Appendice A. Calcolo coefficienti di trasporto dei gas

(1)

Appendice A. Calcolo coefficienti di trasporto dei gas

La teoria alla base delle considerazioni, dei calcoli, nonché dei risultati espressi in questa appendice, è la teoria cinetica dei gas, in particolare facciamo riferimento a quanto riportato in [3, Capitolo 8]; tale teoria permette di esprimere i coefficienti di trasporto, in particolare viscosità e conducibilità termica di un miscuglio di gas, in termini di un set di integrali Ω^{( , )}^{l s} , i pesi molecolari dei vari elementi

M

_i e le frazioni molari

xi. Non riportiamo qui l’intera teoria in quanto esula dagli scopi del presente lavoro, se ne descriveranno brevemente i metodi e le ipotesi alla base.

A.1. La quantità

Ω^{( , )}^{l s}

La funzione ϕ

( ) r

, che compare ripetutamente nei paragrafi a seguire, è alla base dei calcoli qui effettuati. All’interno della teoria cinetica dei gas, teoria che descrive il comportamento del gas sulla base di un’analisi classica degli urti tra particelle, la funzione ϕ

( ) r

descrive l’interazione tra due molecole cioè il potenziale nel quale si muove una molecola rispetto all’altra. Al fine di calcolare i coefficienti di trasporto per ogni funzione potenziale ϕ

( ) r

è necessario preliminarmente calcolare l’angolo di deflessione in una collisione. Tale angolo dipende dalla funzione potenziale che descrive le forze che si scambiano le due molecole. La meccanica permette quindi, previa conoscenza della funzioneϕ

( ) r

, di calcolare le seguenti quantità:

Angolo di scattering

2 2

( , ) 2

1 ( )

1/ 2

rm

dr g b b r

b r

r g

χ π

ϕ µ

= − ∞

− −

∫

^(A.1)

(2)

Sezione d’urto

( )

( ) 2 0 (1 cos ( ))

l l

Q g = π

∫

^∞ − χ b db⋅ ^(A.2)

e

( , ) 2 2 3 ( )

0 ( )

2

l s kT s l

e ^γ γ Q g dγ πµ

∞ − +

Ω =

∫

⋅ ^(A.3)

dove

2 2

2

1/ 2 g

2

1/ 2 g

kT kT

µ µ

γ = γ = ^e µ è la massa ridotta delle due molecole.

Una volta scelto un modello che descriva nel modo più accurato possibile il potenziale ϕ

( ) r

^è possibile valutare le grandezze (A.1), (A.2) e (A.3). Il modello più semplice utilizzabile prevede di considerare le molecole in collisione come sfere rigide di diametroσ, con tale approssimazione la sezione d’urto risulta indipendente da g, segue:

( ) 2

( , ) ( )

1 1 ( 1)

[1 ]

2 1

( 1)!

2 2

l l

SFERE RIGIDE

l s l

SFERE RIGIDE SFERE RIGIDE

Q l

kT s Q

πσ πµ

= − + − ⋅ +

Ω = +

g

= ⋅µ ε

g

Energia cinetica relativa ridotta.

Risulta conveniente ridurre anche le (A.1), (A.2) e (A.3) dividendole per il valore corrispondente al modello di sfere rigide, si ottiene:

(3)

Il coefficiente di viscosità 169

*2 *

*

* * * *2

*2 * *

*2 *2

( )* * * *

0

( , )* * / *2 3 ( )* * *

* 2 0

( , ) 2

1 ( )

( ) 2 (1 cos ( ))

1 1 ( 1)

[1 ]

2 1

( ) 2 ( )

( 1)!

rm

l l

l

l s g T s l

s

dr g b b r

b r

r g

Q g b db

l

T e g Q g dg

s T

χ π

ϕ

χ

∞

∞ − +

+

= −

− −

= − ⋅

− + − +

Ω = ⋅

+

∫

(A.6)

