- DEFINIZIONE E RAPPRESENTAZIONE - FUNZIONE LINEARE (RETTA) - FUNZIONE ESPONENZIALE - FUNZIONE LOGARITMICA - RAPPRESENTAZIONE SEMILOGARITMICA - FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

(1)

FUNZIONI

ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

- DEFINIZIONE E RAPPRESENTAZIONE - FUNZIONE LINEARE (RETTA)

- FUNZIONE ESPONENZIALE - FUNZIONE LOGARITMICA

- RAPPRESENTAZIONE SEMILOGARITMICA - FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

(2)

1

FUNZIONI

esempio

y = 5 x⁴ – 7 x² + 8 x +12 – 3 x

funzione polinomiale di 4° grado

y

⁼

f (x)

x = variabile indipendente y = variabile dipendente grado della funzione:

funzioni ad una variabile indipendente

massimo esponente della variabile x

(3)

FUNZIONI

y = a x + b y = A e^kx

funzione lineare

funzione esponenziale

funzioni a più variabili : y = g(x,z) y = sen x

y = cos x

(4)

3

FUNZIONI

rappresentazione grafica: per punti

y

⁼

f(x)

y

o x₁ x₂ x₃ x y₁

y₂

y₃ y₀

P₁

P₃

P₀

P₂

x = 0 y₀ = f (x=0) P₀(0,y₀)

y₁ = f (x₁) y₂ = f (x₂) y₃ = f (x₃) x = x₁

x = x₂ x = x₃

P₁(x₁,y₁) P₂(x₂,y₂) P₃(x₃,y₃) ... ... ...

(5)

FUNZIONE LINEARE : LA RETTA

y

⁼

a x + b

y

o x b – b

x = 0 y = b y = 0 x = – ba

(6)

5

y

o x

y = ax

b = 0

y = ax + b

b > 0 b

–b

y = ax + b'

b' < 0

(7)

y

o x

y = a₂ x y =a₁ x y = a₃ x

a₁ < a₂ < a₃

 y = a₃

y = a₂ y = a₁

x = 1

 = arctg a

a = coefficiente angolare

(8)

FUNZIONI QUADRATICHE

parabola : y = a x² + b x + c

x y

o

ellisse :

a² = 1

x² y² b²

+ ^y

o x a b

circonferenza : x² + y² = a² ^a _o _x

iperbole : y = kx

oppure ^y

x y

x

o = 1 o

a²

x² y² b² –

(9)

FUNZIONE ESPONENZIALE

y = a

^x

y

o x

1

a > 1

y = 1^x = 1 a=1

funzione esponenziale con base a

a = numero reale positivo maggiore di 1

(10)

9

FUNZIONE ESPONENZIALE funzione esponenziale con base a

a = numero reale positivo compreso tra 0 e 1

y = a

^x

y

o x

0 < a < 1

1

(11)

y

1

a > 1

2 3 4 5 6

o x

1 2

–1

y = 2^x y = 3^x

y = a

^x

(12)

11

FUNZIONE ESPONENZIALE y

x

0 < a < 1

1 –1 o

–2 1

2 3 4

y = 0.5^x 5

y = a

^x

y ⁼ a^x⁼ b^–x

y = 0.5^x= ( )1 ^x=

2 1 = 2^–x 2^x

b ^{= 1} a

(13)

a  e = 2.718... y

⁼

e

^x

y

⁼

A e

^Bx

in generale

y

1 2 3 4 5 6

x

7 8

9 funzione esponenziale crescente

(14)

13

y

⁼

e

^–x

e = 2.718...

1 2 3 4 5 6

o 1 2 x

–1

7 8 9

funzione esponenziale decrescente

y

⁼

A e

^–Bx

in generale

(15)

FUNZIONE LOGARITMICA

y

⁼

ln x

o 1 2

–1

y

1 2 3 4 5 6 7 –1

–2

8

x

y

⁼

ln x e

^y ⁼

^x

(16)

15

o 1 2

–1

y

1 2 3 4 5 6 7 –1

–2

8

x y

1 2 3 4 5 6

o 1 2 x

–1

7 8 9

FUNZIONE LOGARITMICA

y

⁼

ln x e

^y ⁼

^x

(17)

