Intorno al 1800 Fourier (studiando la propagazione del calore) intui' che qualsiasi funzione f(x) può essere sviluppata mediante una combinazione lineare di funzioni goniometriche, ovvero

Intorno al 1800 Fourier (studiando la propagazione del calore) intui' che qualsiasi funzione f(x) può essere sviluppata mediante una combinazione lineare di funzioni goniometriche, ovvero

f (x)=1

2 a

+a

cos x+a

cos 2x+a

cos3x...+a

cosnx+b

sinx+b

sin 2x+b

sin 3x...+b

sin nx [1]

I cui coefficienti a

a

.. a

b

... b

devono essere determinati.

L'intuizione di Fourier venne formalizzata da Dirichlet che studio' le funzioni periodiche

Definizione: Una funzione e' periodica se dopo un certo intervallo (periodo) assume lo stesso valore (si ripete)

Se f (x)=f (x+h) h e' il periodo della funzione

Nella [1] si sommano funzioni di periodo 2 π , π , 2 π

3 ... 2 π

n . Essendo tutti questi periodi sottomultipli di 2 π , la funzioni sono periodiche anche su 2 π . Pertanto la loro combinazione lineare ha periodo 2 π . E' quindi logico pensare che si possa ottenere una buona approssimazione di una funzione che abbia periodo 2 π sommando una serie di funzioni goniometriche i cui periodi sono sottomultipli di 2 π

Fig. 1 in alto a sinistra: cos (x)+sin(x ) , in alto a destra cos(2 x )+sin(2 x) , in basso a sinistra cos(3 x)+sin(3 x ) , in basso a destra la somma delle 3 funzioni. (In ascissa i radianti 6.28≃2 π )

Se una funzione ha periodo L si puo' esprimerla attraverso la combinazione lineare di funzioni goniometriche (la [1]) scrivendo al posto di cos(x)+sin(x ) cos( 2 π x

L )+ sin ( 2 π x L ) [2]

Ponendo k = 2 π

L la [2] diviene cos(k x)+sin(k x ) (detta anche I armonica) e i termini

successivi cos(2 k x )+sin(2 k x ) (detto anche II armonica) cos(3 k x)+sin(3 k x ) (III armonica).

Fig. 2 l'analogo della Fig. 1 per funzioni di periodo pari a 200

Serie di Fourier:

Data una funzione periodica di periodo 2 π integrabile sull'intervallo −π π si definisce serie di Fourier ad essa associata

a

2 + ∑

n=1 N

a

cos(nx)+b

sin(nx ) [1] (e' la stessa forma della [1] data all'inizio)

I coefficienti sono derivabili dalle seguenti relazioni

a

= 1 π ∫

−π π

f (x)dx a

= 1 π ∫

−π π

f (x)cos(nx)dx b

= 1 π ∫

−π π

f (x)sin(nx)dx

Se la f(x) è pari allora il suo sviluppo in serie non contiene i termini in seno (b

=0)

f (x)= a

2 + ∑

n=1 N

a

cos(nx )

e i coefficienti sono a

= 2 π ∫

0 π

f (x)dx a

= 2 π ∫

0 π

f (x)cos (nx )dx

Se la f(x) è dispari i termini dello sviluppo in serie sono solo quelli in seno

a

=0 e a

=0 f (x)= ∑

n=1 N

b

sin(nx) i cui coefficienti diventano b

= 2 π ∫

0 π

f (x)sin(nx)dx

Se la f(x) ha periodo L allora detto k = 2 π L f (x)= a

2 + ∑

n=1 N

a

cos(n k x)+b

sin(n k x ) con a

= 2 L ∫

0 L

f (x )dx a

= 2 L ∫

0 L

f (x )cos(n k x )dt

b

= 2 L ∫

0 L

f (x )sin (n k x)dx

Se la f(x) è una f(t) e il periodo e T = 2π ω lo sviluppo in serie di Fourier risulta

f (t)= a

2 + ∑

n=1 N

a

cos(n ω t)+b

sin(n ω t)