Le quantità Ω^{( , )*}^{l s} ^e

Q

^{( )*}^l fisicamente indicano la deviazione di ogni particolare modello molecolare dalla situazione idealizzata di sfere rigide. Tre combinazioni di Ω^{( , )*}^{l s} si incontrano frequentemente nelle espressioni per i coefficienti di trasporto di gas puri e miscugli, risulta utile definire le seguenti grandezze:

* (2,2)* (1,1)*

* (1,2)* (1,3)* (1,1)*

* (1,2)* (1,1)*

/

[5 4 ] /

/ A

B C

= Ω Ω

= Ω − Ω Ω

= Ω Ω

(A.7)

A.2. Il coefficiente di viscosità

A.2.1. Il coefficiente di viscosità di un gas puro

In prima approssimazione la viscosità di un gas puro è data da:

7

1

10 266.93

2 (2,2)* *

( ) x MT

η

T

= σ

Ω ^(A.8)

dove:

η Viscosità

[g cm s ]

^{-1 -1} .

T Temperatura

[°K]

.

*

/

T

=

kT

ε Temperatura ridotta [--].

M Peso molecolare

[g mol ]

^-1 . σ ^Diametro^di^collisione

[ A ]

^° . ε/ k Parametro potenziale

[°K]

.

(4)

A.2.2. Il coefficiente di viscosità di un miscuglio binario

Al fine di calcolare il coefficiente di viscosità di un miscuglio binario è utile introdurre la seguente grandezza :

1 2 1 2

7

12 2 (2,2)* *

12 12 12

2 /( )

10 266.93

( ) M M T M M

x T

η σ

= +

Ω

-1 -1

[g cm s ]

(A.9)

dove:

T Temperatura

[°K]

.

*

12 / 12

T =kT ε Temperatura ridotta [--].

1

M

2

M

Peso molecolare

[g mol ]

^-1 ,

e i parametri della funzione potenziale per l’interazione tra molecole tipo 1 tipo 2:

σ12 ^Diametro^di^collisione

[ A ]

^° .

12

/ k

ε ^Parametro^potenziale

[°K]

.

La quantitàη₁₂ può essere vista come il coefficiente di viscosità di una sostanza pura ipotetica le cui molecole hanno peso molecolare pari a

2 M M

₁ ₂

/( M

₁+

M

₂

)

e interagiscono in accordo alla curva di potenziale specificata dai parametri di interazione σ₁₂ eε₁₂.

A.2.3. Il coefficiente di diffusione in un miscuglio binario

Il coefficiente di diffusione in un miscuglio binario può essere ottenuto dalla:

3

1 2 1 2

12 2 (1,1)* *

12 12 12

( ) / 2

0.0026280

( )

T M M M M

D p

σ

T

= +

Ω ^(A.10)

dove:

D

12 Coefficiente di diffusione

[cm s ]

^{2 -1} .

p Pressione

[atm]

.

(5)

Il coefficiente di viscosità 171

T Temperatura

[°K]

.

*

12 / 12

1

M

2

M

Peso molecolare

[g mol ]

^-1 ,

σ12 Diametro di collisione

°

[ A ]

.

12

/ k

ε Parametro potenziale

[°K]

.

A.2.4. Il coefficiente di viscosità di un miscuglio multicomponente

In accordo con la teoria cinetica dei gas il coefficiente di viscosità di un miscuglio di υ^- componenti è dato dalla:

11 12 13 1 1

12 22 23 2 2

13 23 33 3 3

1 2 3

1 1 1

11 12 13 1

12 22 23 2

13 23 33 3

1 2 3

...

... ... ... ... ... ...

...

... 0

...

... ... ... ... ...

...

MIX

H H H H x

x x x x

H H H H

υ υ υ

υ υ υ υυ υ

υ υ υ υ

υ υ υ υυ

η = − (A.11)

dove gli elementi H_ijpossono essere scritti in termini del coefficiente di diffusione D_ij:

2

* 1

*

2 [1 3 ]

2 3

[1 ]

5

i i k k

ii ik

i k i k ik i

k i

i j

ij ij

i j ij

x x x RT M

H A

M M pD M

x x RT

H A i j

M M pD

υ

η ₌

≠

= + +

+

= − − ≠

+

∑

(A.12)

dove:

(6)

ηi Coefficiente di viscosità dell’iesimo componente calcolabile con la (A.8).