RAPPRESENTAZIONE SEMI-LOGARITMICA

y

⁼

A e

^Bx rappresentazione grafica carta semilogaritmica : Y = Log y

X = x

Y = Log y = Log (A

e

^Bx) = LogA + Log (

e

^Bx) =

= LogA + B x Log

e

⁼

Y = aX + b

b = LogA a = B Log

e

funzione lineare (retta)

(18)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17

Y

o X

1 2 3

y

4 10⁴

10³

10

1

2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6

95

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y = 10

e

^{+0.75 x}

Y = Log y X = x

RAPPRESENTAZIONE SEMI-LOGARITMICARAPPRESENTAZIONE

SEMI-LOGARITMICA

(19)

Y

o 1

2 3 4

y

10⁴

10³

100

10

1

2 4 8 6

2 4 86

2 4 8 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

y = 2

e

^{0.5 x} ^{+ 10}

e

^{0.15 x}

y = 10000

e

^{– 0.25 x}

Y = Log y X = x

RAPPRESENTAZIONE SEMI-LOGARITMICARAPPRESENTAZIONE

SEMI-LOGARITMICA

(20)

19

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

funzioni seno e coseno

y

O x



P Q R

sen  = cos  =

PQ

= R PQ

OP

OQ

= R OQ

OP

PQ OP

OQ + OP

2 2 2

2 OP =

2 = OP 2 1 = sen ²  + cos 2

(21)

seno e coseno



 y = sen 

y

90° 180° 270° 360°

+1

–1 ^/2  ^{ }   ^radianti



y = cos 

90° 180° 270° 360°



   

+1

–1 y

(22)

21

seno e coseno





y

180° 360°

+1

–1

^/2    ^  radianti

y = cos 

y = sen 

270°

90°

(23)

 0°

30°

45°

60°

90°

sen  cos  tg  = sen  cos  0

1

1 21

2 23

1

32 1

2 12

0

1 3



seno - coseno - tangente

(24)

23

PQ

= OQ tg  = TV

R

cos 

= sen 

OV

90°  180°

tg  = T'V

R < 0

–  ^{tg} ⁺ 

tangente

x y

T

Q V P

R

V

T'

O

(25)

applicazioni

risoluzione triangolo rettangolo

a

b c





A

B

90° C

a = c sen  = c cos  b = c cos  = c sen  tg  =

tg  =

a² + b² = c² ab

ba

(26)

25

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE relazioni trigonometriche utili

applicazioni

 molto piccolo:

sen  

cos  1

tg  ^angoli ^

in radianti

sen  + cos ² = 1 cos (–) = cos 

tg 1 = cotg  cos 1 = sec 

2 sen (–) = – sen  tg (–) = – tg 

sen 1  = cosec 

(27)

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE relazioni trigonometriche utili

applicazioni

a = tg   = arctg a

funzioni trigonometriche inverse:

a = sen   = arcsen a a = cos   = arcos a

angoli in radianti

(28)

27

y = A sen t



moto armonico, fenomeni ondulatori applicazioni

T = periodo

 = pulsazione

(t+T) – t = 2 T = 2

 = 2 

T = 2  

 t

y

90° 180° 270° 360°

+A

–A ^/2  ^{ } 

T

t

 = frequenza T1 =

- DEFINIZIONE E RAPPRESENTAZIONE - FUNZIONE LINEARE (RETTA) - FUNZIONE ESPONENZIALE - FUNZIONE LOGARITMICA - RAPPRESENTAZIONE SEMILOGARITMICA - FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

FUNZIONI

y

f (x)

funzioni ad una variabile indipendente

y

f(x)

y

a x + b

 = arctg a

a = coefficiente angolare

y = a

a > 1

y = a

0 < a < 1

a > 1

y = a

0 < a < 1

y = a

a  e = 2.718... y

e

y

A e

y

e

e = 2.718...

y

A e

y

ln x

y

ln x e

x

y

ln x e

x

y

A e

e

e

e

e

y

e

Y = Log y X = x

y

e

e

e

Y = Log y X = x

funzioni seno e coseno

seno e coseno

 y = sen 

y = cos 



seno e coseno



y = cos 

y = sen 



seno - coseno - tangente

–  tg + 

tangente

y = A sen t



 = 2 

T = 2  

t

^x

^x

–  ^{tg} ⁺ 