e I coefficienti a

= 2 T ∫

0 T

f (t)dt a

= 2 T ∫

0 T

f (t)cos (n ω t)dt b

= 2 T ∫

0 T

f (t)sin(n ωt )dt

Esercizio 1

E' data la funzione

f (x)=1

x∈[−π :0 ]

f (x)=0

x∈[0: π]

periodica su 2 π

1- disegnare il grafico fra −2 π

e 2 π 2- trovare lo sviluppo in serie di Fourier

--- soluzione dell'integrale a

=1 a

=0 b

= 1

π ∫

−π 0

sin nx dx= 1

π [−cos nx n ]

−π 0

=− 1

n π ( cos0−cos(−n π))=− 1

n π (1−cos(n π))

cos (n π) vale 0 se n è pari e -1 se n e' dispari pertanto b

=− 2

n π solo per n dispari

Se ne deduce lo sviluppo in serie f (x)= 1 2 − 2

π (sin x+ 1

3 sin 3x+ 1

5 sin 5x...)

Esercizio 2 E' data la funzione f (x)=x x∈[−π : π]

di periodo 2 π

disegnare il grafico fra −3 π

e 3 π

e trovare lo sviluppo in serie di Fourier

--- la soluzione di questo la lascio a voi :-)

Fig. 3 La serie di Fourier della funzione dell' esercizio 1 primi 2 termini (in alto a sinistra), primi 3 termini (alto a destra) primi 4 termini (basso a sinistra), primi 5 termini (basso a destra).

NOTA BENE la funzione dell'esercizio era discontinua → niente tratti verticali , le funzioni

goniometriche che fanno parte della serie sono continue e quindi ci sono I tratti verticali che non

devono essere considerati ( la serie converge alla funzione dove essa e' definita).

Fig. 3 come sopra periodo 200

Fig. 4 come sopra ma il periodo e 500

Fig. 5 come sopra periodo 1000

La notazione complessa della serie di Fourier Formule di Eulero: ^e

i z

=cos z+i sin z e

= cos z−i sin z

da cui

cos z= e

+e

2 sen z= e

− e

2i

Poichè è e

=cosω n x+i sin ω n x La [1]

a

2 + ∑

n=1

∞

a

cos(nx)+b

sin(nx )

diviene a

2 + ∑

n=1

∞

a

e

+ e

2 +b

e

−e

2i a

2 + ∑

n=1

∞

a

e

+ e

2 −i b

e

−e

2

a

2 + ∑

n=1

∞

a

−ib

2 e

+ ∑

n=1

∞

a

+ib

2 e

a

2 + ∑

n=1

∞

a

−ib

2 e

+ ∑

n=1

∞

a

+ib

2 e

con qualche passaggio si dimostra che a

−i b

2 = a

+ib

2 = 1

2 π ∫

−π π

f (x )e

dx

La serie di Fourier in notazione complessa diventa

f (x)= ∑

−∞

∞

c

e

dove c

= 1

2 π ∫

−π π

f (x)e

dx

da cui si vede che a

2 = 1

2 π ∫

−π π

f (x)e

dx

Dalla serie alla trasformata.

Se la funzione non e' periodica, la si puo' comunque pensare come periodica con periodo che tende all'infinito

La trasformata di Fourier di una funzione f(x) è

̂f (λ)= ∫

−∞

∞

f (x)e

dx

Con la serie di Fourier possiamo scomporre un segnale in tutte le sue “armoniche” .

Il segnale risulta da una somma infinita di segnali elementari (esponenziali complessi o in seno e coseno) . L'armonica fondamentale e' quella che ha periodo (o frequenza) uguale a quella del segnale che si scompone.

Con la trasformata di Fourier passiamo dal discreto al continuo. Non si ha piu' la somma di un

insieme di armonche ma una somma continua di armoniche. Per come e' definita ne risultano

anche segnali con frequenza negativa (che non esistono) .

Dal dominio spaziale (sopra) a quello delle frequenze (sotto)