610.
Risultato 15010:1210=1210 con resto 610 100101102:11002=11002 con resto 1102