ηik Quantità definita alla (A.9).

D

ik Coefficiente di diffusione dalla (A.10).

*

Aik Quantità definita alla (A.7).

x

i Frazione molare i-esimo componente.

M

i Peso molecolare i-esimo componente.

p Pressione.

A.3. Il coefficiente di conducibilità termica

A.3.1. Il coefficiente di conducibilità termica di un gas puro

In prima approssimazione la conducibilità di un gas puro è data da:

7

1 2 (2,2)* *

10 1989.1 /

( ) x T M

λ

T

= σ

Ω ^(A.13)

dove:

λ Conducibilità termica

[cal cm s °K ]

^{-1 -1} ^-1 .

T Temperatura

[°K]

.

*

/

T

=

kT

ε Temperatura ridotta [--].

M Peso molecolare

[g mol ]

^-1 . σ ^Diametro^di^collisione

[ A ]

^° . ε/ k ^Parametro^potenziale

[°K]

.

Per gas poliatomici la (A.13) deve essere corretta con la seguente relazione, suggerita da Eucken, la quale tiene conto approssimativamente del trasferimento di energia traslazionale con i gradi di libertà interni delle molecole:

1 1

4 3

[ ]

15 5

Eucken Cv

λ =λ R + ^(A.14)

Per gas monoatomici, per i quali la capacità termica molare 3

v 2

C = R la (A.14) si riduce semplicemente alla (A.13).

(7)

Il coefficiente di conducibilità termica 173

A.3.2. Il coefficiente di conducibilità termica di un miscuglio binario

Al fine di calcolare il coefficiente di conducibilità termica di un miscuglio binario è utile introdurre la seguente grandezza:

1 2 1 2

7

12 2 (2,2)* *

12 12 12

( ) / 2

10 1989.1

( )

T M M M M

x T

λ σ

= +

Ω ^(A.15)

dove:

T Temperatura

[°K]

.

*

12 / 12

1

M

2

M

Peso molecolare

[g mol ]

^-1 ,

σ12 Diametro di collisione

°

[ A ]

.

12

/ k

ε Parametro potenziale

[°K]

.

La quantità λ₁₂ può essere vista come la conducibilità termica di una sostanza pura ipotetica le cui molecole hanno peso molecolare pari a

2 M M

₁ ₂

/( M

₁+

M

₂

)

e interagiscono in accordo alla curva di potenziale specificata dai parametri di interazioneσ₁₂ eε₁₂.

A.3.3. Il coefficiente di diffusione termica in un miscuglio multicomponente

Il coefficiente di diffusione termica in un miscuglio multicomponente può essere ottenuto dalla:

(8)

00 00 01 01

11 1 11 1

00 00 01 01

1 1

10 10 11 11

11 1 11 1 1

... ... ... ... 0

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... 0

... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

8 5

T k

k

L L L L

L L L L x

D M

R

υ υ

υ υυ υ υυ

υ υ

= −

10 10 11 11

1 1

00 00 01 01

11 1 11 1

00 00 01 0

1 1

... ... ... ... ... ...

... ... ... ...

... ... 0 ... ... 0 0

... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

k k

L L L L x

x x

L L L L

υ υυ υ υυ υ

υ υ

υ υυ υ υυ

δ δ

1

10 10 11 11

11 1 11 1

10 10 11 11

1 1

... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

L L L L

υ υ

υ υυ υ υυ

(A.16)

dove:

00

1

6 *

01 5

1

6 * 01 5

10 01

2 15

11 2

0

16 [ ]

25

( 1)

8

5 ( )

( 1)

8

5 ( )

