per l’equazione di terzo grado e per la tangente di A*X:
gfurnari
SENO E COSENO, COORDINATE ELLITTICHE
Risultano particolarmente interessanti le trasformazioni operate da alcune funzioni complesse trascendenti. Ad esempio, la funzione seno genera il seguente grafico
Partendo infatti da rette orizzontali di ordinata y
b
, che si possono esprimere come luogo geometrico dei punti X = x + y
b
j, si ottiene:
sen(X) = sen (x + y
b
j) = sen(x)cosh(y
b
) + cos(x)senh(y
b
) = x
s
+ y
s
j
da cui
sen(x) = x
s
/ cosh(y
b
) e y
s
= 1 – sen
2
(x) senh(y
b
)
y
s
= 1 – x
s 2
/ cosh
2
(y
b
) senh(y
b
) = tanh(y
b
) cosh
2
(y
b
) – x
s 2
le y
s
sono quindi delle ellissi con campo di validità – cosh(y
b
) x
s
cosh(y
b
) ed hanno l’asse maggiore lungo 2 cosh(y
b
), l’asse minore lungo 2 senh(y
b
).
gfurnari
scrivendo le equazioni delle ellissi nella forma
y
s 2
/tanh
2
(y
b
) = cosh
2
(y
b
) – x
s 2
x
s 2
+ y
s 2
/tanh
2
(y
b
) = cosh
2
(y
b
)
x
s 2
/ cosh
2
(y
b
) + y
s 2
/senh
2
(y
b
) = 1
I fuochi avranno coordinate x
f
= cosh
2
(y
b
) - senh
2
(y
b
) = 1
e le ellissi quindi risultano essere confocali.
Le rette verticali di ascissa x
a
, si possono scrivere come punti X = x
a
+ y j, da cui si ottiene:
sen(X) = sen (x
a
+ y j) = sen(x
a
)cosh(y) + cos(x
a
)senh(y) = x
v
+ y
v
j
e
cosh(y) = x
v
/ sen(x
a
) , y
v
= cos(x
a
) cosh
2
(y) – 1
y
v
= cos(x
a
) x
v 2
/ sen
2
(x
a
) – 1 = 1/tan(x
a
) x
v 2
– sen
2
(x
a
)
con campo di validità – sen(x
a
) x
v
sen(x
a
).
Le coordinate dei vertici di queste iperboli sono sen(x
a
) e scrivendo le equazioni nella forma
y
v 2
tan
2
(x
a
) = x
v 2
– sen
2
(x
a
) , x
v 2
– y
v 2
tan
2
(x
a
) = sen
2
(x
a
)
x
v 2
/ sen
2
(y
b
) – y
v 2
/cos
2
(y
b
) = 1
I fuochi avranno coordinate x
f
= sen
2
(x
a
) + cos
2
(x
a
) = 1
ed anche le iperboli quindi risultano essere confocali.