[ 4 16

25

ii

i j k j j

ij

ij k i ik

k i

k i k ik

ii

k k i ik

k i

j i i ij

ij

j i ij

j

ij ij

i

k i i

ii

i

L

x x x x M

L T i j

p D M D

x x M C L T

p M M D

x x M C

L T i j

p M M D

L M L M

x x M

x T

L p

υ

λ

=≠

=

= + ≠

= −

+

= − − ≠

+

=

= − −

∑

2 25 2 2 * *

4

2 1

* *

55 11 4

2

3 4 ]

( )

[ 3 4 ]

16

25 ( )

i k k ik i k ik

k k i ik

k i

k j i j ij ij

ij

j i ij

M M B M M A

M M D

x x M M B A

L T i j

p M M D

υ

=≠

+ − +

+

− −

= ≠

+

∑

(A.17)

(9)

Il coefficiente di conducibilità termica 175

A.3.4. Il coefficiente di conducibilità termica di un miscuglio multicomponente

In accordo con la teoria cinetica dei gas il coefficiente di viscosità di un miscuglio di υ^- componenti è dato dalla:

' 1 2

2

1 1

[ ]

T T

i j i j

MIX MIX

i j ij i i j j

j i

RTx x D D

R pD x M x M

υ υ

λ λ

= =

≠

= −

∑∑

− ^(A.18)

dove:

00 00 01 01

11 1 11 1

00 00 01 01

1 1

10 10 11 11

11 1 11 1 1

'

... ... ... ... 0

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... 0

... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ...

MIX

4 L L L L

L L L L

L L L L x

υ υ

υ υυ υ υυ

υ υ

λ =

10 10 11 11

1 1

1

00 00 01 01

11 1 11 1

00 00 01 01

1 1

10 11

... ... ... ... ...

... ... ... ...

0 ... ... 0 ... ... 0

... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

...

L L L L x

x x

L L L L

L

υ υυ υ υυ υ

υ

υ υ

υ υυ υ υυ

10 11 11

1 11 1

10 10 11 11

1 1

... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

L L L

L L L L

υ υ

υ υυ υ υυ

(A.19)

(10)

A.3.5. Calcolo dei coefficienti di trasporto attraverso il potenziale di Lennard-Jones

Le espressioni riportate ai paragrafi precedenti permettono di calcolare quindi le proprietà di trasporto di un miscuglio in modo piuttosto agevole previa definizione di una funzione potenziale che descriva l’interazione tra due molecole. La funzione potenziale di Lennard-Jones¹è definita:

12 6

( )r 4 [( ) ( ) ]

r r

σ σ

ϕ = ε − (A.20)

Calcoli attraverso questa funzione sono stati effettuati indipendentemente da vari ricercatori in quattro differenti nazioni [1,2] e mostrano un buon accordo con i dati sperimentali per molecole non polari.

Al fine quindi di calcolare la viscosità e la conducibilità termica è necessario disporre di valori sperimentali delle grandezze σ^e ε che descrivono l’interazioni tra molecole uguali e molecole diverse. Le forze tra molecole uguali possono essere ottenute da misure sulla sostanza pura [2] [3].Le forze tra molecole diverse sono in linea di principio ottenibili da misure sul miscuglio in questione;

misure pratiche di questo tipo sono pero di difficile reperibilità, si è preferito utilizzare quindi una legge empirica [2] che mette in relazioni le costanti di forza tra due molecole diverse con quelle delle singole molecole:

1

2

( )

ij i j

σ σ σ

ε ε ε

= +

= ^(A.21)

Come detto precedentemente, calcoli effettuati con il potenziale di Lennard-Jones mostrano una buona corrispondenza con i dati sperimentali a meno che la molecola non sia polare ( H2O, NH3, ..), in tal caso infatti il potenziale contiene una componente dipendente dall’angolo molto forte.[2]

suggerisce l’utilizzo del potenziale di Stockmayer per le molecole polari, tale funzione potenziale permette di calcolare gli integrali (A.1), (A.2) e (A.3) che risultano però in questo caso dipendenti da tre parametri caratteristici della sostanza : σ^,ε^e ^* ¹2 ²2

δ µ

= εσ . L’interazione tra una molecola polare e una non polare può in ogni modo calcolarsi ancora con i potenziali di Lennard-Jones; è possibile mostrare che in questo caso le costanti di forza che descrivono l’interazione diventano:

1 1/ 6 2

2

( )

np n p

ij n p

σ σ σ ξ

ε ε ε ξ

= + −

= ^(A.22)

1 La viscosità per molecole che obbediscono al potenziale di Lennard-Jones sono state calcolate da H.R. Cook, Phil. Mag.,3, 977 (1927) e Prc. Roy. Soc. (London),1251 196 (1929). Questi risultati sono stati applicati allo studio della diffusione termica da R. C.

Jones, Phys. Rev., 59, 1019 (1941)

(11)

Verifica calcolo eseguito 177

dove:

* *

1 1 2

2

p

n p

n

t

ε

ξ α

= + ⋅ ⋅ ε ^(A.23)

con:

n

,

n

σ ε Parametri del potenziale di Lennard-Jones per le molecole non polari.

p, p

σ ε Parametri del potenziale di Stockmayer per le molecole polari.

* 3 n n

n

α α

=σ Polarizzabilità ridotta della molecola non polare.

*

3 p p

p p

µ µ

= ε σ ^Momento^di^dipolo^ridotto^della^molecola^polare.

*2

*

8

p

t

p µ

= Tabulato in Appendice E.

A.4. Verifica calcolo eseguito

Nel presente lavoro le formule riportate ai capitoli precedenti sono state implementate in Matlab 6.5. Le costanti numeriche necessarie σ^, ε^e δ^* ¹₂ µ²₂

= εσ sono tratte da [3] mentre

C

_v per le varie sostanze prese in esame è tratto da [4]. Al fine di verificare la teoria proposta nonché l’implementazione numerica si è utilizzato il software realizzato al fine di calcolare viscosità e conducibilità di gas puri e miscugli anche se non di interesse all’interno di questo lavoro (O2, CO2, CO, H2, CH4, N2, H2O, NH3). Nelle tabelle a seguire se ne riportano i risultati ottenuti confrontati con i valori sperimentali disponibili.

Tabella A.1 Confronto dati sperimentali e calcolati di viscosità per N2, CH4, O2, CO2 [3].

7 1 1

x 10 [ g cm s ]

η ^{− −}

N2 CH4 O2 CO2

T [K]

Sperim

entale Calcolato

Sperim

entale Calcolato

Speri mental

e Calcolato

Sperim

entale Calcolato 80 566.83 282.66 618.11 392.72 200 1295 1210.7 778 708.71 1476 1375.3 1015 974.92 400 2220 2170.1 1430 1349.1 2610 2528.9 1970 1732 1000 4011 3955.6 2684.3 4720 4683.2 3935 3906.1 1500 5050 5171.1 3500.6 6079.8 5139 5179.5

(12)

Composizione [Volume %]

7 1 1

x 10 [ g cm s ]

η ^{− −}

CO2 O2 CO H2 CH4 N2

T [K]

Sperimentale Calcolato 8.6 2.3 0 0 0 89.1 293 1756 1677.7 10.6 0 29.8 3.9 0.3 55.4 300.5 1743 1686.7 10.8 2 0 2.2 0 85 1279 4856 4663.7 6.7 0.1 7.8 2.2 0 83.2 1285 4808 4659.2 6.4 3 0.3 0.7 0 89.6 1287 4895 4689.1 2.2 0.6 3.8 51.3 29.6 10 293 1332 1225.4 Tabella A.2 Viscosità di miscugli di gas industriali [3]

7 1 1

x 10 [ g cm s ]

η ^{− −} λ

x 10

⁷

[ cal cm s

^{− −}¹ ¹

deg ]

⁻¹ Miscuglio

Percentuale componente leggero

Sperimentale Calcolato Sperimentale Calcolato

H2-CO2 10 1386 1288.9 510 414.59

35.5 1415 1317.6 1000 753.24

75 1341 1275.3 2270 1886.1

H2-CO 16.3 1715 1622.6 800 715

56.6 1538 1482.6 1800 1448.6

79.4 1303 1271.2 2700 2332.5

H2-N2 15.9 1670 1615.7 800 702.46

65.2 1449 1419.3 1940 1717.6

80.3 1274 1258.4 2570 2381.1

H2-O2 3.36 2044 1919.5 651 605.68

50 1855 1738.9 1827 1313.8

94.74 1088 1031.8 3744 3420.7

Tabella A.3 Viscosità e conducibilità di miscugli di gas a 273°K e 1 atm. [3].