gfurnari
Poiché, inoltre, i fuochi sono identici per le ellissi e per le iperboli, se ne deduce che trasformando i punti del piano compl esso con la funzione complessa seno, a partire dalle coordinate cartesiane si ottengono delle
coordinate cilindriche ellittiche
.Anche per la funzione complessa coseno otteniamo risultati simili
Dalle rette orizzontali di ordinata y
b
, che si possono scrivere come punti X = x + y
b
j, si ottiene:
cos(X) = cos (x + y
b
j) = cos(x)cosh(y
b
) – sen(x)senh(y
b
) = x
c
+ y
c
j
da cui
cos(x) = x
c
/ cosh(y
b
) e y
c
= – 1 – cos
2
(x) senh(y
b
)
y
c
= – 1 – x
c 2
/ cosh
2
(y
b
) senh(y
b
) = (–1)* tanh(y
b
) cosh
2
(y
b
) – x
c 2
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e poi y
c 2
/tanh
2
(y
b
) = cosh
2
(y
b
) – x
c 2
, x
c 2
+ y
c 2
/tanh
2
(y
b
) = cosh
2
(y
b
)
x
c 2
/ cosh
2
(y
b
) + y
c 2
/senh
2
(y
b
) = 1
Dalle rette verticali di ascissa x
a
, che si possono scrivere come punti X = x
a
+ y j, si ottiene:
cos(X) = cos (x
a
+ y j) = cos(x
a
)cosh(y) – sen(x
a
)senh(y) = x
v
+ y
v
j
da cui
cosh(y) = x
v
/ cos(x
a
) , y
v
= (–1)* sen(x
a
) cosh
2
(y) – 1
y
v
= (–1)* sen(x
a
) x
v 2
/ cos
2
(x
a
) – 1 = (–1)* tan(x
a
) x
v 2
– cos
2
(x
a
)
Scrivendo le equazioni nella forma
y
v 2
= tan
2
(x
a
) x
v 2
– sen
2
(x
a
) , x
v 2
– y
v 2
/tan
2
(x
a
) = cos
2
(x
a
)
x
v 2
/ cos
2
(x
a
) – y
v 2
/sen
2
(x
a
) = 1
risultano scambiati, rispetto alla funzione seno, i denominatori di x
v
e di y
v
,
ma i fuochi avranno sempre ascisse x
f
= sen
2
(x
a
) + cos
2
(x
a
) = 1
ed anche queste iperboli risultano essere confocali, tra di loro e con le ellissi, per cui siamo nuovamente in presenza di
coordinate cilindriche ellittiche.
Con la trasformazione coseno le ellissi sono identiche a quelle ottenute con la trasformazione seno: risultano solamente capovolte. Le iperboli hanno invece parametri differenti; tuttavia, essendo entrambe le trasformazioni generate da una funzione trigonometrica di x
a
, sono entrambe periodiche rispetto a tale parametro con periodo 2, ma risultano sfasate tra di loro di 2, oltre che differire di un fattore pari a – tan
2
(x
a
). Considerando però che tan(x
a
) = – 1/tan(x
a
+ 2 ), la differenza relativa al fattore – tan
2
(x
a
) viene esattamente assorbita dalla sfasatura di
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2 e le iperboli derivate dalle trasformazioni seno e coseno sono in definitiva identiche, con la sola sfasatura di 2.
Per le ellissi, non esiste invece periodicità rispetto al parametro y
b
perché le funzioni iperboliche non sono periodiche. Si può notare tuttavia che ogni retta di lunghezza infinita X = x + y
b
j parallela all’asse reale viene trasformata in un’ellisse di lunghezza finita che viene però percorsa, al variare della x, infinite volte con periodicità 2.
Su ogni ellisse, infine, la trasformazione seno produce valori reali allorquando x = 2 2kmentre la trasformazione coseno produce valori reali per x = 2k
In effetti, mentre per le iperboli le intersezioni con l’asse reale cadono nel solito intervallo tra –1 e +1, riconfermando i valori reali di seno e coseno, per le ellissi le intersezioni con l’asse reale si trovano al di fuori dell’ intervallo tra –1 e +1.
Sia per il seno che per il coseno le intersezioni cadono nei punti cosh(y
b
) sull’asse reale, e questo ci permette di individuare l’angolo complesso (multiplo) che genera valori reali minori di –1 o maggiori di +1 per le funzioni trigonometriche reali seno e coseno.
Per il seno, partendo dal valore reale |sen()| > 1, avremo:
arcsen() = 2 2karccosh() j per sen() > 1
arcsen() = – 2 2karccosh() j per sen() < – 1
Viceversa, per il coseno, partendo dal valore reale |cos()| > 1, avremo:
arccos() = 2karccosh() j per cos() > 1
arccos() = (2k+1)arccosh() j per cos() < – 1
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Concludendo, si può senza dubbio affermare che le trasformazione complesse Seno e Coseno rappresentano in modo del tutto naturale un collegamento tra le coordinat e cartesiane e le
coordinate cilindriche ellittiche.
Accenneremo solamente, senza approfondire, a quanto risulta per la funzione complessa di Tangente.
Come può essere illustrato dal grafico che segue, attraverso la trasformazione complessa Tangente emerge in modo altrettanto naturale un collegamento tra le coordinate cartesiane e le