(13)

0 500 1000 1500 2000 2500

80 90 100 110 120 130 140 150

Temperature [°K]

Viscosità N2 / T1/2 x 107 [g cm-1 sec-1 °K-1/2 107]

Viscosità N2

Figura A.1η T⋅10⁷ Vs T, Coefficiente di viscosità calcolato per N2.

Figura A.2η T ⋅10⁷Vs T, Coefficiente di viscosità sperimentale per N2 [3].

(14)

0 500 1000 1500 2000 2500 60

70 80 90 100 110 120 130 140 150

Temperature [°K]

Viscosità CO2 / T1/2 x 107 [g cm-1 sec-1 °K-1/2 107]

Viscosità CO2

Figura A.3η T ⋅10⁷Vs T, Coefficiente di viscosità calcolato per CO2.

Figura A.4η T⋅10⁷ Vs T, Coefficiente di viscosità sperimentale per CO2 [3].

(15)

Temperatura η_O₂ η_CO₂ η_{H O}₂ η_CO η_H₂ η_CH₄ η_N₂ η_NH₃

[K]

[ ] 10 g cm s

⁻¹ ⁻¹ ⋅ ⁷

200 1375.3 974.92 725.2 1174.7 683.77 708.71 1210.7 705.09 300 2052.8 1369.2 1014.8 1753.4 899.14 996.01 1747.5 986.68 400 2528.9 1732 1301.4 2160.1 1083.6 1349.1 2170.1 1265.3 500 2972 2141 1605.8 2538.5 1243.9 1638.4 2525.7 1561.3 600 3363.5 2622.4 1942.2 2872.9 1400 1866.5 2853.8 1888.4 700 3727.9 3015.8 2309.5 3184.2 1554.8 2100.1 3160.7 2245.5 800 4071.1 3309.2 2703.5 3477.3 1701 2306.2 3450.8 2628.6 900 4393.1 3605.1 2977.2 3752.3 1832.1 2499.7 3705.8 2894.6 1000 4683.2 3906.1 3294.2 4000.1 1961.5 2684.3 3955.6 3202.8 1100 4968 4195.1 3862.7 4243.4 2090 2859.1 4201.7 3755.6 1200 5249 4451 4413 4483.4 2211.2 3028.9 4445.4 4290.7 1300 5527.3 4703.4 4843.3 4721.1 2326.8 3193.9 4687.6 4709 1400 5804 4942.2 5301.5 4957.4 2441.4 3352.6 4929.3 5154.5 1500 6079.8 5179.5 5712.9 5193 2555.4 3500.6 5171.1 5554.5 1600 6355.4 5404.4 6153 5428.4 2663 3640.3 5412.3 5982.3 1700 6631.6 5628.6 6553.4 5664.3 2768.4 3778.5 5619.3 6371.6 1800 6892.5 5843.2 6960 5887.2 2873.1 3915.2 5824.5 6767 1900 7128.1 6056.7 7352.7 6088.4 2977.4 4050.8 6028.1 7148.8 2000 7361.7 6263.4 7728.7 6288 3075.7 4185.6 6230.6 7514.4 2100 7593.9 6468.1 8107.3 6486.3 3173.5 4319.6 6432.2 7882.5 2200 7824.9 6657.3 8456.4 6683.6 3270.9 4453 6633.1 8221.9 2300 8054.9 6838.5 8814.5 6880 3367.1 4586.1 6833.6 8570.1 2400 8284.2 7018.3 9143.1 7075.9 3459.9 4719 7032.9 8889.6 2500 8513 7196.6 9473.9 7271.3 3552.1 4851.7 7214.9 9211.2

Tabella A.4 Coefficiente di viscosità calcolato per alcuni gas puri.

(16)

0 500 1000 1500 2000 2500 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1x 10^-4

Temperatura [°K]

Viscosità [Pa s]

Viscosità di gas puri

O2 CO2 H2O CO H2 CH4 N2 NH3

Figura A.5 Coefficiente di viscosità calcolato per alcuni gas puri.

0 500 1000 1500 2000 2500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

2x 10^-3

Temperatura [°K]

Conducibilità termica [cal/cm sec °K]

Conducibilità termica di gas puri

O2 CO2 H2O CO H2 CH4 N2 NH3

Figura A.6 Conducibilità termica calcolata per alcuni gas.

(17)

Temperatura λ_O₂ λ_CO₂ λ_{H O}₂ λ_CO λ_H₂ λ_CH₄ λ_N₂ λ_NH₃

[K]

[ cal cm s

⁻¹ ⁻¹

deg ] 10

⁻¹ ⋅ ⁷

200 451.36 220.75 430.79 415.6 3075 492.78 404.16 439.78 300 611.11 352.52 593.65 591.48 4213.7 683.77 584.96 637.8 400 763.91 485.86 769.23 730.38 5121.3 1022.4 735.18 872.05 500 921.8 639.18 969.28 871.44 5890.6 1384.4 867.58 1148 600 1068.3 821 1202.3 1003.9 6640.2 1740.4 994.01 1474 700 1207.4 980.24 1468.1 1132.1 7395.8 2132.2 1115.8 1849.9 800 1339.8 1108.6 1764.6 1256.1 8129.2 2517.9 1233.8 2272.5 900 1465 1238 1993.5 1374.9 8811.8 2902.9 1341 2612.9 1000 1579.4 1369.1 2260.1 1484.4 9510.2 3285.1 1447.5 3004.9 1100 1691.7 1495.8 2711.8 1592.5 10226 3658.3 1553.8 3647.3 1200 1802.6 1610.1 3165.7 1699.5 10928 4024.6 1660 4298 1300 1912.6 1722.4 3545.1 1805.5 11620 4372.9 1766.4 4850.1 1400 2022.2 1828.7 3954.1 1910.8 12320 4729.1 1873.1 5439.7 1500 2131.6 1933.6 4336 2015.7 13029 5059.8 1980.2 5996.9 1600 2241.3 2033 4746.4 2120.2 13713 5369.8 2087.4 6587.2 1700 2351.5 2131.1 5131.9 2224.6 14391 5670.3 2181.5 7137.8 1800 2456.7 2224.9 5526.9 2323.6 15072 5963 2274.8 7697.1 1900 2553.3 2317.4 5914.4 2413.5 15755 6249.3 2367.3 8242.1 2000 2649.6 2406.6 6291.3 2502.4 16408 6530.3 2459.2 8769.1 2100 2745.7 2494.3 6672.3 2590.3 17061 6806.8 2550.3 9299 2200 2841.9 2575.6 7030 2677.3 17713 7079.6 2640.8 9794.5 2300 2938.3 2653.3 7395.8 2763.4 18359 7349.2 2730.8 10300 2400 3034.9 2730 7736.6 2848.9 18987 7616.1 2819.8 10769 2500 3131.9 2805.8 8078.5 2933.7 19610 7880.9 2901.4 11239

Tabella A.5 Conducibilità termica calcolata per alcuni gas puri.

Come si vede dalle tabelle e figure riportate il metodo presenta una buona corrispondenza con i dati sperimentali, si noti che i risultati del metodo sono indipendenti dalla pressione, ciò è verificato anche sperimentalmente per pressioni non troppo elevate. Si hanno però alcuni inconvenienti di cui si deve tenere conto:

Il metodo, applicato a molecole non polari, presenta, rispetto ai valori sperimentali per gas puri, errori dell’ordine del 5%; i valori sperimentali disponibili però sono relativi a temperature che non superano generalmente i 1000K.

Il metodo applicato a molecole polari presenta errori più sostanziosi. H2O a 600°K ha una viscosità di 21.4

[

µ

Pa s]

[4], presenta quindi un errore del 10% rispetto a quanto calcolato in Tabella A.4, è crescente con la temperatura e anche in questo caso non si dispone di valori sperimentali per temperature più alte; considerando che l’acqua è il componente principale dei gas in camera di combustione, di ciò si deve tenere adeguatamente conto.

(18)

Applicazione del metodo alla camera di combustione

Il metodo descritto ai paragrafi precedenti è quindi applicabile per calcolare le proprietà di trasporto di interesse per le condizioni che competono al tratto in esame del motore; in particolare è possibile stimare la viscosità e la conducibilità termica del miscuglio presente in camera di combustione al variare del rapporto di miscelamento e dei gas attraversanti il catalizzatore. La tabella a seguire mostra i risultati ottenuti.

Tabella A.6 Viscosità e conducibilità in camera di combustione.

Concentrazione

Frazione molare O2

Frazione molare H2O

Temperatura η_O₂ η_{H O}₂ η_MIX λ_O₂ λ_{H O}₂ λ_MIX [--] [%] [%] [K]

[ ] 10 g cm s

⁻¹ ⁻¹ ⋅ ⁷

[ cal cm s

⁻¹ ⁻¹

deg ] 10

⁻¹ ⋅ ⁷

0.8 25.357 74.643 717 3787.2 2374.4 2974.6 1230.2 1516.2 1321.5 0.85 27.277 72.723 818.17 4131.1 2777.9 3409.5 1363 1821.7 1508.5 0.875 28.255 71.745 868.21 95.6 2985.5 3627.3 1426.9 1983.2 1599.7 0.9 29.245 70.755 917.97 4445.7 2940.7 3700.7 1485.8 1977.9 1622.7 0.95 31.263 68.737 1016.9 4731.6 3382.2 4149.2 1598.5 2329.8 1804.8 Tabella A.7 Viscosità e conducibilità dei gas in uscita dal letto catalitico.

Frazione molare % Rapporto di

miscelamento ox/fuel

C2H6 H2O CO2 CO O2

Temperatura in camera

[K]

7

1 1

10

[ ]

x g cm s η

− −

7

1 1 1

10

[ deg ]

x cal cm s λ

− − −

9 0.035 84.035 10.558 3.5807 1.7903 2716.4 9493.5 5399.5 9.5 0 83.854 10.892 2.7054 2.5482 2687.9 9423.3 5320.8 10 0 83.548 10.994 2.0348 3.4232 2657.7 9348.2 5237.6 10.5 0 83.233 11.003 1.4981 4.2666 2618.1 9248.2 5142.6 11 0 82.903 10.911 1.0973 5.0892 2576.3 9142.1 5046.9 11.5 0 82.563 10.737 0.81076 5.889 2536 9039.3 4956

12 0 82.225 10.518 0.60094 6.6559 2496.2 8930.8 4865.5 12.5 0 81.897 10.276 0.44246 7.3846 2455.4 8819.3 4775.7 13 0 81.578 10.017 0.32707 8.0774 2415.7 8711.7 4690.5 13.5 0 81.272 9.7513 0.2429 8.7342 2377.3 8608.2 4609.8

(19)

Riferimenti 185

A.5. Riferimenti

[1] T. Kihara e M. Totani, Proc. Phys. Math. Soc. Japan,251602 (1943) [2] J. O. Hirschfelder, R. B. Bird e E. L. Spotz, J. Chem. Phys., 16,968 (1948)

[3] J.O. Hirschfelder, C.F. Curtiss, R.Byron Bird; Molecular theory of gases and liquids,John Wiley & Sons

[4] CRC Press Handbook of chemistry and physics David R. Lide, Editor in chief 84th edition 2003-2004

(20)